广义积分在前面所讨论的定积分事实上是有条件的:一是积分区间是有限区间,二是被积函数在积分区间上有界。但实际问题常常要突破这两个前提,因此需要对定积分作如下两种推广
:无穷区间上的积分 —— 无穷限积分,无界函数在有限区间上的积分 —— 无界函数积分或瑕积分,统称为广义积分或旁义积分,以前讨论过的定积分称为常义积分。
定义 1 设函数 )( xf 在区间 ),[a 上连续,取
ab?,如果极限?

b
ab
dxxf )(lim 存在,则称此极限为函数 )( xf 在无穷区间 ),[a 上的广义积分,记作?

a
dxxf )(,
a dxxf )( bab dxxf )(l i m
当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在时,称广义积分发散,
一、无穷限的广义积分类似地,设函数 )( xf 在区间 ],( b 上连续,取
ba?,如果极限?

b
aa
dxxf )(lim 存在,则称此极限为函数 )( xf 在无穷区间 ],( b 上的广义积分,记作?

b
dxxf )(,
b dxxf )( baa dxxf )(l i m
当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在时,称广义积分发散,
设函数 )( xf 在区间 ),( 上连续,如果广义积分

0
)( dxxf 和

0
)( dxxf 都收敛,则称上述两广义积分之和为函数 )( xf 在无穷区间
),( 上的广义积分,记作


dxxf )(,
0 )(l i m aa dxxf bb dxxf0 )(l im
极限存在称广义积分收敛;否则称广义积分发散,
.1 2 xdx

21 x
dx?

0
21 x
dx
0 21 x
dx
0 21 1l i m aa dxx bb dxx0 21 1lim
0a rct a nlim aa xbb x 0a rc t a nlim
aa a r c t a nlim bb a r c t a nlim,22
例 2 计算广义积分,
1s i n1
2 2?

dxxx

2
1s i n1
2 dxxx?

2 11s i n xdx
例 1 计算广义积分
bb xdx2 11s i nl im
b
b x



2
1co slim



2
c o s1c o slim?b
b,1?
例 3 证明广义积分?

1
1
dx
x p
当 1?p 时收敛,
当 1?p 时发散,
证,1)1(?p1 1 dxx p 1 1 dxx 1ln x,
,1)2(?p1 1 dxx p



1
1
1 p
x p


1,
1
1
1,
p
p
p
因此当 1?p 时广义积分收敛,其值为
1
1
p;
当 1?p 时广义积分发散,
例 4 证明广义积分?

a
px dxe 当 0?p 时收敛,
当 0?p 时发散,

a
px dxe

b
a
px
b dxel i m
b
a
px
b p
e




l i m


p
e
p
e pbpa
b
lim

0,
0,
p
p
p
e ap
即当 0?p 时收敛,当 0?p 时发散,
定义 2 设函数 )( xf 在区间 ],( ba 上连续,而在点 a 的右邻域内无界.取 0,如果极限

b
a
dxxf

)(lim
0
存在,则称此极限为函数 )( xf
在区间 ],( ba 上的广义积分,记作?
b
a
dxxf )(,
ba dxxf )( ba dxxf )(l i m 0
当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在时,称广义积分发散,
二、无界函数的广义积分类似地,设函数 )( xf 在区间 ),[ ba 上连续,
而在点 b 的左邻域内无界,取 0,如果极限

b
a
dxxf )(lim
0
存在,则称此极限为函数 )( xf
在区间 ),[ ba 上的广义积分,
记作?
b
a
dxxf )(?

b
a
dxxf )(l i m
0
.
当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在时,称广义积分发散,
设函数 )( xf 在区间 ],[ ba 上除点 )( bcac 外连续,而在点 c 的邻域内无界,如果两个广义积分
c
a
dxxf )( 和?
b
c
dxxf )( 都收敛,则定义
ba dxxf )( ca dxxf )( bc dxxf )(
ca dxxf )(l i m 0 bc dxxf )(l i m 0
否则,就称广义积分? ba dxxf )( 发散,
定义中 c为 瑕点,以上积分称为 瑕积分,
例 5 计算广义积分 ).0(0 22 axa
dxa
解,1lim
220 xaax?
ax 为被积函数的无穷间断点,
a xa dx0 22 a xa dx0 220l i m


a
a
x
00
a r c s i nl i m?



0a r c s i nl i m
0 a
a?
.2例 6 证明广义积分?
1
0
1
dx
x q
当 1?q 时收敛,当
1?q 时发散,
,1)1(?q?10 1 dxx q 10 1 dxx10ln x?,
,1)2(?q?10 1 dxx q
1
0
1
1

q
x q


1,
1
1
1,
q
q
q证因此当 1?q 时广义积分收敛,其值为
q?1
1;
当 1?q 时广义积分发散,
例 7 计算广义积分,ln
2
1? xx
dx
解?21 ln xxdx

21
0 ln
lim?
xx
dx
210 ln )(l nl i m xxd 210 )l n(l nlim x
))1l n ( l n ()2l n ( l nlim 0
. 故原广义积分发散,
.
)1(
3
0 32x
dx
1?x 瑕点解
3
0 32)1( x
dx
10 31 32)1()( x dx
10 32)1( x dx 100 32)1(lim x dx3?
31 32)1( x dx 310 32)1(lim x dx,23 3
30 32)1( x dx ).21(3 3
例 8 计算广义积分注意广义积分与定积分不同,尤其是瑕积分,
它与定积分采用同一种表达方式,但其含义却不同,遇到有限区间上的积分时,要仔细检查是否有瑕点。
广义积分中,N-L公式,换元积分公式、分部积分公式仍然成立,不过代入上、下限时代入的是极限值。
如 无穷限积分
a aFFdxxf )()()(b FbFdxxf )()()(
a a
v d uauvud v )(
再如 瑕积分
)0()()( aFbFdxxfba )()0()( aFbFdxxfba
ba ca bc dxxfdxxfdxxf )()()(
)()0()0()( aFcFcFbF
ba ba v d ua buvud v 0)(


0
2 )1)(1(
1 无关并求其值与?
dxxxI
例 9。证明证 dx
xx
I?


0
2 )1)(1(
1
dx
xx



1
0 1
2 )1)(1(
1
21 II
dx
xx
I?

1
0
21 )1)(1(
1
)1(
t
x?令
dt
tt
t


1
2 )1)(1(?
21 III
dx
xx
dx
xx
x




1
2
1
2
)1)(1(
1
)1)(1(

41
1
1
2


dx
x
无穷限的广义积分
dxxf )(b dxxf )(a dxxf )(
无界函数的广义积分( 瑕积分 )?ba dxxf )(
( 注意,不能忽略内部的瑕点)
ca bcba dxxfdxxfdxxf )()()(
思考题积分 的瑕点是哪几点??
1
0 1
ln dx
x
x
三、小结积分 可能的瑕点是
1
0 1
ln dx
x
x
1,0 xx
1
lnl i m
1 x
x
x
,11lim
1

xx 1 x
不是瑕点,
10 1ln dxx x的瑕点是,0?x
思考题解答练 习 题一,填空题:
1,广义积分

1
p
x
dx
当 _______ 时收敛;当 __ _ __ _ 时发散;
2,广义积分?
1
0
q
x
dx
当 _______ 时收敛;当 __ _ __ __ 时发散;
3,广义积分?

2
)(l n
k
xx
dx
在 ______ 时收敛;在 __ __ __ _
时发散;
4,广义积分 dxxx 21 =____ ;
5,广义积分?
1
0 21 x
x d x
_ _ _ _ _ _ __ ;
6,广义积分?

x
dttf )( 的几何意义是 ______ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
二,判别下列各广义积分的收敛性,如果收敛,则计算广义积分的值:
1,?

0
c o s h t d te
pt
)1(?p ; 2,?


22
2
xx
dx;
3,?

0
dxex
xn
( 为自然数n ); 4,?
2
0
2
)1( x
dx;
5,
2
1
1x
xdx; 6,

0
22
)1(
ln
dx
x
xx;
7,
1
0
ln x d x
n
.
三,求当 为何值时k,广义积分 )(
)(
ab
ax
dxb
a
k
收敛?又 为何值时k,这广义积分发散?
四,已知


x
xx
x
xf
2,1
20,
2
1
0,0
)(,试用分段函数表示

x
dttf )(
.
练习题答案一,1,1,1 pp ; 2,1,1 qq ; 3,1,1 kk ;
4,发散; 5,1 ; 6,过点 轴平行于 yx 的直线左边,曲线 )( xfy? 轴和 x 所围图形的面积,
二,1,
1
2
p
p; 2,; 3,
!n; 4,发散;
5,
3
2
2 ; 6,0 ; 7,!)1( n
n
,
三、当
1?k
时收敛于
k
ab
k
1
)(
1
1; 当
1?k
时发散,
四、




xx
xx
x
dttf
x
2,1
20,
4
1
0,0
)(
2
.