在柱坐标系和球坐标系下的计算一、在柱坐标系下的计算法的柱面坐标．就叫点个数
，则这样的三的极坐标为面上的投影在为空间内一点，并设点设
Mzr
rPx o y
MzyxM
,,
,
),,(
.
,s i n
,co s
zz
ry
rx
x
y
z
o
),,( zyxM
),(?rP?
r
规定：,0 r
,20
. z
为常数r 圆柱面为常数? 半平面为常数z 平 面
),,( zyxM
),(?rP r
z
x
y
z
o
如图，柱面坐标系中的体积元
,dzr d r ddv
d
r
x
y
z
o
dzdr
rd
d x d y d zzyxf ),,(
.),s i n,c o s(
dzr d r dzrrf
然后再把它化为三次积分来计算积分次序一般是先 z 次 r 后?
积分限是根据 在积分区域中的变化范围来确定zr,,?
例 1 1,:,)(
22222 zyxzdvzyx?
解 将 投到 xoy 面得 D? 122 yx
1,10,20 zrr
2
0
1
0
1
22222 )()(
r
r d zzrdrddvzyx
10
3)
3
4
3(2
4
1
0
3 drrrr
注 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、
圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标来计算。
例 2 2,1,:,
22
22 zzyxzd x d y d zyx
e z?
解
zz
ry
rx
s i n
co s
,
关键在于定出的变化范围
zr,,?
r,? 的范围容易定出 20,20 r
z 呢？
注意到 时当 10 r 21?z
时当 21 r 2 zr
][
2
1
22
0
1
0
2
1
r d z
r
edrr d z
r
edrdI
r
zz
2
1
222 2)(2)(2 edreeee r
二、在球坐标系下的计算法的球面坐标．就叫做点
，，个数面上的投影，这样的三在点为的角，这里段逆时针方向转到有向线轴按轴来看自为从正轴正向所夹的角，
与为有向线段间的距离，与点点为原来确定，其中，，三个有次序的数可用为空间内一点，则点设
M
rx o yM
POP
xz
zOMMO
rr
MzyxM
),,(
Px y
z
o
),,( zyxM
r
z
y
xA
.c o s
,s i ns i n
,c o ss i n
rz
ry
rx
规定,r0
,0
.20
为常数r 球 面为常数? 圆锥面为常数? 半平面如图,球面坐标系中的体积元素为
,s i n2 ddrdrdv?
d
r
x
y
z
o
dr
dsinr?rd
d?
d?sinr
d x d yd zzyxf ),,(
.s i n)c o s,s i ns i n,c o ss i n( 2 dd rdrrrrf
然后把它化成对 的三次积分,,r
具体计算时需要将 用球坐标系下的不等式组表示?
积分次序通常是 后次先 r
例 3 计算
d x d y d zyxI )( 22,其中? 是 锥面
222 zyx,与 平面 az? )0(?a 所围的立体,
解一 用球坐标
az,co s?ar
222 zyx,4
,20,40,c o s0, ar
d x d yd zyxI )( 22 drrdd
a
4
0
c o s
0
342
0 s in
da )0c o s(51s in2 5
5
4
0
3.
10
5a
解二 用柱坐标
222 zyx,rz,,222 ayxD
,20,0,, arazr
d x d y d zyxI )( 22 ara dzrr d rd 2020
a drrar0 3 )(2 ]54[2
54 aa
a,10 5a
例 4 求曲面 2222 2 azyx 与 22 yxz
所围 成的立体体积,
解? 由锥面和球面围成，
采用球面坐标,
由 2222 2 azyx,2 ar
22 yxz,4
,20,40,20, ar
由三重积分的性质知
d x d y d zV,
a drrddV 20 2020 s i n4
4
0
3
3
)2(s in2 da.)12(
3
4 3a
注若 积分区域为球体、球壳或其一部分被积函数呈 222 zyx
而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单通常采用球坐标。
补充：利用对称性简化三重积分计算使用对称性时应注意：
１、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．
一般地，当积分区域? 关于 x o y 平面对称，且被积函数 ),,( zyxf 是关于 z 的奇函数，则三重积分为零，若被积函数 ),,( zyxf 是关于 z 的偶函数，则三重积分为? 在 x o y 平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍,
“你 对称,我 奇偶,
dvzyxfI ),,(对
①?若 关于 xoy 面对称时当 ),,,(),,()1( zyxfzyxf0?I
时当 ),,(),,()2( zyxfzyxf
1
),,(2
dvzyxfI
0,),,(|),,(1 zzyxzyx
②?若 关于 xoz 面对称时当 ),,(),,()1( zyxfzyxf0?I
时当 ),,(),,()2( zyxfzyxf
2
),,(2
dvzyxfI
)0,,,(|),,(2 yzyxzyx
③?若 关于 yoz 面对称时当 ),,(),,()1( zyxfzyxf0?I
时当 ),,(),,()2( zyxfzyxf
3
),,(2
dvzyxfI
0,),,(|),,(3 xzyxzyx
三、小结三重积分换元法
柱面坐标球面坐标
（ 1） 柱面坐标的体积元素 dzr d r dd x d yd z
（ 2） 球面坐标的体积元素 ddrdrdx dy dz s i n2?
（ 3） 对称性简化运算思考题则上的连续函数为面对称的有界闭区域，中关于为若
,
),,(3
zyxfxyR
;0),,(,_ _ _ _),,( dvzyxfzyxf 为奇函数时关于当 z
1
),,(___),,(
,____),,(
dvzyxfdvzyxf
zyxf 为偶函数时关于当 z
2
.1 面上方的部分在为其中 xy
练 习 题一,填空题,
1,若? 由曲面 和)(3
222
yxz 16
222
zyx 所围,则三重积分
dvzyxf ),,( 表示成直角坐标下的三次积分是 __ __ _ __ __ __ __ _ __ _ ; 在柱面坐标下的三次积分是 __ __ _ __ __ __ __ _ __ _ ; 在球面坐标下的三次积分是 __ __ _ __ __ __ __ _ __ __,
2,若
由曲面及
22
2 yxz
22
yxz 所围,
将
z d v 表为柱面坐标下的三次积分 __ __ _ __ __,
其值为 _______,
3,若空间区域? 为二曲面 azyx
22
及
22
2 yxaz 所围,则其体积可表为三重积分
___ __ ___ __ ___ __ ; 或二重积分 ___ __ ___ _ _ _ _ __ ;
或柱面坐标下的三次积分 ___ ___ __ __ __ _ _ _ ___ _,
4,若由不等式
2222
)( aazyx,
222
zyx
所确定,将
z d v 表为球面坐标下的三次积分为
___ __ ___ __ ___ __ __ ___ __ _ ；其值为 ___ _ _ _ __ __,
二、计算下列三重积分,
1,
dvyx )( 22,其中? 是由曲面?24 z )(25 22 yx?
及平面 5?z 所围成的闭区域,
2,
dvyx )(
22
,其中? 由不等式
0,0
222
zAzyxa 所确定,
3,
d x d y d z
c
z
b
y
a
x
)(
2
2
2
2
2
2
,
其中
1),,(
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
zyx,
三、求曲面
22
5 yxz
及 zyx 4
22
所围成的立体的体积,
四、曲面
222
4 aazyx 将球体 azzyx 4
222
分成两部分,试求两部分的体积之比,
五、求由曲面,0,,22 xayxyxz 0,0 zy
所围成立体的重心 ( 设密度 1 ).
六、求半径为 a,高为 h 的均匀圆柱体对于过中心而垂直于母线的轴的转动惯量 ( 设密度 )1,
练习题答案一,1,
22
22
2
2
16
)(3
4
4
2
2
),,(
yx
yx
x
x
dzzyxfdydx
)(3
16
4
4
2
2
22
22
2
2
),,(
yx
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x
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2
16
3
2
0
2
0
),s i n,c o s(
r
r
dzzrrfr d rd
r
r
dzzrrfr drd
3
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2
0
2
0
2
),s i n,c os(
,
4
0
6
0
2
0
,co ss i n( rfdd
drrrr s i n)c o s,s i ns i n
2
4
0
6
5
2
0
,co ss i n( rfdd
drrrr s i n)c o s,s i ns i n
2；
2,
2
2
21
0
2
0
r
r
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12
7?；
3,
dv,
D
d x d y
a
yx
yxa )2(
22
22
,
ra
a
r
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2
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0
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4,
4
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0
3
4
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6
7
,c o ss i n adrrdd
a
.
二,1,
8； 2,)(
15
4
55
aA?；
3,a b c?
5
4
.
三,)455(
3
2
,
四、
27
37
6
27
6
37
3
3
2
1
a
a
V
V
,
五,)
30
7
,
5
2
,
5
2
(
2
aaa,
六,)
3
(
4
2
2
h
a
M
( 其中 haM
2
为圆柱体的质量 ),
，则这样的三的极坐标为面上的投影在为空间内一点，并设点设
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,s i n
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,20
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为常数r 圆柱面为常数? 半平面为常数z 平 面
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d x d y d zzyxf ),,(
.),s i n,c o s(
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然后再把它化为三次积分来计算积分次序一般是先 z 次 r 后?
积分限是根据 在积分区域中的变化范围来确定zr,,?
例 1 1,:,)(
22222 zyxzdvzyx?
解 将 投到 xoy 面得 D? 122 yx
1,10,20 zrr
2
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注 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、
圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标来计算。
例 2 2,1,:,
22
22 zzyxzd x d y d zyx
e z?
解
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关键在于定出的变化范围
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r,? 的范围容易定出 20,20 r
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注意到 时当 10 r 21?z
时当 21 r 2 zr
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2
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二、在球坐标系下的计算法的球面坐标．就叫做点
，，个数面上的投影，这样的三在点为的角，这里段逆时针方向转到有向线轴按轴来看自为从正轴正向所夹的角，
与为有向线段间的距离，与点点为原来确定，其中，，三个有次序的数可用为空间内一点，则点设
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然后把它化成对 的三次积分,,r
具体计算时需要将 用球坐标系下的不等式组表示?
积分次序通常是 后次先 r
例 3 计算
d x d y d zyxI )( 22,其中? 是 锥面
222 zyx,与 平面 az? )0(?a 所围的立体,
解一 用球坐标
az,co s?ar
222 zyx,4
,20,40,c o s0, ar
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解二 用柱坐标
222 zyx,rz,,222 ayxD
,20,0,, arazr
d x d y d zyxI )( 22 ara dzrr d rd 2020
a drrar0 3 )(2 ]54[2
54 aa
a,10 5a
例 4 求曲面 2222 2 azyx 与 22 yxz
所围 成的立体体积,
解? 由锥面和球面围成，
采用球面坐标,
由 2222 2 azyx,2 ar
22 yxz,4
,20,40,20, ar
由三重积分的性质知
d x d y d zV,
a drrddV 20 2020 s i n4
4
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3
4 3a
注若 积分区域为球体、球壳或其一部分被积函数呈 222 zyx
而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单通常采用球坐标。
补充：利用对称性简化三重积分计算使用对称性时应注意：
１、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性．
一般地，当积分区域? 关于 x o y 平面对称，且被积函数 ),,( zyxf 是关于 z 的奇函数，则三重积分为零，若被积函数 ),,( zyxf 是关于 z 的偶函数，则三重积分为? 在 x o y 平面上方的半个闭区域的三重积分的两倍,
“你 对称,我 奇偶,
dvzyxfI ),,(对
①?若 关于 xoy 面对称时当 ),,,(),,()1( zyxfzyxf0?I
时当 ),,(),,()2( zyxfzyxf
1
),,(2
dvzyxfI
0,),,(|),,(1 zzyxzyx
②?若 关于 xoz 面对称时当 ),,(),,()1( zyxfzyxf0?I
时当 ),,(),,()2( zyxfzyxf
2
),,(2
dvzyxfI
)0,,,(|),,(2 yzyxzyx
③?若 关于 yoz 面对称时当 ),,(),,()1( zyxfzyxf0?I
时当 ),,(),,()2( zyxfzyxf
3
),,(2
dvzyxfI
0,),,(|),,(3 xzyxzyx
三、小结三重积分换元法
柱面坐标球面坐标
（ 1） 柱面坐标的体积元素 dzr d r dd x d yd z
（ 2） 球面坐标的体积元素 ddrdrdx dy dz s i n2?
（ 3） 对称性简化运算思考题则上的连续函数为面对称的有界闭区域，中关于为若
,
),,(3
zyxfxyR
;0),,(,_ _ _ _),,( dvzyxfzyxf 为奇函数时关于当 z
1
),,(___),,(
,____),,(
dvzyxfdvzyxf
zyxf 为偶函数时关于当 z
2
.1 面上方的部分在为其中 xy
练 习 题一,填空题,
1,若? 由曲面 和)(3
222
yxz 16
222
zyx 所围,则三重积分
dvzyxf ),,( 表示成直角坐标下的三次积分是 __ __ _ __ __ __ __ _ __ _ ; 在柱面坐标下的三次积分是 __ __ _ __ __ __ __ _ __ _ ; 在球面坐标下的三次积分是 __ __ _ __ __ __ __ _ __ __,
2,若
由曲面及
22
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22
yxz 所围,
将
z d v 表为柱面坐标下的三次积分 __ __ _ __ __,
其值为 _______,
3,若空间区域? 为二曲面 azyx
22
及
22
2 yxaz 所围,则其体积可表为三重积分
___ __ ___ __ ___ __ ; 或二重积分 ___ __ ___ _ _ _ _ __ ;
或柱面坐标下的三次积分 ___ ___ __ __ __ _ _ _ ___ _,
4,若由不等式
2222
)( aazyx,
222
zyx
所确定,将
z d v 表为球面坐标下的三次积分为
___ __ ___ __ ___ __ __ ___ __ _ ；其值为 ___ _ _ _ __ __,
二、计算下列三重积分,
1,
dvyx )( 22,其中? 是由曲面?24 z )(25 22 yx?
及平面 5?z 所围成的闭区域,
2,
dvyx )(
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3,
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三、求曲面
22
5 yxz
及 zyx 4
22
所围成的立体的体积,
四、曲面
222
4 aazyx 将球体 azzyx 4
222
分成两部分,试求两部分的体积之比,
五、求由曲面,0,,22 xayxyxz 0,0 zy
所围成立体的重心 ( 设密度 1 ).
六、求半径为 a,高为 h 的均匀圆柱体对于过中心而垂直于母线的轴的转动惯量 ( 设密度 )1,
练习题答案一,1,
22
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2
为圆柱体的质量 ),
