Ch5 1
x2 a0a2a1a2a3a2a4
a5a2a6a2a7a2a8a2a9a2a10a2a11a2a12a14a13a16a15a18a17a14a19a14a20a14a8a14a9a14a21a2a22a14a23a16a24a26a25a14a27a14a5a14a6a2a7a14a11a14a28a14a29a14a30a14a31a16a15a18a32
a33a2a34a2a35a2a36a2a37 a11a2a38a2a39a2a6a2a7a40a24
a41a2a42 a43a2a44a2a45a2a46a2a47a2a48a2a49 a15a51a50
f(t) = E(eitX); 1 < t < 1
a52 X a11a2a38a2a39a2a6a2a7a53a24
a43a2a44a2a54 a11 a46a2a47a2a48a2a49 X
a55a2a56a2a57
a7 ta15a51a58a2a8
jf(t)j = jE(eitX)j 6 EjeitXj = 1:
a59 a44a2a54a2a46a2a47a2a48a2a49 a11a2a38a2a39a14a6a14a7 f(t) a58a2a60a2a61a53a15a51a19
a57
a48a2a62a14a63 a11a40a24
a38a2a39a2a6a2a7a2a8
a55
a36 a12a2a13a40a64
(1) f(0) = 1; jf(t)j 6 1; f( t) = f(t):
(2) f(t) a45a2a65a2a66a2a67 a24
(3) a68 X a69 Y a70a2a71a2a72a2a73
a15a51a74 f
X+Y (t) = fX(t) fY (t)
a24
(4) a68 X a8 k a75a77a76
a15a78a74 f
X(t)
a19 k
a75a77a79a77a80
a11a53a15a78a81 f(k)
X (t) = E(i
kXkeitX)a24
(5) a82a2a83 X a11a2a38a2a39a2a6a2a7 a52 fX(t)a15a51a74 a + bX a11a2a38a2a39a2a6a2a7 a52
fa+bX(t) = eitbfX(at):
(6) f(t) a19a2a84a2a85 a34 a11a40a15a87a86 a43a14a44a88a54 a11a14a89a88a90a14a7 n a56
a44a2a54 a11
a57
a7 t
1; ; tn a69
a62 a7
1; ; n
a15a51a91a2a8
nX
k=1
nX
j=1
f(tk tj) k j > 0:
a36a2a37a2a92a2a93a2a94a2a95a2a96 a6a2a7a2a11a2a38a14a39a2a6a14a7a40a24
(1) a97a2a98a2a99a2a100
a101a2a102 a34a2a35 a15
a97a2a98a2a99a2a100
a11a2a38a14a39a14a6a2a7 a52
f(t) = peit + q:
1
Ch5 2
a103 a19a53a15
a79a2a55a2a104a106a105a108a107a2a109a14a99a2a100 B(n; p) a11a2a38a2a39a2a6a2a7 a52
f(t) = (peit + q)n:
(2) Poisson a99a2a100
f(t) =
1X
k=0
eitk
k
k! e
=
1X
k=0
( eit)k
k! e
= e (eit 1):
(3) a89a2a110 a99a2a100
a111a2a112a2a113a2a114 a89a2a110
a99a2a100 N(0; 1) a11a2a38a2a39a2a6a2a7a53a24
f(t) = 1p2
Z 1
1
eitxe x22 dx
= 1p2
Z 1
1
e (x it)
2
x e
t2
2 dx
= e t22,
a103 a19a53a15 a43a2a45a2a115 a11a2a89a14a110
a99a14a100
a15 X N( ; )a15a117a116a108a118 a37 a11a2a12a2a13 6
a79a2a119 X a11a2a38
a39a2a6a2a7 a52
f(t) = ei t 12 2 2:
a38a2a39a2a6a2a7a2a120a2a121
a55
a50 a52 a38a2a39a14a6a14a7a40a15a18a19a123a122 a52a14a124
a99a2a100
a6a14a7 F(x)
a125a2a70a2a126
a11a2a38a2a39
a6a77a7 f(t) a11 a48a77a127 a19 a45a77a45a77a128a2a129 a24a130a20a2a131a2a19a2a132a40a15
a97
a94a2a133a106a134 a11
a99a2a100
a6a2a7 a43
a126
a11a2a38a2a39a2a6
a7a2a20a2a19 a133a106a134 a11a16a24 a103 a19a16a15a136a135 a34a14a137 f(t) a120a2a138a40a15
a99a2a100
a6a2a7 F(x) a20a2a139 a45a2a140 a34a2a137 a24 a124
f(t) a125 F(x) a11a2a141a2a31 a82
a36 a64
F(b) F(a) = 12 lim
T!1
Z T
T
e ita e itb
it f(t)dt;
a142a106a143 a < b a58a2a19 F(x) a11 a66a2a67
a98
a24
x3 a144a2a145a2a146a2a147
a43 a103 a45a2a148
a99a2a100a2a149
a45a2a148a2a46a2a47a2a48a2a49 a15a51a150a2a151a14a152
a125a14a153
a33 a19a2a154a14a8a2a155a14a22a40a15a51a8a2a156a14a157 a54 a35
a36 a11a77a155a77a22a158a24
a82a77a83
a8a53a15a159a155a2a22a2a19a2a154a77a160a2a19 a45 a94
a99a2a100
a6a2a7a53a24a159a161 a36a2a162 a131a2a163a2a164a77a165a2a166 a94a168a167a108a169 a24
2
Ch5 3
a41a2a42 a43 a103
a99a2a100
a6a2a7a2a170 fF
ng
a15
a82a2a83
a60a2a61 a45 a94 a6a2a7 Fa15a51a171a2a172
lim
n!1
Fn(x) = F(x)
a43 F a11a77a173 a45 a94 a66a77a67
a98
a58a2a174
a73
a15a175a74a2a50 F
n(x) a176a77a99a77a100a77a177a77a178a180a179a182a181a2a177a2a178a184a183
a103 F(x)a15a130a185
a186 F
n
w ! Fa24
a187 a103
a181a2a177a2a178
a15a51a8 a36a2a37 a11a2a188a14a165a16a64
a189a2a190a2a191a2a41a2a192 a64
a193
a99a2a100
a6a2a7a14a170 F
n(x) a176a2a99a2a100a2a177a2a178
a103a14a194 a45
a99a14a100
a6a14a7 F(x)a15a195a74
a70a2a126
a11a14a38a14a39
a6a2a7a2a170 f
n(t) a177a2a178
a103 f(t)a15a51a81a2a61 t a11 a45 a94 a8a2a22a106a196a2a197a2a198a108a19 a45a14a65
a177a14a178
a11a40a24
a193 a38a2a39a2a6a2a7a2a170 f
n(t) a177a2a178
a103a2a194 a45 a6a2a7 f(t)a15a18a81 f(t) a61 t = 0
a199
a66a2a67 a15a18a74
a70a77a126
a11
a99a77a100
a6a2a7a2a170 F
n(x) a176a77a99a77a100a77a177a77a178
a103a2a194 a45
a99a2a100
a6a2a7 F(x)a15a200a81 f(t) a19 F(x)
a11a2a38a2a39a2a6a2a7a53a24
a43 a103 a46a2a47a2a48a2a49 a15a51a8
a55
a36a2a93a14a201
a177a2a178
a64
(1) a176a2a99a2a100a2a177a2a178
a50 a46a77a47a77a48a77a49 a170 X
n a176a77a99a77a100a77a177a77a178a77a125 X
a15
a82a77a83a77a70a77a126
a11
a99a2a100
a6a2a7 F
n(x) a176a77a99a77a100
a177a2a178a2a125 F(x)a24a51a185 a186 Xn L ! Xa24
(2) a176a2a202a2a203a2a177a2a178
a50 a46a2a47a2a48a2a49 a170 X
n a176a2a202a2a203a2a177a2a178a2a125 X
a15
a82a2a83
a43a2a44a2a54 a11 " > 0a15a51a58a2a8
lim
n!1
P(jXn Xj > ") = 0:
a185 a186 X
n
P ! Xa24
(3) a93a2a204 a199a2a199a2a177a2a178a205a179 a93a2a204a2a206a14a207 a177a14a178 a15 a202a14a203 1 a177a2a178a184a183
a50 a46a2a47a2a48a2a49 a170 X
n
a93a2a204
a199a2a199a2a177a2a178a2a125 Xa15 a82a2a83
P( lim
n!1
Xn = X) = 1:
a185 a186 X
n
a:s,! Xa24
(4) r a75a2a76a2a177a2a178
a50 a46a2a47a2a48a2a49 a170 X
n a177a2a178a2a125 X
a15
a82a2a83
lim
n!1
jjXn XjjLr = 0:
a185 a186 X
n
Lr ! Xa24
3
Ch5 4
a166 a93a2a201
a177a2a178
a11a2a208
a181
a187a2a209
a82
a36 a64
Xn a:s,! X =) Xn P ! X =) Xn L ! X;
Xn Lr ! X =) Xn P !,X
a176a2a99a2a100a2a177a2a178
a133a2a210
a104a106a105a108a176a2a202a14a203a2a177a14a178
a15a211a17a14a8 a36a2a37 a11a14a38a2a212a14a213a2a30a16a214
a43a2a44a2a54 a11 a95 a7 ca15a51a8
Xn L ! c =) Xn P ! c:
4
x2 a0a2a1a2a3a2a4
a5a2a6a2a7a2a8a2a9a2a10a2a11a2a12a14a13a16a15a18a17a14a19a14a20a14a8a14a9a14a21a2a22a14a23a16a24a26a25a14a27a14a5a14a6a2a7a14a11a14a28a14a29a14a30a14a31a16a15a18a32
a33a2a34a2a35a2a36a2a37 a11a2a38a2a39a2a6a2a7a40a24
a41a2a42 a43a2a44a2a45a2a46a2a47a2a48a2a49 a15a51a50
f(t) = E(eitX); 1 < t < 1
a52 X a11a2a38a2a39a2a6a2a7a53a24
a43a2a44a2a54 a11 a46a2a47a2a48a2a49 X
a55a2a56a2a57
a7 ta15a51a58a2a8
jf(t)j = jE(eitX)j 6 EjeitXj = 1:
a59 a44a2a54a2a46a2a47a2a48a2a49 a11a2a38a2a39a14a6a14a7 f(t) a58a2a60a2a61a53a15a51a19
a57
a48a2a62a14a63 a11a40a24
a38a2a39a2a6a2a7a2a8
a55
a36 a12a2a13a40a64
(1) f(0) = 1; jf(t)j 6 1; f( t) = f(t):
(2) f(t) a45a2a65a2a66a2a67 a24
(3) a68 X a69 Y a70a2a71a2a72a2a73
a15a51a74 f
X+Y (t) = fX(t) fY (t)
a24
(4) a68 X a8 k a75a77a76
a15a78a74 f
X(t)
a19 k
a75a77a79a77a80
a11a53a15a78a81 f(k)
X (t) = E(i
kXkeitX)a24
(5) a82a2a83 X a11a2a38a2a39a2a6a2a7 a52 fX(t)a15a51a74 a + bX a11a2a38a2a39a2a6a2a7 a52
fa+bX(t) = eitbfX(at):
(6) f(t) a19a2a84a2a85 a34 a11a40a15a87a86 a43a14a44a88a54 a11a14a89a88a90a14a7 n a56
a44a2a54 a11
a57
a7 t
1; ; tn a69
a62 a7
1; ; n
a15a51a91a2a8
nX
k=1
nX
j=1
f(tk tj) k j > 0:
a36a2a37a2a92a2a93a2a94a2a95a2a96 a6a2a7a2a11a2a38a14a39a2a6a14a7a40a24
(1) a97a2a98a2a99a2a100
a101a2a102 a34a2a35 a15
a97a2a98a2a99a2a100
a11a2a38a14a39a14a6a2a7 a52
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1
Ch5 2
a103 a19a53a15
a79a2a55a2a104a106a105a108a107a2a109a14a99a2a100 B(n; p) a11a2a38a2a39a2a6a2a7 a52
f(t) = (peit + q)n:
(2) Poisson a99a2a100
f(t) =
1X
k=0
eitk
k
k! e
=
1X
k=0
( eit)k
k! e
= e (eit 1):
(3) a89a2a110 a99a2a100
a111a2a112a2a113a2a114 a89a2a110
a99a2a100 N(0; 1) a11a2a38a2a39a2a6a2a7a53a24
f(t) = 1p2
Z 1
1
eitxe x22 dx
= 1p2
Z 1
1
e (x it)
2
x e
t2
2 dx
= e t22,
a103 a19a53a15 a43a2a45a2a115 a11a2a89a14a110
a99a14a100
a15 X N( ; )a15a117a116a108a118 a37 a11a2a12a2a13 6
a79a2a119 X a11a2a38
a39a2a6a2a7 a52
f(t) = ei t 12 2 2:
a38a2a39a2a6a2a7a2a120a2a121
a55
a50 a52 a38a2a39a14a6a14a7a40a15a18a19a123a122 a52a14a124
a99a2a100
a6a14a7 F(x)
a125a2a70a2a126
a11a2a38a2a39
a6a77a7 f(t) a11 a48a77a127 a19 a45a77a45a77a128a2a129 a24a130a20a2a131a2a19a2a132a40a15
a97
a94a2a133a106a134 a11
a99a2a100
a6a2a7 a43
a126
a11a2a38a2a39a2a6
a7a2a20a2a19 a133a106a134 a11a16a24 a103 a19a16a15a136a135 a34a14a137 f(t) a120a2a138a40a15
a99a2a100
a6a2a7 F(x) a20a2a139 a45a2a140 a34a2a137 a24 a124
f(t) a125 F(x) a11a2a141a2a31 a82
a36 a64
F(b) F(a) = 12 lim
T!1
Z T
T
e ita e itb
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a142a106a143 a < b a58a2a19 F(x) a11 a66a2a67
a98
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x3 a144a2a145a2a146a2a147
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a125a14a153
a33 a19a2a154a14a8a2a155a14a22a40a15a51a8a2a156a14a157 a54 a35
a36 a11a77a155a77a22a158a24
a82a77a83
a8a53a15a159a155a2a22a2a19a2a154a77a160a2a19 a45 a94
a99a2a100
a6a2a7a53a24a159a161 a36a2a162 a131a2a163a2a164a77a165a2a166 a94a168a167a108a169 a24
2
Ch5 3
a41a2a42 a43 a103
a99a2a100
a6a2a7a2a170 fF
ng
a15
a82a2a83
a60a2a61 a45 a94 a6a2a7 Fa15a51a171a2a172
lim
n!1
Fn(x) = F(x)
a43 F a11a77a173 a45 a94 a66a77a67
a98
a58a2a174
a73
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a186 F
n
w ! Fa24
a187 a103
a181a2a177a2a178
a15a51a8 a36a2a37 a11a2a188a14a165a16a64
a189a2a190a2a191a2a41a2a192 a64
a193
a99a2a100
a6a2a7a14a170 F
n(x) a176a2a99a2a100a2a177a2a178
a103a14a194 a45
a99a14a100
a6a14a7 F(x)a15a195a74
a70a2a126
a11a14a38a14a39
a6a2a7a2a170 f
n(t) a177a2a178
a103 f(t)a15a51a81a2a61 t a11 a45 a94 a8a2a22a106a196a2a197a2a198a108a19 a45a14a65
a177a14a178
a11a40a24
a193 a38a2a39a2a6a2a7a2a170 f
n(t) a177a2a178
a103a2a194 a45 a6a2a7 f(t)a15a18a81 f(t) a61 t = 0
a199
a66a2a67 a15a18a74
a70a77a126
a11
a99a77a100
a6a2a7a2a170 F
n(x) a176a77a99a77a100a77a177a77a178
a103a2a194 a45
a99a2a100
a6a2a7 F(x)a15a200a81 f(t) a19 F(x)
a11a2a38a2a39a2a6a2a7a53a24
a43 a103 a46a2a47a2a48a2a49 a15a51a8
a55
a36a2a93a14a201
a177a2a178
a64
(1) a176a2a99a2a100a2a177a2a178
a50 a46a77a47a77a48a77a49 a170 X
n a176a77a99a77a100a77a177a77a178a77a125 X
a15
a82a77a83a77a70a77a126
a11
a99a2a100
a6a2a7 F
n(x) a176a77a99a77a100
a177a2a178a2a125 F(x)a24a51a185 a186 Xn L ! Xa24
(2) a176a2a202a2a203a2a177a2a178
a50 a46a2a47a2a48a2a49 a170 X
n a176a2a202a2a203a2a177a2a178a2a125 X
a15
a82a2a83
a43a2a44a2a54 a11 " > 0a15a51a58a2a8
lim
n!1
P(jXn Xj > ") = 0:
a185 a186 X
n
P ! Xa24
(3) a93a2a204 a199a2a199a2a177a2a178a205a179 a93a2a204a2a206a14a207 a177a14a178 a15 a202a14a203 1 a177a2a178a184a183
a50 a46a2a47a2a48a2a49 a170 X
n
a93a2a204
a199a2a199a2a177a2a178a2a125 Xa15 a82a2a83
P( lim
n!1
Xn = X) = 1:
a185 a186 X
n
a:s,! Xa24
(4) r a75a2a76a2a177a2a178
a50 a46a2a47a2a48a2a49 a170 X
n a177a2a178a2a125 X
a15
a82a2a83
lim
n!1
jjXn XjjLr = 0:
a185 a186 X
n
Lr ! Xa24
3
Ch5 4
a166 a93a2a201
a177a2a178
a11a2a208
a181
a187a2a209
a82
a36 a64
Xn a:s,! X =) Xn P ! X =) Xn L ! X;
Xn Lr ! X =) Xn P !,X
a176a2a99a2a100a2a177a2a178
a133a2a210
a104a106a105a108a176a2a202a14a203a2a177a14a178
a15a211a17a14a8 a36a2a37 a11a14a38a2a212a14a213a2a30a16a214
a43a2a44a2a54 a11 a95 a7 ca15a51a8
Xn L ! c =) Xn P ! c:
4
