Ch5 1
x5 a0a2a1a4a3a4a5a4a6a4a7
a8a4a9a4a10a4a11a4a12a4a13a15a14a17a16a4a18a4a19a4a20a22a21a24a23a4a25a27a26a4a28a27a29a4a30a27a31a4a32a27a33a4a34a27a35a4a26a27a28a4a29a27a30a36a14a38a37a4a39a27a40
a41a4a35a22a42a2a43a4a26a4a28a4a29a4a30a36a44
a6a4a7 (Lindeberg Levy)
a45 X1; X2; ; Xn; a39a4a46a4a47a22a48a2a25a4a49a4a35a27a50a27a51
a52a4a53a4a54 a14 EX
1 =
a14 VarX
1 = 2 > 0
a14 S
n = X1 + + Xn
a14a56a55a4a57a4a58a4a59a4a35 x
a60
a61
lim
n!1
P Sn n pn 2 6 x = (x):
a62 a42a63a14 (x) a39a65a64a65a66a65a67a65a68a4a25a27a49a4a35a27a25a4a49a27a12a4a13a36a69a38a70a4a37a4a39a27a71a36a14 Sn n p
n 2
a72 a25a65a49a65a73a65a74a4a20
a64a4a66a4a67a4a68a4a25a4a49a15a69
a75 a76
Zn = Sn n pn 2 ;
a55a4a77a4a78a4a79a4a37a4a39a4a80a27a81a83a82 Z
n
a72 a25a4a49a4a73a4a74a4a20a27a67a27a68a27a25a27a49a84a14a85a70a27a37a27a39a27a80a86a81a87a82 Z
n
a35
a10a4a11a4a12a4a13a4a73a4a74a4a20a4a64a4a66a4a67a27a68a27a25a4a49a27a35a4a10a27a11a27a12a4a13a36a69
a88
Y = X1 ;
a76a4a89a4a35a4a10a4a11a4a12a4a13a4a32 f(t)a69a91a90 X
1; ; Xn
a46a4a47a22a48a2a25a4a49a4a92 Z
n
a35a4a10a4a11a4a12a4a13a4a32
fn(t) = f tpn n:
a90a2a93 EX
1 =
a14 VarX
1 = 2
a14a38a94 EY = 0a14 VarY = 1a69a38a93a4a39a4a37 a61
f0(0) = iEY = 0; f"(0) = i2EY 2 = 1:
a90 Taylor
a95a4a96
f(t) = 1 t
2
2 + o(t
2);
a93a4a39a4a37 a61
lnfn(t) = nln 1 t
2
2n + o
t2
n
! t
2
2 (n !1);
1
Ch5 2
a97
fn(t) ! e t
2
2,
a42a98a43a86a26a86a28a86a29a86a30a83a42a98a46a86a47a83a48a99a25a100a49a86a35a100a101a100a102a86a39a100a103a100a104a100a35a86a80a100a105a106a14a24a40a100a41a100a107a109a108a98a110a100a33a100a111a100a29
a30a15a69
a6a4a7 (Lindeberg Feller)
a45 X1; X2; a39a4a112a4a113a4a46a4a47a4a35a4a50a4a51 a52a4a53 a14a56a76
ak = EXk; b2k = VarXk; B2n =
nX
k=1
b2k;
a114a4a115 Lindeberg a101a4a102a4a116a4a47a15a14 a97 a57a4a58a27a59a27a35 " > 0a14
a60
a61
lim
n!1
1
B2n
nX
k=1
Z
jx akj>"Bn
(x ak)2dFk(x) = 0;
a55a4a57a4a58a4a59a4a35 xa14 a61
lim
n!1
P 1B
n
nX
k=1
(Xk ak) 6 x = (x):
a117 X
n
a32a4a112a4a113a4a46a4a47a4a35a4a50a27a51 a52a86a53a27a54 a35a27a118a27a119a27a40a84a14 Lindeberg a101a4a102a4a120a4a121a4a121a4a39a22a42
a43a4a26a4a28a4a29a4a30a4a116a4a47a27a35a4a122a27a25a27a101a27a102a84a14a123a70a27a124a27a120a27a125a27a39a27a126a27a80a4a101a27a102a84a69a128a127a27a129a27a35a4a71a84a14a128a80a27a130a27a131a27a40a4a41
a132a4a111a4a101a4a102a36a44
limn!1Bn = 1; limn! bnB
n
= 0:
x6 a133a4a134
a6a4a135a4a136a4a137
a133a4a134
a6a4a135
a138 a107a22a108a2a139a4a140a4a13a4a29a4a141a15a69
a6a65a7 (Chebyshev)
a45 fXn; n > 1ga39a65a112a65a113a65a46a65a47a27a35a4a50a4a51 a52a4a53a27a54 a14a17a142a4a57a27a33a4a129
k a61 VarXk 6 Ca14a38a55a4a57a4a58a4a59a4a35 " > 0a14 a60
a61
P jSn ESnn j > " ! 0 (n !1):
a62 a42a63a14 S
n =
nX
k=1
Xka69
2
Ch5 3
a75 a90 Chebyshev a120a4a143
a96
P jSnn ESnn > " 6 1"2 Var Snn
= 1n2"2
nX
k=1
VarXk
6 1n"2,
a144a4a145 a16a4a92a4a78a4a79a4a116a4a47a15a69
a146a4a147 a39a4a104a4a140a4a13a4a29a4a141a15a69
a6a4a7 (Kolmogorov)
a45 Xn; n > 1 a39a4a112a4a113a4a46a4a47a4a35a4a50a4a51 a52a4a53a27a54 a14a56a148a27a149
1X
k=1
VarXn
n2 < 1;
a55
P limn! 1n
nX
k=1
(Xk EXk) = 0 = 1:
a150 a139a4a140a4a13a4a29a4a141a4a112a22a21a63a14a56a104a27a140a4a13a27a29a4a141a27a107a87a108a2a35a27a151a4a152a27a31a27a104a36a14a56a89a4a71a87a82a24a153 Sn ESn
n
a154a4a155
a156a4a156a4a73a4a74a4a93 0a14 a145 a139a4a140a4a13a4a29a4a141a4a71a4a35a4a39 a72a4a157a27a158 a73a4a74a27a20 0a69
a57a4a93a4a46a4a47a22a48a2a25a4a49a4a35a4a50a4a51 a52a27a53a4a54 a14 a61 a33a27a111a27a31a4a159a27a35a27a151 a115 a44
a45 fXn; n > 1ga39a4a46a4a47a22a48a2a25a4a49a4a35a4a50a4a51 a52a4a53a27a54 a14a56a55
P limn! 1n
nX
k=1
Xk = a = 1 () EX1
a160
a117a4a161 a143a4a93 a:
a140a65a13a65a29a65a141a65a35a65a59a65a162a4a71a22a82a2a153a4a163 a158a65a164a4a165 a28a4a166a4a167 a157a4a158 a14a168a57a4a93a4a169a4a13a4a170a4a171a4a107a22a108a2a153a4a30a4a152
a131a4a35a4a172a4a173a15a14a38a70a4a71a22a82 Monte Carlo
a174a4a175
a39a4a16a4a176a4a35a15a69
a140a86a13a86a29a86a141a86a35a86a151 a115 Sn
n ! EX
a71a83a82a98a153 S
n
a140a86a177a86a131a86a39a86a178a86a179a86a180a86a181a84a69 a145 a57a100a93
EX = 0 a35a4a182a4a183a15a14 a61 ES2n = nEX2 = n 2a14a91a90a4a42a2a43a4a26a4a28a4a29a4a30a4a92
Snp
n N(0;
2); Sn pn:
a117 Bernoulli
a184a4a185
a42 p = q = 1=2
a186
a14 a61 EX = 0a14 1922
a187 Khinchine
a81a22a82a2a153a4a40a4a41a4a35a4a151a4a152a36a44
lim sup
n!1
Snq
1
2nlnlnn
= 1; lim inf
n!1
Snq
1
2nlnlnn
= 1:
3
x5 a0a2a1a4a3a4a5a4a6a4a7
a8a4a9a4a10a4a11a4a12a4a13a15a14a17a16a4a18a4a19a4a20a22a21a24a23a4a25a27a26a4a28a27a29a4a30a27a31a4a32a27a33a4a34a27a35a4a26a27a28a4a29a27a30a36a14a38a37a4a39a27a40
a41a4a35a22a42a2a43a4a26a4a28a4a29a4a30a36a44
a6a4a7 (Lindeberg Levy)
a45 X1; X2; ; Xn; a39a4a46a4a47a22a48a2a25a4a49a4a35a27a50a27a51
a52a4a53a4a54 a14 EX
1 =
a14 VarX
1 = 2 > 0
a14 S
n = X1 + + Xn
a14a56a55a4a57a4a58a4a59a4a35 x
a60
a61
lim
n!1
P Sn n pn 2 6 x = (x):
a62 a42a63a14 (x) a39a65a64a65a66a65a67a65a68a4a25a27a49a4a35a27a25a4a49a27a12a4a13a36a69a38a70a4a37a4a39a27a71a36a14 Sn n p
n 2
a72 a25a65a49a65a73a65a74a4a20
a64a4a66a4a67a4a68a4a25a4a49a15a69
a75 a76
Zn = Sn n pn 2 ;
a55a4a77a4a78a4a79a4a37a4a39a4a80a27a81a83a82 Z
n
a72 a25a4a49a4a73a4a74a4a20a27a67a27a68a27a25a27a49a84a14a85a70a27a37a27a39a27a80a86a81a87a82 Z
n
a35
a10a4a11a4a12a4a13a4a73a4a74a4a20a4a64a4a66a4a67a27a68a27a25a4a49a27a35a4a10a27a11a27a12a4a13a36a69
a88
Y = X1 ;
a76a4a89a4a35a4a10a4a11a4a12a4a13a4a32 f(t)a69a91a90 X
1; ; Xn
a46a4a47a22a48a2a25a4a49a4a92 Z
n
a35a4a10a4a11a4a12a4a13a4a32
fn(t) = f tpn n:
a90a2a93 EX
1 =
a14 VarX
1 = 2
a14a38a94 EY = 0a14 VarY = 1a69a38a93a4a39a4a37 a61
f0(0) = iEY = 0; f"(0) = i2EY 2 = 1:
a90 Taylor
a95a4a96
f(t) = 1 t
2
2 + o(t
2);
a93a4a39a4a37 a61
lnfn(t) = nln 1 t
2
2n + o
t2
n
! t
2
2 (n !1);
1
Ch5 2
a97
fn(t) ! e t
2
2,
a42a98a43a86a26a86a28a86a29a86a30a83a42a98a46a86a47a83a48a99a25a100a49a86a35a100a101a100a102a86a39a100a103a100a104a100a35a86a80a100a105a106a14a24a40a100a41a100a107a109a108a98a110a100a33a100a111a100a29
a30a15a69
a6a4a7 (Lindeberg Feller)
a45 X1; X2; a39a4a112a4a113a4a46a4a47a4a35a4a50a4a51 a52a4a53 a14a56a76
ak = EXk; b2k = VarXk; B2n =
nX
k=1
b2k;
a114a4a115 Lindeberg a101a4a102a4a116a4a47a15a14 a97 a57a4a58a27a59a27a35 " > 0a14
a60
a61
lim
n!1
1
B2n
nX
k=1
Z
jx akj>"Bn
(x ak)2dFk(x) = 0;
a55a4a57a4a58a4a59a4a35 xa14 a61
lim
n!1
P 1B
n
nX
k=1
(Xk ak) 6 x = (x):
a117 X
n
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a43a4a26a4a28a4a29a4a30a4a116a4a47a27a35a4a122a27a25a27a101a27a102a84a14a123a70a27a124a27a120a27a125a27a39a27a126a27a80a4a101a27a102a84a69a128a127a27a129a27a35a4a71a84a14a128a80a27a130a27a131a27a40a4a41
a132a4a111a4a101a4a102a36a44
limn!1Bn = 1; limn! bnB
n
= 0:
x6 a133a4a134
a6a4a135a4a136a4a137
a133a4a134
a6a4a135
a138 a107a22a108a2a139a4a140a4a13a4a29a4a141a15a69
a6a65a7 (Chebyshev)
a45 fXn; n > 1ga39a65a112a65a113a65a46a65a47a27a35a4a50a4a51 a52a4a53a27a54 a14a17a142a4a57a27a33a4a129
k a61 VarXk 6 Ca14a38a55a4a57a4a58a4a59a4a35 " > 0a14 a60
a61
P jSn ESnn j > " ! 0 (n !1):
a62 a42a63a14 S
n =
nX
k=1
Xka69
2
Ch5 3
a75 a90 Chebyshev a120a4a143
a96
P jSnn ESnn > " 6 1"2 Var Snn
= 1n2"2
nX
k=1
VarXk
6 1n"2,
a144a4a145 a16a4a92a4a78a4a79a4a116a4a47a15a69
a146a4a147 a39a4a104a4a140a4a13a4a29a4a141a15a69
a6a4a7 (Kolmogorov)
a45 Xn; n > 1 a39a4a112a4a113a4a46a4a47a4a35a4a50a4a51 a52a4a53a27a54 a14a56a148a27a149
1X
k=1
VarXn
n2 < 1;
a55
P limn! 1n
nX
k=1
(Xk EXk) = 0 = 1:
a150 a139a4a140a4a13a4a29a4a141a4a112a22a21a63a14a56a104a27a140a4a13a27a29a4a141a27a107a87a108a2a35a27a151a4a152a27a31a27a104a36a14a56a89a4a71a87a82a24a153 Sn ESn
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P limn! 1n
nX
k=1
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a160
a117a4a161 a143a4a93 a:
a140a65a13a65a29a65a141a65a35a65a59a65a162a4a71a22a82a2a153a4a163 a158a65a164a4a165 a28a4a166a4a167 a157a4a158 a14a168a57a4a93a4a169a4a13a4a170a4a171a4a107a22a108a2a153a4a30a4a152
a131a4a35a4a172a4a173a15a14a38a70a4a71a22a82 Monte Carlo
a174a4a175
a39a4a16a4a176a4a35a15a69
a140a86a13a86a29a86a141a86a35a86a151 a115 Sn
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a71a83a82a98a153 S
n
a140a86a177a86a131a86a39a86a178a86a179a86a180a86a181a84a69 a145 a57a100a93
EX = 0 a35a4a182a4a183a15a14 a61 ES2n = nEX2 = n 2a14a91a90a4a42a2a43a4a26a4a28a4a29a4a30a4a92
Snp
n N(0;
2); Sn pn:
a117 Bernoulli
a184a4a185
a42 p = q = 1=2
a186
a14 a61 EX = 0a14 1922
a187 Khinchine
a81a22a82a2a153a4a40a4a41a4a35a4a151a4a152a36a44
lim sup
n!1
Snq
1
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