复旦大学经济学院 1
第 十 章经济增长理论复旦大学经济学院 2
一、新古典增长理论（简介）
新古典增长 （ 资本劳动替代性 ）,假定储蓄率给定 。
拉姆齐－卡斯－库普曼斯增长模型，家庭最优化行为、内生储蓄。
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1．生产函数
(,)Y F K L?
………………..,…………………1 - 1
满足：
1,
边际收益递减
2,
一次齐次
(,) ( /,1 ) ( )Y F K L L F K L L f k
……………………………1 - 2
/ ( )y Y L f k
…………………………………………………….1 - 3
/ '( )Y K f k
,
/ ( ) '( )Y L f k kf k
3,I nada
条件
( 0,) (,0 )KLF L F K
，
(,) (,) 0KLF L F K
'( 0 )f
，
'( ) 0f
……………………………………1 - 4
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2．资本积累条件
.
(,)K I K sF K L K
………….1 - 5
或者写为人均的形式
.
/ ( )K L sf k k
……………………….,,1 - 6
我们有：
..
( / ) / ( ) ( )k d K L K L n k sf k n k
….… ………..1 - 7
复旦大学经济学院 5
() nk
()fk
()s f k
*
k
c
G r os s
I nv es t m en t
图
1
－
1 Sol o w - S w a n
模型复旦大学经济学院 6
3．稳态在稳态中，
.
0k?
这是由于在稳态中有
.
/ ( ) ( )k k s f k k n常数 ／
，因此有
.
[ ( ) ] / 0 { [ ( ) ' ( ) ] / } ( / ) 0d f k k d t f k k f k k k k／
必然有
.
0k?
，因此
.
**
0 ( ) ( )k s f k n k
…………………1 - 8
复旦大学经济学院 7
4．资本积累的黄金律与动态无效从
( ) ( )s f k n k
，可以将消费
C
写为
* * *
( ) [ ( ) ] ( ) ( )c s f k s n k s
，
使消费最大化的储蓄率为黄金律，因此
*
' [ ( ) ] ( )g o l df k s n
图
1,2
资本积累的黄金律
s
g o l ds
g o l dc
*
c
复旦大学经济学院 8
图
1
－
3
表示了当储蓄率（
2s
）大于和小于（
1s
）黄金率（
g o l ds
）的情况，以及大于黄金率的储蓄率下降后，增加均衡时的消费，以及过度路径上的消费，资本逐渐减少。
当
g o l dss?
，称经济动态无效（
Dyn a mic E f f icie n c y
，
DE
），因为人均消费一直低于 可以达到的路径。
g o l dc
*
2k
k
go ldk
*
1k
c
*
2c
() nk
()golds f k
2 ()s f k
1 ()s f k
储蓄率下降，
消费的增加图
1
－
3
黄金率与动态无效斜 率 为
n
DI
()fk
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5．过渡动态资本增长率为：
( ) / ( )k s f k k n
……………………………… 1 - 9
0
l i m [ ( ) / ]
k
s f k k
，
l i m [ ( ) / ] 0
k
s f k k
，且 ( ) /s f k k 单调，因此与 n 曲线有唯一的交点。 图
1
－
4
反映了资本增长速度与稳态点的距离成正比。一个较大的储蓄带来更多的资本积累。
或者由
..
( ) ( ) ( ) / '( ) ( )k s f k n k d k d k s f k n 来进行判 别（袁志刚和宋铮，
2001
）
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6．相对收敛、绝对收敛定义，对稳态的依赖（不同的储蓄率）。由
1
－
8
得
**
( ) / ( )s n k f k
………………………….1 - 10
将
1
－
10
代入到
1
－
9
得：
**
( ) /
( ) [ 1]
( ) /
k
f k k
n
f k k
……………………1 - 11
因此依赖于目前的资本平均产品与稳态中的情况，当
*
kk?
，
0k
图
1
－
4
，
条件收敛（不同的稳态，来自于不同的储蓄率）
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二、拉姆齐模型与最优经济增长新古典经济增长模型的一个缺点就是储蓄是外生的 。 在这一部分我们考虑消费和储蓄是由家庭最优化行为决定的 。 我们考虑一个无限期的家庭,在跨期预算约束下,选择消费和储蓄以最大化他以及后代的效用函数 。 这归功于
Ramsey (1928),Cass （ 1965 ） 和 Koopmas
（ 1965） 。 拉姆齐模型的最优条件消除了索罗
－斯旺模型中的无效的过度储蓄问题 。
注：本讲义参考了 Blanchard和 Fischer（ 1989）,Barro和 Sala-I-Martin
（ 1995）,Zilibotti的讲义复旦大学经济学院 12
1．效用函数拉姆齐问题解决的是一个国家应该储蓄多少，即资源的跨期最佳分配。
1,
假定劳动力
tL
增长率为 n,初始数正规化为
1
，因而有：
nt
tLe?
……………,…2 - 1
2,
假定
tC
是
t
期的总消费，因此人均消费为 c ( t ) C ( t ) / L ( t )? 。
家庭效用函数为：
( n ) t
0t
0
U u ( c ) e dt
………………………….………….2 - 2
(
其中
为主观贴现率，
u '( 0 )
，
u '( ) 0
。并根据横截条件假定 n,以保证当
c
为常数时,0U 是有界的。因此每一代的权重决定于 人口数和贴现率。
)
3,
假定存在两种资产，资本和债权，在没有风险、资本市场完全竞争情况下收益率都为
tr
。
同时存在竞争的劳动力市场，工资为
tw
。假定总资产为
tA
，平均净资产为
t t ta A / L?
，
资产收益为
ttra
。因此家庭的预算约束为：
.
t t t t ta w r a c na
…………,2 - 3
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2．非蓬齐对策条件（意义）
t
v
0
( r n ) d v
t
t
[ a e ] 0
l im
………………………,2 - 4
这意味着，在长期，一个家庭的平均债务的增长速度不能大于 trn?,因此总债务的增长速度不能超过 tr 。我们定义
t
tv
0
1
r r dv
t
,因此 2 － 4 又可被写为
tt ( r n )
t
[ a ( t ) e ] 0
l i m
……………………… 2 - 4 ’
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3．汉密尔顿函数与一阶条件家庭的最优化行为可以看作是，在跨期预算约束条件下最大化 0U 。这个问题可以用动态最优化的方法来解决，先写成现值汉米尔顿函数形式：
( n )
H u ( x ) e [ w ( r n ) a c ]
…………,,……………,.2 - 5
其中
是资产的影子价格。一阶条件为：
( n ) t
H
0 u '( c ) e
c
………………………………………,2 - 6
..
H
( r n )
a
………………………………………,,2 - 7
tt
t
l i m [ a ] 0
…………………………………………………………… 2 - 8
其中
2
－
7
是欧拉方程，或拉姆齐－凯恩斯最优储蓄规则。
2
－
8
是横截条件复旦大学经济学院 15
现在我们来求出最优的消费变化。
2
－
6
两边对时间求导得,
..
( n ) ( n ) t
u ''( c ) c e ( n ) u '( c ) e
…………………….,2 - 9
由
2
－
6
，知
( n ) t
e / u '( c )
，代入到
2
－
9
并将
2
－
7
代入
2
－
9
，得：
.
u ''( c ) c c
r [ ] ( )
u '( c ) c
……………………………,………………,2 - 10
其中
u ''( c ) c
u '( c )
为边际效用弹性的值。
复旦大学经济学院 16
一个相关的概念是跨期替代弹性：
s t s t
1
s t s t
c / c d [ u '( c ) / u '( c )]
[]
u '( c ) / u '( c ) d ( c / c )
……………………,2 - 11
跨期替代弹性是
stc / c
比例变动造成无差异曲线斜率的相对变动比例的倒数。当
st?
时，
u '( c )
c u ''( c )
，因此边际效用弹性是跨期替代弹性的负倒数。
跨期替代弹性实际上反映了跨期消费安排对边际效用 变化的反应，因为简单的跨期消费问题中存在
t
t1
u '( c ) 1 r
u '( c ) 1?
，
是贴现率，
r
取决于资本存量，即这一期储蓄的影响。
当考虑不变跨期替代弹性的效用函数，这可以写为
1
t1
t
c ( 1 r )
[]
c ( 1 )
，
1/
。因此跨期替代弹性越大，对利率的反应也越大。
复旦大学经济学院 17
考虑一个不变跨期替代弹性的效用函数（
C I ES
）
1
c1
u ( c )
1
，
(
0
)；
………………………………,………2 - 13
u ( c ) l og c?,
(
1
)
显然
是边际效用弹性值，因此跨期替代弹性
1/
。式
2
－
12
变 为
.
cr
c
………………………………………………………2 - 14
复旦大学经济学院 18
对
2
－
7
积分得：
tt ( r n )
( t ) ( 0 ) e
,( 0 ) 0
… … … … … … … … … … … … …..2 - 15
因 此
2
－
8
变为
tt ( r n )
t
t
l i m [ a e ] 0
… … … … … … … … … … … … … … … … … … …2 - 16
即无限期生命在最后的终端，资产的现值不为正。或者用有限期生命来说，在死后留下任何正的资产都是非理性的。 当
ta0?
（负债），一个无限期的家庭希望通过不停的借债但不偿还，来违反
2
－
16
，因此
2
－
4
就是为了确保这 种链式融资的不发生。 在均衡状态，
根据横截条件
2
－
16
，一个家庭不愿持有超过或等于 trn? 的资产增长，否 则横截条件就违反了，也就是说没有人愿意接受增长速度超过
trn?
的债权，也就意味着没有人可以发行增长速度超过
trn?
的债务。 因此
2
－
4
是信贷市场均衡的结果。
复旦大学经济学院 19
4．消费由
.
( r n ) t ( r n ) t ( r n ) t
d [ ae ] / d t a e a ( r n ) e
,将
.
t t t ta ( r n ) a w c 两边同乘
( r n ) t
e
得：
T T T
( r t n ) t ( r t n ) t ( r t n ) t
t t t
0 0 0
( d [ a e ] / dt ) dt w e dt c e dt
，也即：
TT
( r t n ) T ( r t n ) t ( r t n ) t
T t t
00
a e c e dt w e dt a ( 0 )
… … … … … … …,.,2 - 17
当
T
,由
2
－
16
,可得
~
( rt n ) t ( rt n ) t
tt
00
c e d t w e d t a ( 0 ) w ( 0 ) a ( 0 ) W
… … … … … ….2 - 18
由
2
－
1 4
可得
t( 1 / ) [ r ] t
t0c c e
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …2 - 19
将
2
－
19
代入到
2
－
18
得；
[ r t ( 1 ) / / n ] t
0
c ( 0 ) W / ( e d t )
… … … … … … … … … … … … … … … ….2 - 20
复旦大学经济学院 20
5．厂商设 生产函数 为,
^
t t t t t tY F( K,A L ) F( K,L ) ( 其中
t
A ( t ) e
,
^
t t tL A L? ) … … … … … … … 2 - 2 1
写成人均的形式为,
^ ^ ^ ^
t t t t tY L y L f ( k ) ( 其中
^
t t t tf ( k ) F( K / A L,1 )? ) … … … … … … … … … … … 2 - 2 2
具有下列关系 ( 固定
L
，
Y
对
K
求导；固定
K
，
Y
对
L
求导 ),
^
t
t
Y
f '( k )
K
,
^ ^ ^
t
t
t t t
t
Y
[ f ( k ) k f '( k ) ] e
L
… … … … … … … … … 2 - 2 3
并满足 Inada 条件,
f ( 0) 0?,f '( 0),f '( ) 0,
复旦大学经济学院 21
厂 商 的 利润函数为,
^ ^ ^
t
t t t t t t tL [ F( K,L ) R k w e ]
… … … … … … … … … 2 - 2 4
其中
tR
是厂商向居民租赁资本的租金，
ttRr
。 给定
^
tL,由 利润最大化 的 一 阶 条件得到,
^
ttf '( k ) r
… … … … … … … … … … … … … … … … … … 2 - 2 5
为了维持零利润，将 2 － 25 代入 2 － 24,有
^ ^ ^
t
t t t t[ f ( k ) k f '( k )] e w
… … … … … … … … … … … … 2 - 2 6
复旦大学经济学院 22
6．均衡
1,定义
^
t
c c e
,因此
^.
^ ^,
t
t t t t
f ' ( k )
( c ) /( c ) c / c
………………………………..2 - 27
2,在均衡中，代表性家庭没有净债务，人均平均资产等于平均资本，因此 ttak? 。
跨期预算约束可以写为
.
t t t t tk w r k c n k……………………………………………2 - 28
因为
^
t
ttk k e
,所 以
.
^ ^ ^
t
t t t tk w e ( r n ) k c
…………………………………2 - 29
将 2 － 25 和 2 － 26 代入 2 － 29,得
.
^ ^ ^ ^
t t t tk f ( k ) ( n ) k c…………………………………2 - 30
复旦大学经济学院 23
3,
利用
^
t
tk k e
,
^
ttf '( k ) r,以及
2
－
16
，
TV C
条件变为
^
t
v
0
^
( f '( k ) n ) dv
t
l i m [ k e ] 0
… … … … … … … … … … … … ….2 - 31
2
－
27
和
2
－
30
构成在
^^
t( c,k )
上的动态系统。
4,
在稳态中，有
.
^^
tt( c ) /( c ) 0?,
.
^^
tt( k ) /( k ) 0?,因此
^
tf '( k )
… … … … … … … … … … … … … … … … … ….2 - 32
^ ^ ^
t t tc f ( k ) ( n ) k
… … … … … … … … … … … … … … …2 - 33
复旦大学经济学院 24
^
0'c
^
0c
^
0''c
^
0k
^
*
k
^
gold
k
^
**
k
.
^
0k?
.
^
0c?
^
c
^
k
图
1
－
2
拉姆齐模型中的相位图
DD
B
复旦大学经济学院 25
稳态中的消费、投资人均增长率等于? 。
2
－
32
，
2
－
33
刻画的稳态需要满足
TV C
，因此
2
－
31
中，
^
**
r f '( k ) n,即稳态中的资本回报率大于增长率。从
2
－
32
可知
n ( 1 )
…………………………………………,2 - 34
由
3
－
33
可知消费在
^
tf '( k ) n
………………………………………2 - 35
时 达到最大。
3
－
35
被称为修正的黄金律。
3
－
34
保证了
^^
* g o l d
kk?
，即稳态的资本小于黄金律水平，避免了资本积累过多。原因过多积累不是最优，因为减少可以多消费；同时小于黄金律是因为有效主观贴现
，消费者又不希望牺牲当前的消费。（分析
，
降低的影响）。
复旦大学经济学院 26
分析,
^
g o l d
k （储蓄不足，违反欧拉方程，从
2
－
32
可以看出路径变化），
^
**
k （均衡路径），
^
0c ''
（储蓄过多，违反
TV C
）
详细说明,
1,
考虑低于
DD
的路径，例如初始位置在
^
0c '',那么
k
会超过黄金律资本存量
,
此后真实 利 率 低 于
n
,从 而
tr t ( n ) t
ee
上 升,所 以
tr t ( n ) t
te e k
发 散,因 此
tr t ( n ) t
t
t
l i m e e k
,因此违反了横截条件。 或者根据
B lanchar d
和
Fische r
（
1989
）
第二章附录
2
。［注意
Blanchard
和
Fischer
（
1989
）是利用当前值汉密尔顿函数来表示的，对横截条件的说明经过简单的代换和现值是 一样的］
复旦大学经济学院 27
2,
当高于 DD 的路径，在这条路径上资本以递增的速度减少。
对
2
－
30
，
.
^ ^ ^ ^
t t t tk f ( k ) ( n ) k c 进行全微分得：
^,.
2
^ ^ ^
t
t t t
2
dk
[ f '( k ) ( n )] k c 0
dt
，当
^
tf '( k ) ( n )
和
.
^
tc0?
，
因此
^
tk 会在有限的时间变为
0
（
B
点），因为在
B
点，
^
tk 为零，经济必须移到原点，
因此
^
tc 由一个正值变为零，这种跳跃违背了（
2
－
12
）
.
^
^
c
( r )
c
,因为当
^
tk0?,
r
，（
2
－
12
）左式为负，右边为无穷大，因此违反 了欧拉方程的条件（
2
－
12
）。
复旦大学经济学院 28
7．鞍点路径的形状高?,跨期替代率低，更愿意进行消费平滑，趋于稳态的速度慢。
低?,跨期替代率高，
作为对当前高收益的反应，更愿意进行储蓄，减少消费，趋于稳态的速度快。
^
k
^
*
lowk?
^
*
k hig h?
lo w?
high?
图
2
－
2
对鞍点路径的影响复旦大学经济学院 29
8．储蓄对于
C
－
D
生产函数
^
^
f ( k ) A k
,均衡的储蓄率为
*
s ( n ) / ( x )
……………………………….,2 - 36
（ 证明,详细见
Barr o
＆
Sal a - I - Ma r tin 1 9 9 5
，
P8 9,Append ixB
）
两种效应,替代效应,消费平滑使得储蓄率在收入较低时较低,但是较大的跨期替代弹性,更有助于储蓄。收入效应,有助于储蓄,因为当收入增加时，当前收入与持久性收入的差距变小，意味着平滑消费的意愿更小，储蓄率 上升）
当
*
1 / s
，固定储蓄率，如
So low
－
S wa n
模型当
*
1 / s
，跨期弹性较高，因此储蓄率一直在
*
s
之上，并趋近，由于资本增加导致利率下降，因为跨期弹性大所以使得储蓄下降，其影响大于收入上升的影响。
当
*
1 / s
，跨期弹性较低，因此储蓄率一直在
*
s
之下，并趋近（收入上升 因素主导作用）。
复旦大学经济学院 30
9．资本存量和产出的路径由
2
－
27
和资本增加导致利率下降，
.
^^
tt( c ) /( c ) 单调下降。
类似，
.
^^
tt( k ) /( k ) 也单调下降。 因此储蓄率在过渡路径上的的增加，并不能消除趋同性。
通过线性化可知：
..
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
t t t t t t t( y ) /( y ) [ k f '( k ) / f ( k ) ],[ ( k ) /( k ) ]?
即资本的增长按照占生产中的份额对生产构成影响。
复旦大学经济学院 31
10.另一种机制（社会计划者解）
效用函数可写为
^^
( n ) t t t [ n ( 1 )] t
0 t t
00
U u ( c ) e d t u ( c ) e d t
，实际主观贴现率为 。 资本积累为
.
^ ^ ^ ^
t t t tk f ( k ) ( n ) k c 。 因此社会计划者问题为：
0m a x U
s,j,
.
^ ^ ^ ^
t t t tk f ( k ) ( n ) k c
这个节是与市场解相同的。原因，竞争性市场，没有外部性。我们会在下一讲，
Rom e r
（
1986
）和
L uca s
（
1988
）看到社会计划者解和竞争性解的区别，因为存在外部性。
复旦大学经济学院 32
11．收敛（ convergence）和收敛的速度考 虑 生 产 函 数 为 F A k
,0k 给定。 效 用 函 数 为
1
c
U
1
，资本积累为
.
t t t tk A k ( n ) k c
现值汉密尔顿函数为
1
t
( n ) t
t t t
c
H e [ A k ( n ) k c ]
1
… … … … … … … … ….,2 - 37
最优化的必要条件是
- ( n ) t
H c 0 c e
… … … … … … … … … … … … … … … … … … 2 - 38
.
1
ktH [ A k ( n )]
… … … … … … … … … … … … … ….,2 - 39
TVC
tt
t
l i m [ k ] 0
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ….,2 - 40
复旦大学经济学院 33
将
2
－
38
微分，并用
.
1
t[ A k ( n ) ]
代入得到
.
1
tc ( A k )
c
… … … … … … … … … … … … … … … …,.2 - 41
在稳态
.
c
0
c
，
.
k
0
k
。由
2
－
41
，稳态中
1
tA k 0
，因此
1
*
1
A
k ( )
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …,2 - 4 2
*
.
**
k
0 c A ( k ) ( n ) k
k
… … … … … … … … … … … … 2 - 4 3
同时如果满足横截条件，因此从
2
－
31
，令
0
，有
* 1
tA ( k ) ( n )
，因此由
* 1
tA ( k )
必须有
n
。（和
2
－
34
比较，就可以知道技术进步下
TV C
条件的变化）
复旦大学经济学院 34
分析稳态附近的均衡，简化分析
( B lanc h a r d
和
F is c h e r
（
1 9 8 9
）第二章附录
B
也作了类似的分析，这部分的处理来自
Z il ib o t ti
的习题
)
假定 n0?,0 。那么在稳态有
.
t t tk Ak c
；
1
*
1
A
k ( )
… … … … … … … … … … … … … … … …,2 - 44
1
.
t( A k ) c
c
；
*
1
A
c A ( )
… … … … … … … … … … … …,2 - 4 5
在稳态附近进行一阶泰勒展开，［
B a r r o
和
S a la - I - Ma r ti n
（
1 9 9 5
）书中使用了对数线性展开，方法接近］，有
*
*1
.
t
*
t
t
2*
t
*
.
t
t
A ( k ) 1
k kk
( 1 ) A ( k ) c
cc
0
c
… … … … … … … … … … …,2 - 46
在稳态时,有
* 1
tA ( k )
，同时利用
2
－
44
，
2
－
45
有
.
*
t
t
2
*
.
t
t
1
k kk
( 1 )
cc0
c
… … … … … … … … … … … … … … … …2 - 4 7
复旦大学经济学院 35
这个方程的特征值满足
2
2
2
1
( 1 )
d et 0 0
( 1 )
… … … … … … … …2 - 4 8
这个二项式存在两个根
41
1
22
… … … … … … … … … … … … … … … … … …2 - 49
其中
1
41
10
22
；
2
41
10
22
因此
2
－
46
的解是
12t t *
t 1 2k a e a e k
… … … … … … … … … … … … … … … … … … …2 - 5 0
因为 1 0,所以 1a0?,将产生资本的爆炸性增长，对应图
1
－
2
中的
^
0c ''
，违反了
T VC；当 1a0?,
则资本将在有限期消耗光，对应图
1
－
2
中的
^
0c'
，违反了欧拉方程。 因此只有 1a0? 。
复旦大学经济学院 36
因此
2 t*
t2k a e k
……………………………………………………………..2 - 5 1
因为当 t0?,存在
*
02k a k,所以
*
20a k k 。 代入到
2
－
51
得
2 2 2* t * t t *
t 0 0k ( k k ) e k k e ( 1 e ) k
…………………………………………2 - 52
系统的稳定性要求
tt( c,k )
必须在动态系统的稳定特征向量上（由 2? 决定的特征向量），因此有
2
t
2
t 2 t t
t
2
1
k 4 1 -
0 c ( - ) k [ 1 1 ] k
( 1 )
c 2
……………………2 - 53
这也就是线性化的鞍点路径。
稳定的特征向量给出了资本收敛的速度，对
2
－
50
微分，移项可得
2
2
.
*t
t2
2
* * t
t
k ( k k ) e
k k ( k k ) e
……………………………………2 - 54
［考虑折旧、人口增长和技术进步见
B a r r o
和
S a la - I - Ma r ti n
（
1 9 9 5
） 第二章附录
1
］
复旦大学经济学院 37
12.拉姆齐模型中的政府 (略）
见
Rom e r
（
1996
）第二章，或
Bl a ncha r d
和
Fis c her
（
1989
）第二章复旦大学经济学院 38
13．附录,现值汉密尔顿函数与当前值汉密尔顿函数现值 汉密尔顿函数,
^ ^ ^
( n )
t t tH u ( x ) e [ f ( k ) ( n ) k c ]
或者写为
^ ^ ^
( n ) ( n )
t t tH e { u ( x ) e q [ f ( k ) ( n ) k c }
,其中
( n ) t
qe
,定义当前值汉密尔顿函数为
^
( n ) t
H H e
。
一阶条件仍然为
^
^
H
0
c
，
^
.
^
H
k
，同样也可以用现值汉密尔顿乘子写出：
^
^
H
0
c
，
^
.
^
H
( - n ) q - q
k
…………………………………………2 - 5 5
TVC
变为
( n ) T
q ( T ) e k ( T ) 0
……………………………………………….2 - 56
第 十 章经济增长理论复旦大学经济学院 2
一、新古典增长理论（简介）
新古典增长 （ 资本劳动替代性 ）,假定储蓄率给定 。
拉姆齐－卡斯－库普曼斯增长模型，家庭最优化行为、内生储蓄。
复旦大学经济学院 3
1．生产函数
(,)Y F K L?
………………..,…………………1 - 1
满足：
1,
边际收益递减
2,
一次齐次
(,) ( /,1 ) ( )Y F K L L F K L L f k
……………………………1 - 2
/ ( )y Y L f k
…………………………………………………….1 - 3
/ '( )Y K f k
,
/ ( ) '( )Y L f k kf k
3,I nada
条件
( 0,) (,0 )KLF L F K
，
(,) (,) 0KLF L F K
'( 0 )f
，
'( ) 0f
……………………………………1 - 4
复旦大学经济学院 4
2．资本积累条件
.
(,)K I K sF K L K
………….1 - 5
或者写为人均的形式
.
/ ( )K L sf k k
……………………….,,1 - 6
我们有：
..
( / ) / ( ) ( )k d K L K L n k sf k n k
….… ………..1 - 7
复旦大学经济学院 5
() nk
()fk
()s f k
*
k
c
G r os s
I nv es t m en t
图
1
－
1 Sol o w - S w a n
模型复旦大学经济学院 6
3．稳态在稳态中，
.
0k?
这是由于在稳态中有
.
/ ( ) ( )k k s f k k n常数 ／
，因此有
.
[ ( ) ] / 0 { [ ( ) ' ( ) ] / } ( / ) 0d f k k d t f k k f k k k k／
必然有
.
0k?
，因此
.
**
0 ( ) ( )k s f k n k
…………………1 - 8
复旦大学经济学院 7
4．资本积累的黄金律与动态无效从
( ) ( )s f k n k
，可以将消费
C
写为
* * *
( ) [ ( ) ] ( ) ( )c s f k s n k s
，
使消费最大化的储蓄率为黄金律，因此
*
' [ ( ) ] ( )g o l df k s n
图
1,2
资本积累的黄金律
s
g o l ds
g o l dc
*
c
复旦大学经济学院 8
图
1
－
3
表示了当储蓄率（
2s
）大于和小于（
1s
）黄金率（
g o l ds
）的情况，以及大于黄金率的储蓄率下降后，增加均衡时的消费，以及过度路径上的消费，资本逐渐减少。
当
g o l dss?
，称经济动态无效（
Dyn a mic E f f icie n c y
，
DE
），因为人均消费一直低于 可以达到的路径。
g o l dc
*
2k
k
go ldk
*
1k
c
*
2c
() nk
()golds f k
2 ()s f k
1 ()s f k
储蓄率下降，
消费的增加图
1
－
3
黄金率与动态无效斜 率 为
n
DI
()fk
复旦大学经济学院 9
5．过渡动态资本增长率为：
( ) / ( )k s f k k n
……………………………… 1 - 9
0
l i m [ ( ) / ]
k
s f k k
，
l i m [ ( ) / ] 0
k
s f k k
，且 ( ) /s f k k 单调，因此与 n 曲线有唯一的交点。 图
1
－
4
反映了资本增长速度与稳态点的距离成正比。一个较大的储蓄带来更多的资本积累。
或者由
..
( ) ( ) ( ) / '( ) ( )k s f k n k d k d k s f k n 来进行判 别（袁志刚和宋铮，
2001
）
复旦大学经济学院 10
6．相对收敛、绝对收敛定义，对稳态的依赖（不同的储蓄率）。由
1
－
8
得
**
( ) / ( )s n k f k
………………………….1 - 10
将
1
－
10
代入到
1
－
9
得：
**
( ) /
( ) [ 1]
( ) /
k
f k k
n
f k k
……………………1 - 11
因此依赖于目前的资本平均产品与稳态中的情况，当
*
kk?
，
0k
图
1
－
4
，
条件收敛（不同的稳态，来自于不同的储蓄率）
复旦大学经济学院 11
二、拉姆齐模型与最优经济增长新古典经济增长模型的一个缺点就是储蓄是外生的 。 在这一部分我们考虑消费和储蓄是由家庭最优化行为决定的 。 我们考虑一个无限期的家庭,在跨期预算约束下,选择消费和储蓄以最大化他以及后代的效用函数 。 这归功于
Ramsey (1928),Cass （ 1965 ） 和 Koopmas
（ 1965） 。 拉姆齐模型的最优条件消除了索罗
－斯旺模型中的无效的过度储蓄问题 。
注：本讲义参考了 Blanchard和 Fischer（ 1989）,Barro和 Sala-I-Martin
（ 1995）,Zilibotti的讲义复旦大学经济学院 12
1．效用函数拉姆齐问题解决的是一个国家应该储蓄多少，即资源的跨期最佳分配。
1,
假定劳动力
tL
增长率为 n,初始数正规化为
1
，因而有：
nt
tLe?
……………,…2 - 1
2,
假定
tC
是
t
期的总消费，因此人均消费为 c ( t ) C ( t ) / L ( t )? 。
家庭效用函数为：
( n ) t
0t
0
U u ( c ) e dt
………………………….………….2 - 2
(
其中
为主观贴现率，
u '( 0 )
，
u '( ) 0
。并根据横截条件假定 n,以保证当
c
为常数时,0U 是有界的。因此每一代的权重决定于 人口数和贴现率。
)
3,
假定存在两种资产，资本和债权，在没有风险、资本市场完全竞争情况下收益率都为
tr
。
同时存在竞争的劳动力市场，工资为
tw
。假定总资产为
tA
，平均净资产为
t t ta A / L?
，
资产收益为
ttra
。因此家庭的预算约束为：
.
t t t t ta w r a c na
…………,2 - 3
复旦大学经济学院 13
2．非蓬齐对策条件（意义）
t
v
0
( r n ) d v
t
t
[ a e ] 0
l im
………………………,2 - 4
这意味着，在长期，一个家庭的平均债务的增长速度不能大于 trn?,因此总债务的增长速度不能超过 tr 。我们定义
t
tv
0
1
r r dv
t
,因此 2 － 4 又可被写为
tt ( r n )
t
[ a ( t ) e ] 0
l i m
……………………… 2 - 4 ’
复旦大学经济学院 14
3．汉密尔顿函数与一阶条件家庭的最优化行为可以看作是，在跨期预算约束条件下最大化 0U 。这个问题可以用动态最优化的方法来解决，先写成现值汉米尔顿函数形式：
( n )
H u ( x ) e [ w ( r n ) a c ]
…………,,……………,.2 - 5
其中
是资产的影子价格。一阶条件为：
( n ) t
H
0 u '( c ) e
c
………………………………………,2 - 6
..
H
( r n )
a
………………………………………,,2 - 7
tt
t
l i m [ a ] 0
…………………………………………………………… 2 - 8
其中
2
－
7
是欧拉方程，或拉姆齐－凯恩斯最优储蓄规则。
2
－
8
是横截条件复旦大学经济学院 15
现在我们来求出最优的消费变化。
2
－
6
两边对时间求导得,
..
( n ) ( n ) t
u ''( c ) c e ( n ) u '( c ) e
…………………….,2 - 9
由
2
－
6
，知
( n ) t
e / u '( c )
，代入到
2
－
9
并将
2
－
7
代入
2
－
9
，得：
.
u ''( c ) c c
r [ ] ( )
u '( c ) c
……………………………,………………,2 - 10
其中
u ''( c ) c
u '( c )
为边际效用弹性的值。
复旦大学经济学院 16
一个相关的概念是跨期替代弹性：
s t s t
1
s t s t
c / c d [ u '( c ) / u '( c )]
[]
u '( c ) / u '( c ) d ( c / c )
……………………,2 - 11
跨期替代弹性是
stc / c
比例变动造成无差异曲线斜率的相对变动比例的倒数。当
st?
时，
u '( c )
c u ''( c )
，因此边际效用弹性是跨期替代弹性的负倒数。
跨期替代弹性实际上反映了跨期消费安排对边际效用 变化的反应，因为简单的跨期消费问题中存在
t
t1
u '( c ) 1 r
u '( c ) 1?
，
是贴现率，
r
取决于资本存量，即这一期储蓄的影响。
当考虑不变跨期替代弹性的效用函数，这可以写为
1
t1
t
c ( 1 r )
[]
c ( 1 )
，
1/
。因此跨期替代弹性越大，对利率的反应也越大。
复旦大学经济学院 17
考虑一个不变跨期替代弹性的效用函数（
C I ES
）
1
c1
u ( c )
1
，
(
0
)；
………………………………,………2 - 13
u ( c ) l og c?,
(
1
)
显然
是边际效用弹性值，因此跨期替代弹性
1/
。式
2
－
12
变 为
.
cr
c
………………………………………………………2 - 14
复旦大学经济学院 18
对
2
－
7
积分得：
tt ( r n )
( t ) ( 0 ) e
,( 0 ) 0
… … … … … … … … … … … … …..2 - 15
因 此
2
－
8
变为
tt ( r n )
t
t
l i m [ a e ] 0
… … … … … … … … … … … … … … … … … … …2 - 16
即无限期生命在最后的终端，资产的现值不为正。或者用有限期生命来说，在死后留下任何正的资产都是非理性的。 当
ta0?
（负债），一个无限期的家庭希望通过不停的借债但不偿还，来违反
2
－
16
，因此
2
－
4
就是为了确保这 种链式融资的不发生。 在均衡状态，
根据横截条件
2
－
16
，一个家庭不愿持有超过或等于 trn? 的资产增长，否 则横截条件就违反了，也就是说没有人愿意接受增长速度超过
trn?
的债权，也就意味着没有人可以发行增长速度超过
trn?
的债务。 因此
2
－
4
是信贷市场均衡的结果。
复旦大学经济学院 19
4．消费由
.
( r n ) t ( r n ) t ( r n ) t
d [ ae ] / d t a e a ( r n ) e
,将
.
t t t ta ( r n ) a w c 两边同乘
( r n ) t
e
得：
T T T
( r t n ) t ( r t n ) t ( r t n ) t
t t t
0 0 0
( d [ a e ] / dt ) dt w e dt c e dt
，也即：
TT
( r t n ) T ( r t n ) t ( r t n ) t
T t t
00
a e c e dt w e dt a ( 0 )
… … … … … … …,.,2 - 17
当
T
,由
2
－
16
,可得
~
( rt n ) t ( rt n ) t
tt
00
c e d t w e d t a ( 0 ) w ( 0 ) a ( 0 ) W
… … … … … ….2 - 18
由
2
－
1 4
可得
t( 1 / ) [ r ] t
t0c c e
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …2 - 19
将
2
－
19
代入到
2
－
18
得；
[ r t ( 1 ) / / n ] t
0
c ( 0 ) W / ( e d t )
… … … … … … … … … … … … … … … ….2 - 20
复旦大学经济学院 20
5．厂商设 生产函数 为,
^
t t t t t tY F( K,A L ) F( K,L ) ( 其中
t
A ( t ) e
,
^
t t tL A L? ) … … … … … … … 2 - 2 1
写成人均的形式为,
^ ^ ^ ^
t t t t tY L y L f ( k ) ( 其中
^
t t t tf ( k ) F( K / A L,1 )? ) … … … … … … … … … … … 2 - 2 2
具有下列关系 ( 固定
L
，
Y
对
K
求导；固定
K
，
Y
对
L
求导 ),
^
t
t
Y
f '( k )
K
,
^ ^ ^
t
t
t t t
t
Y
[ f ( k ) k f '( k ) ] e
L
… … … … … … … … … 2 - 2 3
并满足 Inada 条件,
f ( 0) 0?,f '( 0),f '( ) 0,
复旦大学经济学院 21
厂 商 的 利润函数为,
^ ^ ^
t
t t t t t t tL [ F( K,L ) R k w e ]
… … … … … … … … … 2 - 2 4
其中
tR
是厂商向居民租赁资本的租金，
ttRr
。 给定
^
tL,由 利润最大化 的 一 阶 条件得到,
^
ttf '( k ) r
… … … … … … … … … … … … … … … … … … 2 - 2 5
为了维持零利润，将 2 － 25 代入 2 － 24,有
^ ^ ^
t
t t t t[ f ( k ) k f '( k )] e w
… … … … … … … … … … … … 2 - 2 6
复旦大学经济学院 22
6．均衡
1,定义
^
t
c c e
,因此
^.
^ ^,
t
t t t t
f ' ( k )
( c ) /( c ) c / c
………………………………..2 - 27
2,在均衡中，代表性家庭没有净债务，人均平均资产等于平均资本，因此 ttak? 。
跨期预算约束可以写为
.
t t t t tk w r k c n k……………………………………………2 - 28
因为
^
t
ttk k e
,所 以
.
^ ^ ^
t
t t t tk w e ( r n ) k c
…………………………………2 - 29
将 2 － 25 和 2 － 26 代入 2 － 29,得
.
^ ^ ^ ^
t t t tk f ( k ) ( n ) k c…………………………………2 - 30
复旦大学经济学院 23
3,
利用
^
t
tk k e
,
^
ttf '( k ) r,以及
2
－
16
，
TV C
条件变为
^
t
v
0
^
( f '( k ) n ) dv
t
l i m [ k e ] 0
… … … … … … … … … … … … ….2 - 31
2
－
27
和
2
－
30
构成在
^^
t( c,k )
上的动态系统。
4,
在稳态中，有
.
^^
tt( c ) /( c ) 0?,
.
^^
tt( k ) /( k ) 0?,因此
^
tf '( k )
… … … … … … … … … … … … … … … … … ….2 - 32
^ ^ ^
t t tc f ( k ) ( n ) k
… … … … … … … … … … … … … … …2 - 33
复旦大学经济学院 24
^
0'c
^
0c
^
0''c
^
0k
^
*
k
^
gold
k
^
**
k
.
^
0k?
.
^
0c?
^
c
^
k
图
1
－
2
拉姆齐模型中的相位图
DD
B
复旦大学经济学院 25
稳态中的消费、投资人均增长率等于? 。
2
－
32
，
2
－
33
刻画的稳态需要满足
TV C
，因此
2
－
31
中，
^
**
r f '( k ) n,即稳态中的资本回报率大于增长率。从
2
－
32
可知
n ( 1 )
…………………………………………,2 - 34
由
3
－
33
可知消费在
^
tf '( k ) n
………………………………………2 - 35
时 达到最大。
3
－
35
被称为修正的黄金律。
3
－
34
保证了
^^
* g o l d
kk?
，即稳态的资本小于黄金律水平，避免了资本积累过多。原因过多积累不是最优，因为减少可以多消费；同时小于黄金律是因为有效主观贴现
，消费者又不希望牺牲当前的消费。（分析
，
降低的影响）。
复旦大学经济学院 26
分析,
^
g o l d
k （储蓄不足，违反欧拉方程，从
2
－
32
可以看出路径变化），
^
**
k （均衡路径），
^
0c ''
（储蓄过多，违反
TV C
）
详细说明,
1,
考虑低于
DD
的路径，例如初始位置在
^
0c '',那么
k
会超过黄金律资本存量
,
此后真实 利 率 低 于
n
,从 而
tr t ( n ) t
ee
上 升,所 以
tr t ( n ) t
te e k
发 散,因 此
tr t ( n ) t
t
t
l i m e e k
,因此违反了横截条件。 或者根据
B lanchar d
和
Fische r
（
1989
）
第二章附录
2
。［注意
Blanchard
和
Fischer
（
1989
）是利用当前值汉密尔顿函数来表示的，对横截条件的说明经过简单的代换和现值是 一样的］
复旦大学经济学院 27
2,
当高于 DD 的路径，在这条路径上资本以递增的速度减少。
对
2
－
30
，
.
^ ^ ^ ^
t t t tk f ( k ) ( n ) k c 进行全微分得：
^,.
2
^ ^ ^
t
t t t
2
dk
[ f '( k ) ( n )] k c 0
dt
，当
^
tf '( k ) ( n )
和
.
^
tc0?
，
因此
^
tk 会在有限的时间变为
0
（
B
点），因为在
B
点，
^
tk 为零，经济必须移到原点，
因此
^
tc 由一个正值变为零，这种跳跃违背了（
2
－
12
）
.
^
^
c
( r )
c
,因为当
^
tk0?,
r
，（
2
－
12
）左式为负，右边为无穷大，因此违反 了欧拉方程的条件（
2
－
12
）。
复旦大学经济学院 28
7．鞍点路径的形状高?,跨期替代率低，更愿意进行消费平滑，趋于稳态的速度慢。
低?,跨期替代率高，
作为对当前高收益的反应，更愿意进行储蓄，减少消费，趋于稳态的速度快。
^
k
^
*
lowk?
^
*
k hig h?
lo w?
high?
图
2
－
2
对鞍点路径的影响复旦大学经济学院 29
8．储蓄对于
C
－
D
生产函数
^
^
f ( k ) A k
,均衡的储蓄率为
*
s ( n ) / ( x )
……………………………….,2 - 36
（ 证明,详细见
Barr o
＆
Sal a - I - Ma r tin 1 9 9 5
，
P8 9,Append ixB
）
两种效应,替代效应,消费平滑使得储蓄率在收入较低时较低,但是较大的跨期替代弹性,更有助于储蓄。收入效应,有助于储蓄,因为当收入增加时，当前收入与持久性收入的差距变小，意味着平滑消费的意愿更小，储蓄率 上升）
当
*
1 / s
，固定储蓄率，如
So low
－
S wa n
模型当
*
1 / s
，跨期弹性较高，因此储蓄率一直在
*
s
之上，并趋近，由于资本增加导致利率下降，因为跨期弹性大所以使得储蓄下降，其影响大于收入上升的影响。
当
*
1 / s
，跨期弹性较低，因此储蓄率一直在
*
s
之下，并趋近（收入上升 因素主导作用）。
复旦大学经济学院 30
9．资本存量和产出的路径由
2
－
27
和资本增加导致利率下降，
.
^^
tt( c ) /( c ) 单调下降。
类似，
.
^^
tt( k ) /( k ) 也单调下降。 因此储蓄率在过渡路径上的的增加，并不能消除趋同性。
通过线性化可知：
..
^ ^ ^ ^ ^ ^ ^
t t t t t t t( y ) /( y ) [ k f '( k ) / f ( k ) ],[ ( k ) /( k ) ]?
即资本的增长按照占生产中的份额对生产构成影响。
复旦大学经济学院 31
10.另一种机制（社会计划者解）
效用函数可写为
^^
( n ) t t t [ n ( 1 )] t
0 t t
00
U u ( c ) e d t u ( c ) e d t
，实际主观贴现率为 。 资本积累为
.
^ ^ ^ ^
t t t tk f ( k ) ( n ) k c 。 因此社会计划者问题为：
0m a x U
s,j,
.
^ ^ ^ ^
t t t tk f ( k ) ( n ) k c
这个节是与市场解相同的。原因，竞争性市场，没有外部性。我们会在下一讲，
Rom e r
（
1986
）和
L uca s
（
1988
）看到社会计划者解和竞争性解的区别，因为存在外部性。
复旦大学经济学院 32
11．收敛（ convergence）和收敛的速度考 虑 生 产 函 数 为 F A k
,0k 给定。 效 用 函 数 为
1
c
U
1
，资本积累为
.
t t t tk A k ( n ) k c
现值汉密尔顿函数为
1
t
( n ) t
t t t
c
H e [ A k ( n ) k c ]
1
… … … … … … … … ….,2 - 37
最优化的必要条件是
- ( n ) t
H c 0 c e
… … … … … … … … … … … … … … … … … … 2 - 38
.
1
ktH [ A k ( n )]
… … … … … … … … … … … … … ….,2 - 39
TVC
tt
t
l i m [ k ] 0
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ….,2 - 40
复旦大学经济学院 33
将
2
－
38
微分，并用
.
1
t[ A k ( n ) ]
代入得到
.
1
tc ( A k )
c
… … … … … … … … … … … … … … … …,.2 - 41
在稳态
.
c
0
c
，
.
k
0
k
。由
2
－
41
，稳态中
1
tA k 0
，因此
1
*
1
A
k ( )
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …,2 - 4 2
*
.
**
k
0 c A ( k ) ( n ) k
k
… … … … … … … … … … … … 2 - 4 3
同时如果满足横截条件，因此从
2
－
31
，令
0
，有
* 1
tA ( k ) ( n )
，因此由
* 1
tA ( k )
必须有
n
。（和
2
－
34
比较，就可以知道技术进步下
TV C
条件的变化）
复旦大学经济学院 34
分析稳态附近的均衡，简化分析
( B lanc h a r d
和
F is c h e r
（
1 9 8 9
）第二章附录
B
也作了类似的分析，这部分的处理来自
Z il ib o t ti
的习题
)
假定 n0?,0 。那么在稳态有
.
t t tk Ak c
；
1
*
1
A
k ( )
… … … … … … … … … … … … … … … …,2 - 44
1
.
t( A k ) c
c
；
*
1
A
c A ( )
… … … … … … … … … … … …,2 - 4 5
在稳态附近进行一阶泰勒展开，［
B a r r o
和
S a la - I - Ma r ti n
（
1 9 9 5
）书中使用了对数线性展开，方法接近］，有
*
*1
.
t
*
t
t
2*
t
*
.
t
t
A ( k ) 1
k kk
( 1 ) A ( k ) c
cc
0
c
… … … … … … … … … … …,2 - 46
在稳态时,有
* 1
tA ( k )
，同时利用
2
－
44
，
2
－
45
有
.
*
t
t
2
*
.
t
t
1
k kk
( 1 )
cc0
c
… … … … … … … … … … … … … … … …2 - 4 7
复旦大学经济学院 35
这个方程的特征值满足
2
2
2
1
( 1 )
d et 0 0
( 1 )
… … … … … … … …2 - 4 8
这个二项式存在两个根
41
1
22
… … … … … … … … … … … … … … … … … …2 - 49
其中
1
41
10
22
；
2
41
10
22
因此
2
－
46
的解是
12t t *
t 1 2k a e a e k
… … … … … … … … … … … … … … … … … … …2 - 5 0
因为 1 0,所以 1a0?,将产生资本的爆炸性增长，对应图
1
－
2
中的
^
0c ''
，违反了
T VC；当 1a0?,
则资本将在有限期消耗光，对应图
1
－
2
中的
^
0c'
，违反了欧拉方程。 因此只有 1a0? 。
复旦大学经济学院 36
因此
2 t*
t2k a e k
……………………………………………………………..2 - 5 1
因为当 t0?,存在
*
02k a k,所以
*
20a k k 。 代入到
2
－
51
得
2 2 2* t * t t *
t 0 0k ( k k ) e k k e ( 1 e ) k
…………………………………………2 - 52
系统的稳定性要求
tt( c,k )
必须在动态系统的稳定特征向量上（由 2? 决定的特征向量），因此有
2
t
2
t 2 t t
t
2
1
k 4 1 -
0 c ( - ) k [ 1 1 ] k
( 1 )
c 2
……………………2 - 53
这也就是线性化的鞍点路径。
稳定的特征向量给出了资本收敛的速度，对
2
－
50
微分，移项可得
2
2
.
*t
t2
2
* * t
t
k ( k k ) e
k k ( k k ) e
……………………………………2 - 54
［考虑折旧、人口增长和技术进步见
B a r r o
和
S a la - I - Ma r ti n
（
1 9 9 5
） 第二章附录
1
］
复旦大学经济学院 37
12.拉姆齐模型中的政府 (略）
见
Rom e r
（
1996
）第二章，或
Bl a ncha r d
和
Fis c her
（
1989
）第二章复旦大学经济学院 38
13．附录,现值汉密尔顿函数与当前值汉密尔顿函数现值 汉密尔顿函数,
^ ^ ^
( n )
t t tH u ( x ) e [ f ( k ) ( n ) k c ]
或者写为
^ ^ ^
( n ) ( n )
t t tH e { u ( x ) e q [ f ( k ) ( n ) k c }
,其中
( n ) t
qe
,定义当前值汉密尔顿函数为
^
( n ) t
H H e
。
一阶条件仍然为
^
^
H
0
c
，
^
.
^
H
k
，同样也可以用现值汉密尔顿乘子写出：
^
^
H
0
c
，
^
.
^
H
( - n ) q - q
k
…………………………………………2 - 5 5
TVC
变为
( n ) T
q ( T ) e k ( T ) 0
……………………………………………….2 - 56
