（一）优化模型的数学描述下的最大值或最小值，其中
.,.,,,,,)( mih i 210x
.,...,,),)(()( pigg ii 2100 xx
设计变量（决策变量）
目标函数
),.,,,,,( nxxxx 321?x
将一个优化问题用数学式子来描述，即求函数
)( xfu?
在约束条件和
x
)(xf
x 可行域一 优化模型的一般意义
.,.,,,,,)(.,mihts i 210x
.,...,,),)(()( pigg ii 2100 xx
xxfu )(m a x )m i n (or
tos u b j e c tts,.,受约束于”之意
（二）优化模型的分类
1.根据是否存在约束条件有约束问题和无约束问题。
2.根据设计变量的性质静态问题和动态问题。
3.根据目标函数和约束条件表达式的性质线性规划，非线性规划，二次规划，多目标规划等。
（ 1）非线性规划目标函数和约束条件中，至少有一个非线性函数。
.,.,,,,,)(.,mihts i 210x
.,...,,),)(()( pigg ii 2100 xx
xxfu )(m i n
.,.,,,,,
.,.,,,,,
..
m i n
nix
nibxa
ts
xcu
i
n
k
ikik
n
i
ii
210
21
1
1
（ 2）线性规划（ LP）
目标函数和所有的约束条件都是设计变量的线性函数。
（ 3）二次规划问题目标函数为二次函数，约束条件为线性约束
.,.,,,,.
.,.,,,,,
..
)(m i n
,
nix
nibxa
ts
xxbxcxfu
i
n
j
ijij
n
ji
jiij
n
i
ii
210
21
2
1
1
11
5,根据变量具有确定值还是随机值确定规划和随机规划。
4,根据设计变量的允许值整数规划（ 0-1规划）和实数规划。
（三）建立优化模型的一般步骤
1.确定设计变量和目标变量；
2.确定目标函数的表达式；
3.寻找约束条件。
工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用；
车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之用；
商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；
水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电。
例 1 存贮模型
（四）简单优化模型举例存贮量多少合适？
存贮量过大，存贮费用太高；存贮量太小，会导致一次性订购费用增加，或不能及时满足需求。
问题 1 不允许缺货的存贮模型配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费
（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付存贮费。今已知某一部件的日需求量 100件，生产准备费 5000
元，存贮费每日每件 1元。如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小。
问题分析若每天生产一次，每次 100件，无存贮费，生产准备费 5000元，每天费用 5000元；
若 10天生产一次，每次 1000件，存贮费
900+800+…+100=4500 元，生产准备费 5000元，
总计 9500元，平均每天费用 950元；
若 50天生产一次，每次 5000件，存贮费
4900+4800+…+100=122500 元，生产准备费 5000
元，总计 127500元，平均每天费用 2550元；
寻找 生产周期、产量、需求量、生产准备费和存贮费之间的关系，使每天的费用最少。
模型假设
1 连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量；
2 产品每日的需求量为常数 r ；
3 每次 生产准备费 C1，每日每件产品存贮费 C2；
4 生产能力为无限大（相对于需求量），当存贮量降到零时,Q件产品立即生产出来供给需求，即不允许缺货。
模型建立总费用与变量的关系总费用 =生产准备费 +存贮费存贮费 =存贮单价 *存贮量存贮量 =？
设 t 时刻的存贮量为 q(t),t = 0时生产 Q 件，
存贮量 q(0) = Q,q(t) 以需求速率 r 线性递减，
直至 q(T) = 0，如图。 q(t) = Q- r t,Q = r T 。
o
t
q
Q
T
r
A
不允许缺货模型的存贮量 q(t)
存贮量的计算一个周期内存贮量
dttqT?0 )(
一个周期内存贮费
dttqc T?02 )(
2
QT? (A的面积 )
一个周期的总费用
dttqccC T 021 )(
22
2
2121
rTccQTcc
每天平均费用
22
1 rTc
T
c
T
CTC)(
2 2
1 rTc
T
cTCT)(m i n满足求模型求解用微分法
02221 rcTcTC )(
rc
cT
2
12?
2
12
c
rcrTQ
每天平均最小费用
rccC 212?
著名的 经济订货批量公式（ EOQ公式） 。
结果解释
rc
cT
2
12?
2
12
c
rcrTQ rccC 212?
当准备费 c1 增加时，生产周期和产量都变大；
当存贮费 c2 增加时，生产周期和产量都变小；
当日需求费 r 增加时，生产周期变小而产量变大。
这些定性结果符合常识，而定量关系（平方根，系数 2 等）凭常识是无法得出的，只能由数学建模得到。
rc
cT
2
12? rccC 212?
1 0 0 010
10015 0 0 0 21
CT
rcc
，得当,,,
这里得到的费用 C与前面计算得 950元有微小差别，你能解释吗？
在本例中敏感性分析讨论参数 rcc,,
21
有微小变化时对生产周期 T 影响。
由相对变化量衡量对参数的敏感程度。
T 对 c1 的敏感程度记为 ),(
1cTS
11
1 cc
TTcTS
),(
T
c
dc
dT 1
1
T
c
rc
c
rc
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1?
2
1
2),( cTS 2
1),( rTS
意义是当准备费增加 1%时，生产周期增加 0.5% ；
而存贮费增加 1%时，生产周期减少 0.5% ；
日需求量增加 1%时，生产周期减少 0.5% 。
2
1
1?),( cTS 2
1
2),( cTS 2
1),( rTS
当 rcc,,
21
有微小变化对生产周期影响不太大。
思考
1 建模中未考虑生产费用（这应是最大一笔费用），在什么情况下才可以不考虑它？
2 建模时作了“生产能力无限大”的简化假设，
如果生产能力有限，是大于需求量的一个常数，
如何建模？
模型假设
1 连续化，即设生产周期 T 和产量 Q 均为连续量；
2 产品每日的需求量为常数 r ；
3 每次 生产准备费 C1，每日每件产品存贮费 C2；
4 生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺货，每天每件产品缺货损失费 C3,但缺货数量需在下次生产（订货）时补足。
问题 2 允许缺货的存贮模型模型建立总费用 =生产准备费 +存贮费 +缺货损失费存贮费 =存贮单价 *存贮量缺货损失费 =缺货单价 *缺货量存贮量 =？，缺货量 =？
因存贮量不足造成缺货，因此 q(t) 可取负值，
q(t) 以需求速率 r 线性递减，直至 q(T1) = 0，如图。 q(t) = Q-r t,Q = r T1 。
o
t
q
Q
T
r
A
允许缺货模型的存贮量 q(t)
R
T1 B
一个周期内缺货损失费一个周期内存贮费
dttqc T? 102 )(
2
1
2
QTc?
一个周期的总费用
r
QrTc
r
QccC
22
2
3
2
21
)(
每天平均费用
dttqc T
T? 13
)( 2 13 ))(( TTQrTc
r
QrTc
2
2
3
)(
r
Qc
2
2
2?
rT
QrTc
rT
Qc
T
cQTC
22
2
3
2
2
1 )(),(
满足求 QT,
模型求解用微分法 令
3
32
2
12
c
cc
rc
cT
32
3
2
12
cc
c
c
rcQ
每天平均最小费用
),( QTCC
rT
QrTc
rT
Qc
T
cQTC
22
2
3
2
2
1 )(),(m in
0 0?
Q
QTC
T
QTC ),(,),(
每个周期的供货量 TrR
3
32
2
12
c
cc
rc
crR
3
32
c
cc
与不允许缺货模型相比较，有
QRQQTT,/,
QRQQTT,/,
结果解释
QRQQTT 1,,,? 即允许缺货时，
周期和供货量增加，周期初的存贮量减少。
2）缺货损失费愈大,愈小,愈接近,
愈接近 。
1）
T? T RQ,?
Q
3
32
c
cc
3）,时，当 1
3c QRQQTT,,
不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例。
