有些复杂问题，往往给人以变幻莫测的感觉，难以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩展到线性空间，利用线性代数的基本知识建立模型，就可以掌握事物的内在规律，预测其发展趋势。
线性代数模型
Durer 魔方德国著名的艺术家 Albrecht Durer (1471--1521)
于 1514年曾铸造了一枚名为,Melen cotia I”的铜币。
令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符号、数学数字和几何图形。这里我们仅研究铜币右上角的数字问题。
1 Durer 魔方
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
特点每行之和、每列之和、对角线之和、四个小方块之和、中心方块之和都相等，
为确定的数 34。
所出现的数是 1至 16的自然数。
四角之和、中间对边之和均为 34。
最下边一行中心数为 1514，正是制币的时间。
问题 是否还存在具有这些（或部分）性质的魔方？
0 6 1 18
9 10 6 0
15 0 9 1
1 9 9 6
0 7 1 18
9 10 7 0
16 0 9 1
1 9 9 7
10 80 100 150
140 110 50 40
70 20 160 90
120 130 30 60
定义如果 4× 4数字方，它的每一行,每一列、每一对角线及每个小方块上的数字之和都为一确定的数，
则称这个数字方为 Durer 魔方 。
R=C=D=S
你想构造 Durer魔方吗？
如何构成所有的 Durer魔方？ Durer魔方有多少？
2 Durer魔方的生成集所有的 Durer魔方的集合为 D
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
O=
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
E=
R=C=D=S=0 R=C=D=S=4
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
A=
b11 b12 b13 b14
b21 b22 b23 b24
b31 b32 b33 b34
b41 b42 b43 b44
B=
类似于矩阵的加法和数乘，定义魔方的加法和数乘。
易验证,D 加法和数乘封闭，且构成一 线性空间 。
记 M ={所有的 4× 4数字方 },则其维数为 16。
而 D是 M的子集，则 D是 有限维 的线性空间。
根据线性空间的性质，如果能得到 D的一组基，
则任一个 Durer方均可由这组基线性表示。
由 0,1 数字组合，构造所有的 R=C=D=S=1的魔方。
共有 8 个，记为 Qi,i=1,2,…,8 。
Q1=
1 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
Q2=
1 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
Q3= Q4=
0 0 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 1 0
Q5=
0 0 1 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
Q6=
0 1 0 0
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 1
Q7=
0 0 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
Q8=
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
1 0 0 0
易知 0
76328541 QQQQQQQQ
则
821 QQQ,,,?
线性相关。
而由 0
77665544332211 QrQrQrQrQrQrQr
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
21 rr? 6r 75 rr? 43 rr?
53 rr? 74 rr? 2r
64 rr? 52 rr? 3r 71 rr?
61 rr?
7r 31
rr?
42 rr? 65 rr?
=
07654321 rrrrrrr
721 QQQ,,,?
线性无关。任一 Durer方可由它们线性表示。
结论,1 Durer方有无穷多个。
2 Durer方可由
721 QQQ,,,?
线性组合得到。
Albrecht Durer的数字方的构成：
77665544332211 QrQrQrQrQrQrQrD
21 rr? 6r 75 rr? 43 rr?
53 rr? 74 rr? 2r
64 rr? 52 rr? 3r 71 rr?
61 rr?
7r 31
rr?
42 rr? 65 rr?
=
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
4336788 7654321 rrrrrrr,,,,,,
765543221 4336788 QQQQQQQD
3 Durer方的应用推广
（ 1）要求数字方的所有数字都相等。
RrrEG,基为E 1维空间
（ 2）要求行和、列和、每条主对角线及付对角线数字和都相等。 B
基为
5维空间
1 0 1 0
1 0 1 0
0 1 0 1
0 1 0 1
1P
0 1 1 0
1 0 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
0 1 1 0
0 1 0 1
1 0 1 0
1 0 1 0
0 1 0 1
1 1 0 0
0 0 1 1
1 1 0 0
0 0 1 1
2P?
3P
4P?
5P
例 17 2 11 1616 11 22 -3
12 7 6 21
1 26 7 12
P R=C=H=N=46
H 主对角线,N付对角线数字和。
（ 3）要求行和、列和及两条对角线数字和相等。
8维空间 Q。
基为
0721 NQQQ,,,,?
D是 Q的 7维子空间。
0 1 -1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 -1 1 0
0N
例 6 7 9 812 6 5 7
5 10 9 6
7 7 7 9
P R=C=D=30
（ 4）要求行和、列和数字相等。 10维空间 W。
基为
321721 NNNQQQ,,,,,,?
0 1 0 -1
1 0 -1 0
-1 0 0 1
0 -1 1 0
0 0 0 0
1 0 0 -1
-1 0 0 1
0 0 0 0
1N?
2N
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
3N
（ 5）对数字没有任何要求的数字方 16维空间 M
空间维数
MWQDBG0
0 1 5 7 8 10 16
思考能否构造出其他维数的数字方？
练习 完成下面的 Durer方
6
14
9 48
8 7 11
6 7 9 8
5
9
7
R=C=D=S=30 R=C=D=S=100
作业构造你自己认为有意义的 Durer方。
6 7 9 8
12 5 5 8
6 11 9 4
6 7 7 10
植物基因的分布设一农业研究所植物园中某植物的的基因型为 AA,Aa 和 aa 。研究所计划采用 AA型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何？
1 建模准备植物遗传规律？
动植物都会将本身的特征遗传给后代，这主要是因为后代继承了双亲的 基因,形成了自己的 基因对,基因对就确定了后代所表现的特征。
常染色体遗传的规律：
后代是从每个亲体的基因对中个继承一个基因，
形成自己的基因对，即 基因型 。
如果考虑的遗传特征是由两个基因 A,a控制的，那末就有三种基因对，记为 AA,Aa 和 aa 。
金鱼草花的颜色 是由两个遗传因 子决定的，基因型为 AA的金鱼草开红花,Aa 型的开粉红花，
而 aa型的开白花。
人类眼睛的颜色 也是通过常染色体来控制的。
基因型为 AA,或 Aa 型的人眼睛颜色为棕色，
而 aa型的人眼睛颜色为蓝色。
这里 AA,Aa表示同一外部特征，我们认为基因 A支配基因 a，即基因 a对 A来说是隐性的。
如父体 -母体的基因对
AA-AA AA-Aa AA-aa Aa-Aa Aa-aa aa-aa
后代基因对
AA 1 1/2 0 1/4 0 0
Aa 0 1/2 1 1/2 1/2 0
aa 0 0 0 1/4 1/2 1
双亲体结合形成后代的基因型概率矩阵
2 假设
nnn cba,,
分别表示第 n代植物中基因型为 AA,Aa,aa
的植物占植物总数的百分率。
1 nnn cba
第 n代植物的基因型分布为,)(
n
n
n
n
c
b
a
x
,)(
0
0
0
0
c
b
a
x
表示植物基因型初始分布。
假设 1
假设 2 植物中第 n-1代基因型分布与第 n代分布的关系由上表确定。
父体 -母体的基因对
AA-AA AA-Aa AA-aa
后代基因对
AA 1 1/2 0
Aa 0 1/2 1
aa 0 0 0
11 2
1
nnn baa
112
1
nnn cbb
0?nc
1 nnn cba
3 建模
1
1
1
000
1210
0211
n
n
n
n
n
n
c
b
a
c
b
a
/
/
11 2
1
nnn baa
112
1
nnn cbb
0?nc
1 nnn cba
000
1210
0211
/
/
M
)()( 1 nn Mxx
)()()( 221 nnn xMMxx )( 33 nx 0xM n
4 求解模型关键计算
0xMx nn?)(
nM
000
1210
0211
/
/
M
特征值为 1,1/2,0，
M可对角化，即可求出可逆对角矩阵 P，使
PMP-1为对角型矩阵。
1
2
1
0
1
0
0
0
1
,,
特征值为 1,1/2,0
的特征向量分别为则

100
210
101
P
000
0210
001
/D
0xMx nn?)( 01 xPPD n
0
1
100
210
111
000
0210
001
100
210
111
x
n

/
0
1
100
210
111
000
0210
001
100
210
111
xn

/
01
1
000
21210
2112111
xnn
nn


//
)/()/(


0
2121
2121
0
1
0
0
1
0000
cb
cbcba
nn
nn
)/()/(
)/()/(


0
2121
21211
0
1
0
0
1
0
cb
cb
nn
nn
)/()/(
)/()/(


0
2121
21211
0
1
0
0
1
0
cb
cb
nn
nn
)/()/(
)/()/(
n
n
n
n
c
b
a
x )(
当 时，n 001
nnn bba,,
经过足够长的时间后，培育出来的植物基本上呈现 AA型。
5 结论