一 雨中行走问题一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。
假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。
但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。
1 建模准备建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，
使得你被雨水淋湿的程度最小。
主要因素：
淋雨量,降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度
2）降雨大小用降雨强度 厘米 /时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。
3）风速保持不变。 4）你一定常的速度 米 /秒跑完全程 米。
h
2 模型假设及符号说明
1）把人体视为长方体，身高 米，宽度 米，厚度 米。
淋雨总量用 升来记。
w d
C
I
v D
3 模型建立与计算
1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。
淋雨的面积 )( 22 2米wddhwhS
雨中行走的时间
)(秒vDt?
降雨强度 )/()3600/01.0()/(01.0)/( smIII 时米时厘米
（升）米 SIvDSItC 3 6 0 0/)/(10)(01.0)3 6 0 0/( 3
模型中 为变量。为参数，而 vSID,,
结论,淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。
。米即米米米小时厘米米若取参数
22.2,20.0,50.0,50.1
,/2,1000
Sdwh
ID
秒。分秒，即你在雨中行走了每秒，则计算得米度你在雨中行走的最大速
4721 6 7
/6?v
从而可以计算被淋的雨水的总量为 2.041（升）。
经仔细分析，可知你在雨中只跑了 2分 47 秒，但被淋了
2 升的雨水，大约有 4 酒瓶的水量。这是不可思议的。
表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。
原因：不考虑降雨的方向的假设,使问题过于简化。
2）考虑降雨方向。
v? h
w
d
人前进的方向若记雨滴下落速度为 （米 /秒）r
雨滴的密度为雨滴下落的反方向
1,?pp
表示在一定的时刻在单位体积的空间内，由雨滴所占的空间的比例数，也称为降雨强度系数。
所以,rpI?
因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。
分两部分计算淋雨量。
顶部的淋雨量
)s i n()/(1?prwdvDC?
度。表示雨滴垂直下落的速表示顶部面积，表示在雨中行走的时间
s in
,/
r
wdvD
前表面淋雨量
)]co s([)/(2 vrpwhvDC
总淋雨量（基本模型）
))c o s(s in(21 vrhdrvp w DCCC
61039.1,/23600,/4 pscmIsmr取参数
)5.1c o s6s in8.0(1095.6
4
vvC
可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。
问题转化为给定,如何选择 使得 最小。 v C
情形 1
90
)5.18.0(1095.6 4 vC
结果表明,淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。
假设你以 6米 /秒的速度在雨中猛跑，则计算得升13.1103.11 34 mC
情形 2?60
]/)334.0(5.1[1095.6 4 vC
结果表明,淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。
假设你以 6米 /秒的速度在雨中猛跑，则计算得升47.1107.14 34 mC
情形 3 18090
此时，雨滴将从后面向你身上落下。
]5.1/)co s6s i n8.0[(1095.6 4 vC
]5.1/))90c o s (6)90s i n (8.0[(1095.6 4 vC
]5.1/)s i n6c o s8.0[(1095.6 4 vC
能的。可能取负值，这是不可时，当 C 900
出现这个矛盾的原因,我们给出的基本模型是针对雨从你的前面落到身上情形 。
因此，对于这种情况要另行讨论。
当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即?sinrv?
这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是
vvrp w Dh /)s i n(
淋雨总量为
vvrhdrp w DC /)]s i n(c o s[
。，则令 90090
取到最小值。时，当 Crv?s i n
c o ss i n w d p rr
DC?
再次代如数据，得
)s i n4/()co s8.0(1095.6 4C
结果表明,当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。
若雨滴是以 的角度落下，即雨滴以 的角从背后落下，你应该以
120?30
的速度行走，smv /230s i n4
此时，淋雨总量为升24.02/)2/38.0(1095.6 34 mC
这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。
当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即?sinrv?
你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是
vrvp w Dh /)s i n(
淋雨总量为 vrvhdrp w DC /)]s i n(c o s[
]//)s i nc o s[( rhvrdp w DrC
才可能小。尽可能大，当 Cvrd,0s i nco s
才可能小。尽可能小，当 Cvrd,0s i nco s
，而?s i nrv?,所以?s i nrv? 才可能小。C
升。
时，取
77.06/)634.0(1095.6
30,/6
34
mC
smv
4 结论若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，
应以最大的速度向前跑；
若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，
让它刚好等于落雨速度的水平分量。
5 注意
关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。
雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重要性，模型的阶段适应性。
二 席位分配问题某校有 200名学生，甲系 100名，乙系 60名，
丙系 40名，若学生代表会议设 20个席位，问三系各有多少个席位？
按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则
N
pqm
表示某单位的席位数m
表示某单位的人数p
表示总人数N
表示总席位数q
1 问题的提出
20个席位的分配结果系别 人数 所占比例 分配方案 席位数甲 100 100/200 (50/100)?20=10
乙 60 60/200 (30/100)?20=6
丙 40 40/200 (20/100)?20=4
现丙系有 6名学生分别转到甲、乙系各 3名。
系别 人数 所占比例 分配方案 席位数甲 103 103/200=51.5% 51.5 %?20 =10.3
乙 63 63/200=31.5% 31.5%?20=6.3
丙 34 34/200=17.0% 17.0%?20=3.4
10
6
4
10
6
4
现象 1 丙系虽少了 6人，但席位仍为 4个。（不公平！）
为了在表决提案时可能出现 10,10的平局，再设一个席位。
21个席位的分配结果系别 人数 所占比例 分配方案 席位数甲 103 103/200=51.5% 51.5 %?21 =10.815
乙 63 63/200=31.5% 31.5%?21=6.615
丙 34 34/200=17.0% 17.0%?21=3.570
11
7
3
现象 2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）
惯例分配方法,按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。
存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？
2 建模分析目标：建立公平的分配方案。
反映公平分配的数量指标可用 每席位代表的人数 来衡量。
系别 人数 席位数 每席位代表的人数 公平程度甲 103 10 103/10=10.3 中乙 63 6 63/6=10.5 差丙 34 4 34/4=8.5 好系别 人数 席位数 每席位代表的人数甲 100 10 100/10=10
乙 60 6 60/6=10
丙 40 4 40/4=10
系别 人数 席位数 每席位代表的人数 公平程度甲 103 11 103/11=9.36 中乙 63 7 63/7=9 好丙 34 3 34/3=11.33 差一般地，
单位 人数 席位数 每席位代表的人数
A
B
1p
2p
1n
2n
1
1 np
2
2 np
当
2
2
1
1
n
p
n
p?
席位分配公平但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。
准。称为“绝对不公平”标 )1
2
2
1
1
n
p
n
p?
此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。
单位 人数 p 席位数 n 每席位代表的人数绝对不公平标准
A 120 10 12 12-10=2
B 100 10 10
C 1020 10 102 102-100
=2D 1000 10 100
C,D的不公平程度大为改善！
2） 相对不公平
n
p
表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。
2
2
1
1
n
p
n
p? 则 A吃亏,或对 A 是不公平的。
定义“相对不公平”
则称，若
2
2
1
1
n
p
n
p?
1),(
12
21
22
2211
21
np
np
np
npnpnnr
A
对 A 的相对不公平值；
同理，可定义对 B 的相对不公平值为：
则称，若
2
2
1
1
n
p
n
p?
1),(
21
12
11
1122
21
np
np
np
npnpnnr
B
对 B 的相对不公平值；
建立了衡量分配不公平程度的数量指标
BA rr,
制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。
3 建模若 A,B两方已占有席位数为,,
21 nn
用相对不公平值讨论当席位增加 1 个时，应该给 A 还是 B 方。
不失一般性，
2
2
1
1,若
n
p
n
p? 有下面三种情形。
情形 1
1
2
2
1
1,
n
p
n
p?
说明即使给 A 单位增加 1席，仍对 A
不公平，所增这一席必须给 A单位。
情形 2
1 2
2
1
1,
n
p
n
p?
说明当对 A 不公平时，给 A 单位增加 1席，对 B 又不公平。
计算对 B 的相对不公平值
1)1()1( )1(),1(
21
12
11
1122
21?
np
np
np
npnpnnr
B
情形 3
1
2
2
1
1,
n
p
n
p
说明当对 A 不公平时，给 B 单位增加 1席，对 A 不公平。
计算对 A 的相对不公平值
1)1()1( )1()1,(
12
21
22
2211
21?
np
np
np
npnpnnr
A
),1,(),1( 2121 nnrnnr AB若则这一席位给 A 单位，否则给 B 单位。
1)1(),1(
21
12
21?
np
npnnr
B
1)1()1,(
12
21
21?
np
npnnr
A
12
21
21
12 )1()1(
np
np
np
np
( * ) )1()1(
11
2
22
2
12
nn
p
nn
p
结论,当（ *）成立时，增加的一个席位应分配给 A 单位，
反之，应分配给 B 单位。
记 21
)1(
2
,i
nn
pQ
ii
i
i
则增加的一个席位应分配给 Q值 较大的一方。
这样的分配席位的方法称为 Q值方法 。
若 A,B两方已占有席位数为,,
21 nn
4 推广 有 m 方分配席位的情况设
iA
方人数为
ip
，已占有
in
个席位,mi,,2,1
当总席位增加 1 席时，计算
m,i
nn
pQ
ii
i
i,,21 )1(
2
则 1 席应分给 Q值最大的一方。从 1?
in
开始，即每方至少应得到以 1 席，（如果有一方 1 席也分不到，则把它排除在外。）
5 举例甲、乙、丙三系各有人数 103,63,34，有 21个席位，如何分配？
按 Q值方法,3,21
)1(
2
,i
nn
pQ
ii
i
i
1,1,1 321 nnn
785
)11(1
34
,5.9 8 41
)11(1
63
5 3 0 4,5,
)11(1
1 0 3
2
3
2
2
2
1
Q
Q
Q
785
)11(1
34
,5.9841
)11(1
63
2.7681
)12(2
103
2
3
2
2
2
1
Q
Q
Q
甲 1
乙 1
丙 1
785
)11(1
34
5.661
)12(2
63
2.7681
)12(2
103
2
3
2
2
2
1
Q
Q
Q
785
)11(1
34
5.661
)12(2
63
4.888
)13(3
103
2
3
2
2
2
1
Q
Q
Q
4
5
6 7
8
9
10 11
12
13
14
15
16 17
18
19 20
21
甲,11，乙,6，丙,4
练习学校共 1000学生,235人住在 A楼,333人住在 B楼,432住在 C楼。学生要组织一个 10人委员会，试用惯例分配方法,d’Hondt方法 和
Q值方法分配各楼的委员数，并比较结果。
d’Hondt方法有 k个单位，每单位的人数为 pi,总席位数为 n。
做法：
用自然数 1,2,3,… 分别除以每单位的人数，从所得的数中由大到小取前 n 个，（这 n 个数来自各个单位人数用自然数相除的结果），这 n
个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。
