?
第二章基本力系
§ 2–1 力系的基本类型
§ 2–2 共点力系合成与平衡的几何法
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
§ 2–5 两个平行力的合成
§ 2–7 力偶系的合成与平衡第二章基本力系 § 2–6 力偶及其性质
共点力系 力偶系
§ 2– 1 力系的基本类型共点力系 —— 各力均作用于同一点的力系。
力 偶 ——作用线平行、指向相反而大小相等的两个力。
力 偶 系 —— 若干个力偶组成的力系。
平面力系 —— 各力的作用线都在同一平面内的力系。
否则为空间力系。
§ 2– 2 共点力系合成与平衡的几何法
1,合成的几何法,
A
F2
F1
F4 F3
表达式：
R
F1 B
F2 C
F3
D
F4
E
A
F1,F2,F3,F4 为平面共点力系：
4321 FFFFR
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。 加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
2、力的多边形规则：
§ 2– 2 共点力系合成与平衡的几何法
R
F1 B
F2 C
F3
D
F4
E
A
空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空间图形。 给实际作图带来困难。
§ 2– 2 共点力系合成与平衡的几何法
R
F1 B
F2 C
F3
D
F4
E
A
1、共点力系的合成结果
0F
该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。
共点力系可以合成为一个力，合力作用在力系的公共作用点，它 等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边形的封闭边表示。
n
i
i
1
F矢量的表达式,R = F1+ F2+ F3+ ··+ Fn
2、共点力系平衡的充要几何条件：
§ 2– 2 共点力系合成与平衡的几何法
A B
30oa aC
(a) (b)
60o
30o
60o
30o
解：
(1) 取梁 AB 作为研究对象。
(4) 解出,NA=Pcos30?=17.3kN,NB=Psin30?=10kN
(2) 画出受力图。
(3) 应用平衡条件画出 P,NA 和 NB 的闭合力三角形。
例题 2-1 水平梁 AB 中点 C 作用着力 P，其大小等于 20kN，方向与梁的轴线成 60o角，支承情况如图 (a)所示，试求固定铰链支座 A 和活动铰链支座 B 的反力。梁的自重不计。
§ 2– 2 共点力系合成与平衡的几何法
O?
P
A
SBB
ND D
(b)
J
ND
K
SB
P
I
(c)解：
(1) 取制动蹬 ABD 作为研究对象。
(2) 画出受力图。
P
24
6
A
C
BO E
D
(a)
(3) 应用平衡条件画出 P,SB 和 ND 的闭和 力 三角形。
例题 2-2 图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力 P=212N,方向与水平面成?=45?角。当平衡时,BC水平，
AD铅直，试求拉杆所受的力。已知 EA=24cm,DE=6cm?点 E在铅直线 DA上?，又 B,C,D都是光滑铰链，机构的 自重不计。
§ 2– 2 共点力系合成与平衡的几何法
cm 24 EAOE
25.0tg OEDE?
'214,2 50a r c t g
PS
B?
s in
1 8 0s in
（ 5） 代入数据求得：
SB=750 N。
（ 4） 由几何关系得：
由力三角形可得：
§ 2– 2 共点力系合成与平衡的几何法
O?
P
A
SBB
ND D
(b)
J
ND
K
SB
P
I
(c)
P
24
6
A
C
BO E
D
(a)
反之，当投影 Fx,Fy 已知时，则可求出力 F 的大小和方向：
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解一、力在坐标轴上的投影：
c o sx FF?
c o sFF y?
2y2x FFF
F
F
F
F yx c o s c o s
结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间 夹角的余弦。
y
b′
a′
a b
F
O x
B
Fx
Fy
在空间情况下，力 F 在 x 轴上投影，与平面情形相似，等于这个力的模乘以这个力与 x轴正向间夹角 α的余弦。
c o s FF x
α
x?
xa b
A
BF
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解
c o sx FF?
c o sFF y?
22
y
2
x zFFFF
F
F
F
F
F
F
z
cos
cos
cos
y
x
c o sFF z?
由力矢 F 的始端 A 和末端 B向投影平面 oxy引垂线，由垂足 A′ 到 B′ 所构成的矢量 A′ B′,就是力在平面 Oxy上的投影记为 Fxy。
即,?c o sFF xy?
注意：
力在轴上投影是代数值。
力在平面上的投影是矢量。
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解二、力在平面上的投影：
x
y
O
A′ B′
A
BF
Fxy
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解二、力在平面上的投影：
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解三、力在坐标轴上的分解：
引入 x,y,z 轴单位矢 i、
j,k。则可写为：
,,kFjFiF yyyyxx FFF
kjiF yyx FFF
设将力 F 按坐标轴 x,y,z方向分解为空间三正交分量,Fx,Fy,Fz。
则 zyx FFFF
A
F2
F1
(a)
F3
F1
F2
R
F3
x
A
B
C
D
(b)
合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。
证明：
以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力
F1,F2,F3 如图。
合力投影定理：
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
合力 R 在 x 轴上投影：
F1 F
2
R
F3
x
A
B
C
D
(b)
推广到任意多个力 F1,F2,? Fn 组成的平面 共点力系，可得：
a b cd
各力在 x 轴上投影：
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
abF x?1 bcF x?2 dcF x3
dcbcabadR x
xxxx FFFR 321
xnxxxxx FFFFFR?321
ynyyyy FFFFR?21
合力的大小
222222 zyxzyx FFFRRRR
合力 R 的方向余弦
R
F
R
R
R
F
R
R
R
F
R
R zzyyxx c o s,c o s,c o s
根据合力投影定理得
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
znzzzz FFFFR?21
共点力系平衡的充要解析条件：
力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。
0xF 0yF
空间共点力系的平衡方程,
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法平面共点力系的平衡方程,
0zF
0xF 0yF
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法解：
(1) 取制动蹬 ABD 作为研究对象。
例题 2-3 图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力 P=212N,方向与水平面成?=45?角。当平衡时,BC水平,AD 铅直，试求拉杆所受的力。已知 EA=24cm,DE=6cm?点
E在铅直线 DA上?，又 B,C,D 都是光滑铰链，机构的 自重不计。
O?
P
A
SBB
ND D
(b)
P
24
6
A
C
BO E
D
(a)
(3) 列出平衡方程：
0
0
y
x
F
F
045s i ns i n
0c o s45c o s
D
B
PF
FPF D
联立求解，得
N750B?F
O 45°
P
FB
FD
D
(b)
x
y
969.0c o s,243.0s i n
'214
又
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
30°
B
P
A
C
30°
a?
解：
1,取滑轮 B 轴销作为研究对象。
2,画出受力图（ b)。
SBC Q
SAB
P
x
y
30°
30°
b?
B
例题 2-4 利用铰车绕过定滑轮 B的绳子吊起一重 P=20kN的 货物，
滑轮由两端铰链的水平刚杆 AB 和斜刚杆 BC 支持于点 B (图 (a) )。
不计铰车的自重，试求杆 AB 和 BC 所受的力。
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
3,列出平衡方程：
0
0
y
x
F
F
4,联立求解，得反力 SAB 为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆 AB 实际上受拉力。
030s in30c o n QSS ABBC
030 c o s60 c o s QPS BC
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
SBC Q
SAB
P
x
y
30°
30°
b?
B
kN5.54ABS
kN5.74?BCS
例题 2-5 如图所示，用起重机吊起重物。起重杆的 A端用球铰链固定在地面上，而 B
端则用绳 CB和 DB拉住，两绳分别系在墙上的 C点和 D点，
连线 CD平行于 x轴。已知
CE=EB=DE,角 α =30o,CDB平面与水平面间的夹角 ∠ EBF=
30o,重物 G=10 kN。如不计起重杆的重量,试求起重杆所受的力和绳子的拉力。
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
1,取杆 AB与重物为研究对象，受力分析如图。解：
x
z
y
30o
α
A
B
D
G
C
E
F
F1
F2
FA
z
y
30o
α
A
B
G
E
F
F1
FA
其侧视图为
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
3.联立求解。
045 s in45 s in
,0
21
FF
F x
kN 66.8
kN 3,5 421
AF
FF
2,列平衡方程。z
y
30o
α
A
B
G
E
F
F1
FA
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
x
z
y
30o
α
A
B
D
G
C
E
F
030c o s45 c o s30 c o s45 c o s30 s i n
,0
21
FFF
F
A
y
030 c o s30 s i n45 c o s30 s i n45 c o s
,0
21
GFFF
F
A
z
投影法的符号法则：
当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示原先假定的该力指向和实际指向相反。
解析法求解共点力系平衡问题的一般步骤,
1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设的已知条件。
2.建立坐标系。
3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程
∑ Fx=0,∑ Fy=0,∑Fz=0,求解。
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
§ 2– 5 两个平行力的合成一、两同向平行力的合成
1.大小平行力的定义：平行力是指力作用线相平行的力
T1 T2
F2′
F1′
F1′
F2′
21 FFR
2,作用线的位置：
(内分反比关系 )
1
2
F
F
CB
AC?
R
AB
F
CB
F
AC
12
ABFF FAC
21
2
ABFF
FCB
21
1
F2
F1
A B
R
C
1.大小
F1
F2
A B
R
F1'
C
二、两大小不等反向平行力的合成
R
F1'
F1
F2
C A B2,作用线位置：
（外分反比关系）
1
2
F
F
CB
CA?
§ 2– 5 两个平行力的合成
21 FFR
两同向平行力的合成定理：
两同向平行力的合成结果是一个力，这个力的大小等于原两力大小之和，作用线与原两力平行，
并内分原两力的作用点为两段，使这两段的长度与原两力的大小成反比，合力的指向与原两力相同。
§ 2– 5 两个平行力的合成
大小不同的两个反向平行力的合成结果是一个力，这合力的大小等于原两力大小之差，作用线与原两力平行，且在原两力中较大一个的外侧，
并且外分原两力的作用点为两段，使这两段的长度与原两力的大小成反比。合力的指向与较大的外力相同。
两反向平行力的合成定理：
§ 2– 5 两个平行力的合成
上述两种情况下，合力作用线通过 AB 连线上的 C 点，称为两平行力的中心。
§ 2– 5 两个平行力的合成
R
F1'
F1
F2
C A B
T1 T2
F2′
F1′
F1′
F2′
F2
F1
A B
R
C
§ 2– 6 力偶及其性质
F1F2
d
一,力偶和力偶矩
1、力偶 —— 大小相等的二反向平行力。
⑴,作用效果：引起物体的转动。
⑵、力和力偶是静力学的二基本要素
。
力偶特性二：
力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶等效），因而也只能与力偶平衡。
力偶特性一：
力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为一个力。
工程实例
§ 2– 6 力偶及其性质
2、力偶臂 —— 力偶中两个力的作用线之间的距离。
3、力偶矩 —— 力偶中任何一个力的大小与力偶臂 d 的乘积，加上适当的正负号。
F1F2
d
力偶矩正负规定：
若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩取正号；反之，取负号。
量纲：力 × 长度，牛顿?米（ N?m）,
§ 2– 6 力偶及其性质
Fdl
二、力偶的等效条件
1,同一平面上力偶的等效条件
§ 2– 6 力偶及其性质
F
d
F?
d?
因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。
=
作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。
空间力偶作用面的平移并不改变对刚体的效应。
§ 2– 6 力偶及其性质
2,平行平面内力偶的等效条件
§ 2– 6 力偶及其性质
1、概念：
用来表示力偶矩的大小、转向、作用面的有向线段。
2、力偶的三要素：
(1)、力偶矩的大小。
(2)、力偶的转向。
(3)、力偶作用面的方位。
3、符号,l
§ 2– 6 力偶及其性质三、力偶矩矢
F
F
l
右手规则
4、力偶矩矢与力矢的区别力偶矩矢是自由矢量，而力矢是滑动矢量。
l 指向人为规定，力矢指向由本身所决定。
5、力偶等效定理又可陈述为,
力偶矩矢相等的两个力偶是等效力偶。
§ 2– 6 力偶及其性质
§ 2– 6 力偶及其性质
空间力偶系可合成为一力偶。合力偶的矩矢等于各分力偶矩的矢量和。
llllL n?21
一、力偶系的合成
§ 2-7 力偶系的合成与平衡
合力矩等于零，即力偶系中各力偶矩矢的量和等于零。
0 l
0
0
0
z
y
x
l
l
l
二、空间力偶系平衡的充要条件平衡方程的投影形式
§ 2-7 力偶系的合成与平衡
例题 2-6 图示的铰接四连杆机构 OABD，在杆 OA 和
BD 上分别作用着矩为 l1 和 l2 的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知 OA = r,DB = 2r,α=
30°,不计杆重，试求 l1 和 l2 间的关系。
D
l2
B
ND
SBA
O
l1
NO
SAB
A
O
B
D
α
l1 l2
A
§ 2-7 力偶系的合成与平衡解：
杆 AB为二力杆。
分别写出杆 AO 和 BD 的平衡方程：
§ 2-7 力偶系的合成与平衡
α
α D
l2
B
ND
SBA
O
l1
NO
SAB
A
0c o s1rSl AB
0c o s22rSl BA
,0l
12 2 ll
SS BAAB
x
z
yO
F1
F2
F3
1F?
2F?
3F?
x
z
y45°
O
l1
45°l2
l3
解：
1、画出各力偶矩矢。
2、合力偶矩矢的投影：
例题 2-6 图所示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶（ F1,F?1）的矩
l1=20N?m； 力偶（ F2,F?2）的矩 l2=20 N?m； 力偶（ F3,F?3）
的矩 l3=20 N?m。试求合力偶矩矢 L。又问使这个刚体平衡，还许施加怎样一个力偶。
§ 2-7 力偶系的合成与平衡
0321 xxxx lllL
mN2.1145c o s30100321 yyyy llLL
mN2.4145c os30020321 zzzz lllL
3、合力矩矢 L的大小和方向：
mN 7.42222 zyx lllL
90,,0,c o s iLiL LL x
'4874,,262.0,co s jLjL LL y
'1215,,965.0,c o s kLkL LL z
需加一力偶，其矩矢为 l4=-L
§ 2-7 力偶系的合成与平衡
x
z
y45°
O
l1
45°l2
l3
小结
1、掌握共点力系合成与平衡的几何法与解析法
3、熟练运用平衡方程求解共点力系的平衡问题
4、理解力偶和力偶矩的概念，并运用平衡条件求解力偶系的平衡问题
2、能正确地将力沿坐标轴分解并求力在坐标轴上的投影。正确理解合力投影定理
作业
2—1,2,8,12,13,15,18
第二章基本力系
§ 2–1 力系的基本类型
§ 2–2 共点力系合成与平衡的几何法
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
§ 2–5 两个平行力的合成
§ 2–7 力偶系的合成与平衡第二章基本力系 § 2–6 力偶及其性质
共点力系 力偶系
§ 2– 1 力系的基本类型共点力系 —— 各力均作用于同一点的力系。
力 偶 ——作用线平行、指向相反而大小相等的两个力。
力 偶 系 —— 若干个力偶组成的力系。
平面力系 —— 各力的作用线都在同一平面内的力系。
否则为空间力系。
§ 2– 2 共点力系合成与平衡的几何法
1,合成的几何法,
A
F2
F1
F4 F3
表达式：
R
F1 B
F2 C
F3
D
F4
E
A
F1,F2,F3,F4 为平面共点力系：
4321 FFFFR
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。 加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
2、力的多边形规则：
§ 2– 2 共点力系合成与平衡的几何法
R
F1 B
F2 C
F3
D
F4
E
A
空间共点力系和平面情形类似，在理论上也可以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空间图形。 给实际作图带来困难。
§ 2– 2 共点力系合成与平衡的几何法
R
F1 B
F2 C
F3
D
F4
E
A
1、共点力系的合成结果
0F
该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力的矢量和等于零。
共点力系可以合成为一个力，合力作用在力系的公共作用点，它 等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边形的封闭边表示。
n
i
i
1
F矢量的表达式,R = F1+ F2+ F3+ ··+ Fn
2、共点力系平衡的充要几何条件：
§ 2– 2 共点力系合成与平衡的几何法
A B
30oa aC
(a) (b)
60o
30o
60o
30o
解：
(1) 取梁 AB 作为研究对象。
(4) 解出,NA=Pcos30?=17.3kN,NB=Psin30?=10kN
(2) 画出受力图。
(3) 应用平衡条件画出 P,NA 和 NB 的闭合力三角形。
例题 2-1 水平梁 AB 中点 C 作用着力 P，其大小等于 20kN，方向与梁的轴线成 60o角，支承情况如图 (a)所示，试求固定铰链支座 A 和活动铰链支座 B 的反力。梁的自重不计。
§ 2– 2 共点力系合成与平衡的几何法
O?
P
A
SBB
ND D
(b)
J
ND
K
SB
P
I
(c)解：
(1) 取制动蹬 ABD 作为研究对象。
(2) 画出受力图。
P
24
6
A
C
BO E
D
(a)
(3) 应用平衡条件画出 P,SB 和 ND 的闭和 力 三角形。
例题 2-2 图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力 P=212N,方向与水平面成?=45?角。当平衡时,BC水平，
AD铅直，试求拉杆所受的力。已知 EA=24cm,DE=6cm?点 E在铅直线 DA上?，又 B,C,D都是光滑铰链，机构的 自重不计。
§ 2– 2 共点力系合成与平衡的几何法
cm 24 EAOE
25.0tg OEDE?
'214,2 50a r c t g
PS
B?
s in
1 8 0s in
（ 5） 代入数据求得：
SB=750 N。
（ 4） 由几何关系得：
由力三角形可得：
§ 2– 2 共点力系合成与平衡的几何法
O?
P
A
SBB
ND D
(b)
J
ND
K
SB
P
I
(c)
P
24
6
A
C
BO E
D
(a)
反之，当投影 Fx,Fy 已知时，则可求出力 F 的大小和方向：
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解一、力在坐标轴上的投影：
c o sx FF?
c o sFF y?
2y2x FFF
F
F
F
F yx c o s c o s
结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与该轴正向间 夹角的余弦。
y
b′
a′
a b
F
O x
B
Fx
Fy
在空间情况下，力 F 在 x 轴上投影，与平面情形相似，等于这个力的模乘以这个力与 x轴正向间夹角 α的余弦。
c o s FF x
α
x?
xa b
A
BF
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解
c o sx FF?
c o sFF y?
22
y
2
x zFFFF
F
F
F
F
F
F
z
cos
cos
cos
y
x
c o sFF z?
由力矢 F 的始端 A 和末端 B向投影平面 oxy引垂线，由垂足 A′ 到 B′ 所构成的矢量 A′ B′,就是力在平面 Oxy上的投影记为 Fxy。
即,?c o sFF xy?
注意：
力在轴上投影是代数值。
力在平面上的投影是矢量。
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解二、力在平面上的投影：
x
y
O
A′ B′
A
BF
Fxy
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解二、力在平面上的投影：
§ 2–3 力的投影,力沿坐标轴的分解三、力在坐标轴上的分解：
引入 x,y,z 轴单位矢 i、
j,k。则可写为：
,,kFjFiF yyyyxx FFF
kjiF yyx FFF
设将力 F 按坐标轴 x,y,z方向分解为空间三正交分量,Fx,Fy,Fz。
则 zyx FFFF
A
F2
F1
(a)
F3
F1
F2
R
F3
x
A
B
C
D
(b)
合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在同一轴上的投影的代数和。
证明：
以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力
F1,F2,F3 如图。
合力投影定理：
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
合力 R 在 x 轴上投影：
F1 F
2
R
F3
x
A
B
C
D
(b)
推广到任意多个力 F1,F2,? Fn 组成的平面 共点力系，可得：
a b cd
各力在 x 轴上投影：
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
abF x?1 bcF x?2 dcF x3
dcbcabadR x
xxxx FFFR 321
xnxxxxx FFFFFR?321
ynyyyy FFFFR?21
合力的大小
222222 zyxzyx FFFRRRR
合力 R 的方向余弦
R
F
R
R
R
F
R
R
R
F
R
R zzyyxx c o s,c o s,c o s
根据合力投影定理得
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
znzzzz FFFFR?21
共点力系平衡的充要解析条件：
力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的投影的代数和分别等于零。
0xF 0yF
空间共点力系的平衡方程,
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法平面共点力系的平衡方程,
0zF
0xF 0yF
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法解：
(1) 取制动蹬 ABD 作为研究对象。
例题 2-3 图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力 P=212N,方向与水平面成?=45?角。当平衡时,BC水平,AD 铅直，试求拉杆所受的力。已知 EA=24cm,DE=6cm?点
E在铅直线 DA上?，又 B,C,D 都是光滑铰链，机构的 自重不计。
O?
P
A
SBB
ND D
(b)
P
24
6
A
C
BO E
D
(a)
(3) 列出平衡方程：
0
0
y
x
F
F
045s i ns i n
0c o s45c o s
D
B
PF
FPF D
联立求解，得
N750B?F
O 45°
P
FB
FD
D
(b)
x
y
969.0c o s,243.0s i n
'214
又
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
30°
B
P
A
C
30°
a?
解：
1,取滑轮 B 轴销作为研究对象。
2,画出受力图（ b)。
SBC Q
SAB
P
x
y
30°
30°
b?
B
例题 2-4 利用铰车绕过定滑轮 B的绳子吊起一重 P=20kN的 货物，
滑轮由两端铰链的水平刚杆 AB 和斜刚杆 BC 支持于点 B (图 (a) )。
不计铰车的自重，试求杆 AB 和 BC 所受的力。
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
3,列出平衡方程：
0
0
y
x
F
F
4,联立求解，得反力 SAB 为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆 AB 实际上受拉力。
030s in30c o n QSS ABBC
030 c o s60 c o s QPS BC
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
SBC Q
SAB
P
x
y
30°
30°
b?
B
kN5.54ABS
kN5.74?BCS
例题 2-5 如图所示，用起重机吊起重物。起重杆的 A端用球铰链固定在地面上，而 B
端则用绳 CB和 DB拉住，两绳分别系在墙上的 C点和 D点，
连线 CD平行于 x轴。已知
CE=EB=DE,角 α =30o,CDB平面与水平面间的夹角 ∠ EBF=
30o,重物 G=10 kN。如不计起重杆的重量,试求起重杆所受的力和绳子的拉力。
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
1,取杆 AB与重物为研究对象，受力分析如图。解：
x
z
y
30o
α
A
B
D
G
C
E
F
F1
F2
FA
z
y
30o
α
A
B
G
E
F
F1
FA
其侧视图为
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
3.联立求解。
045 s in45 s in
,0
21
FF
F x
kN 66.8
kN 3,5 421
AF
FF
2,列平衡方程。z
y
30o
α
A
B
G
E
F
F1
FA
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
x
z
y
30o
α
A
B
D
G
C
E
F
030c o s45 c o s30 c o s45 c o s30 s i n
,0
21
FFF
F
A
y
030 c o s30 s i n45 c o s30 s i n45 c o s
,0
21
GFFF
F
A
z
投影法的符号法则：
当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表示原先假定的该力指向和实际指向相反。
解析法求解共点力系平衡问题的一般步骤,
1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设的已知条件。
2.建立坐标系。
3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程
∑ Fx=0,∑ Fy=0,∑Fz=0,求解。
§ 2–4 共点力系合成与平衡的解析法
§ 2– 5 两个平行力的合成一、两同向平行力的合成
1.大小平行力的定义：平行力是指力作用线相平行的力
T1 T2
F2′
F1′
F1′
F2′
21 FFR
2,作用线的位置：
(内分反比关系 )
1
2
F
F
CB
AC?
R
AB
F
CB
F
AC
12
ABFF FAC
21
2
ABFF
FCB
21
1
F2
F1
A B
R
C
1.大小
F1
F2
A B
R
F1'
C
二、两大小不等反向平行力的合成
R
F1'
F1
F2
C A B2,作用线位置：
（外分反比关系）
1
2
F
F
CB
CA?
§ 2– 5 两个平行力的合成
21 FFR
两同向平行力的合成定理：
两同向平行力的合成结果是一个力，这个力的大小等于原两力大小之和，作用线与原两力平行，
并内分原两力的作用点为两段，使这两段的长度与原两力的大小成反比，合力的指向与原两力相同。
§ 2– 5 两个平行力的合成
大小不同的两个反向平行力的合成结果是一个力，这合力的大小等于原两力大小之差，作用线与原两力平行，且在原两力中较大一个的外侧，
并且外分原两力的作用点为两段，使这两段的长度与原两力的大小成反比。合力的指向与较大的外力相同。
两反向平行力的合成定理：
§ 2– 5 两个平行力的合成
上述两种情况下，合力作用线通过 AB 连线上的 C 点，称为两平行力的中心。
§ 2– 5 两个平行力的合成
R
F1'
F1
F2
C A B
T1 T2
F2′
F1′
F1′
F2′
F2
F1
A B
R
C
§ 2– 6 力偶及其性质
F1F2
d
一,力偶和力偶矩
1、力偶 —— 大小相等的二反向平行力。
⑴,作用效果：引起物体的转动。
⑵、力和力偶是静力学的二基本要素
。
力偶特性二：
力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶等效），因而也只能与力偶平衡。
力偶特性一：
力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为一个力。
工程实例
§ 2– 6 力偶及其性质
2、力偶臂 —— 力偶中两个力的作用线之间的距离。
3、力偶矩 —— 力偶中任何一个力的大小与力偶臂 d 的乘积，加上适当的正负号。
F1F2
d
力偶矩正负规定：
若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩取正号；反之，取负号。
量纲：力 × 长度，牛顿?米（ N?m）,
§ 2– 6 力偶及其性质
Fdl
二、力偶的等效条件
1,同一平面上力偶的等效条件
§ 2– 6 力偶及其性质
F
d
F?
d?
因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。
=
作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。
空间力偶作用面的平移并不改变对刚体的效应。
§ 2– 6 力偶及其性质
2,平行平面内力偶的等效条件
§ 2– 6 力偶及其性质
1、概念：
用来表示力偶矩的大小、转向、作用面的有向线段。
2、力偶的三要素：
(1)、力偶矩的大小。
(2)、力偶的转向。
(3)、力偶作用面的方位。
3、符号,l
§ 2– 6 力偶及其性质三、力偶矩矢
F
F
l
右手规则
4、力偶矩矢与力矢的区别力偶矩矢是自由矢量，而力矢是滑动矢量。
l 指向人为规定，力矢指向由本身所决定。
5、力偶等效定理又可陈述为,
力偶矩矢相等的两个力偶是等效力偶。
§ 2– 6 力偶及其性质
§ 2– 6 力偶及其性质
空间力偶系可合成为一力偶。合力偶的矩矢等于各分力偶矩的矢量和。
llllL n?21
一、力偶系的合成
§ 2-7 力偶系的合成与平衡
合力矩等于零，即力偶系中各力偶矩矢的量和等于零。
0 l
0
0
0
z
y
x
l
l
l
二、空间力偶系平衡的充要条件平衡方程的投影形式
§ 2-7 力偶系的合成与平衡
例题 2-6 图示的铰接四连杆机构 OABD，在杆 OA 和
BD 上分别作用着矩为 l1 和 l2 的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知 OA = r,DB = 2r,α=
30°,不计杆重，试求 l1 和 l2 间的关系。
D
l2
B
ND
SBA
O
l1
NO
SAB
A
O
B
D
α
l1 l2
A
§ 2-7 力偶系的合成与平衡解：
杆 AB为二力杆。
分别写出杆 AO 和 BD 的平衡方程：
§ 2-7 力偶系的合成与平衡
α
α D
l2
B
ND
SBA
O
l1
NO
SAB
A
0c o s1rSl AB
0c o s22rSl BA
,0l
12 2 ll
SS BAAB
x
z
yO
F1
F2
F3
1F?
2F?
3F?
x
z
y45°
O
l1
45°l2
l3
解：
1、画出各力偶矩矢。
2、合力偶矩矢的投影：
例题 2-6 图所示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶（ F1,F?1）的矩
l1=20N?m； 力偶（ F2,F?2）的矩 l2=20 N?m； 力偶（ F3,F?3）
的矩 l3=20 N?m。试求合力偶矩矢 L。又问使这个刚体平衡，还许施加怎样一个力偶。
§ 2-7 力偶系的合成与平衡
0321 xxxx lllL
mN2.1145c o s30100321 yyyy llLL
mN2.4145c os30020321 zzzz lllL
3、合力矩矢 L的大小和方向：
mN 7.42222 zyx lllL
90,,0,c o s iLiL LL x
'4874,,262.0,co s jLjL LL y
'1215,,965.0,c o s kLkL LL z
需加一力偶，其矩矢为 l4=-L
§ 2-7 力偶系的合成与平衡
x
z
y45°
O
l1
45°l2
l3
小结
1、掌握共点力系合成与平衡的几何法与解析法
3、熟练运用平衡方程求解共点力系的平衡问题
4、理解力偶和力偶矩的概念，并运用平衡条件求解力偶系的平衡问题
2、能正确地将力沿坐标轴分解并求力在坐标轴上的投影。正确理解合力投影定理
作业
2—1,2,8,12,13,15,18
