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第三章平面任意力系
平面任意力系各个力的作用线在同一平面内，
但不汇交于一点，也不都平行的力系称为平面任意力系
§ 3–1 力对点之矩
§ 3–2 力线平移定理
§ 3–3 平面任意力系的简化?主矢与主矩
§ 3–4 平面任意力系简化结果的讨论,合力矩定理
§ 3–5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
§ 3–6 平面平行力系的平衡
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例第三章平面任意力系 § 3–7 物体系的平衡 与静不定问题的概念
O
A
d
B
F
一、力矩的定义 —— 力 F 的大小乘以该力作用线到某点 O 间距离 d，并加上适当正负号，称为力 F 对
O 点的矩。简称力矩。
§ 3– 1 力对点之矩二、力矩的表达式,
三、力矩的正负号规定：按右手规则，当有逆时针转动的趋向时，力 F 对 O 点的矩取正值。
四、力矩的单位：与力偶矩单位相同，为 N.m。
FdFM O
五、力矩的性质：
1、力沿作用线移动时，对某点的矩不变
2、力作用过矩心时，此力对矩心之矩等于零
3、互成平衡的力对同一点的矩之和等于零
§ 3– 1 力对点之矩
4、力偶中两力对面内任意点的矩等于该力偶的力偶矩
xyo yFxFFm
六、力矩的解析表达式
y
xO
yF
xF
F
x
y
A
B
§ 3– 1 力对点之矩力对某点的矩等于该力沿坐标轴的分力对同一点之矩的代数和
七、力对点的矩与力偶矩的区别：
相同处：力矩的量纲与力偶矩的相同。
不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改变，但一个力偶的矩是常量。
联 系：力偶中的两个力对任一点的之和是常量，等于力偶矩。
§ 3– 1 力对点之矩
§ 3– 2
F
AO d
F
AO d
F?
F?
l
AO
F?
= =
把力 F 作用线向某点 O 平移时，须附加一个力偶，
此附加力偶的矩等于原力 F 对点 O 的矩。
证明：
一、力线平移定理：
FFFFmFdl 0
§ 3– 2 力线平移定理
二、几个性质：
1、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶的矩的大小与正负一般要随指定 O点的位置的不同而不同。
2、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力。
3、力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。
§ 3– 2 力线平移定理
§ 3– 3 平面任意力系的简化?主矢与主矩
A3
O
A2
A1
F1
F3
F2
1F?
2F?
3F?
l1
Ol
2 l3
R?
LO O==
应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点 O 。从而这力系被分解为平面共点力系和平面力偶系。这种变换的方法称为力系向给定点 O 的简化
。点 O 称为简化中心。
一、力系向给定点 O 的简化
共点力系 F1?,F2?,F3?的合成结果为一作用点在点 O 的力 R?。这个力矢 R? 称为原平面任意力系的主矢。
附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶，这力偶的矩用 LO 代表，称为原平面任意力系对简化中心 O 的主矩。
§ 3– 3 平面任意力系的简化?主矢与主矩
321
3210
FmFmFm
lllL
ooo
321
321
FFF
FFFR
结论：
平面任意力系向面内任一点的简化结果，是一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中心的主矩。
推广,平面任意力系对简化中心 O 的简化结果主矩：
§ 3– 3 平面任意力系的简化?主矢与主矩
FFFFR n21
FmFmFmFmL onooo?210
主矢：
二、几点说明：
1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。
2、平面任意力系的主矩与简化中心 O 的位置有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。
§ 3– 3 平面任意力系的简化?主矢与主矩
§ 3– 3 平面任意力系的简化?主矢与主矩
方向余弦：
2、主矩 Lo可由下式计算：
三、主矢、主矩的求法：
1、主矢可接力多边形规则作图求得，或用解析法计算。
§ 3– 3 平面任意力系的简化?主矢与主矩
FmFmFmFmL onooo?210
2222 yxyx FFRRR
R FxR x,c o sR FyR y,c o s
= =
LO
O
R
O
R R?
R?
R
Lo
A O
R?
R
Lo
A
1,R?=0，而 LO≠0,原力系合成为力偶。这时力系主矩 LO 不随简化中心位置而变。
2,LO=0，而 R?≠0,原力系合成为一个力。作用于点 O
的力 R?就是原力系的合力。
3,R?≠0,LO≠0,原力系简化成一个力偶和一个作用于点 O 的力。这时力系也可合成为一个力。
说明如下：
§ 3– 4 平面任意力系简化结果的讨论,合力矩定理简化结果的讨论
R
Fm
R
LAO 00
综上所述，可见：
4,R?=0，而 LO=0，原力系平衡。
⑴,平面任意力系若不平衡，则当主矢主矩均不为零时，则该力系可以合成为一个力。
⑵、平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主矩不为零时，则该力系可以合成为一个力偶。
§ 3– 4 平面任意力系简化结果的讨论,合力矩定理
平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩，等于这个力系中的各个力对同一点的矩的代数和。
§ 3– 4 平面任意力系简化结果的讨论,合力矩定理合力矩定理
FmRm oo
yoxoo FmFmFm
xxo yFFm
yyo xFFm?
y
xO
yF
xF
F
x
y
A
B
F1
F2
F3
F4
O
A B
C x
y
2m
3m
30°
60°
例题 3-1 在长方形平板的 O,A,B,C 点上分别作用着有四个力,F1=1kN,F2=2kN,F3=F4=3kN（如图），
试求以上四个力构成的力系对点 O 的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。
解,取坐标系 Oxy。
1、求向 O点简化结果：
①求主矢 R?：
§ 3– 4 平面任意力系简化结果的讨论,合力矩定理
598.030c o s60c o s 432 FFFFR xx
6 14.0 cos RRx x、R
7 9 40 22,RRR yx
'x 652, R
7 8 9.0 co s RRy y、R
'y 5437, R R?
O
A B
C x
y
§ 3– 4 平面任意力系简化结果的讨论,合力矩定理
7 6 8.0
2
1
3
2
3
21
30s i n60s i n 421
FFFFR yy
F1
F2
F3
F4
O
A B
C x
y
2m
3m
30°
60°
② 求主矩,
FoO mL
5.030s i n3260c o s2 432 FFF
（ 2）、求合成结果：合成为一个合力 R,R的大小、方向与
R’ 相同。其作用线与 O点的垂直距离为：
m51.0 RLd o
R?/
O
A B
C x
y
Lo R
d
§ 3– 4 平面任意力系简化结果的讨论,合力矩定理
F1
F2
F3
F4
O
A B
C x
y
2m
3m
30°
60°
0,0,0 Foyx mFF
平衡方程其他形式：
0,0,0 FF BAx mmF
0,0,0 FFF CBA mmm
A,B 的连线不和 x 轴相垂直。
A,B,C 三点不共线。
平面任意力系平衡的充要条件：
力系的主矢等于零,又力系对任一点的主矩也等于零。
平衡方程：
§ 3– 5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
解：
1、取伸臂 AB为研究对象
2、受力分析如图
y
T
P QEQD
x
BA ECD
FAy F
Ax α
a
αc
b
B
F
A
C
QD QE
l
例题 3-2 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂 AB 重
P=2200N，吊车 D,E 连同吊起重物各重 QD=QE=4000N。
有关尺寸为,l = 4.3m,a = 1.5m,b = 0.9m,c =
0.15m,α =25° 。试求铰链 A 对臂 AB 的水平和垂直反力，以及拉索 BF 的拉力。
§ 3– 5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3、选列平衡方程：
:0 xF 0c o sTF Ax
:0 yF 0s i nTQPQF EDAy
,0Fm A
0s i nc o s2 lTcTblQlPaQ ED
4、联立求解,可得：
T = 12456 N
FAx= 11290 N
FAy= 4936 N
§ 3– 5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
y
T
P QEQD
x
BA ECD
FAy F
Ax α
解：
1、取梁 AB为研究对象。
2、受力分析如图，其中 Q=q.AB=100× 3=300N；作用在 AB的中点 C 。
BA D
QN
Ay
NAx
ND
C
M
y
x
BA D
1m
q
2m
M
例题 3-3 梁 AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度 q = 100N/m，力偶矩大小 M =
500 N?m。长度 AB = 3m,DB=1m。求活动铰支 D 和固定铰支 A 的反力。
§ 3– 5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3、列平衡方程：
:0 xF 0?AxN
:0 yF 0 DAy NQN
,0Fm A 0223 MNQ D
4、联立求解：
ND= 475 N
NAx= 0
NAy= -175 N
§ 3– 5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
BA D
QN
Ay
NAx
ND
C
M
y
x
2580
2083
770
A
BC
T
Q
解：
1、取机翼为研究对象。
2、受力分析如图,
Q
NAy
NAx
MA
BC
T
A
例题 3-4 某飞机的单支机翼重 Q=7.8 kN。飞机水平匀速直线飞行时，作用在机翼上的升力 T= 27 kN
，力的作用线位置如图示。试求机翼与机身连接处的约束力。
§ 3– 5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
:0 xF 0?AxN
:0 yF 0 TQN Ay
,0Fm A 0 ABTACQM A
4、联立求解：
MA=-38.6 kN?m (顺时针）
NAx= 0
NAy=-19.2 kN （向下）
3、列平衡方程：
§ 3– 5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
Q
NAy
NAx
MA
BC
T
A
0,0 FF BA mm 二矩式：
且 A,B 的连线不平行于力系中各力。
由此可见，在一个刚体受平面平行力系作用而平衡的问题中，利用平衡方程只能求解二个未知量。
0,0 FOy mF 一矩式：
平面平行力系平衡的充要条件：
力系中各力的代数和等于零,以这些力对任一点的矩的代数和也等于零。
平面平行力系的平衡方程：
§ 3– 6 平面平行力系的平衡
G
NA
Q
W
P
NB
A B
3.02.51.8 2.0
解：
1、取汽车及起重机为研究对象。
2、受力分析如图。
例题 3-5 一种车载式起重机，车重 Q = 26kN，起重机伸臂重 G= 4.5kN，起重机的旋转与固定部分共重 W = 31kN。尺寸如图所示，单位是 m，设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起重量 Pmax。
§ 3– 6 平面平行力系的平衡
PGQN A 5.55.228.3 1
:0 yF 0 WGQPNN BA
,0Fm B 08.325.25.5 ANQGP
4、联立求解：
3、列平衡方程：
5、不翻条件,NA≥0
kNGQP 5.75.225.5 1 由上式可得故 最大起重重量为 Pmax= 7.5 kN
§ 3– 6 平面平行力系的平衡
G
NA
Q
W
P
NB
A B
3.02.51.8 2.0
一、几个概念：
1、物体系 —— 由若干个物体通过约束组成的系统
2、外 力 —— 物体系以外任何物体作用于该系统的力
3、内 力 —— 物体系内部各物体间相互作用的力二、物体系平衡方程的数目：
由 n个物体组成的物体系，总共有不多于 3n个独立的平衡方程。
§ 3– 7 物体系的平衡与静不定问题的概念
静定静不定静不定静不定三、静定与静不定概念：
1、静定问题 —— 当系统中未知量数目等于或少于独立平衡方程数目时的问题。
2、静不定问题 —— 当系统中未知量数目多于独立平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。
§ 3– 7 物体系的平衡与静不定问题的概念
解：
1、取 AC 段研究，受力分析如图。
例题 3-6 三铰拱桥如图所示，由左右两段借铰链 C 连接起来，又用铰链 A,B 与基础相联结。已知每段重
G=40 kN，重心分别在 D,E 处，且桥面受一集中载荷
P=10 kN。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链中的力。尺寸如图所示，单位是 m。
物体系的平衡问题
P 3
D E
A B
C
NCy
NCx
NAy
NAx
D
A
C
:0 xF 0 CxAx NN
:0 yF 0 GNN CyAy
,0Fm C 0566 GNN AyAx
列平衡方程：
2、再取 BC 段研究，受力分析如图。
列平衡方程：
:0 xF 0' BxCx NN
:0 yF 0' GPNN ByCy
06653 BxBy NNGP,0Fm C
物体系的平衡问题
'yNC
'NCx
ByN
BxN
P
B
C E
NCy
NCx
NAy
NAx
D
A
C
'
CyCyCxCx N NNN,
'
联立求解：可得
NAx= -NBx = NCx = 9.2 kN
NAy= 42.5 kN
NBy= 47.5 kN
NCy= 2.5 kN
NCx 和 N?Cx,NCy 和 N?Cy是二对作用与反作用力。
物体系的平衡问题
解：
1、取 CE 段为研究对象，受力分析如图。
P
l/8
q
BA D
L
CH E
l/4l/8 l/4l/4
L
Q1
3l/8
C EH
l/8NC NE
例题 3-7 组合梁 AC 和 CE 用铰链 C 相连,A端为固定端,E 端为活动铰链支座。受力如图所示。已知：
l =8 m,P=5 kN，均布载荷集度 q=2.5 kN/m，力偶矩的大小 L= 5kN· m，试求固端 A、铰链 C 和支座 E 的反力。
41
lqQ
物体系的平衡问题
:0 yF 04 EC NlqN
,0Fm C 0
284
lNLllq
E
列平衡方程：
2、取 AC 段为研究对象，受力分析如图。
联立求解：可得
NE=2.5 kN （向上）
NC=2.5 kN （向上）
Q2P
LA
l/4
A CH
l/8 l/8NA CN
42
lqQ
L
Q1
3l/8
C EH
l/8NC NE
物体系的平衡问题
:0 yF 0
4
lqPNN
CA
,0Fm A
028348 lNllqlPL CA
列平衡方程：
联立求解：可得
LA= 30 kN· m
NA= -12.5 kN
42
lqQ
Q2P
LA
l/4
A CH
l/8 l/8NA CN?
物体系的平衡问题
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
1、桁架 —— 一种由若干杆件彼此在两端用铰链连接而成，受力后几何形状不变的结构。
如图分别是普通屋顶桁架和桥梁桁架。
一、概念：
2、平面桁架 —— 所有杆件都在同一平面内的桁架。
3、节 点 —— 桁架中杆件的铰链接头。
4、杆件内力 —— 各杆件所承受的力。
5、静定桁架 —— 如果从桁架中任意抽去一根杆件，则桁架失去形状的固定性。
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
1、桁架中的杆件都是直杆，并用光滑铰链连接。
二、桁架计算的常见假设：
三、桁架结构的优点：
可以充分发挥材料的作用，减轻结构的重量，
节约材料。
2、桁架受的力都作用在节点上，并在桁架的平面内。
3、桁架的自重忽略不计，或被平均分配到杆件两端的节点上，这样的桁架称为理想桁架。
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
四、计算桁架杆件内力的方法：
1、节点法 -- 应用共点力系平衡条件，逐一研究桁架上每个节点的平衡。
2、截面法 -- 应用平面任意力系的平衡条件，
研究桁架由截面切出的某部分的平衡。
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
a aa
a
P1
A
D C
B
EF P2
解法 1:（节点法）
1、取整体为研究对象,受力分析如图,
:0 xF 02 PN Ax
:0 yF 01 PNN AyB
,0Fm A 0321 aNaPaP B
列平衡方程：
例题 3-8 如图平面桁架，求各杆内力。已知铅垂力
P1=4 kN，水平力 P2=2 kN。
联立求解,NB=2kN
NAy=2kN NAx=-2kN
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
P2
a aa
a
P1
A
BCD
EFN
Ay
NB
NAx
:0 xF
045c o s1 SN Ay:0 yF
045c o s12 SSN Ax
列平衡方程：
2、取节点 A，受力分析如图。
联立求解：
221S 42?S
NAx
NAy
A
S2
S1
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
P2
a aa
a
P1
A
BCD
EFN
Ay
NB
NAx
51
2
4
6 9
83 7
NB=2kN NAy=2kN NAx=-2kN
:0 xF
24S
:0 yF
045c o s13 SS
列平衡方程：
3、取节点 F，受力分析如图。
S4
S1 S
3
F
045c o s14 SS
23?S
联立求解：
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
P2
a aa
a
P1
A
BCD
EFN
Ay
NB
NAx
51
2
4
6 9
83 7
4、取节点 D，受力分析如图。
:0 xF
045c o s53 SSP D
:0 yF
045c o s562 SSS
列平衡方程：
S3
S2
PD
D
S6
S5
联立求解：
225?S
26?S
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
P2
a aa
a
P1
A
BCD
EFN
Ay
NB
NAx
51
2
4
6 9
83 7
列平衡方程：
5、取节点 C，受力分析如图。
:0 xF
07?S:0 yF
069 SS
S7
S6
C
S9
解得,2
9?S
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
P2
a aa
a
P1
A
BCD
EFN
Ay
NB
NAx
51
2
4
6 9
83 7
:0 xF 045c o s
89 SS
:0 yF 045s in8 BNS
列平衡方程：
6、取节点 B，受力分析如图。
联立求解：
229S
228S
NB
B
S9
S8
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
P2
a aa
a
P1
A
BCD
EFN
Ay
NB
NAx
51
2
4
6 9
83 7
解法 2:（截面法）
1、取整体为研究对象，受力分析如图。
列平衡方程：
联立求解 NB=2 KN NAx=-2kN NAy=2 KN
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
:0 xF 02 PN Ax
:0 yF 01 PNN AyB
,0Fm A 0321 aNaPaP B
P2
a aa
a
P1
A
BCD
EFN
Ay
NB
NAx
51
2
4
6 9
83 7
列平衡方程：
2、取左部分为分离体，受力分析如图。
联立求解：
a a
P1
A
D
FNAy
NAx
S5
S4
S6:0 xF 045c o s546 SSNS Ax
:0 yF 045c o s51 SPN Ay
:0 DM 0
4 aNaS Ay
225?S
26?S
24S
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
P2
a aa
a
P1
A
BCD
EFN
Ay
NB
NAx
51
2
4
6 9
83 7
小结
1、掌握平面任意力系向一点简化的方法。会用解析法求主矢和主矩。熟知力系简化的结果
2、深入理解平面任意力系的平衡条件及平衡方程的几种形式
3、调熟练计算在平面任意力系作用下物体和物体系的平衡问题
4、理解简单桁架的简化假设，掌握计算其应力的节点法和截面法
作业
3—1ae,3,7,8,21,25,26b
第三章平面任意力系
平面任意力系各个力的作用线在同一平面内，
但不汇交于一点，也不都平行的力系称为平面任意力系
§ 3–1 力对点之矩
§ 3–2 力线平移定理
§ 3–3 平面任意力系的简化?主矢与主矩
§ 3–4 平面任意力系简化结果的讨论,合力矩定理
§ 3–5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
§ 3–6 平面平行力系的平衡
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例第三章平面任意力系 § 3–7 物体系的平衡 与静不定问题的概念
O
A
d
B
F
一、力矩的定义 —— 力 F 的大小乘以该力作用线到某点 O 间距离 d，并加上适当正负号，称为力 F 对
O 点的矩。简称力矩。
§ 3– 1 力对点之矩二、力矩的表达式,
三、力矩的正负号规定：按右手规则，当有逆时针转动的趋向时，力 F 对 O 点的矩取正值。
四、力矩的单位：与力偶矩单位相同，为 N.m。
FdFM O
五、力矩的性质：
1、力沿作用线移动时，对某点的矩不变
2、力作用过矩心时，此力对矩心之矩等于零
3、互成平衡的力对同一点的矩之和等于零
§ 3– 1 力对点之矩
4、力偶中两力对面内任意点的矩等于该力偶的力偶矩
xyo yFxFFm
六、力矩的解析表达式
y
xO
yF
xF
F
x
y
A
B
§ 3– 1 力对点之矩力对某点的矩等于该力沿坐标轴的分力对同一点之矩的代数和
七、力对点的矩与力偶矩的区别：
相同处：力矩的量纲与力偶矩的相同。
不同处：力对点的矩可随矩心的位置改变而改变，但一个力偶的矩是常量。
联 系：力偶中的两个力对任一点的之和是常量，等于力偶矩。
§ 3– 1 力对点之矩
§ 3– 2
F
AO d
F
AO d
F?
F?
l
AO
F?
= =
把力 F 作用线向某点 O 平移时，须附加一个力偶，
此附加力偶的矩等于原力 F 对点 O 的矩。
证明：
一、力线平移定理：
FFFFmFdl 0
§ 3– 2 力线平移定理
二、几个性质：
1、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶的矩的大小与正负一般要随指定 O点的位置的不同而不同。
2、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力。
3、力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。
§ 3– 2 力线平移定理
§ 3– 3 平面任意力系的简化?主矢与主矩
A3
O
A2
A1
F1
F3
F2
1F?
2F?
3F?
l1
Ol
2 l3
R?
LO O==
应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点 O 。从而这力系被分解为平面共点力系和平面力偶系。这种变换的方法称为力系向给定点 O 的简化
。点 O 称为简化中心。
一、力系向给定点 O 的简化
共点力系 F1?,F2?,F3?的合成结果为一作用点在点 O 的力 R?。这个力矢 R? 称为原平面任意力系的主矢。
附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶，这力偶的矩用 LO 代表，称为原平面任意力系对简化中心 O 的主矩。
§ 3– 3 平面任意力系的简化?主矢与主矩
321
3210
FmFmFm
lllL
ooo
321
321
FFF
FFFR
结论：
平面任意力系向面内任一点的简化结果，是一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中心的主矩。
推广,平面任意力系对简化中心 O 的简化结果主矩：
§ 3– 3 平面任意力系的简化?主矢与主矩
FFFFR n21
FmFmFmFmL onooo?210
主矢：
二、几点说明：
1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。
2、平面任意力系的主矩与简化中心 O 的位置有关。因此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。
§ 3– 3 平面任意力系的简化?主矢与主矩
§ 3– 3 平面任意力系的简化?主矢与主矩
方向余弦：
2、主矩 Lo可由下式计算：
三、主矢、主矩的求法：
1、主矢可接力多边形规则作图求得，或用解析法计算。
§ 3– 3 平面任意力系的简化?主矢与主矩
FmFmFmFmL onooo?210
2222 yxyx FFRRR
R FxR x,c o sR FyR y,c o s
= =
LO
O
R
O
R R?
R?
R
Lo
A O
R?
R
Lo
A
1,R?=0，而 LO≠0,原力系合成为力偶。这时力系主矩 LO 不随简化中心位置而变。
2,LO=0，而 R?≠0,原力系合成为一个力。作用于点 O
的力 R?就是原力系的合力。
3,R?≠0,LO≠0,原力系简化成一个力偶和一个作用于点 O 的力。这时力系也可合成为一个力。
说明如下：
§ 3– 4 平面任意力系简化结果的讨论,合力矩定理简化结果的讨论
R
Fm
R
LAO 00
综上所述，可见：
4,R?=0，而 LO=0，原力系平衡。
⑴,平面任意力系若不平衡，则当主矢主矩均不为零时，则该力系可以合成为一个力。
⑵、平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主矩不为零时，则该力系可以合成为一个力偶。
§ 3– 4 平面任意力系简化结果的讨论,合力矩定理
平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩，等于这个力系中的各个力对同一点的矩的代数和。
§ 3– 4 平面任意力系简化结果的讨论,合力矩定理合力矩定理
FmRm oo
yoxoo FmFmFm
xxo yFFm
yyo xFFm?
y
xO
yF
xF
F
x
y
A
B
F1
F2
F3
F4
O
A B
C x
y
2m
3m
30°
60°
例题 3-1 在长方形平板的 O,A,B,C 点上分别作用着有四个力,F1=1kN,F2=2kN,F3=F4=3kN（如图），
试求以上四个力构成的力系对点 O 的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。
解,取坐标系 Oxy。
1、求向 O点简化结果：
①求主矢 R?：
§ 3– 4 平面任意力系简化结果的讨论,合力矩定理
598.030c o s60c o s 432 FFFFR xx
6 14.0 cos RRx x、R
7 9 40 22,RRR yx
'x 652, R
7 8 9.0 co s RRy y、R
'y 5437, R R?
O
A B
C x
y
§ 3– 4 平面任意力系简化结果的讨论,合力矩定理
7 6 8.0
2
1
3
2
3
21
30s i n60s i n 421
FFFFR yy
F1
F2
F3
F4
O
A B
C x
y
2m
3m
30°
60°
② 求主矩,
FoO mL
5.030s i n3260c o s2 432 FFF
（ 2）、求合成结果：合成为一个合力 R,R的大小、方向与
R’ 相同。其作用线与 O点的垂直距离为：
m51.0 RLd o
R?/
O
A B
C x
y
Lo R
d
§ 3– 4 平面任意力系简化结果的讨论,合力矩定理
F1
F2
F3
F4
O
A B
C x
y
2m
3m
30°
60°
0,0,0 Foyx mFF
平衡方程其他形式：
0,0,0 FF BAx mmF
0,0,0 FFF CBA mmm
A,B 的连线不和 x 轴相垂直。
A,B,C 三点不共线。
平面任意力系平衡的充要条件：
力系的主矢等于零,又力系对任一点的主矩也等于零。
平衡方程：
§ 3– 5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
解：
1、取伸臂 AB为研究对象
2、受力分析如图
y
T
P QEQD
x
BA ECD
FAy F
Ax α
a
αc
b
B
F
A
C
QD QE
l
例题 3-2 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂 AB 重
P=2200N，吊车 D,E 连同吊起重物各重 QD=QE=4000N。
有关尺寸为,l = 4.3m,a = 1.5m,b = 0.9m,c =
0.15m,α =25° 。试求铰链 A 对臂 AB 的水平和垂直反力，以及拉索 BF 的拉力。
§ 3– 5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3、选列平衡方程：
:0 xF 0c o sTF Ax
:0 yF 0s i nTQPQF EDAy
,0Fm A
0s i nc o s2 lTcTblQlPaQ ED
4、联立求解,可得：
T = 12456 N
FAx= 11290 N
FAy= 4936 N
§ 3– 5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
y
T
P QEQD
x
BA ECD
FAy F
Ax α
解：
1、取梁 AB为研究对象。
2、受力分析如图，其中 Q=q.AB=100× 3=300N；作用在 AB的中点 C 。
BA D
QN
Ay
NAx
ND
C
M
y
x
BA D
1m
q
2m
M
例题 3-3 梁 AB上受到一个均布载荷和一个力偶作用，已知载荷集度 q = 100N/m，力偶矩大小 M =
500 N?m。长度 AB = 3m,DB=1m。求活动铰支 D 和固定铰支 A 的反力。
§ 3– 5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
3、列平衡方程：
:0 xF 0?AxN
:0 yF 0 DAy NQN
,0Fm A 0223 MNQ D
4、联立求解：
ND= 475 N
NAx= 0
NAy= -175 N
§ 3– 5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
BA D
QN
Ay
NAx
ND
C
M
y
x
2580
2083
770
A
BC
T
Q
解：
1、取机翼为研究对象。
2、受力分析如图,
Q
NAy
NAx
MA
BC
T
A
例题 3-4 某飞机的单支机翼重 Q=7.8 kN。飞机水平匀速直线飞行时，作用在机翼上的升力 T= 27 kN
，力的作用线位置如图示。试求机翼与机身连接处的约束力。
§ 3– 5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
:0 xF 0?AxN
:0 yF 0 TQN Ay
,0Fm A 0 ABTACQM A
4、联立求解：
MA=-38.6 kN?m (顺时针）
NAx= 0
NAy=-19.2 kN （向下）
3、列平衡方程：
§ 3– 5 平面任意力系的平衡条件和平衡方程
Q
NAy
NAx
MA
BC
T
A
0,0 FF BA mm 二矩式：
且 A,B 的连线不平行于力系中各力。
由此可见，在一个刚体受平面平行力系作用而平衡的问题中，利用平衡方程只能求解二个未知量。
0,0 FOy mF 一矩式：
平面平行力系平衡的充要条件：
力系中各力的代数和等于零,以这些力对任一点的矩的代数和也等于零。
平面平行力系的平衡方程：
§ 3– 6 平面平行力系的平衡
G
NA
Q
W
P
NB
A B
3.02.51.8 2.0
解：
1、取汽车及起重机为研究对象。
2、受力分析如图。
例题 3-5 一种车载式起重机，车重 Q = 26kN，起重机伸臂重 G= 4.5kN，起重机的旋转与固定部分共重 W = 31kN。尺寸如图所示，单位是 m，设伸臂在起重机对称面内，且放在图示位置，试求车子不致翻倒的最大起重量 Pmax。
§ 3– 6 平面平行力系的平衡
PGQN A 5.55.228.3 1
:0 yF 0 WGQPNN BA
,0Fm B 08.325.25.5 ANQGP
4、联立求解：
3、列平衡方程：
5、不翻条件,NA≥0
kNGQP 5.75.225.5 1 由上式可得故 最大起重重量为 Pmax= 7.5 kN
§ 3– 6 平面平行力系的平衡
G
NA
Q
W
P
NB
A B
3.02.51.8 2.0
一、几个概念：
1、物体系 —— 由若干个物体通过约束组成的系统
2、外 力 —— 物体系以外任何物体作用于该系统的力
3、内 力 —— 物体系内部各物体间相互作用的力二、物体系平衡方程的数目：
由 n个物体组成的物体系，总共有不多于 3n个独立的平衡方程。
§ 3– 7 物体系的平衡与静不定问题的概念
静定静不定静不定静不定三、静定与静不定概念：
1、静定问题 —— 当系统中未知量数目等于或少于独立平衡方程数目时的问题。
2、静不定问题 —— 当系统中未知量数目多于独立平衡方程数目时，不能求出全部未知量的问题。
§ 3– 7 物体系的平衡与静不定问题的概念
解：
1、取 AC 段研究，受力分析如图。
例题 3-6 三铰拱桥如图所示，由左右两段借铰链 C 连接起来，又用铰链 A,B 与基础相联结。已知每段重
G=40 kN，重心分别在 D,E 处，且桥面受一集中载荷
P=10 kN。设各铰链都是光滑的，试求平衡时，各铰链中的力。尺寸如图所示，单位是 m。
物体系的平衡问题
P 3
D E
A B
C
NCy
NCx
NAy
NAx
D
A
C
:0 xF 0 CxAx NN
:0 yF 0 GNN CyAy
,0Fm C 0566 GNN AyAx
列平衡方程：
2、再取 BC 段研究，受力分析如图。
列平衡方程：
:0 xF 0' BxCx NN
:0 yF 0' GPNN ByCy
06653 BxBy NNGP,0Fm C
物体系的平衡问题
'yNC
'NCx
ByN
BxN
P
B
C E
NCy
NCx
NAy
NAx
D
A
C
'
CyCyCxCx N NNN,
'
联立求解：可得
NAx= -NBx = NCx = 9.2 kN
NAy= 42.5 kN
NBy= 47.5 kN
NCy= 2.5 kN
NCx 和 N?Cx,NCy 和 N?Cy是二对作用与反作用力。
物体系的平衡问题
解：
1、取 CE 段为研究对象，受力分析如图。
P
l/8
q
BA D
L
CH E
l/4l/8 l/4l/4
L
Q1
3l/8
C EH
l/8NC NE
例题 3-7 组合梁 AC 和 CE 用铰链 C 相连,A端为固定端,E 端为活动铰链支座。受力如图所示。已知：
l =8 m,P=5 kN，均布载荷集度 q=2.5 kN/m，力偶矩的大小 L= 5kN· m，试求固端 A、铰链 C 和支座 E 的反力。
41
lqQ
物体系的平衡问题
:0 yF 04 EC NlqN
,0Fm C 0
284
lNLllq
E
列平衡方程：
2、取 AC 段为研究对象，受力分析如图。
联立求解：可得
NE=2.5 kN （向上）
NC=2.5 kN （向上）
Q2P
LA
l/4
A CH
l/8 l/8NA CN
42
lqQ
L
Q1
3l/8
C EH
l/8NC NE
物体系的平衡问题
:0 yF 0
4
lqPNN
CA
,0Fm A
028348 lNllqlPL CA
列平衡方程：
联立求解：可得
LA= 30 kN· m
NA= -12.5 kN
42
lqQ
Q2P
LA
l/4
A CH
l/8 l/8NA CN?
物体系的平衡问题
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
1、桁架 —— 一种由若干杆件彼此在两端用铰链连接而成，受力后几何形状不变的结构。
如图分别是普通屋顶桁架和桥梁桁架。
一、概念：
2、平面桁架 —— 所有杆件都在同一平面内的桁架。
3、节 点 —— 桁架中杆件的铰链接头。
4、杆件内力 —— 各杆件所承受的力。
5、静定桁架 —— 如果从桁架中任意抽去一根杆件，则桁架失去形状的固定性。
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
1、桁架中的杆件都是直杆，并用光滑铰链连接。
二、桁架计算的常见假设：
三、桁架结构的优点：
可以充分发挥材料的作用，减轻结构的重量，
节约材料。
2、桁架受的力都作用在节点上，并在桁架的平面内。
3、桁架的自重忽略不计，或被平均分配到杆件两端的节点上，这样的桁架称为理想桁架。
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
四、计算桁架杆件内力的方法：
1、节点法 -- 应用共点力系平衡条件，逐一研究桁架上每个节点的平衡。
2、截面法 -- 应用平面任意力系的平衡条件，
研究桁架由截面切出的某部分的平衡。
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
a aa
a
P1
A
D C
B
EF P2
解法 1:（节点法）
1、取整体为研究对象,受力分析如图,
:0 xF 02 PN Ax
:0 yF 01 PNN AyB
,0Fm A 0321 aNaPaP B
列平衡方程：
例题 3-8 如图平面桁架，求各杆内力。已知铅垂力
P1=4 kN，水平力 P2=2 kN。
联立求解,NB=2kN
NAy=2kN NAx=-2kN
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
P2
a aa
a
P1
A
BCD
EFN
Ay
NB
NAx
:0 xF
045c o s1 SN Ay:0 yF
045c o s12 SSN Ax
列平衡方程：
2、取节点 A，受力分析如图。
联立求解：
221S 42?S
NAx
NAy
A
S2
S1
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
P2
a aa
a
P1
A
BCD
EFN
Ay
NB
NAx
51
2
4
6 9
83 7
NB=2kN NAy=2kN NAx=-2kN
:0 xF
24S
:0 yF
045c o s13 SS
列平衡方程：
3、取节点 F，受力分析如图。
S4
S1 S
3
F
045c o s14 SS
23?S
联立求解：
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
P2
a aa
a
P1
A
BCD
EFN
Ay
NB
NAx
51
2
4
6 9
83 7
4、取节点 D，受力分析如图。
:0 xF
045c o s53 SSP D
:0 yF
045c o s562 SSS
列平衡方程：
S3
S2
PD
D
S6
S5
联立求解：
225?S
26?S
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
P2
a aa
a
P1
A
BCD
EFN
Ay
NB
NAx
51
2
4
6 9
83 7
列平衡方程：
5、取节点 C，受力分析如图。
:0 xF
07?S:0 yF
069 SS
S7
S6
C
S9
解得,2
9?S
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
P2
a aa
a
P1
A
BCD
EFN
Ay
NB
NAx
51
2
4
6 9
83 7
:0 xF 045c o s
89 SS
:0 yF 045s in8 BNS
列平衡方程：
6、取节点 B，受力分析如图。
联立求解：
229S
228S
NB
B
S9
S8
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
P2
a aa
a
P1
A
BCD
EFN
Ay
NB
NAx
51
2
4
6 9
83 7
解法 2:（截面法）
1、取整体为研究对象，受力分析如图。
列平衡方程：
联立求解 NB=2 KN NAx=-2kN NAy=2 KN
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
:0 xF 02 PN Ax
:0 yF 01 PNN AyB
,0Fm A 0321 aNaPaP B
P2
a aa
a
P1
A
BCD
EFN
Ay
NB
NAx
51
2
4
6 9
83 7
列平衡方程：
2、取左部分为分离体，受力分析如图。
联立求解：
a a
P1
A
D
FNAy
NAx
S5
S4
S6:0 xF 045c o s546 SSNS Ax
:0 yF 045c o s51 SPN Ay
:0 DM 0
4 aNaS Ay
225?S
26?S
24S
§ 3–8 平面静力学在工程中的应用举例
P2
a aa
a
P1
A
BCD
EFN
Ay
NB
NAx
51
2
4
6 9
83 7
小结
1、掌握平面任意力系向一点简化的方法。会用解析法求主矢和主矩。熟知力系简化的结果
2、深入理解平面任意力系的平衡条件及平衡方程的几种形式
3、调熟练计算在平面任意力系作用下物体和物体系的平衡问题
4、理解简单桁架的简化假设，掌握计算其应力的节点法和截面法
作业
3—1ae,3,7,8,21,25,26b
