第三章 线性方程组
在第一、二章中，我们曾经以行列式和逆阵为工具解决了一类线性方程组的求解问题。本章将系统地解决一般线性方程组的求解问题。所用的工具是克莱姆法则、初等变换、向量等。
§1 消元法
中学代数已介绍过二元、三元线性方程组的消元法——高斯消元法。下面再作三例，以求其规律。
例1 解线性方程组 （1）
解：交换第一、二两个方程，
得同解组
（2）-2,（3）-4
得同解组
[（）-（2，）]（-2）
得同解组 （2）
至此消元过程完结，接下来是回代过程,
将代入得 =-2，再将=-2，=2代入 得=-1，
从而（2）有唯一解：x1=-1，x2=-2，x3=2，也是（1）的唯一解例2 求解线性方程组
解,(2)-2(1)，(3)-3(1) 得同解组
7,5 得同解组
得
其解为z=1，y=t(任意)，x=4-3t，所以方程组有无穷多解。
例3 求解线性方程组
解：同例2，得同解组： 矛盾，无解
以上三例，求解过程中，对方程组共施行了三种变换：
互换两个方程的位置；
k某一方程 （k≠0）；
用一个数k乘某一方程后加到另一个方程上去。
——称为方程组的初等变换，与矩阵的初等行变换完全相同。所以线性方程的求解完全可以由其增广矩阵的行初等变换求出。
例4 求解线性方程组：
(3)
解：先写出其增广矩阵并施以行的初等变换，化为上阶梯形
（系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等）
再写出最后一个矩阵所对应的方程组便得到（3）的同解方程组：
自下而上回代，解出用x5表达x1，x2，x3，x4的结果：
（可任意，称为自由未知量）
所以（3）有无穷多解。
一般地，我们得到下述关于线性方程组有解的判别定理：
定理1 线性方程组
有解的充要条件是它的系数矩阵A与增广矩阵B的秩相等，即R(A)=R(B)。
其中A=，B==
证：利用初等行变换把增广矩阵化为上阶梯形
B= D==
（不妨设c11,c22 …crr不为零）
相应地，方程组（4）就化为与它同解的阶梯形方程组
（5）
由于初等行变换不改变矩阵的秩，所以R（A）=R（C），R（B）=R（D）。
（ⅰ）必要性 若方程组（4）有解，则方程组（5）也有解，故dr+1=0，
这时R（D）=R（C），从而R（A）=R（B）。
（ⅱ）充分性 若R（A）=R（B），于是R（C）=R（D）因而dr+1=0，所以方程组（5）有解，从而方程组（4）有解。 证毕定理2 若方程组（4）的系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等，且等于r，
R（A）=R（B）=r，则
（ⅰ）当r=n时，（4）有唯一解；
（ⅱ）当r<n时，（4）有无穷多解。
推 论 当m<n时，齐次线性方程组
（6）
必有非零解。
例5 问λ取何值时，方程组
（1）无解 ； （2） 有唯一解 ； （3） 有无穷多解解,将增广矩阵化为上阶梯形
B==
讨论：1.当λ=-6时，R（A）〈R（B），故方程组无解。
2.当λ≠-6，λ≠3时，R（A）=R（B）=3，方程组有唯一解：
x3=,x2=,x1=
3.当λ=3时，R（A）=R（B）=1，有无穷多解：
,即（其中为自由未知量）
例6 讨论a,b取何值时，方程组
（ⅰ）有唯一解；（ⅱ）无解； （ⅲ）有无穷多解，有解时求出其解。
解,对增广矩阵B进行初等行变换
B=
=
讨论：(ⅰ)当b+52≠0时，R（A）=R（B）=4=n,方程组有唯一解，其解为（回代）
x4=-,x3=-
(ⅱ)当b+52=0而a+1≠0时，R（A）=3，R（B）=4，无解
（ⅲ）当b+52=0，a+1=0时，R（A）=R（B）=3〈4，方程组有无穷多组解这时，再对进行初等行变换，得
故原方程组同解于 （为自由未知量）
作业：
习题3-1
1（2）（3），2，3，4
在第一、二章中，我们曾经以行列式和逆阵为工具解决了一类线性方程组的求解问题。本章将系统地解决一般线性方程组的求解问题。所用的工具是克莱姆法则、初等变换、向量等。
§1 消元法
中学代数已介绍过二元、三元线性方程组的消元法——高斯消元法。下面再作三例，以求其规律。
例1 解线性方程组 （1）
解：交换第一、二两个方程，
得同解组
（2）-2,（3）-4
得同解组
[（）-（2，）]（-2）
得同解组 （2）
至此消元过程完结，接下来是回代过程,
将代入得 =-2，再将=-2，=2代入 得=-1，
从而（2）有唯一解：x1=-1，x2=-2，x3=2，也是（1）的唯一解例2 求解线性方程组
解,(2)-2(1)，(3)-3(1) 得同解组
7,5 得同解组
得
其解为z=1，y=t(任意)，x=4-3t，所以方程组有无穷多解。
例3 求解线性方程组
解：同例2，得同解组： 矛盾，无解
以上三例，求解过程中，对方程组共施行了三种变换：
互换两个方程的位置；
k某一方程 （k≠0）；
用一个数k乘某一方程后加到另一个方程上去。
——称为方程组的初等变换，与矩阵的初等行变换完全相同。所以线性方程的求解完全可以由其增广矩阵的行初等变换求出。
例4 求解线性方程组：
(3)
解：先写出其增广矩阵并施以行的初等变换，化为上阶梯形
（系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等）
再写出最后一个矩阵所对应的方程组便得到（3）的同解方程组：
自下而上回代，解出用x5表达x1，x2，x3，x4的结果：
（可任意，称为自由未知量）
所以（3）有无穷多解。
一般地，我们得到下述关于线性方程组有解的判别定理：
定理1 线性方程组
有解的充要条件是它的系数矩阵A与增广矩阵B的秩相等，即R(A)=R(B)。
其中A=，B==
证：利用初等行变换把增广矩阵化为上阶梯形
B= D==
（不妨设c11,c22 …crr不为零）
相应地，方程组（4）就化为与它同解的阶梯形方程组
（5）
由于初等行变换不改变矩阵的秩，所以R（A）=R（C），R（B）=R（D）。
（ⅰ）必要性 若方程组（4）有解，则方程组（5）也有解，故dr+1=0，
这时R（D）=R（C），从而R（A）=R（B）。
（ⅱ）充分性 若R（A）=R（B），于是R（C）=R（D）因而dr+1=0，所以方程组（5）有解，从而方程组（4）有解。 证毕定理2 若方程组（4）的系数矩阵A和增广矩阵B的秩相等，且等于r，
R（A）=R（B）=r，则
（ⅰ）当r=n时，（4）有唯一解；
（ⅱ）当r<n时，（4）有无穷多解。
推 论 当m<n时，齐次线性方程组
（6）
必有非零解。
例5 问λ取何值时，方程组
（1）无解 ； （2） 有唯一解 ； （3） 有无穷多解解,将增广矩阵化为上阶梯形
B==
讨论：1.当λ=-6时，R（A）〈R（B），故方程组无解。
2.当λ≠-6，λ≠3时，R（A）=R（B）=3，方程组有唯一解：
x3=,x2=,x1=
3.当λ=3时，R（A）=R（B）=1，有无穷多解：
,即（其中为自由未知量）
例6 讨论a,b取何值时，方程组
（ⅰ）有唯一解；（ⅱ）无解； （ⅲ）有无穷多解，有解时求出其解。
解,对增广矩阵B进行初等行变换
B=
=
讨论：(ⅰ)当b+52≠0时，R（A）=R（B）=4=n,方程组有唯一解，其解为（回代）
x4=-,x3=-
(ⅱ)当b+52=0而a+1≠0时，R（A）=3，R（B）=4，无解
（ⅲ）当b+52=0，a+1=0时，R（A）=R（B）=3〈4，方程组有无穷多组解这时，再对进行初等行变换，得
故原方程组同解于 （为自由未知量）
作业：
习题3-1
1（2）（3），2，3，4
