§2向量的线性关系概念为了进一步研究线性方程组的有解性和工程技术实际问题以及理论的需要，我们在本节研究向量的概念及其线性关系。
在向量代数一章里，我们已经知道，空间向量（向径）={x，y，z}（其中M（x，y，z））与有序三数组一一对应。将此推广到一般n元有序数组得到n维向量的概念。
定义1 n个数组成的有序数组 称为n维向量，称为的第i个分量（坐标）。
记号 ①手写：分量用,……，。
②印刷：黑体的。
2,一维、二维、三维向量的几何意义分别是直线向量，平面向量和空间向量。四维及其以上的向量已无几何意义。
3,线性方程
4,行向量，列向量。
二,运算
设，
相等,
零向量,分量都是0，记作（或0），即
负向量,向量称为的负向量，记为。
和与差向量（加与减）：
向量称为向量与的和，记作。
向量称为向量与的差，记作。
即 。
5．数乘向量,。
向量的加法、减法与数乘统称为向量的线性运算。线性运算满足的运算律与三维向量相同。
例1：设，，求满足。
解：因为
所以 。
三,向量间的线性关系
1,概念
定义2,设,是m+1个n 维向量，若存在m个数使
则称是的线性组合或可由线性表示。
设，，，问能否由线性表示？
解：由定义2知，能由线性表示存在使
（1）
成立，用分量表示（1），即
即 。
所以，，能由线性表示。
定义3,对于m个n维向量（m≥1），若存在m个不全为0 的数，使得
（3）
则称线性相关，否则称线性无关。（即（3）式只有当时才成立）。
包含零向量的向量组必线性相关；
2,单独一个线性相关；
3.与线性相关∥（n3时）。
2,几个有关的定理
定理1 m个n维向量，,线性相关以为未知量的齐次线性方程组
（4）
有非零解（（4）向量式是的坐标表示式）
推论1,n个n维向量
线性相关
定理 2 m个n维向量（m≥2）线性相关其中必有一个向量是其余个向量的线性组合。
证 设 线性相关，则有不全为0的使 不妨设，于是由上式得
即是的线性组合。
设 是的线性组合即
于是
因为 不完全为0，所以线性相关。
定理3 若n维向量线性相关，则也线性相关。
证,因为线性相关，所以存在不全为0的，使
，于是
所以线性相关。 证毕
推 论,若向量组线性无关，则它的任何一部分向量也线性无关。
定理 4 若n维向量组线性无关，则每一个向量上添加r个分量所得到的n+r维向量组也线性无关。
证,设
因为线性无关，所以由定理1 知，
齐次组 （5）
只有零解，因此添加r个方程的齐次组（6）
也只有零解，(因为（6）的解必为（5）的解，而（5）只有零解)故也线性无关。 证毕
注,定理4的逆不成立。如：与线性无关，但与都线性相关。
定理 5 若n维向量组线性无关，而向量组,线性相关，则一定能被线性表示，并且表示式是唯一的。
定理6 若n维向量组每一个向量都能被n维向量线性表示，则必线性相关。
定理 7 任意n+1个n维向量必线性相关。证略四、向量组的秩
定义 4 设是一个向量组中的m个向量，如果满足：
① 线性无关；
② 中任一向量可由线性表示。
则称是向量组的一个最大无关组。
定义 5 向量组的最大无关组所含的向量个数，称为的秩，记为。
注：若小于所含向量个数，则线性相关（定理2）。
定理8设矩阵的行向量组为：则（证略）
利用定理8 可将求向量组的秩转化为求矩阵的秩。
例3 求下列向量组的秩，并求一个最大无关组
（1），，
（2），，
解：（1）令
,所以，且是一个最大无关组。
即
（2）令B
所以，，故线性无关当然为最大无关组。
例4：判断下列向量组是否线性相关？
：，,，
解：[法一] 令
=
所以，从而，故线性相关。
[法二] 因为
所以由定理1的推论知线性相关。
作业：习题3-2 1；2；3；4（1）（3）；5（1）（2）
在向量代数一章里，我们已经知道，空间向量（向径）={x，y，z}（其中M（x，y，z））与有序三数组一一对应。将此推广到一般n元有序数组得到n维向量的概念。
定义1 n个数组成的有序数组 称为n维向量，称为的第i个分量（坐标）。
记号 ①手写：分量用,……，。
②印刷：黑体的。
2,一维、二维、三维向量的几何意义分别是直线向量，平面向量和空间向量。四维及其以上的向量已无几何意义。
3,线性方程
4,行向量，列向量。
二,运算
设，
相等,
零向量,分量都是0，记作（或0），即
负向量,向量称为的负向量，记为。
和与差向量（加与减）：
向量称为向量与的和，记作。
向量称为向量与的差，记作。
即 。
5．数乘向量,。
向量的加法、减法与数乘统称为向量的线性运算。线性运算满足的运算律与三维向量相同。
例1：设，，求满足。
解：因为
所以 。
三,向量间的线性关系
1,概念
定义2,设,是m+1个n 维向量，若存在m个数使
则称是的线性组合或可由线性表示。
设，，，问能否由线性表示？
解：由定义2知，能由线性表示存在使
（1）
成立，用分量表示（1），即
即 。
所以，，能由线性表示。
定义3,对于m个n维向量（m≥1），若存在m个不全为0 的数，使得
（3）
则称线性相关，否则称线性无关。（即（3）式只有当时才成立）。
包含零向量的向量组必线性相关；
2,单独一个线性相关；
3.与线性相关∥（n3时）。
2,几个有关的定理
定理1 m个n维向量，,线性相关以为未知量的齐次线性方程组
（4）
有非零解（（4）向量式是的坐标表示式）
推论1,n个n维向量
线性相关
定理 2 m个n维向量（m≥2）线性相关其中必有一个向量是其余个向量的线性组合。
证 设 线性相关，则有不全为0的使 不妨设，于是由上式得
即是的线性组合。
设 是的线性组合即
于是
因为 不完全为0，所以线性相关。
定理3 若n维向量线性相关，则也线性相关。
证,因为线性相关，所以存在不全为0的，使
，于是
所以线性相关。 证毕
推 论,若向量组线性无关，则它的任何一部分向量也线性无关。
定理 4 若n维向量组线性无关，则每一个向量上添加r个分量所得到的n+r维向量组也线性无关。
证,设
因为线性无关，所以由定理1 知，
齐次组 （5）
只有零解，因此添加r个方程的齐次组（6）
也只有零解，(因为（6）的解必为（5）的解，而（5）只有零解)故也线性无关。 证毕
注,定理4的逆不成立。如：与线性无关，但与都线性相关。
定理 5 若n维向量组线性无关，而向量组,线性相关，则一定能被线性表示，并且表示式是唯一的。
定理6 若n维向量组每一个向量都能被n维向量线性表示，则必线性相关。
定理 7 任意n+1个n维向量必线性相关。证略四、向量组的秩
定义 4 设是一个向量组中的m个向量，如果满足：
① 线性无关；
② 中任一向量可由线性表示。
则称是向量组的一个最大无关组。
定义 5 向量组的最大无关组所含的向量个数，称为的秩，记为。
注：若小于所含向量个数，则线性相关（定理2）。
定理8设矩阵的行向量组为：则（证略）
利用定理8 可将求向量组的秩转化为求矩阵的秩。
例3 求下列向量组的秩，并求一个最大无关组
（1），，
（2），，
解：（1）令
,所以，且是一个最大无关组。
即
（2）令B
所以，，故线性无关当然为最大无关组。
例4：判断下列向量组是否线性相关？
：，,，
解：[法一] 令
=
所以，从而，故线性相关。
[法二] 因为
所以由定理1的推论知线性相关。
作业：习题3-2 1；2；3；4（1）（3）；5（1）（2）
