§3齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组
（1）
可写成向量（或矩阵）方程为 （2）
其中，，
若是（1）的解，则称为（1）（或（2））的解向量。
二、解向量的性质
定理1,设 是（1）的两个解向量，则的任一线性组合
仍为（1）的解向量。
证,将代入（2）左边，得
∥
定义1：设是齐次线性方程组（1）的r个解向量，如果
线性无关；
（1）的任一解向量是的线性组合。
则称为（1）的一个基础解系。
（注，（1）的基础解系是（1）的解向量组的一个最大无关组）
基础解系的求法设，且的左上角的阶子式
则易知方程组（1）的同解方程组为
（3）
其中为自由未知量。现在分别取
=，，……， （4）
为n-r个线性无关的单位向量。由此，可求得（3）的n-r个解向量，设依次为 ，，……， （5）
将（4）、（5）合在一起，得到（1）的n-r个线性无关的解向量。
，……， （6）
2、（6）式中的就是（1）的一个基础解系。
（ 若 是（1）的解，则
综上所述，得关于方程组（1）的基础解系定理定理2 （i ）当时，（1）仅有零解，无基础解系。
（ii）当时，（1）有基础解系（6），（1）的解可表示为 （7）
其中为任意实数。（7）称为方程组（1）的通解（一般解）
注：（1）的任何n-个线性无关解向量都是（1）的基础解系。
例1：求齐次线性方程组的一个基础解系和通解。
解：将增广矩阵变为三阶梯形（用行初等变换）
原方程组同解于
即 （为自由未知量）
分别取=， 得 =，
于是为原方程组的一个基础解系，所以原方程的通解为 = （其中为任意常数）
例2：求齐次线性方程组的一个基础解系解：用行初等变换将系数矩阵化为上阶梯形
同解于 为自由变量即写成
分别取 =， 得 =，
于是 为原方程组的一个基础解系。
§4 非齐次线性方程组解的结构一、结构定理
若一般线性方程组 （1）
中的不全为0，（1）称为非齐次组。
若 即 （2）
称为（1）对应的齐次组（或导出组）
（1）、（2）分别用向量式写为： （3）和 （4）
其中，，，
关于非齐次组解的结构有以下定理定理,设是方程（1）的某一特定解向量（称为特解），是导出组（2）的一个基础解系，则方程组（1）的通解 （一般解或全部解）为
（5）
其中。
证,首先
=
=
所以，（5）是（3）的解，即（1）的解向量。
反之，对于（1）的任一解向量，易知是（4）的解，又知是（4）的一个基础解系，所以，存在数，使
即： 证毕推论：在方程组（1）有解的前提下，解为唯一的充要条件是它的导出组
（2）只有零解。
非齐次组通解的求法一般法：1）先求（1）的一个特解
2）再求（2）的基础解系，（）
3）根据解的结构定理写出（1）的通解（5）
（为任意常数）
课本上的例子均是按此法求解的。
2,自由未知量法：
1）用行初等变换，将（1）的增广矩阵化为上阶梯形。
2）写出图解方程组并确定自由未知量，如（）
3）将自由未知量依次取为任意常数可将（1）的解写为（5）的形式。
例1：求方程组 的通解解：用初等行变换把增广矩阵化为上阶梯形矩阵
由此得同解方程组
取为自由未知量，并令 得
（4）
回代，得（1）-（2）： （5）
（4）代入（5）：，于是得通解为：
++
其中是原方程的一个特解，，是导出组的基础解系。
例2：求方程组的一般解解：用初等行变换化成增广矩阵
由此得同解组，取为自由未知量，并依次取为 得
（1）-（2）得故得原方程组的一般解为
其中是原方程组的特解，，，为导出组基础解。
作业,习题 3-3 1（2）（3）,3
3-4 1，3
（1）
可写成向量（或矩阵）方程为 （2）
其中，，
若是（1）的解，则称为（1）（或（2））的解向量。
二、解向量的性质
定理1,设 是（1）的两个解向量，则的任一线性组合
仍为（1）的解向量。
证,将代入（2）左边，得
∥
定义1：设是齐次线性方程组（1）的r个解向量，如果
线性无关；
（1）的任一解向量是的线性组合。
则称为（1）的一个基础解系。
（注，（1）的基础解系是（1）的解向量组的一个最大无关组）
基础解系的求法设，且的左上角的阶子式
则易知方程组（1）的同解方程组为
（3）
其中为自由未知量。现在分别取
=，，……， （4）
为n-r个线性无关的单位向量。由此，可求得（3）的n-r个解向量，设依次为 ，，……， （5）
将（4）、（5）合在一起，得到（1）的n-r个线性无关的解向量。
，……， （6）
2、（6）式中的就是（1）的一个基础解系。
（ 若 是（1）的解，则
综上所述，得关于方程组（1）的基础解系定理定理2 （i ）当时，（1）仅有零解，无基础解系。
（ii）当时，（1）有基础解系（6），（1）的解可表示为 （7）
其中为任意实数。（7）称为方程组（1）的通解（一般解）
注：（1）的任何n-个线性无关解向量都是（1）的基础解系。
例1：求齐次线性方程组的一个基础解系和通解。
解：将增广矩阵变为三阶梯形（用行初等变换）
原方程组同解于
即 （为自由未知量）
分别取=， 得 =，
于是为原方程组的一个基础解系，所以原方程的通解为 = （其中为任意常数）
例2：求齐次线性方程组的一个基础解系解：用行初等变换将系数矩阵化为上阶梯形
同解于 为自由变量即写成
分别取 =， 得 =，
于是 为原方程组的一个基础解系。
§4 非齐次线性方程组解的结构一、结构定理
若一般线性方程组 （1）
中的不全为0，（1）称为非齐次组。
若 即 （2）
称为（1）对应的齐次组（或导出组）
（1）、（2）分别用向量式写为： （3）和 （4）
其中，，，
关于非齐次组解的结构有以下定理定理,设是方程（1）的某一特定解向量（称为特解），是导出组（2）的一个基础解系，则方程组（1）的通解 （一般解或全部解）为
（5）
其中。
证,首先
=
=
所以，（5）是（3）的解，即（1）的解向量。
反之，对于（1）的任一解向量，易知是（4）的解，又知是（4）的一个基础解系，所以，存在数，使
即： 证毕推论：在方程组（1）有解的前提下，解为唯一的充要条件是它的导出组
（2）只有零解。
非齐次组通解的求法一般法：1）先求（1）的一个特解
2）再求（2）的基础解系，（）
3）根据解的结构定理写出（1）的通解（5）
（为任意常数）
课本上的例子均是按此法求解的。
2,自由未知量法：
1）用行初等变换，将（1）的增广矩阵化为上阶梯形。
2）写出图解方程组并确定自由未知量，如（）
3）将自由未知量依次取为任意常数可将（1）的解写为（5）的形式。
例1：求方程组 的通解解：用初等行变换把增广矩阵化为上阶梯形矩阵
由此得同解方程组
取为自由未知量，并令 得
（4）
回代，得（1）-（2）： （5）
（4）代入（5）：，于是得通解为：
++
其中是原方程的一个特解，，是导出组的基础解系。
例2：求方程组的一般解解：用初等行变换化成增广矩阵
由此得同解组，取为自由未知量，并依次取为 得
（1）-（2）得故得原方程组的一般解为
其中是原方程组的特解，，，为导出组基础解。
作业,习题 3-3 1（2）（3）,3
3-4 1，3
