4、二元函数的极值、最值
10极值定义 P208
 为极大值
 为极小值

驻点  极值点,需判别设,,

f
< 0
A < 0
极大值
A > 0
极小值
> 0
非极值
=0
不定
求的极值解:,,,
,
令     
得驻点 ,
在,
∴ 非极值
,
∴ 为 极值点又 ∴  为极小值
例2、求在闭区域D:,,
的最大,最小值。
解:,
令 (在D内) 
在D的内部函数只有一个驻点,
在边界, 在,
在,
 得:,即,为驻点
 比较,,
得最大值,最小值
在实际问题中要求最大,最小值往往带有附加条件,即对函数的自变量除了限制在函数的定义域内外,还有其他的附加条件,这些条件由函数的各自变量之间的一些方程来表示。
求原点到曲线的最大距离此题即在条件下求的最小值问题
20条件极值、拉格朗日乘数法
在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别
求在条件下,的极值
令 称为目标函数,为拉格朗日常数
 解得的为可能的极值点
例1、求曲面到平面的最短距离解法一、曲面上任一点(x,y,z)到平面的距离
∴ 设

∵ 驻点唯一 ∴ 
解法二、曲面在任一点的切平面法矢量
平面x+y-4z=1的法矢量
当∥时,即
得:,
∵ 在点处切平面平行已知平面
∴ 点到平面距离最短,
例2、在曲面位于第一卦限部分上求一点,使该点的切平面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。
∵ 曲面位于第一卦限部分上任一点(x,y,z)处的平面方程为:

即 ,∴ 四面体体积
故令 
由 
得:
∵ 驻点唯一
∴ 为所求点。
例3、在第一象限内,过椭圆曲线上任一点作椭圆的切线,求诸切线与坐标轴所围成的三角形面积的最小值。
解:在第一象限内曲线上任一点(x,y)处的切线方程为:


切线与两坐标轴的截距分别为

若要使S最小,只要最大故设 
由 
得,
∵ 驻点唯一
∴ 
例4、P212 例5.32 5.33
第六章 多元函数的积分
10二重积分
1、定义 P225

2、性质 P226
其中表示平面区域D的面积
,,表D的面积
3、几何意义
,,则表示以为顶,以D为底的曲顶柱体体积。
4、二重积分在直角坐标下的计算法

设
用平面截立体得如图<1>所示的曲边梯形其面积




例1、计算二重积分其中D由曲线直线及轴所围成。
解:首先画出积分区域D


例2、将二重积分化为累次积分,其中D为:
(1) 抛物线  及 所围成解, 交点 

═ 
(2) 圆,, 所围

(3),,所围,

例3、计算  , 0≤y≤1


例4、P228,例6.1,6.2,6.3
例5、,则
解:


例6、


例7、交换积分次序


例8、 P231 例6.5例6.6,6.7(1),6.8,6.9,6.10
5、二重积分在极坐标下计算方法

例9、计算 D:
解:


例10、 D:由,,,
  所围。
解:


例11、 D由,及轴所围。
 得交点 



例12、P238 例6.13 6.14 6.15
例13、证明 
证:

又 
例14、设f(x) 在 [a,b]上连续且单调增加,试证:
 
证:设 





∵ 单增 ∴ 
∴  即