30平面曲线弧长
(1) 曲线：
(2)
(3)
例 求下类平面曲线的弧长曲线相应于的一段心形线的全长
摆线 的一拱解：1,
2,
40向变力沿直线作功,液体的水压力 P137
空间解析几何
10向量及其线性运算 P149—P152
向量的坐标表达式及其运算 P153—P154
20向量的数量积的向量积
(1)向量积
性质：P155
应用：（i）
（ii）
（iii）
例1、习题4，1选择题（1）（2）（3）
2 填空题（3）（4）（5）
例2、设
解：
∴
(2)向量积
右手定则即
性质P155 注意
应用（i）
（ii）
（iii）如
即利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量。
例3、习题4，5，2(4)
例4、设知量满足，则
解： ∴
30平面及其方程已知平面(过点M0（x0、y0、z0），为(的法矢量。
点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
一般式：Ax+By+Cz+D=0，A、B、C不全为零。
截距式：，a，b，分别为平面在x轴、y轴、z轴上的截距。
⊥ ⊥
∥ ∥
点M0(x0、y0、z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为
习题4.13
求通过点P（2,-1,-1），Q（1,2,3）且垂直于平面2x+3y-5z+6=0的平面方程。
解：，已知平面的法矢量
取
所求平面为：9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0
即：9x-y+3z-16=0
习题4、11
解：(1)解法一：设平面方程：x+By+D=0
将点M1(2,-1,0)，M2(3,0,5)分别代入得
∴平面方程为：x–y–3=0
解法二：，
取
-(x–2)+(y+1)=0 得平面方程：x–y–3=0
(2)设平面方程为y+Cz+D=0 即
∴ 得 ∴
40直线及其方程空间直线的一般方程
L：
点向式（对称式）
直线过点M0(x0、y0、z0)，为L方向向量则 L：
<3>参数式L： t为参数
L1∥L2 ∥
L1⊥L2 ⊥
50直线与平面关系
<1> L∥π ⊥ 即
<2> L⊥π ∥
点P到直线L的距离，L的方向向量，M0为L上一点
例3,习题4 2、(7)、(8)
解(7) 直线 即所求平面法向量
由点法式 -(x–1)+3(y–2)+(z+1)=0
即 x–3y–z+3=0
（8）设平面方程为，
得 (
点代入平面，得：
所求平面
<4>平面束方程直线L：
则
为过直线L的除平面外的平面束方程
例 一平面过直线L：，且在轴有截距，求它的方程解：过直线L的平面束方程为:
即
据题意
代入平面束方程，得：
习题4,2,(9)
例 已知两直线方程
，则过且平行的平面方程是
解：
过的平面束方程：
即
由平行 ∴ 得
所求方程为：
例 已知平面 直线
（1）直线和平面是否平行？
（2）如直线与平面平行，则求直线与平面的距离，如不平行，则求与的交点。
（3）求过直线且与平面垂直的平面方程解：(法矢量
的方向向量∥,取
∵
∴ 不平行
(解一、 得 交点（1，0，1）
解二、将化为点向式，(在中令，得，即上的一点)，化为参数式
代入
(过直线的平面束方程：
即
∵ ⊥
所求平面：
(1) 曲线：
(2)
(3)
例 求下类平面曲线的弧长曲线相应于的一段心形线的全长
摆线 的一拱解：1,
2,
40向变力沿直线作功,液体的水压力 P137
空间解析几何
10向量及其线性运算 P149—P152
向量的坐标表达式及其运算 P153—P154
20向量的数量积的向量积
(1)向量积
性质：P155
应用：（i）
（ii）
（iii）
例1、习题4，1选择题（1）（2）（3）
2 填空题（3）（4）（5）
例2、设
解：
∴
(2)向量积
右手定则即
性质P155 注意
应用（i）
（ii）
（iii）如
即利用向量积求出同时垂直两个已知矢量的矢量。
例3、习题4，5，2(4)
例4、设知量满足，则
解： ∴
30平面及其方程已知平面(过点M0（x0、y0、z0），为(的法矢量。
点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
一般式：Ax+By+Cz+D=0，A、B、C不全为零。
截距式：，a，b，分别为平面在x轴、y轴、z轴上的截距。
⊥ ⊥
∥ ∥
点M0(x0、y0、z0)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为
习题4.13
求通过点P（2,-1,-1），Q（1,2,3）且垂直于平面2x+3y-5z+6=0的平面方程。
解：，已知平面的法矢量
取
所求平面为：9(x-2)-(y+1)+3(z-1)=0
即：9x-y+3z-16=0
习题4、11
解：(1)解法一：设平面方程：x+By+D=0
将点M1(2,-1,0)，M2(3,0,5)分别代入得
∴平面方程为：x–y–3=0
解法二：，
取
-(x–2)+(y+1)=0 得平面方程：x–y–3=0
(2)设平面方程为y+Cz+D=0 即
∴ 得 ∴
40直线及其方程空间直线的一般方程
L：
点向式（对称式）
直线过点M0(x0、y0、z0)，为L方向向量则 L：
<3>参数式L： t为参数
L1∥L2 ∥
L1⊥L2 ⊥
50直线与平面关系
<1> L∥π ⊥ 即
<2> L⊥π ∥
点P到直线L的距离，L的方向向量，M0为L上一点
例3,习题4 2、(7)、(8)
解(7) 直线 即所求平面法向量
由点法式 -(x–1)+3(y–2)+(z+1)=0
即 x–3y–z+3=0
（8）设平面方程为，
得 (
点代入平面，得：
所求平面
<4>平面束方程直线L：
则
为过直线L的除平面外的平面束方程
例 一平面过直线L：，且在轴有截距，求它的方程解：过直线L的平面束方程为:
即
据题意
代入平面束方程，得：
习题4,2,(9)
例 已知两直线方程
，则过且平行的平面方程是
解：
过的平面束方程：
即
由平行 ∴ 得
所求方程为：
例 已知平面 直线
（1）直线和平面是否平行？
（2）如直线与平面平行，则求直线与平面的距离，如不平行，则求与的交点。
（3）求过直线且与平面垂直的平面方程解：(法矢量
的方向向量∥,取
∵
∴ 不平行
(解一、 得 交点（1，0，1）
解二、将化为点向式，(在中令，得，即上的一点)，化为参数式
代入
(过直线的平面束方程：
即
∵ ⊥
所求平面：
