一阶导数应用
1、函数的极值
①P82，定义：如在邻域内，恒有,，则称为函数的一个极大（小）值。
可能极值点,不存在的点与的点。（驻点）
驻点 ←极值点
②判别方法
P82，ⅰ、导数变号。 ⅱ、，
设满足关系式，且,
，则在点处 A
A、取得极大值 B、取得最小值
C、在某邻域内单增 D、在某邻域内单减
已知函数对一切满足
如，，则 A
是的极小值
B、是的极大值
C、是曲线的拐点
D、不是的极值，也不是曲线
 的拐点
设函数在的某邻域内可导，且，
，则是的极 大 值。
2、函数的最大值与最小值求出内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较，其中最大的（小）为最大（小）值。
(2)在内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值
如是极大值则为最大值
(3)如分别为最小,最大值
(4)实际问题据题意可不判别。
在抛物线上的第一象限部分求一点P，过P点作
切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。
解：设切点为，切线方程为
即 
∴ 三角形面积：

，令 （唯一）
 ∴ 
故 为所求点
3、曲线的凹凸、拐点及渐近线
在I上可导
如则曲线是凹（凸）的,
在连续曲线上凹凸部分的分界点称为曲线的拐点。
可能的拐点  和 不存在的点
设，试讨论的性态。


x
(-∞,-2)
-2
(-2,0)
0
(0,1)
1
(1,+ ∞)
y’
+
0
-
间断
+
0
+
y’’
-
-
-
-
0
+
y
单调增上凸
极大值

单减上凸
单增上凸
拐点
(1,0)
单增下凸
渐近线 如 则称为水平渐近线
如 则称为垂直渐近线
例2、 求 渐近线 （斜渐近线不讨论）
解,∵  ∴ 为水平渐近线
∵  ∴ 垂直渐近线
曲线的渐近线有 4 条
4 证明不等式
（1）利用中值定理（R，L）；
（2）利用函数单调性；
（3）利用最值；
（4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式；
（5）利用函数凹凸性；
（6）利用泰勒公式。
例1、 当，试证：
即
证,设 ，在连续，可导，
由拉格朗日中值定理
∵ ，即
∴ 
例2、设，证明
证,设 
单增，当  ∴ 
设 

单增，当
∴ 
例3、当 证明
证,令  
  驻点唯一,
∵ 
∴ 极小
∴ 为最小值
即 
P91,习题22
当  
证明 
证,设 

令 , 驻点唯一
,
当 , → 在上最大值为,最小值为
∴ 
设，证明
证明：即 证 
设  , 时
∴ 单减 当 
即 
设在上可导，且单调减，
证明：,
证,令

∵ 单调减
,,
∴ ,即单调减
,
即