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龚光鲁,钱敏平著 应用随机过程教程及其在 算法与智能计算中的应用
清华大学出版社,2003
第 4 章 更新现象及其理论
1,Stieltjes 积分简述
假定 )( xG 为右连续 的 递增函数,那么,我们可以如微积分中定积分那样定义关于 )( xG
的 Stieltjes 积分,
)](()()[(lim)()( )()(1)(
0)(max )()(1
n
i
i
n
i
n
i
tt
n
b
a tGtGthxdGxh n
i
n
ii
= ∑∫ +
→?
∞→
+
,
这里 }{ )(nit 是半开区间 ],( ba 的 一个划分,这种积分的运算规律及近似计算,与普通积分基本上类似,最大的不同之处是,由于 )( xG 在某些点上的跃度可以大于零,在这些点上的积分就可能不是 0,因此我们通常考虑在半开区间 ],( ba 上的积分,类似地还可以定义瑕积分
∞→
∞→
∞
∞? =∫ baxdGxh lim)()( ∫
b
a
xdGxh )()(,简记为 ∫ )()( xdFxh 或 ∫hdF,
一般地说,Stieltjes 积分更多地用作理论分析,因为除了几种特殊情形或者是它们的混合情形,能计算出积分以外,通常的 Stieltjes 积分只能用积分和来近似估算,几种能直接计算的特殊情形包括,
(1) 若 ∫= x
c
duugxG )()(,则 =∫b
a
xdGxh )()( ∫b
a
dxxgxh )()( 化简为普通的积分,
(2) 若 )( xG 是右连续 的 递增的阶梯函数,即存在 ],(}{ baxn?,使
∑
≤
=
xx
nn
n
xGxGxG )]()([)(,则由积分的定义可算出
∑∫=
n
nnn
b
a xGxGxhxdGxh )]()()[()()(
,
这时,Stieltjes 积分就化为无穷级数,
(3) 对于一个点的集合 }{ 0x,有 )]()()[()()( 000
}{ 0
=∫ xGxGxhxdGxh
x
,
可见,Stieltjes 积分是一种包容普通的积分与无穷级数,而比之更为广泛 的数学模型,显然 Stieltjes 积分也与通常积分一样地具有加法性质,此外,Stieltjes 积分还具有以下的性质,
(1) 若 0)( ≥xh,则 0)()( ≥∫ xdGxh (因为 )( xG 递增 ),
特别地,若 F(x) 是随机变量 x 的分布函数,则 ∫= )()()( xdFxhEh x (这在第一章中已经提到 ),
(2) 若 0)( ≥xhn,且 ∞<∑ )(xhn
n
,则
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∫∑ ∑ ∫=
n n
nn xdGxhxdGxh )()()()(,
(3) 设右连续的递增函数列 )(xGn 满足 ∑ ∞<
k
k xG )(,又 0)( ≥xh 则
∫ ∑ ∑∫=
k k
kk xdGxhxGdxh )()())(()(,
注 事实上 (2)和 (3)给出了无穷和与积分的运算次序可以交换的条件,在 (2)和 (3)中,我们并未 严格地 给出 )(),( xhxh n 需要满足的条件,通常遇到的函数都可取成 )(),( xhxh n,在本书中避免在 数学上追求严格条件,
2,更新过程的概念
2,1 作为 Poisson 过程推广的更新过程
更新现象是指数流的推广,也是一种按随机时刻到达的流,但是这个随机的流并不按独立同分布的指数分布随机变量的和到达,而是按非负独立同分布随机变量和的到达,
定义 ４,１ 假定 }{ kT 是非负的独立同分布随机变量序列,且其二阶矩有限,记
m=1ET,21 s=VarT,再假定 1)0( 10 <==? TPa,令
)1(,,0 10 ≥++== nTT nn Ltt,}:sup{ tkN kt ≤= t,（ 4,1）
即 tN 是 }{ nt 的 计数过程 （ 它们分别是 Poisson 过程与指数流的推广 ）,nt 称为 第 n 次更新时刻,随机序列 }{ nt 称为 更新流,nT 称为 第 n 个更新间隔,tN 称为 更新过程,
除了 Poisson 过程以外,一般的更新过程 tN 就不是独立增量过程,但是更新过程与更新流之间仍由下面的 关系联系起来
}{}{ tnN nt ≤=≥ t,(4,2)
定义 ４,２ 非负整值随机变量 h 称为关于随机变量列 }{ kT 满足 Wald 条件,如果对于任意 n,事件 }{ n=h 与 },,{ 21 L++ nn TT 独立,
引理 ４,３ 对于更新过程 tN,在 t 固定时 1+= tNDh 关于 }{ kT 满足 Wald 条件,
证明 }{ n=h 即随机事件 }1{?= nNt,也就是 }{\}{ 1 tt nn ≤≤? tt,后者可由随机变量组 },,{ 1 nTT L 完全地确定,故 1+tN （ 即 h ） 满足 Wald 条件,?
注意 虽然 1+tN （ 即 h ） 满足 Wald 条件,但是 tN 并不满足 Wald 条件,所以,对于
1+tNt 可以应用 Wald 等式 (1,26) 与 (1,27),而对于 tNt 则不可以应用 Wald 等式 (1,26 ) 与
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(1,27)),
此外,即使在 tN 是 Poisson 过程的情形,由于 }{ kT 并不与 tN 独立,作为随机多个项的独立和的 1+
tN
t 或
tN
t 都不是复合 Poisson 过程,这样才能避免作不 正确的推导,
命题 4,４ 0)( =∞=tNP,
证明 由大数定律,我们有
)(lim)(lim)( tPnNPNP nntnt ≤=≥=∞= ∞→∞→ t
0)(lim 1 =≤++= ∞→ ntn TTP nn L,?
记 nt 的分布函数为 }()( tPtF nn ≤= t,与 Poisson 过程类似地,更新过程 tN 的分布为
)()()( 1 tFtFnNP nnt +?==,(4,3)
假定 kT 是第 k 次更新的部件的寿命,利用 )(tFn 是时刻 t 前更新次数超过 n 的概率
)( nNP t ≥,可以在 此概率在 容许小的 控制条件 下,设计部件备件的最小存储量,也就是找尽可能小的 n,使 )(tFn 被控制在一个可以容许的,小,的范围内,以达到减少储备量的目的,但是 )()( tPtF nn ≤= t 是 n 个与 1T 独立同分布的随机变量的和的分布函数,除了极个别的例子外,一般很不容易得到 )(tFn 的解析表达式,然而,在应用中可以借助于随机模拟得到它的近似,例如,多次 (例如 m 次 ) 生成 n 个独立 1T 随机数并求和,用 此 m 个和中不超过 t 的频率,作为 )(tFn 的估计值,
命题 4,５ 更新过程 tN 的期望函数称为 更新函数,它满足 tENtm?=)( ∞<,而且有
)(tm ∑
∞
=
=
1
)(
n
n tF (4,4)
证明 其有限性由 1)0( 1 <=TP 所保证,我们略去其证明,为了得到 (4.4)式,我们利用非负随机变量 }{ t
n
I ≤t,它的求和与取期望可以交换,所以
∑ ∑∞
=
∞
=
≤ ≤==
1 1
}{ )()(
n n
ntt tPIEEN n tt 右=,
79
命题 4,６ 令 tt NN ∞→?∞ =lim,则 1)( =∞=∞NP,
证明 ∑
∞
=
∞ =∞=≤∞=?≤∞<
1
0)(),()(
n
nn TPTnPNP 使,
1,2 更新函数的更新方程
定理 4,７ 设 1T 的分布函数为 )(1 tF,则 更新函数 )(tm 满足积分方程
)()()()( 1
01
sdFstmtFtm t∫?+=,(4,5)
证明 为了数学上更简单,我们假定分布函数 1F 具有密度 1f,于是 nF 是 n 个独立同分布密度 f 的随机变量的和的分布,因此,它的分布密度 nf 满足关系
11211,ffffff nn?=?=?,
其中 ∫?= t dssgstftgf
0
)()())((,)(),( tgtf 在 ),0[ ∞ 上定义,(易见 fggf?=? ),由
)()()()')()((}')()(( 1
000
tfdsstfsfdsstFsfdssFstf nn
t
n
t
n
t
+=?=?=? ∫∫∫
可知
))(())(()()()(
01
tfFtFfdssFstftF nt nnn?=?=?= ∫+,
再用 (4,4)式便得
))(()()()()( 1211 tfmtFfFFtFtm?+=?+++= L,?
注 1 更新函数 )(tm 是时刻 t 以前的平均更新次数 tEN,它是 更新过程的一个极为重要的量,表达了部件的平均储备量,方程 (4,5)可用来对 )(tm 作数值近似,例如用典型的迭代方法,可以求得 )(tm 的数值近似解,即令
∫ ≥?+== + t nn ndssfstmtFtmtFtm 0 )(1)1(1)0( )0(,)()()()(),()(,
那么,在适当的条件下,就有 )()()(
0
tmtm k
n
k
≈∑
=
,
注 2 设 )(th 是一个在任意有限区间上有界的函数,利用更新函数可以求解如下类型的积分 方程
)()()()( 1
0
sdFstgthtg
t
+= ∫,
80
这种 积分 方程称为 更新方程,更新方程在精算中的集体风险模型中,是一个最基本的数学工
具,
下面我们来求解更新方程,假定更新间隔的分布函数 )(1 xF 具有密度 )(1 xf,注意
)(xFn 的密度函数 nf 满足 nn fff?=+ 11,故而 这时更新函数 )(tm 具有微商
)()('
1
tftm n
n
∑∞
=
=,这样,更新方程可以改写为
)( 1fghg?+=,即 hfg = )1( 1,
由此得到更新方程的解
')1()1(
1
1
1 mhhhfhfg n
n
+=?+== ∑
∞
=
,
即
dssmsththtg
t
)(')()()(
0
+= ∫,
如果更新间隔的分布 函数 )(1 xF 不存在密度,那么只要利用 Stieltjes 积分的性质,就可以得到
)()()()(
0
sdmsththtg
t
+= ∫,
这就是说,更新方程的解 )(tg 可以用更新函数 )(tm 表示,
注 ３ 更新间隔的分布函数 )(1 xF 完全确定了更新函数 )(tm,反之,更新函数 )(tm 也完全确定了更新间隔的分布函数 )(1 xF,事实上它们可以通过 Laplace 变换相互表达,对于一个在 ),0[ ∞ 定义的非负函数 )(tg,可以定义它的 Laplace 变换 （ 记为 )(zLg ） 如下
dttgezL ztg )()(
0
∞
∫=,
当 )(tg 是更新时间 1T 具有密度 1f 时,其 Laplace 变换的概率含义为 1T 的负指数矩,即
=)(
1
zL f 1zTEe?,容易验证 Laplace 变换满足以下的乘法关系
)()()( zLzLzL hghg =?,
在 （ ４,５ ） 式 两边取 Laplace 变换,就得到其 Laplace 形式
)()()()(
11
zLzLzLzL mfFm +=,(4,6)
81
由分部积分可以得到 )()(
11
zzLzL fF =,代入 （ ４,６ ） 式 就可以解出
)(1
)()(
1
1
zL
zzLzL
f
f
m?=,(4,7)
等价地有
)(
)()(
1 zLz
zLzL
m
m
f +=,(4,7)’
又由于非负随机变量的分布密度是由此随机变量的负指数矩唯一确定的,所以更新间隔的分布密度 1f 可由更新函数 )(tm 唯一确定,
由 (4,7)式,只要用 z 的有理多项式来近似 )(zLm,再通过查一般函数的 Laplace变换表,
也可以得到 )(tm 的近似计算公式,
(如果更新间隔的分布函数 )(1 tF 不存在密度,那么这时候有 )(1
0
1 tdFeEe ztzT?
∞
∫=,这是分布函数
)(1 tF 的 Laplace - Stieltjies 变换,我们把它 记为 )(1 zLSF,再定义 )()(
0
tdmezL ztSm?
∞
∫=,与上面类似地可以得到
)(1
)()(
1
1
zL
zLzL
S
F
S
FS
m?=,或 )(1
)()(
1 zL
zLzL
S
m
S
mS
F += (4,7)’’)
1,3 年龄与剩余寿命
定义 4,８ 设 nt 为更新流,tN 是其对应的更新过程,当 t 固定时,随机变量
tNt t ta?=
称为 (第 tN 个更新元的 ) 年龄 ; 而随机变量 t
tNt
= +1tg 称为 (第 tN
个更新元的 ) 剩余寿命,
命题 ４,９ （ 指数流的年龄与剩余寿命 ） 设 nt 是强度为 l 的指数流,则当 t 固定时有
（ １ ） 剩余寿命 t
tNt
= +1tg 服从强度为 l 的指数分布,即
1Tdt =g (记号
d=
表示两边 的随机变量 同分布 ),(4,8)
（ ２ ） 年龄 ta 的分布是如下的一个混合型的分布函数
)()1)(()( ),[),0( sIesIsP tstt ∞? +?=≤ la,(4,9)
82
即 ta 与 t∧t 同分布,其中 t∧t ),min( tt?=,lt exp~,
证明 （ １ ） 随机变量 t
tNt
= +1tg 分布函数为
)()( 1 stPsP
tNt
≤?=≤ +tg
)|()()( 1
0
1 nNstPnNPstP tnt
n
N t =+≤==+≤= +
∞
=
+ ∑ tt
s
s
n
st eNPNPnNP
l?
∞
=
=≥=≥== ∑ 1)1()1()(
0
,
（ ２ ） 按定义当 ts ≥ 时 => )( sP ta 0)( =>? stP
tN
t,而当 ts < 时有
=> )( sP ta ∑
∞
=
<==>?
0
),()(
n
ntN stnNPstP t tt
∑∞
=
=?==
0
)0,(
n
stst NNnNP ∑∞
=
====
0
)0()(
n
s
sst eNPnNP
l,
推论 ４,１０ 指数流的平均更新年龄为,
la
lt
t
eE= 1,(4,10)
从而重新得到第 3 章 2,3 段中的结论,t 前最近更新时刻的数学期望为
l
lat l tetEE t
tNt
+?=?=? 1)(,
证明 由命题 ４,９ (2)可知,ta 的分布函数在 t 点有一个跃度为 te l? 的跳跃,而在 ),0[ t
上有连续导数 se ll,所以 ta 的分布函数可以看成为如下的混合型分布
)()()1()( 21 sFesFesP ttt lla +?=≤,
其中 )(1 sF 具有概率密度 )(1)( ),0[1 sIeesf tt
s
l
ll
=,而 )()(
),[2 sIsF t ∞=,由于这两个分布的数学期望分别为 )1(1 t
tt
e-
e-te-
l
ll
l
l
与 t,因此
la
lt
t
eE= 1,
命题 ４,１ １ （ 一般更新流的平均剩余寿命 ） 对于一般更新过程的剩余寿命 tg 有
tETtmE t?+= 1))(1(g,(4,11)
83
证明 由于 1+=? tNh 满足 Wald 条件,我们仍可用 Wald 等式 (参见 (1,26)式及 (1,27) 式 )得到 1ETEE hth =,从而 有 1))(1( ETtmE 1N
t
+=+t 。
用同样的推理 及 211 )()()( ETVarTVarEVar hhth +=,∑
∞
=
>=
1,
2 ),(
mn
mnPE hh 可以得到 (我们略去冗长的推演过程 )
∫ ++?+= tt tETdssmtETtmE 0 21212 ))((2))(1(g,(4,12)
我们还不加证明地指出下面的渐近关系
1
2
1
2ET
ETE t
t
∞→→g
,
1
3
12
3ET
ETE t
t
∞→→g
,(4.13)
此关系可以 为 储存设计提供参考,
对 t 前的更新时刻
tN
t 的分布,则 有 下面的积分表示
定理 4,1 2 （ 用更新间隔的分布函数 (t)F1 表达 t 前的更新时刻
tN
t 的分布函数 ）
∫ ≤+?=≤ u 11N tusdmstFtFuP t 0 )(),())(1())(1()(t,(4,14)
证明 利用独立和 nt 的 Markov 性质,我们得到
左 ),(
0
nNuP tn
n
=≤= ∑
∞
=
t ),( 1
0
tuP nn
n
>≤= +
∞
=
∑ tt
+?= ))(1( tF1 ),( 1
1
tuP nn
n
>≤ +
∞
=
∑ tt
+?= ))(1( tF1 )()|( 1
1 0
sdFstP nnn
n
u =>
+
∞
=
∑ ∫ tt
+?= ))(1( tF1 )())(1(
1 0
sdFstF n1
n
u∑ ∫∞
=
=右,
2 更新定理与更新次数的正态近似
在应用中,主要是要知道更新过程 (更新次数 )的渐近概率规律,以 作为 设计 的 参考,
2,1 更新定理
定理 4,１ 3 (更新定理 ) 对于更新过程有
(1) 1)1(lim
1
==∞→ ETtNP tt (这里 1ET 可以取 ∞+ ),
84
(2) 基本更新定理
)(,1)(
1
∞→→ tETt tm (这里 1ET 可以取 ∞+ ),(4,15)
(注 当 ∞<)( 1TVar 时,还有
)(,)( )()( 3
1
1 ∞→→ t
ET
TVar
t
NVar t
,(4,16) )
证明 (1)利用 1+<≤
tt NN
tr t,在 ∞→t 时,应用强大数 定 律便得 1
..
ETN
ea
t
Nt →t,(2)在直观上看就是 对于 (1)取 数学期望,然而 其严格证明较为复杂,本书略去,
注 在强度为 l 的指数流情形,极限关系就简化为恒等关系,即对于任 意 t 均有
1
1)(
ETt
tm =,
3
1
1
)(
)()(
ET
TVar
t
NVar t =,这是因为
l
1
1 =ET,21
1)(
l=TVar,
ttmNVar t?== l)()(,
*
2,2 更新过程的正态近似
对于更新过 tN 而言,事件 }{ nNt ≥ 即 }{ tn ≤t,而 后者作为独立同分布的随机变量的和 的分布 近似正态,所以,更新过程在时间发展充分长后,其分布就近似正态 。 设
m=1ET,∞<= 21 )( sTVar,则定理 4.13 说明 当 ∞→t 时有 mtENt ≈,3
2
)( mstNVar t ≈,
于是 我们 有
定理 4,１ 4 (正态近似定理 ) 若 ∞<= 21 )( sTVar,m=1ET,则
)(),1,0(
3
∞→≈
tNt
tN
t
ms
m,(4,17)
证明 )()( 3
3
mms
ms
m ttxNPx
t
tN
P t
t
+≤=≤
,令 )(tb 是大于 mms ttx +3 的最小整数,那么等式的右边等于
))( )()( )(()())(( )()( tb tbttb tbPtPtbNP tbtbt s ms mtt?≥?=≥=≤
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))( )(( )( xtb tbP tb?≥?≈ s mt )()(1 xxt Φ=?Φ→? ∞→,
其中 )(xΦ 是 )1,0(N 的分布函数,这里用了 nt 服从 中心极限定理以及由 )(tb 的定义所引出的近似关系
xtb tbt?≈? )( )(s m,
注 在强度为 l 的指数流的情形,此定理即是中心极限定理 )(),1,0( ∞→≈ tNt tNt l l,因为此时有 22 1,1 lslm ==,
2,3 Blackwell 定理与主更新定理
在本段中,我们不再假定 更新间隔 1T 有密度函数,它可以是离散的随机变量,
定义 4,１ 5 (格点分布 ) 设随机变量 x 只取某个正数 (更常见的是正整数 ) d 的整数倍,
而且这个 d 是满足此性质的最大者 ( d 称为周期 ),则称此随机变量具有?d 格点分布,
我们不加证明地介绍两个在更新理论中最重要的定理,Blackwell 定理及作为其延伸的 主更新定理 (key renewal theorem)
定理 4,１ 6 ( Blackwell 定理 ) 设更新间隔 1T 的数学期望 m=1ET,
(1) 若更新间隔 1T 不是 格点分布,则
m
stmstm
t =?+∞→ )]()([lim ; (4,18)
(2) 若更新间隔 1T 是?d 格点分布,则
m
dndm
n =∞→ )(lim,(4,19)
( 注 (1) 的形式 可由 定理 4.13 猜得,其严格 证明的主要点在于极限的存在性,一旦证明存在性,那么此极限作为 s 的函数易见是可加的,等式就自然成立,本定理的证明可参见文献 ［ H ］ ),
定理 4,17 ( 主更新定理 ) 若更新间隔 1T 不是 格点分布,m=1ET,则 对可积函数 g 有
∫ ∫∞∞→ =?tt dttgsdmstg0 0 )()()(lim m,(4,20)
注 1 在指数流时 (4,20) 是显然的,
注 2 Blackwell 定理中的 (1),相当于在主更新定理中取 ],()( sttItg +=,事实上,由
86
严格的概率理论,可以证明 Blackwell 定理的 (1) 与主更新定理是等价的,
主更新定理中左边的积分经常出现,例如,在更新方程的解中,而主更新定理的主要应用就是 用以 求更新方程解的渐近表示,特别地,在计算与更新过程有关的某个数学期望在
t 很大时的渐近值时,常常先以首次到达某处的不同时间作为条件,用全概率公式 ( 或全期望公式 ) 得到一个更新方程,在 求得此更新方程的解后,再用 主更新定理便可得到近似的数学期望值,
2,4 更新间隔为正整值随机变量的更新过程
对于这种更新流,其更新时刻 )0( >kkt 的取值都是自然数,因而 是格点分布,此时的更新过程 tN 是 更新序列 nN,而 )1(,,0 10 ≥++== kTT kk Ltt,}:sup{ nkN kn == t,
由于 1T 是离散的随机变量,在计算更新函数 (时刻 n 的平均更新次数 ) nENnm?=)( 时,递推关系 (4,5)式应该作相应的改变,记
p T ),,,( 1 LL kpp=,)( 1 kTPpk ==,pm =p? pm-1,p2 =p? p,
其中 (p? q)k ∑?=
i
ikiqp 是序列的卷积运算,再记平均更新次数列组成的无穷维向量为
mT )),(,),1(( LL kmm=,1T 的分布函数取值的序列为 F T1 = )),(,),1(( 11 LL kFF,那么,
(4,4)式与 (4,5)式就分别成为
m=∑
∞
=1k
pk (4,4)’
m=F1+m? p,(4,5)’
于是一切相应的结论都类似地成立,
3 更新过程的变种 模型
3,1 交错更新过程
定义 4,１ ８ 假定更新间隔流 }{ nT 可以分前后两个独立的阶段,即,''' nnn TTT += 且
'nT 在前,''nT 在后,彼此交错地到来,再假定对于不同的 n,)'','( nn TT 是二维的独立同分布随机向量序列,这种数学模型称为 交错更新过程,
交错更新过程的典型例子是随机开关,其中,开间隔,与,关间隔,各自独立同分布,并且彼此交错,
对于交错更新过程,可以证明如下的比例极限定理,
定理 4,１ ９ ( 比例极限定理 )
如果更新间隔流 }'{ nT 与 }''{ nT 都不是格点分布,那么,在时间趋于 ∞ 时,交错更新过程所描述的系统处于,T’状态,与,T’’状态,的概率及总时间所占的比例的极限,都与初始状态无关,且分别以 1ET 与 '1ET 的比例分配,即
87
)'''(
''(lim
11
1
TTE
ETTtP
t +=∞→ 状态 ）时刻,系统处于在,(4,21)
)'''(
''],0[lim
11
1
TTE
ET
t
Tt
t +=∞→
状态的时间中系统处于,(4,22)
这两个事实非常符合直观,我们略去它的证明,
3,2 延迟更新过程
如果允许第一个更新间隔与其后的更新间隔的分布不同,就称为 延迟更新过程,为了易于区别,我们常常把第一个更新间隔记为 0T,而把其后的更新间隔记为 L,,21 TT,于是
)1,{ ≥nTn 是独立同分布的随机变量列,且它与 0T 独立,
延 迟更新过程的典型例子有,
（ １ ） 对于固定的时刻 s,更新过程 )0:{ ≥tNt 在时间 s 后的更新情况,即更新间隔流为
sTnTT ss NnNn?=≥= +++ 1
~
01
~
),1(,t,直接计算可以得到 (从直观上也可看出 ) )1(~ ≥nTn 与 1T
同分布,而
~
0T 是 s 后的剩余寿命,与 1T 的分布显然不同,所以 }0:{
~ ≥nT
n 是延迟更新流,
其计数过程 tN~ 就是延迟更新过程,
（ ２ ） 在下一章中的时齐 Markov 链,在时刻 t 前对于一个固定的常返态的返回次数是一
个延迟更新过程,
在直观上我们很容易接受下面的结论,
对于延迟更新过程而言,更新定理,Blackwell 定理和主更新定理的形式仍然不变,且其
更 新函数 )(tm 仍然满足 (唯一不同处为,0T 的分布函数 )(0 tF 与 1T 的分布函数 )(1 tF 不同 )
)()()()( 1
00
sdFstmtFtm t∫?+=,
3,3 带酬更新过程
如果对于每次更新都支付独立同分布的随机酬金 (修理费或理赔金 ),这样的更新过程就称为带酬更新过程,更确切一些,记第 n 次随机酬金为 nX,并假定 }{ nX 是独立同分布的随机变量列,且与更新过程 }0:{ ≥tNt 独立,再记 t 前的累计酬金 (累计修理费或累计理赔金 )
为 tR,那么,tR 称为 酬金过程,而二维向量随机过程 )0)(,{ ≥tRN tt 则称为 带酬更新过程,
带酬更新过程的酬金过 程可表达为 ∑
=
= tN
n
nt XR
1
,当更新过程是 Poisson 过程时,带酬更新过程的酬金过程就是复合 Poisson 过程,所以,作为数学模型的带酬更新过程的酬金过程,
是复合 Poisson 过程的推广和深化,如果某种保险项目的事故发生流不是指数流,那么 t 前累计理赔额就是一个带酬更新过程的酬金过程,
88
定理 4,２０ ( 酬金过程的更新定理 ) 对于酬金过程,只要数学期望 ∞<= m1ET,
∞<= g1ER,就有
(1) 1)(lim
1
1 ==
∞→ ET
ER
t
RP t
t,(4,23)
(2) 酬金过程的基本更新定理 )(,
1
1 ∞→→ t
ET
ER
t
ERt,(4,24)
证明提示 (1)的证明利用 1+<≤
tt NN
tr t,在 ∞→t 时利用强大数 定 律便可得
1
..
ETN
ea
t
Nt →t,
1
..
ERNR
ea
t
Nt →,从而,
1
1..
ET
ERR ea
N
N
t
t →
t,
同样,(2)在直观上看是简单地对 (1)取数学期望,但是严格证明较为复杂,从略,
酬金过程的正态近似 为
)1,0(
)( 21
1
1
1
1
1
1
N
TETERREETt
tETERR
tt ∞→
→
,(4,25)
证明提示 在 ∞→t 时,分别用 )1(1 oRR
tN
+++L 与 )1(1 oTT
tN
+++L 代替 tR 与 t,再利用以下的独立和 )()(
1
1
1
1
1
1 tt NN TET
ERRT
ET
ERR ++++ L
的中心极限定理,即可证明,
由于更新过程一般并不是独立增量过程,所以带酬更新过程的酬金过程也不是独立增量过程了,使用这种模型作为保险中的集体风险的数学模型,无论是在带利率或不带利率这两种情形,时刻 t 前不破产概率及破产前后保险公 司的盈余等等的分析,都将会扩大模型的有效使用范围,
4 再生过程与其相系的更新过程
4,1 再生过程的概念
定义 4,２１ 随机过程 tX 称为 再生过程 (regenerative process),如果存在有限值 )( tX
停时 T,使随机过程 }0:{ ≥tX t 与随机过程 }0:{ ≥+ tX tT 同分布 (即有相同的有限维 分布族 ),而且 }0:{ ≥+ tX tT 与 T 独立,此时 随机变量 T 则称为一个 再生时刻,
4.2 与再生过程相系的更新过程
对于再生过程 tX,存在再生时刻 1T,使随机过程 tTt XX +
= 1)1( 与随机过程 tX 同分布,
89
且 )( )1(tX 与 1T 独立,于是 )( )1(tX 也是再生过程,由于它与 )( tX 同分布,从而存在与 1T 同分布的再现时刻 2T,使随机过程 )2()2( 2 tTt XX +
= 与随机过程 )1(tX 同分布,而且随机过程
)( )2(tX 与 2T 独立,于是 2T 与 1T 独立 (独立性的严格证明常较为复杂,但是直观上 容易 判定 ),如此继续,就可以得到独立同分布的非负随机变量列 }{ nT,这就构成了一个产生更新过程的流,与它对应就有一个更新过程 tN,
nT 称为再生过程 tX 的 第 n 个循环时间,),[ 1 nn tt? 称为再生过程 tX 的 第 n 个循环时段,
再生过程在结构上比更新过程更为基本,一个再生过程可以有许多个与它相系的更新流,
从而可以对应不同的更新过程,(例如在第 5 章中的 Markov 链回访每个固定常返状态的时间列,就是一个产生更新过程的流,而在 第 12 章中的一维扩散过程,从每个固定状态出发,经过给定的第二个状态后再回访原状态的时间列,也是一个产生更新过程的流 ),
4,3 比例极限定理在再生过程中的应用
比例极限定理在再生过程中的应用,主要有
(1),用与再生过程相系的更新过程的各种更新定理求极限 ;
(2),把一个循环时段划分为前后两个各自独立的两个时段,得到交错更新过程,再用比例极限定理求一些渐近分布
例 ４,２２ (更新过程中年龄的 渐近分布 )
设 tN 更新间隔为 }{ nT 的更新过程,它在 t 时刻所在部件的年龄为 ta,则 ta 是一个以 nT
为 第 n 个循环时段的再现过程,作循环时间的如下分解,
,''' nnn TTT += sTT nn ∧=',''' nnn TTT?=,
那么由比例极限定理立刻推出年龄的如下的极限分布,
1
1 )()'(}(
ET
sTETtPsP t
nt
∧→=≤ ∞→状态处于系统在时刻a,
例 ４,２ ３ (更新过程中剩余寿命的 渐近分布 )
设更新间隔为 }{ nT 的更新过程,在 t 时刻所在部件的剩余寿命为 tg,则 tg 也是一个以 nT
为 第 n 个循环时段的再现过程,作循环时间的如下分解,
,''' nnn TTT += sTT nn ∧='',''' nnn TTT?=,
那么由比例极限定理立刻推出剩余寿命的如下的极限分布,
1
1 )()''(}(
ET
sTETtPsP t
nt
∧→=≤ ∞→状态处于系统在时刻g,
推论 ４,２ ４ 任何更新过程中的年龄与剩余寿命,在 ∞→t 时,具有相同的极限分布,
这个推论在排队理论中具有重要的意义,因为直观地看,如果忽略起点而倒向地看时间,
那么剩余寿命就变成了年龄,而年龄就变为剩余寿命,这是一种在时间倒逆下的对偶关系,
90
那么,这个推论的含义为,更新过程具有某种渐近的时间可逆性,于是人们就可以利用这种渐近的时间可逆性,把求一个 渐近分布,化简为求另一个相当于它的对偶的渐近分布,
比例极限定理还可以推广为
定理 4,２ ５ 对于再现过程 tX 及循环时段 1T,只要 ∫ ∞<
1
0
|)(|
T
t dtXfE,就有
1
0
))((
)(lim
1
ET
dsXfE
Xf
T
s
tt
∫
=∞→,(4,26)
4,4 存储模型的一个例子
例 ４,２ ６ (商品库存问题 )
设某店经营一种商品,初始进货量为 S,固定取一个值 SS <0 后,该店确定其进货策略为 （ 称为 ),( 0 SS 策略 ）,即 当且仅当存货量少于 0S 时进货,并使存货量补足到 S,假定顾客到达的间隔为非负的独立同分布的随机变量列 }{ nx,而他们的需求量为 与之独立的 独立同分布的随机变量列 }{ nZ,且 nZ 具有非格点的分布函数 ZF,该店在时刻 t 的存货量记为
tX,令 1T 为开张后第一次进货时刻,2T 为第二次进货时刻,依此下去,于是 tX 是再生过程,
而 }{ nT 就构成了更新流,
这个例子概括了存储模型的基本特征,这里有包括
(1) 在 ],0( t 中到达顾客的人数是一个以 }{ nx 为更新间隔流的更新过程,记为 tN,
(2) 设第 n 个顾客需要购置的商品数为 nZ,它们是 与之独立的 独立同分布的随机变量列,
于是需求流 }{ nZ 也是一个更新间隔流,它又对应于 另 一个更新过程,记为 tZ N)(,这是一个描述储备消耗的更新过程,(而在时刻 t 的累计需求量,记为 tW,则可以看成为一个,酬金,为
}{ nZ 的带酬更新过程,其,酬金过程,为 ∑
=
= tN
n
nt ZW
1
),
(3) 购进商品的流 (商品补给流 ),它相当于一个在每个更新间隔 nT 开始时,带上常数,酬金,0SS? 的带酬更新过程,
存储模型的首要问题是研究储量过程 tX,它涉及三个更新过程,其中前两个 (顾客流与需求流 )彼此独立,但是第三个 (商品补给流 )本质地依赖于前两个,所以储量过程是一个远比更新过程复杂的数学模型,(事实上,它可以纳入第 7 章排队模型的框架之中,但它是一个较
91
为复杂的排队模型 ),
商品补给发生在累计售出量达到 0SS? 的时刻,第 1 次补给发生的时刻的顾客人数为,
1}:min{ 00 )(01 +=?>++=?
SS
Z
nSS NSSZZn Lt,
从而
011 SS
T
++= txx L,
下面 我们研究商品储量过程 tX 的 渐近分布,以备进货时参考,为此我们注意,一个再生 循环 nT 开始于 商品存量补给为 S 的时刻,而结束于商品存量减少到 0S 的时刻,而存量减少到 u 的时刻,恰好是在此循环时段中,累计售出量达到 uS? 的时刻,此时的顾客人数为,
1}:min{ )(1 +=?>++= uSZnuS NuSZZn Lt,
对于固定的正整数 u,令 循环 nT 中在 第 uSN?s 个顾客到达的时刻之前的一段为 'nT,
余下的一段为 ''nT,直观上看 }'','{ nn TT 是独立同分布的二维随机向量序列,这样就得到了一个交错更新过程,用比例极限定理及 Wald 引理,我们便得到
}'(lim)(lim 状态时刻处于系统在 nttt TtPuXP ∞→∞→ =≥
)(
)('
01
1
1
1
SS
uS
E
E
ET
ET
++
++==
t
t
xx
xx
L
L
0SS
uS
E
E
=
t
t
1)(
1)(
1)(
1)(
0
)(
)(
0 +?
+?=
+
+=?
SSm
uSm
NE
NE
Z
Z
F
F
SS
Z
uS
Z
,
这里更新过程 tZ N)( 的更新函数 )(tm
ZF
可以用 1,2 段 的方法 通过近似计算得到,
* § 5,E rlang 更新过程
5,1 Erlang更新过程的定义
定义 4,２ ７ k 个独立同指数分布的随机变量的和的分布 ( 即是 ),( lkΓ 分布 ),在排队理论中称为 k 阶 Erlang 分布,其密度函数为
)()!1( )()( ),0[
1
tIk tetf
k
t
k ∞
= ll l,
若更新间隔流 }{ nT 的分布为 ),( lkΓ,则此更新流称为 k 阶 Erlang 流,其对应的更新过程 tN 称为 k
阶 E rlang 更新过程,
注 用 Erla ng 流作为更新元件的寿命流的数学模型要比指数流 ( 也称 Poisson 流 ) 更为合理,因为后者假定更新间隔服从指数分布,因而有,无记忆性,,即
92
)()|( 11 tTPsTstTP i >=>+>,
也就是更新间隔的概率分布与它的过去的情形 (s 前的情形 ) 无关,如果把设备的自然更新 ( 损坏 ) 作为更新间隔,那么,指数分布的假定就是设备没有折旧,这显然不合理的,诚然,由于指数流的计算远比其它更新流简单,所以在某些情况下,我们还用指数流作为设备寿命模型的粗略近似,当然,我们总希望采用别的比较合理但相对地还 容易计算其统计特征的更新流,其中最简单的就是 Erlang 流,它的优点有二,
（ １ ） 在 ),0[ ∞ 上具有密 度的随机变量的分布函数,都可以用 Erlang 分布的分布函数的混合来近似,
( 这说明了在排队系统中,用混合的 Erlang 流 也 可以足够好地近似一般的更新流 ),
（ ２ ） Erlang 流的更新过程的母函数可以明显的写出来 （ 特别是 2 阶 Erlang 流 ）,所以 成为人们选用的对象,
关于 （ １ ）,我们 有以下定理
定理 ４,２ ８ （ 用混合 Erlang 分布近似正随机变量的分布 (参 阅 ［ T］ )
设 )(tF 是 ),0[ ∞ 上的一个分布函数 。 对于 0>h 定义
)!
)(
1]()1(()([)(
1
01
h
tkn
kn
h ek
h
t
hnFnhFtF
=
∞
=
∑∑=,
即 )(tFh 是无穷多个权重分别为 ))1(()( hnFnhFpn= 的 )1,( hnErlang 分布的混合分布的分布函数,那么 FF dh?→?,即 在 F 的任意连续点 t,都有
)0()()( →?→? htFtF dh,
5,2 E rlang 更新过程的矩母函数
我们来推导 k 阶 Erlang 更新过程 tN 的矩母函数
∑∞
=
===
0n
n
t
N
k znNPEzztG
t )(),(
∑∞
=
+<≤=
0
1
n
n
nn ztP )( tt,( ),0 10 nn TT ++== Ltt
∑∞
=
+ ≤?≤=
0
1 )]()([
n
n
nn ztPtP tt
∑∑ ∞
=
∞
=
≤?≤+≤=
1
11
1
0 )()()(
n
n
n
n
n
n ztPztPztP ttt
∑∞
=
≤?+=
1
1)()1(1
n
n
n ztPz t,
由于 ),(~ lkTn Γ,便有 ),(~ lt knn Γ,令 kyz =,我们有
93
∑∞
=
≤
1
1)(
n
n
n ztP t ∑ ∫
∞
=
= 1 0
)1(
1
))!1( )((
n
t
nku
kn
yduuknu lll
∑ ∫∞
=
= 1 0
1
1 )
)!1(
)((
n
t
u
kn
k duu
kn
uyy lll
dumyuey
m
nnm
t
uk
!
)(
,2,10
1 ll l ∑∫
=+
=
L
记 k 阶 原单位根为 k
i
k e
p
e
2?
=,( 即方程 1=kx 的 k 个根为 ),2,1,)( kjjk L=e,那么
=∑
=
1
0
)(
k
j
jl
ke ∑?
=
1
0
2k
j
jlkie p
=
)(0
)(
的倍数非的倍数是
kl
klk
,
所以
!)(
1
! 0
1
0
)1(
,2,1 m
x
km
x m
m
k
j
mj
k
m
nnm
∑ ∑∑ ∞
=
=
+
=+
= e
L
j
kx
k
j
j
k ek
)(1
0
)(1 ee∑
=
=,
从而
∑∞
=
≤
1
1)(
n
n
n ztP t duekey
t k
j
yuj
k
uk jk∫ ∑
=
=
0
1
0
)(1 )(1 ell el
)1()(1 )(1 ))(1(
1
0
1 jkyt
k
j
j
k
j
kk e
yky
el
e
e
=
= ∑,
再注意 到 kyz =,我们就得到 下面的定理
定理 4,２ ９ k 阶 Erlang 更新过程 tN 的矩母函数为
11)1(11),(+= k
k zzkztG )1(
)(1
)( ))(1(1
0
1
1
j
kkzt
k
j j
k
k
j
k e
z
el
e
e
=
∑,
特别地,2 阶 Erlang 流的更新过程 tN 的矩母函数为
])(1)([),(2 ztshzztcheztG t?+?=? lll,
从而有
)1(412)|),(( 212?+?==?= tzt etz ztGEN ll,
))(|),()(( 2122
2
ttzt ENENz
ztGNVar?+
=
=
94
)(41)(4124 222 tshetsheett ttt+= llll lll,
习题 ４
1,某仪器受到一个强度为 l 的 Poisson 流的振动,假定每次振动的损失为独立同分布的随机变量列 }{ iL,
并且损失随时间衰减,即第 i 次振动发生的时刻 it 后的时间 t 的损失为 )( itieL ta,设 t 前振动的次数为 tN,那么在时刻 t 的总损失为 ∑
=
= t i
N
i
t
ieLtL
1
)()( ta,求证
al
ate
ELtLE
= 1)]([ 1,
2,证明更新过程 }0,{ ≥tNt 为 Poisson 过程,当且仅当它同时满足以下条件
(1) t 固定时 tt PoissonN l~ ;
(2) 其更新流 }{ kt 对于任意 n,},,( 1 ntt L 在条件概率 )|( nNP t =? 下的分布与
]),0[,],,0[( **1 tUtU nL 的分布相同,其中 ],0[,],,0[ **1 tUtU nL 为独 立同分布的 ],0[ t 均匀随机变量 nxx,,1 L 按从下到大排序后的随机变量 (即次序统计量 )的联合分布,
3,如果 tN 是更新间隔为
ppTn 1
21~
的更新过程,分别求 1N 和 3N 的分布,
4,用 Laplace 变换证明更新过程为 Poisson 过程的充要条件是它的更新函数为 ttm?= l)(,
5,设 nt 为更新过程 tN 的第 n 次更新时刻,证明 tN 是 Poisson 过程的充要条件是对于 ),0[ ∞ 上的
任意非负连续函数 )(tf,都有
dttffE n
n
)()]([
01
∫∑
∞∞
=
= lt,
6,对于 Poisson 过程 tN,求 (1) 时刻 t 前的年龄 ta 与时刻 t 后的余寿 tg 的联合分布,
(2) )|( sauP utt >> +g,)|( sauP tt =>g,
7,对于更新过程 tN,(1) 求 ]|[ 1 nNTTE tN
t
=++L,问它是否等于 )( 1 nTTE ++L?
(2) 证明 )0|(]0|[ 111 <=>++ TTENN TTE t
t
NtL,
8,如果 tN 是更新间隔为 nT 为延迟指数分布 (即其密度为,)( )()( ddl >= tt ICetf ( 0>d ),
95
求 )( nNP t ≥,
9,说明对于固定的 t,强度为 l 的 Poisson 过程的 t 前寿命 ta 与 t 后剩余寿命 tg 是相互独立的随机变量,
并且满足 lga 2)( =+ ttE,
10,如果 tN 是 Erlang(2)更新过程,即其更新间隔为 nT 具有分布密度 )()( ),0[2 tItetf t ∞?= ll,求其更新
函数 )(tm,
11,对于更新间隔流 }{ nT,记 t 前最近更新时刻为
tNt
Y t=,证明
1
0
])([
)(lim
1
ET
dsYIE
AYP
T
sA
tt
∫=∈
∞→,
(提示,用比例极限定理 ),
12,设交错更新过程中,更新间隔 lexp~'nT,mexp~''nT,把系统处于此两段更新间隔中,分别称为处
于,开,状态和,闭,状态,证明,)1( )( tetP mlml m ++= （时刻处于开状态 ）系统在,
龚光鲁,钱敏平著 应用随机过程教程及其在 算法与智能计算中的应用
清华大学出版社,2003
第 4 章 更新现象及其理论
1,Stieltjes 积分简述
假定 )( xG 为右连续 的 递增函数,那么,我们可以如微积分中定积分那样定义关于 )( xG
的 Stieltjes 积分,
)](()()[(lim)()( )()(1)(
0)(max )()(1
n
i
i
n
i
n
i
tt
n
b
a tGtGthxdGxh n
i
n
ii
= ∑∫ +
→?
∞→
+
,
这里 }{ )(nit 是半开区间 ],( ba 的 一个划分,这种积分的运算规律及近似计算,与普通积分基本上类似,最大的不同之处是,由于 )( xG 在某些点上的跃度可以大于零,在这些点上的积分就可能不是 0,因此我们通常考虑在半开区间 ],( ba 上的积分,类似地还可以定义瑕积分
∞→
∞→
∞
∞? =∫ baxdGxh lim)()( ∫
b
a
xdGxh )()(,简记为 ∫ )()( xdFxh 或 ∫hdF,
一般地说,Stieltjes 积分更多地用作理论分析,因为除了几种特殊情形或者是它们的混合情形,能计算出积分以外,通常的 Stieltjes 积分只能用积分和来近似估算,几种能直接计算的特殊情形包括,
(1) 若 ∫= x
c
duugxG )()(,则 =∫b
a
xdGxh )()( ∫b
a
dxxgxh )()( 化简为普通的积分,
(2) 若 )( xG 是右连续 的 递增的阶梯函数,即存在 ],(}{ baxn?,使
∑
≤
=
xx
nn
n
xGxGxG )]()([)(,则由积分的定义可算出
∑∫=
n
nnn
b
a xGxGxhxdGxh )]()()[()()(
,
这时,Stieltjes 积分就化为无穷级数,
(3) 对于一个点的集合 }{ 0x,有 )]()()[()()( 000
}{ 0
=∫ xGxGxhxdGxh
x
,
可见,Stieltjes 积分是一种包容普通的积分与无穷级数,而比之更为广泛 的数学模型,显然 Stieltjes 积分也与通常积分一样地具有加法性质,此外,Stieltjes 积分还具有以下的性质,
(1) 若 0)( ≥xh,则 0)()( ≥∫ xdGxh (因为 )( xG 递增 ),
特别地,若 F(x) 是随机变量 x 的分布函数,则 ∫= )()()( xdFxhEh x (这在第一章中已经提到 ),
(2) 若 0)( ≥xhn,且 ∞<∑ )(xhn
n
,则
77
∫∑ ∑ ∫=
n n
nn xdGxhxdGxh )()()()(,
(3) 设右连续的递增函数列 )(xGn 满足 ∑ ∞<
k
k xG )(,又 0)( ≥xh 则
∫ ∑ ∑∫=
k k
kk xdGxhxGdxh )()())(()(,
注 事实上 (2)和 (3)给出了无穷和与积分的运算次序可以交换的条件,在 (2)和 (3)中,我们并未 严格地 给出 )(),( xhxh n 需要满足的条件,通常遇到的函数都可取成 )(),( xhxh n,在本书中避免在 数学上追求严格条件,
2,更新过程的概念
2,1 作为 Poisson 过程推广的更新过程
更新现象是指数流的推广,也是一种按随机时刻到达的流,但是这个随机的流并不按独立同分布的指数分布随机变量的和到达,而是按非负独立同分布随机变量和的到达,
定义 ４,１ 假定 }{ kT 是非负的独立同分布随机变量序列,且其二阶矩有限,记
m=1ET,21 s=VarT,再假定 1)0( 10 <==? TPa,令
)1(,,0 10 ≥++== nTT nn Ltt,}:sup{ tkN kt ≤= t,（ 4,1）
即 tN 是 }{ nt 的 计数过程 （ 它们分别是 Poisson 过程与指数流的推广 ）,nt 称为 第 n 次更新时刻,随机序列 }{ nt 称为 更新流,nT 称为 第 n 个更新间隔,tN 称为 更新过程,
除了 Poisson 过程以外,一般的更新过程 tN 就不是独立增量过程,但是更新过程与更新流之间仍由下面的 关系联系起来
}{}{ tnN nt ≤=≥ t,(4,2)
定义 ４,２ 非负整值随机变量 h 称为关于随机变量列 }{ kT 满足 Wald 条件,如果对于任意 n,事件 }{ n=h 与 },,{ 21 L++ nn TT 独立,
引理 ４,３ 对于更新过程 tN,在 t 固定时 1+= tNDh 关于 }{ kT 满足 Wald 条件,
证明 }{ n=h 即随机事件 }1{?= nNt,也就是 }{\}{ 1 tt nn ≤≤? tt,后者可由随机变量组 },,{ 1 nTT L 完全地确定,故 1+tN （ 即 h ） 满足 Wald 条件,?
注意 虽然 1+tN （ 即 h ） 满足 Wald 条件,但是 tN 并不满足 Wald 条件,所以,对于
1+tNt 可以应用 Wald 等式 (1,26) 与 (1,27),而对于 tNt 则不可以应用 Wald 等式 (1,26 ) 与
78
(1,27)),
此外,即使在 tN 是 Poisson 过程的情形,由于 }{ kT 并不与 tN 独立,作为随机多个项的独立和的 1+
tN
t 或
tN
t 都不是复合 Poisson 过程,这样才能避免作不 正确的推导,
命题 4,４ 0)( =∞=tNP,
证明 由大数定律,我们有
)(lim)(lim)( tPnNPNP nntnt ≤=≥=∞= ∞→∞→ t
0)(lim 1 =≤++= ∞→ ntn TTP nn L,?
记 nt 的分布函数为 }()( tPtF nn ≤= t,与 Poisson 过程类似地,更新过程 tN 的分布为
)()()( 1 tFtFnNP nnt +?==,(4,3)
假定 kT 是第 k 次更新的部件的寿命,利用 )(tFn 是时刻 t 前更新次数超过 n 的概率
)( nNP t ≥,可以在 此概率在 容许小的 控制条件 下,设计部件备件的最小存储量,也就是找尽可能小的 n,使 )(tFn 被控制在一个可以容许的,小,的范围内,以达到减少储备量的目的,但是 )()( tPtF nn ≤= t 是 n 个与 1T 独立同分布的随机变量的和的分布函数,除了极个别的例子外,一般很不容易得到 )(tFn 的解析表达式,然而,在应用中可以借助于随机模拟得到它的近似,例如,多次 (例如 m 次 ) 生成 n 个独立 1T 随机数并求和,用 此 m 个和中不超过 t 的频率,作为 )(tFn 的估计值,
命题 4,５ 更新过程 tN 的期望函数称为 更新函数,它满足 tENtm?=)( ∞<,而且有
)(tm ∑
∞
=
=
1
)(
n
n tF (4,4)
证明 其有限性由 1)0( 1 <=TP 所保证,我们略去其证明,为了得到 (4.4)式,我们利用非负随机变量 }{ t
n
I ≤t,它的求和与取期望可以交换,所以
∑ ∑∞
=
∞
=
≤ ≤==
1 1
}{ )()(
n n
ntt tPIEEN n tt 右=,
79
命题 4,６ 令 tt NN ∞→?∞ =lim,则 1)( =∞=∞NP,
证明 ∑
∞
=
∞ =∞=≤∞=?≤∞<
1
0)(),()(
n
nn TPTnPNP 使,
1,2 更新函数的更新方程
定理 4,７ 设 1T 的分布函数为 )(1 tF,则 更新函数 )(tm 满足积分方程
)()()()( 1
01
sdFstmtFtm t∫?+=,(4,5)
证明 为了数学上更简单,我们假定分布函数 1F 具有密度 1f,于是 nF 是 n 个独立同分布密度 f 的随机变量的和的分布,因此,它的分布密度 nf 满足关系
11211,ffffff nn?=?=?,
其中 ∫?= t dssgstftgf
0
)()())((,)(),( tgtf 在 ),0[ ∞ 上定义,(易见 fggf?=? ),由
)()()()')()((}')()(( 1
000
tfdsstfsfdsstFsfdssFstf nn
t
n
t
n
t
+=?=?=? ∫∫∫
可知
))(())(()()()(
01
tfFtFfdssFstftF nt nnn?=?=?= ∫+,
再用 (4,4)式便得
))(()()()()( 1211 tfmtFfFFtFtm?+=?+++= L,?
注 1 更新函数 )(tm 是时刻 t 以前的平均更新次数 tEN,它是 更新过程的一个极为重要的量,表达了部件的平均储备量,方程 (4,5)可用来对 )(tm 作数值近似,例如用典型的迭代方法,可以求得 )(tm 的数值近似解,即令
∫ ≥?+== + t nn ndssfstmtFtmtFtm 0 )(1)1(1)0( )0(,)()()()(),()(,
那么,在适当的条件下,就有 )()()(
0
tmtm k
n
k
≈∑
=
,
注 2 设 )(th 是一个在任意有限区间上有界的函数,利用更新函数可以求解如下类型的积分 方程
)()()()( 1
0
sdFstgthtg
t
+= ∫,
80
这种 积分 方程称为 更新方程,更新方程在精算中的集体风险模型中,是一个最基本的数学工
具,
下面我们来求解更新方程,假定更新间隔的分布函数 )(1 xF 具有密度 )(1 xf,注意
)(xFn 的密度函数 nf 满足 nn fff?=+ 11,故而 这时更新函数 )(tm 具有微商
)()('
1
tftm n
n
∑∞
=
=,这样,更新方程可以改写为
)( 1fghg?+=,即 hfg = )1( 1,
由此得到更新方程的解
')1()1(
1
1
1 mhhhfhfg n
n
+=?+== ∑
∞
=
,
即
dssmsththtg
t
)(')()()(
0
+= ∫,
如果更新间隔的分布 函数 )(1 xF 不存在密度,那么只要利用 Stieltjes 积分的性质,就可以得到
)()()()(
0
sdmsththtg
t
+= ∫,
这就是说,更新方程的解 )(tg 可以用更新函数 )(tm 表示,
注 ３ 更新间隔的分布函数 )(1 xF 完全确定了更新函数 )(tm,反之,更新函数 )(tm 也完全确定了更新间隔的分布函数 )(1 xF,事实上它们可以通过 Laplace 变换相互表达,对于一个在 ),0[ ∞ 定义的非负函数 )(tg,可以定义它的 Laplace 变换 （ 记为 )(zLg ） 如下
dttgezL ztg )()(
0
∞
∫=,
当 )(tg 是更新时间 1T 具有密度 1f 时,其 Laplace 变换的概率含义为 1T 的负指数矩,即
=)(
1
zL f 1zTEe?,容易验证 Laplace 变换满足以下的乘法关系
)()()( zLzLzL hghg =?,
在 （ ４,５ ） 式 两边取 Laplace 变换,就得到其 Laplace 形式
)()()()(
11
zLzLzLzL mfFm +=,(4,6)
81
由分部积分可以得到 )()(
11
zzLzL fF =,代入 （ ４,６ ） 式 就可以解出
)(1
)()(
1
1
zL
zzLzL
f
f
m?=,(4,7)
等价地有
)(
)()(
1 zLz
zLzL
m
m
f +=,(4,7)’
又由于非负随机变量的分布密度是由此随机变量的负指数矩唯一确定的,所以更新间隔的分布密度 1f 可由更新函数 )(tm 唯一确定,
由 (4,7)式,只要用 z 的有理多项式来近似 )(zLm,再通过查一般函数的 Laplace变换表,
也可以得到 )(tm 的近似计算公式,
(如果更新间隔的分布函数 )(1 tF 不存在密度,那么这时候有 )(1
0
1 tdFeEe ztzT?
∞
∫=,这是分布函数
)(1 tF 的 Laplace - Stieltjies 变换,我们把它 记为 )(1 zLSF,再定义 )()(
0
tdmezL ztSm?
∞
∫=,与上面类似地可以得到
)(1
)()(
1
1
zL
zLzL
S
F
S
FS
m?=,或 )(1
)()(
1 zL
zLzL
S
m
S
mS
F += (4,7)’’)
1,3 年龄与剩余寿命
定义 4,８ 设 nt 为更新流,tN 是其对应的更新过程,当 t 固定时,随机变量
tNt t ta?=
称为 (第 tN 个更新元的 ) 年龄 ; 而随机变量 t
tNt
= +1tg 称为 (第 tN
个更新元的 ) 剩余寿命,
命题 ４,９ （ 指数流的年龄与剩余寿命 ） 设 nt 是强度为 l 的指数流,则当 t 固定时有
（ １ ） 剩余寿命 t
tNt
= +1tg 服从强度为 l 的指数分布,即
1Tdt =g (记号
d=
表示两边 的随机变量 同分布 ),(4,8)
（ ２ ） 年龄 ta 的分布是如下的一个混合型的分布函数
)()1)(()( ),[),0( sIesIsP tstt ∞? +?=≤ la,(4,9)
82
即 ta 与 t∧t 同分布,其中 t∧t ),min( tt?=,lt exp~,
证明 （ １ ） 随机变量 t
tNt
= +1tg 分布函数为
)()( 1 stPsP
tNt
≤?=≤ +tg
)|()()( 1
0
1 nNstPnNPstP tnt
n
N t =+≤==+≤= +
∞
=
+ ∑ tt
s
s
n
st eNPNPnNP
l?
∞
=
=≥=≥== ∑ 1)1()1()(
0
,
（ ２ ） 按定义当 ts ≥ 时 => )( sP ta 0)( =>? stP
tN
t,而当 ts < 时有
=> )( sP ta ∑
∞
=
<==>?
0
),()(
n
ntN stnNPstP t tt
∑∞
=
=?==
0
)0,(
n
stst NNnNP ∑∞
=
====
0
)0()(
n
s
sst eNPnNP
l,
推论 ４,１０ 指数流的平均更新年龄为,
la
lt
t
eE= 1,(4,10)
从而重新得到第 3 章 2,3 段中的结论,t 前最近更新时刻的数学期望为
l
lat l tetEE t
tNt
+?=?=? 1)(,
证明 由命题 ４,９ (2)可知,ta 的分布函数在 t 点有一个跃度为 te l? 的跳跃,而在 ),0[ t
上有连续导数 se ll,所以 ta 的分布函数可以看成为如下的混合型分布
)()()1()( 21 sFesFesP ttt lla +?=≤,
其中 )(1 sF 具有概率密度 )(1)( ),0[1 sIeesf tt
s
l
ll
=,而 )()(
),[2 sIsF t ∞=,由于这两个分布的数学期望分别为 )1(1 t
tt
e-
e-te-
l
ll
l
l
与 t,因此
la
lt
t
eE= 1,
命题 ４,１ １ （ 一般更新流的平均剩余寿命 ） 对于一般更新过程的剩余寿命 tg 有
tETtmE t?+= 1))(1(g,(4,11)
83
证明 由于 1+=? tNh 满足 Wald 条件,我们仍可用 Wald 等式 (参见 (1,26)式及 (1,27) 式 )得到 1ETEE hth =,从而 有 1))(1( ETtmE 1N
t
+=+t 。
用同样的推理 及 211 )()()( ETVarTVarEVar hhth +=,∑
∞
=
>=
1,
2 ),(
mn
mnPE hh 可以得到 (我们略去冗长的推演过程 )
∫ ++?+= tt tETdssmtETtmE 0 21212 ))((2))(1(g,(4,12)
我们还不加证明地指出下面的渐近关系
1
2
1
2ET
ETE t
t
∞→→g
,
1
3
12
3ET
ETE t
t
∞→→g
,(4.13)
此关系可以 为 储存设计提供参考,
对 t 前的更新时刻
tN
t 的分布,则 有 下面的积分表示
定理 4,1 2 （ 用更新间隔的分布函数 (t)F1 表达 t 前的更新时刻
tN
t 的分布函数 ）
∫ ≤+?=≤ u 11N tusdmstFtFuP t 0 )(),())(1())(1()(t,(4,14)
证明 利用独立和 nt 的 Markov 性质,我们得到
左 ),(
0
nNuP tn
n
=≤= ∑
∞
=
t ),( 1
0
tuP nn
n
>≤= +
∞
=
∑ tt
+?= ))(1( tF1 ),( 1
1
tuP nn
n
>≤ +
∞
=
∑ tt
+?= ))(1( tF1 )()|( 1
1 0
sdFstP nnn
n
u =>
+
∞
=
∑ ∫ tt
+?= ))(1( tF1 )())(1(
1 0
sdFstF n1
n
u∑ ∫∞
=
=右,
2 更新定理与更新次数的正态近似
在应用中,主要是要知道更新过程 (更新次数 )的渐近概率规律,以 作为 设计 的 参考,
2,1 更新定理
定理 4,１ 3 (更新定理 ) 对于更新过程有
(1) 1)1(lim
1
==∞→ ETtNP tt (这里 1ET 可以取 ∞+ ),
84
(2) 基本更新定理
)(,1)(
1
∞→→ tETt tm (这里 1ET 可以取 ∞+ ),(4,15)
(注 当 ∞<)( 1TVar 时,还有
)(,)( )()( 3
1
1 ∞→→ t
ET
TVar
t
NVar t
,(4,16) )
证明 (1)利用 1+<≤
tt NN
tr t,在 ∞→t 时,应用强大数 定 律便得 1
..
ETN
ea
t
Nt →t,(2)在直观上看就是 对于 (1)取 数学期望,然而 其严格证明较为复杂,本书略去,
注 在强度为 l 的指数流情形,极限关系就简化为恒等关系,即对于任 意 t 均有
1
1)(
ETt
tm =,
3
1
1
)(
)()(
ET
TVar
t
NVar t =,这是因为
l
1
1 =ET,21
1)(
l=TVar,
ttmNVar t?== l)()(,
*
2,2 更新过程的正态近似
对于更新过 tN 而言,事件 }{ nNt ≥ 即 }{ tn ≤t,而 后者作为独立同分布的随机变量的和 的分布 近似正态,所以,更新过程在时间发展充分长后,其分布就近似正态 。 设
m=1ET,∞<= 21 )( sTVar,则定理 4.13 说明 当 ∞→t 时有 mtENt ≈,3
2
)( mstNVar t ≈,
于是 我们 有
定理 4,１ 4 (正态近似定理 ) 若 ∞<= 21 )( sTVar,m=1ET,则
)(),1,0(
3
∞→≈
tNt
tN
t
ms
m,(4,17)
证明 )()( 3
3
mms
ms
m ttxNPx
t
tN
P t
t
+≤=≤
,令 )(tb 是大于 mms ttx +3 的最小整数,那么等式的右边等于
))( )()( )(()())(( )()( tb tbttb tbPtPtbNP tbtbt s ms mtt?≥?=≥=≤
85
))( )(( )( xtb tbP tb?≥?≈ s mt )()(1 xxt Φ=?Φ→? ∞→,
其中 )(xΦ 是 )1,0(N 的分布函数,这里用了 nt 服从 中心极限定理以及由 )(tb 的定义所引出的近似关系
xtb tbt?≈? )( )(s m,
注 在强度为 l 的指数流的情形,此定理即是中心极限定理 )(),1,0( ∞→≈ tNt tNt l l,因为此时有 22 1,1 lslm ==,
2,3 Blackwell 定理与主更新定理
在本段中,我们不再假定 更新间隔 1T 有密度函数,它可以是离散的随机变量,
定义 4,１ 5 (格点分布 ) 设随机变量 x 只取某个正数 (更常见的是正整数 ) d 的整数倍,
而且这个 d 是满足此性质的最大者 ( d 称为周期 ),则称此随机变量具有?d 格点分布,
我们不加证明地介绍两个在更新理论中最重要的定理,Blackwell 定理及作为其延伸的 主更新定理 (key renewal theorem)
定理 4,１ 6 ( Blackwell 定理 ) 设更新间隔 1T 的数学期望 m=1ET,
(1) 若更新间隔 1T 不是 格点分布,则
m
stmstm
t =?+∞→ )]()([lim ; (4,18)
(2) 若更新间隔 1T 是?d 格点分布,则
m
dndm
n =∞→ )(lim,(4,19)
( 注 (1) 的形式 可由 定理 4.13 猜得,其严格 证明的主要点在于极限的存在性,一旦证明存在性,那么此极限作为 s 的函数易见是可加的,等式就自然成立,本定理的证明可参见文献 ［ H ］ ),
定理 4,17 ( 主更新定理 ) 若更新间隔 1T 不是 格点分布,m=1ET,则 对可积函数 g 有
∫ ∫∞∞→ =?tt dttgsdmstg0 0 )()()(lim m,(4,20)
注 1 在指数流时 (4,20) 是显然的,
注 2 Blackwell 定理中的 (1),相当于在主更新定理中取 ],()( sttItg +=,事实上,由
86
严格的概率理论,可以证明 Blackwell 定理的 (1) 与主更新定理是等价的,
主更新定理中左边的积分经常出现,例如,在更新方程的解中,而主更新定理的主要应用就是 用以 求更新方程解的渐近表示,特别地,在计算与更新过程有关的某个数学期望在
t 很大时的渐近值时,常常先以首次到达某处的不同时间作为条件,用全概率公式 ( 或全期望公式 ) 得到一个更新方程,在 求得此更新方程的解后,再用 主更新定理便可得到近似的数学期望值,
2,4 更新间隔为正整值随机变量的更新过程
对于这种更新流,其更新时刻 )0( >kkt 的取值都是自然数,因而 是格点分布,此时的更新过程 tN 是 更新序列 nN,而 )1(,,0 10 ≥++== kTT kk Ltt,}:sup{ nkN kn == t,
由于 1T 是离散的随机变量,在计算更新函数 (时刻 n 的平均更新次数 ) nENnm?=)( 时,递推关系 (4,5)式应该作相应的改变,记
p T ),,,( 1 LL kpp=,)( 1 kTPpk ==,pm =p? pm-1,p2 =p? p,
其中 (p? q)k ∑?=
i
ikiqp 是序列的卷积运算,再记平均更新次数列组成的无穷维向量为
mT )),(,),1(( LL kmm=,1T 的分布函数取值的序列为 F T1 = )),(,),1(( 11 LL kFF,那么,
(4,4)式与 (4,5)式就分别成为
m=∑
∞
=1k
pk (4,4)’
m=F1+m? p,(4,5)’
于是一切相应的结论都类似地成立,
3 更新过程的变种 模型
3,1 交错更新过程
定义 4,１ ８ 假定更新间隔流 }{ nT 可以分前后两个独立的阶段,即,''' nnn TTT += 且
'nT 在前,''nT 在后,彼此交错地到来,再假定对于不同的 n,)'','( nn TT 是二维的独立同分布随机向量序列,这种数学模型称为 交错更新过程,
交错更新过程的典型例子是随机开关,其中,开间隔,与,关间隔,各自独立同分布,并且彼此交错,
对于交错更新过程,可以证明如下的比例极限定理,
定理 4,１ ９ ( 比例极限定理 )
如果更新间隔流 }'{ nT 与 }''{ nT 都不是格点分布,那么,在时间趋于 ∞ 时,交错更新过程所描述的系统处于,T’状态,与,T’’状态,的概率及总时间所占的比例的极限,都与初始状态无关,且分别以 1ET 与 '1ET 的比例分配,即
87
)'''(
''(lim
11
1
TTE
ETTtP
t +=∞→ 状态 ）时刻,系统处于在,(4,21)
)'''(
''],0[lim
11
1
TTE
ET
t
Tt
t +=∞→
状态的时间中系统处于,(4,22)
这两个事实非常符合直观,我们略去它的证明,
3,2 延迟更新过程
如果允许第一个更新间隔与其后的更新间隔的分布不同,就称为 延迟更新过程,为了易于区别,我们常常把第一个更新间隔记为 0T,而把其后的更新间隔记为 L,,21 TT,于是
)1,{ ≥nTn 是独立同分布的随机变量列,且它与 0T 独立,
延 迟更新过程的典型例子有,
（ １ ） 对于固定的时刻 s,更新过程 )0:{ ≥tNt 在时间 s 后的更新情况,即更新间隔流为
sTnTT ss NnNn?=≥= +++ 1
~
01
~
),1(,t,直接计算可以得到 (从直观上也可看出 ) )1(~ ≥nTn 与 1T
同分布,而
~
0T 是 s 后的剩余寿命,与 1T 的分布显然不同,所以 }0:{
~ ≥nT
n 是延迟更新流,
其计数过程 tN~ 就是延迟更新过程,
（ ２ ） 在下一章中的时齐 Markov 链,在时刻 t 前对于一个固定的常返态的返回次数是一
个延迟更新过程,
在直观上我们很容易接受下面的结论,
对于延迟更新过程而言,更新定理,Blackwell 定理和主更新定理的形式仍然不变,且其
更 新函数 )(tm 仍然满足 (唯一不同处为,0T 的分布函数 )(0 tF 与 1T 的分布函数 )(1 tF 不同 )
)()()()( 1
00
sdFstmtFtm t∫?+=,
3,3 带酬更新过程
如果对于每次更新都支付独立同分布的随机酬金 (修理费或理赔金 ),这样的更新过程就称为带酬更新过程,更确切一些,记第 n 次随机酬金为 nX,并假定 }{ nX 是独立同分布的随机变量列,且与更新过程 }0:{ ≥tNt 独立,再记 t 前的累计酬金 (累计修理费或累计理赔金 )
为 tR,那么,tR 称为 酬金过程,而二维向量随机过程 )0)(,{ ≥tRN tt 则称为 带酬更新过程,
带酬更新过程的酬金过 程可表达为 ∑
=
= tN
n
nt XR
1
,当更新过程是 Poisson 过程时,带酬更新过程的酬金过程就是复合 Poisson 过程,所以,作为数学模型的带酬更新过程的酬金过程,
是复合 Poisson 过程的推广和深化,如果某种保险项目的事故发生流不是指数流,那么 t 前累计理赔额就是一个带酬更新过程的酬金过程,
88
定理 4,２０ ( 酬金过程的更新定理 ) 对于酬金过程,只要数学期望 ∞<= m1ET,
∞<= g1ER,就有
(1) 1)(lim
1
1 ==
∞→ ET
ER
t
RP t
t,(4,23)
(2) 酬金过程的基本更新定理 )(,
1
1 ∞→→ t
ET
ER
t
ERt,(4,24)
证明提示 (1)的证明利用 1+<≤
tt NN
tr t,在 ∞→t 时利用强大数 定 律便可得
1
..
ETN
ea
t
Nt →t,
1
..
ERNR
ea
t
Nt →,从而,
1
1..
ET
ERR ea
N
N
t
t →
t,
同样,(2)在直观上看是简单地对 (1)取数学期望,但是严格证明较为复杂,从略,
酬金过程的正态近似 为
)1,0(
)( 21
1
1
1
1
1
1
N
TETERREETt
tETERR
tt ∞→
→
,(4,25)
证明提示 在 ∞→t 时,分别用 )1(1 oRR
tN
+++L 与 )1(1 oTT
tN
+++L 代替 tR 与 t,再利用以下的独立和 )()(
1
1
1
1
1
1 tt NN TET
ERRT
ET
ERR ++++ L
的中心极限定理,即可证明,
由于更新过程一般并不是独立增量过程,所以带酬更新过程的酬金过程也不是独立增量过程了,使用这种模型作为保险中的集体风险的数学模型,无论是在带利率或不带利率这两种情形,时刻 t 前不破产概率及破产前后保险公 司的盈余等等的分析,都将会扩大模型的有效使用范围,
4 再生过程与其相系的更新过程
4,1 再生过程的概念
定义 4,２１ 随机过程 tX 称为 再生过程 (regenerative process),如果存在有限值 )( tX
停时 T,使随机过程 }0:{ ≥tX t 与随机过程 }0:{ ≥+ tX tT 同分布 (即有相同的有限维 分布族 ),而且 }0:{ ≥+ tX tT 与 T 独立,此时 随机变量 T 则称为一个 再生时刻,
4.2 与再生过程相系的更新过程
对于再生过程 tX,存在再生时刻 1T,使随机过程 tTt XX +
= 1)1( 与随机过程 tX 同分布,
89
且 )( )1(tX 与 1T 独立,于是 )( )1(tX 也是再生过程,由于它与 )( tX 同分布,从而存在与 1T 同分布的再现时刻 2T,使随机过程 )2()2( 2 tTt XX +
= 与随机过程 )1(tX 同分布,而且随机过程
)( )2(tX 与 2T 独立,于是 2T 与 1T 独立 (独立性的严格证明常较为复杂,但是直观上 容易 判定 ),如此继续,就可以得到独立同分布的非负随机变量列 }{ nT,这就构成了一个产生更新过程的流,与它对应就有一个更新过程 tN,
nT 称为再生过程 tX 的 第 n 个循环时间,),[ 1 nn tt? 称为再生过程 tX 的 第 n 个循环时段,
再生过程在结构上比更新过程更为基本,一个再生过程可以有许多个与它相系的更新流,
从而可以对应不同的更新过程,(例如在第 5 章中的 Markov 链回访每个固定常返状态的时间列,就是一个产生更新过程的流,而在 第 12 章中的一维扩散过程,从每个固定状态出发,经过给定的第二个状态后再回访原状态的时间列,也是一个产生更新过程的流 ),
4,3 比例极限定理在再生过程中的应用
比例极限定理在再生过程中的应用,主要有
(1),用与再生过程相系的更新过程的各种更新定理求极限 ;
(2),把一个循环时段划分为前后两个各自独立的两个时段,得到交错更新过程,再用比例极限定理求一些渐近分布
例 ４,２２ (更新过程中年龄的 渐近分布 )
设 tN 更新间隔为 }{ nT 的更新过程,它在 t 时刻所在部件的年龄为 ta,则 ta 是一个以 nT
为 第 n 个循环时段的再现过程,作循环时间的如下分解,
,''' nnn TTT += sTT nn ∧=',''' nnn TTT?=,
那么由比例极限定理立刻推出年龄的如下的极限分布,
1
1 )()'(}(
ET
sTETtPsP t
nt
∧→=≤ ∞→状态处于系统在时刻a,
例 ４,２ ３ (更新过程中剩余寿命的 渐近分布 )
设更新间隔为 }{ nT 的更新过程,在 t 时刻所在部件的剩余寿命为 tg,则 tg 也是一个以 nT
为 第 n 个循环时段的再现过程,作循环时间的如下分解,
,''' nnn TTT += sTT nn ∧='',''' nnn TTT?=,
那么由比例极限定理立刻推出剩余寿命的如下的极限分布,
1
1 )()''(}(
ET
sTETtPsP t
nt
∧→=≤ ∞→状态处于系统在时刻g,
推论 ４,２ ４ 任何更新过程中的年龄与剩余寿命,在 ∞→t 时,具有相同的极限分布,
这个推论在排队理论中具有重要的意义,因为直观地看,如果忽略起点而倒向地看时间,
那么剩余寿命就变成了年龄,而年龄就变为剩余寿命,这是一种在时间倒逆下的对偶关系,
90
那么,这个推论的含义为,更新过程具有某种渐近的时间可逆性,于是人们就可以利用这种渐近的时间可逆性,把求一个 渐近分布,化简为求另一个相当于它的对偶的渐近分布,
比例极限定理还可以推广为
定理 4,２ ５ 对于再现过程 tX 及循环时段 1T,只要 ∫ ∞<
1
0
|)(|
T
t dtXfE,就有
1
0
))((
)(lim
1
ET
dsXfE
Xf
T
s
tt
∫
=∞→,(4,26)
4,4 存储模型的一个例子
例 ４,２ ６ (商品库存问题 )
设某店经营一种商品,初始进货量为 S,固定取一个值 SS <0 后,该店确定其进货策略为 （ 称为 ),( 0 SS 策略 ）,即 当且仅当存货量少于 0S 时进货,并使存货量补足到 S,假定顾客到达的间隔为非负的独立同分布的随机变量列 }{ nx,而他们的需求量为 与之独立的 独立同分布的随机变量列 }{ nZ,且 nZ 具有非格点的分布函数 ZF,该店在时刻 t 的存货量记为
tX,令 1T 为开张后第一次进货时刻,2T 为第二次进货时刻,依此下去,于是 tX 是再生过程,
而 }{ nT 就构成了更新流,
这个例子概括了存储模型的基本特征,这里有包括
(1) 在 ],0( t 中到达顾客的人数是一个以 }{ nx 为更新间隔流的更新过程,记为 tN,
(2) 设第 n 个顾客需要购置的商品数为 nZ,它们是 与之独立的 独立同分布的随机变量列,
于是需求流 }{ nZ 也是一个更新间隔流,它又对应于 另 一个更新过程,记为 tZ N)(,这是一个描述储备消耗的更新过程,(而在时刻 t 的累计需求量,记为 tW,则可以看成为一个,酬金,为
}{ nZ 的带酬更新过程,其,酬金过程,为 ∑
=
= tN
n
nt ZW
1
),
(3) 购进商品的流 (商品补给流 ),它相当于一个在每个更新间隔 nT 开始时,带上常数,酬金,0SS? 的带酬更新过程,
存储模型的首要问题是研究储量过程 tX,它涉及三个更新过程,其中前两个 (顾客流与需求流 )彼此独立,但是第三个 (商品补给流 )本质地依赖于前两个,所以储量过程是一个远比更新过程复杂的数学模型,(事实上,它可以纳入第 7 章排队模型的框架之中,但它是一个较
91
为复杂的排队模型 ),
商品补给发生在累计售出量达到 0SS? 的时刻,第 1 次补给发生的时刻的顾客人数为,
1}:min{ 00 )(01 +=?>++=?
SS
Z
nSS NSSZZn Lt,
从而
011 SS
T
++= txx L,
下面 我们研究商品储量过程 tX 的 渐近分布,以备进货时参考,为此我们注意,一个再生 循环 nT 开始于 商品存量补给为 S 的时刻,而结束于商品存量减少到 0S 的时刻,而存量减少到 u 的时刻,恰好是在此循环时段中,累计售出量达到 uS? 的时刻,此时的顾客人数为,
1}:min{ )(1 +=?>++= uSZnuS NuSZZn Lt,
对于固定的正整数 u,令 循环 nT 中在 第 uSN?s 个顾客到达的时刻之前的一段为 'nT,
余下的一段为 ''nT,直观上看 }'','{ nn TT 是独立同分布的二维随机向量序列,这样就得到了一个交错更新过程,用比例极限定理及 Wald 引理,我们便得到
}'(lim)(lim 状态时刻处于系统在 nttt TtPuXP ∞→∞→ =≥
)(
)('
01
1
1
1
SS
uS
E
E
ET
ET
++
++==
t
t
xx
xx
L
L
0SS
uS
E
E
=
t
t
1)(
1)(
1)(
1)(
0
)(
)(
0 +?
+?=
+
+=?
SSm
uSm
NE
NE
Z
Z
F
F
SS
Z
uS
Z
,
这里更新过程 tZ N)( 的更新函数 )(tm
ZF
可以用 1,2 段 的方法 通过近似计算得到,
* § 5,E rlang 更新过程
5,1 Erlang更新过程的定义
定义 4,２ ７ k 个独立同指数分布的随机变量的和的分布 ( 即是 ),( lkΓ 分布 ),在排队理论中称为 k 阶 Erlang 分布,其密度函数为
)()!1( )()( ),0[
1
tIk tetf
k
t
k ∞
= ll l,
若更新间隔流 }{ nT 的分布为 ),( lkΓ,则此更新流称为 k 阶 Erlang 流,其对应的更新过程 tN 称为 k
阶 E rlang 更新过程,
注 用 Erla ng 流作为更新元件的寿命流的数学模型要比指数流 ( 也称 Poisson 流 ) 更为合理,因为后者假定更新间隔服从指数分布,因而有,无记忆性,,即
92
)()|( 11 tTPsTstTP i >=>+>,
也就是更新间隔的概率分布与它的过去的情形 (s 前的情形 ) 无关,如果把设备的自然更新 ( 损坏 ) 作为更新间隔,那么,指数分布的假定就是设备没有折旧,这显然不合理的,诚然,由于指数流的计算远比其它更新流简单,所以在某些情况下,我们还用指数流作为设备寿命模型的粗略近似,当然,我们总希望采用别的比较合理但相对地还 容易计算其统计特征的更新流,其中最简单的就是 Erlang 流,它的优点有二,
（ １ ） 在 ),0[ ∞ 上具有密 度的随机变量的分布函数,都可以用 Erlang 分布的分布函数的混合来近似,
( 这说明了在排队系统中,用混合的 Erlang 流 也 可以足够好地近似一般的更新流 ),
（ ２ ） Erlang 流的更新过程的母函数可以明显的写出来 （ 特别是 2 阶 Erlang 流 ）,所以 成为人们选用的对象,
关于 （ １ ）,我们 有以下定理
定理 ４,２ ８ （ 用混合 Erlang 分布近似正随机变量的分布 (参 阅 ［ T］ )
设 )(tF 是 ),0[ ∞ 上的一个分布函数 。 对于 0>h 定义
)!
)(
1]()1(()([)(
1
01
h
tkn
kn
h ek
h
t
hnFnhFtF
=
∞
=
∑∑=,
即 )(tFh 是无穷多个权重分别为 ))1(()( hnFnhFpn= 的 )1,( hnErlang 分布的混合分布的分布函数,那么 FF dh?→?,即 在 F 的任意连续点 t,都有
)0()()( →?→? htFtF dh,
5,2 E rlang 更新过程的矩母函数
我们来推导 k 阶 Erlang 更新过程 tN 的矩母函数
∑∞
=
===
0n
n
t
N
k znNPEzztG
t )(),(
∑∞
=
+<≤=
0
1
n
n
nn ztP )( tt,( ),0 10 nn TT ++== Ltt
∑∞
=
+ ≤?≤=
0
1 )]()([
n
n
nn ztPtP tt
∑∑ ∞
=
∞
=
≤?≤+≤=
1
11
1
0 )()()(
n
n
n
n
n
n ztPztPztP ttt
∑∞
=
≤?+=
1
1)()1(1
n
n
n ztPz t,
由于 ),(~ lkTn Γ,便有 ),(~ lt knn Γ,令 kyz =,我们有
93
∑∞
=
≤
1
1)(
n
n
n ztP t ∑ ∫
∞
=
= 1 0
)1(
1
))!1( )((
n
t
nku
kn
yduuknu lll
∑ ∫∞
=
= 1 0
1
1 )
)!1(
)((
n
t
u
kn
k duu
kn
uyy lll
dumyuey
m
nnm
t
uk
!
)(
,2,10
1 ll l ∑∫
=+
=
L
记 k 阶 原单位根为 k
i
k e
p
e
2?
=,( 即方程 1=kx 的 k 个根为 ),2,1,)( kjjk L=e,那么
=∑
=
1
0
)(
k
j
jl
ke ∑?
=
1
0
2k
j
jlkie p
=
)(0
)(
的倍数非的倍数是
kl
klk
,
所以
!)(
1
! 0
1
0
)1(
,2,1 m
x
km
x m
m
k
j
mj
k
m
nnm
∑ ∑∑ ∞
=
=
+
=+
= e
L
j
kx
k
j
j
k ek
)(1
0
)(1 ee∑
=
=,
从而
∑∞
=
≤
1
1)(
n
n
n ztP t duekey
t k
j
yuj
k
uk jk∫ ∑
=
=
0
1
0
)(1 )(1 ell el
)1()(1 )(1 ))(1(
1
0
1 jkyt
k
j
j
k
j
kk e
yky
el
e
e
=
= ∑,
再注意 到 kyz =,我们就得到 下面的定理
定理 4,２ ９ k 阶 Erlang 更新过程 tN 的矩母函数为
11)1(11),(+= k
k zzkztG )1(
)(1
)( ))(1(1
0
1
1
j
kkzt
k
j j
k
k
j
k e
z
el
e
e
=
∑,
特别地,2 阶 Erlang 流的更新过程 tN 的矩母函数为
])(1)([),(2 ztshzztcheztG t?+?=? lll,
从而有
)1(412)|),(( 212?+?==?= tzt etz ztGEN ll,
))(|),()(( 2122
2
ttzt ENENz
ztGNVar?+
=
=
94
)(41)(4124 222 tshetsheett ttt+= llll lll,
习题 ４
1,某仪器受到一个强度为 l 的 Poisson 流的振动,假定每次振动的损失为独立同分布的随机变量列 }{ iL,
并且损失随时间衰减,即第 i 次振动发生的时刻 it 后的时间 t 的损失为 )( itieL ta,设 t 前振动的次数为 tN,那么在时刻 t 的总损失为 ∑
=
= t i
N
i
t
ieLtL
1
)()( ta,求证
al
ate
ELtLE
= 1)]([ 1,
2,证明更新过程 }0,{ ≥tNt 为 Poisson 过程,当且仅当它同时满足以下条件
(1) t 固定时 tt PoissonN l~ ;
(2) 其更新流 }{ kt 对于任意 n,},,( 1 ntt L 在条件概率 )|( nNP t =? 下的分布与
]),0[,],,0[( **1 tUtU nL 的分布相同,其中 ],0[,],,0[ **1 tUtU nL 为独 立同分布的 ],0[ t 均匀随机变量 nxx,,1 L 按从下到大排序后的随机变量 (即次序统计量 )的联合分布,
3,如果 tN 是更新间隔为
ppTn 1
21~
的更新过程,分别求 1N 和 3N 的分布,
4,用 Laplace 变换证明更新过程为 Poisson 过程的充要条件是它的更新函数为 ttm?= l)(,
5,设 nt 为更新过程 tN 的第 n 次更新时刻,证明 tN 是 Poisson 过程的充要条件是对于 ),0[ ∞ 上的
任意非负连续函数 )(tf,都有
dttffE n
n
)()]([
01
∫∑
∞∞
=
= lt,
6,对于 Poisson 过程 tN,求 (1) 时刻 t 前的年龄 ta 与时刻 t 后的余寿 tg 的联合分布,
(2) )|( sauP utt >> +g,)|( sauP tt =>g,
7,对于更新过程 tN,(1) 求 ]|[ 1 nNTTE tN
t
=++L,问它是否等于 )( 1 nTTE ++L?
(2) 证明 )0|(]0|[ 111 <=>++ TTENN TTE t
t
NtL,
8,如果 tN 是更新间隔为 nT 为延迟指数分布 (即其密度为,)( )()( ddl >= tt ICetf ( 0>d ),
95
求 )( nNP t ≥,
9,说明对于固定的 t,强度为 l 的 Poisson 过程的 t 前寿命 ta 与 t 后剩余寿命 tg 是相互独立的随机变量,
并且满足 lga 2)( =+ ttE,
10,如果 tN 是 Erlang(2)更新过程,即其更新间隔为 nT 具有分布密度 )()( ),0[2 tItetf t ∞?= ll,求其更新
函数 )(tm,
11,对于更新间隔流 }{ nT,记 t 前最近更新时刻为
tNt
Y t=,证明
1
0
])([
)(lim
1
ET
dsYIE
AYP
T
sA
tt
∫=∈
∞→,
(提示,用比例极限定理 ),
12,设交错更新过程中,更新间隔 lexp~'nT,mexp~''nT,把系统处于此两段更新间隔中,分别称为处
于,开,状态和,闭,状态,证明,)1( )( tetP mlml m ++= （时刻处于开状态 ）系统在,
