第三章 平面与空间直线主要内容
1、平面的方程
2、平面与点的相关位置
3、两平面的相关位置
4、空间直线的方程
5、直线与平面的相关位置
6、空间两直线的相关位置
7、空间直线与点的相关位置
8、平面束第一节 平面及其方程一、由平面上一点与平面的方向矢量决定的平面的方程
1、方向矢量在空间给定一个点 M0与两个不共线的矢量 a,b，则通过点 M0且与 a,b平行的平面?就被唯一确定。矢量 a,
b称为平面?的方向矢量。
显然，任何一对与平面?平行的不共线矢量都可作为平面?的方向矢量。
2、平面的矢量式参数方程在空间，取标架 {O； e1,e2,e3},并设点 M0的径矢
OM0=r0,平面?上的任意一点 M的径矢为 OM=r，
M0M=ua+vb
又因为 M0M=r-r0
所以 r-r0= ua+vb
即 r=r0+ ua+vb （ 1）
方程（ 1）称为平面?的 矢量式参数方程 。
b
x y
z aM
0
M
O
r0
r
显然点 M在平面?上的充要条件为矢量 M0M与 a,b,面，
因为 a,b不共线，所以这个共面的条件可写成：
3、平面的坐标式参数方程若设 M0,M的坐标分别为 (x0,y0,z0),(x,y,z),则
r0={x0,y0,z0},r={x,y,z}
并设 a={X1,Y1,Z1},b={X2,Y2,Z2}
则由（ 1）可得
)2(
210
210
210
vZuZzz
vYuYyy
vXuXxx
（ 2）式称为平面?的 坐标式参数方程 。
r=r0+ ua+vb （ 1）
例 1、已知不共线的三点 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),
M3(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。
解：
r2-r1=M1M2={x2-x1,y2-y1,z2-z1},
因此，平面的 矢量式参数方程 为
r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1) (3)
坐标式参数方程 为
)4(
)()(
)()(
)()(
13121
13121
13121
zzvzzuzz
yyvyyuyy
xxvxxuxx
设 M(x,y,z)是平面上任意一点，已知点为 Mi的径矢为 ri=OMi，则可取方向矢量为
r3-r1=M1M3={x3-x1,y3-y1,z3-z1},
从（ 3），（ 4）中分别消去参数 u,v可得：
（ r-r1,r2-r1,r3-r1)=0 （ 5）
与 )6(0
13121
13121
13121
zzzzzz
yyyyyy
xxxxxx
或 )7(0
1
1
1
1
333
222
111
zyx
zyx
zyx
zyx
（ 5）（ 6）（ 7）都有叫做 平面的三点式方程 。
特别地，若平面与三坐标轴的交点分别 为 M1(a,0,0)
M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中 abc≠0,则平面的方程为
)8(1
c
z
b
y
a
x
称为平面的 截距式方程 。
其中 a,b,c分别称为平面在三坐标轴上的 截距 。 x
z
yM1
M2
M3
o
x
y
z
o
0M M如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的 法线向量,
法线向量的 特征,垂直于平面内的任一向量．
n?
二、平面的点法式方程
1,法向量,
注,1? 对平面?,法向量 n不唯一 ;
2? 平面?的法向量 n与? 上任一向量垂直,
2,平面的点法式方程设平面?过定点 M0(x0,y0,z0),且有法向量 n={A,B,C}.
对于平面上任一点 M(x,y,z),
向量 M0M与 n垂直,
y
x
z
M0
M
n
O
n? M0 M = 0
而 M0 M ={x? x0,y? y0,z? z0},
得,
A(x? x0) +B( y? y0) +C( z? z0) = 0
称方程 (1) 为平面的 点法式方程,
(1)
例 1,求过点 (2,?3,0)且以 n = {1,?2,3}为法向量的平面的方程,
解,根据平面的点法式方程 (1),可得平面方程为,
1? (x? 2)? 2? (y + 3) + 3? (z? 0) = 0
即,x? 2y + 3z? 8 = 0
n
M3
M2
M1
解,先找出该平面的法向量 n.
由于 n与向量 M1M2,M1M3都垂直,
而 M1M2={?3,4,?6} M1M3={?2,3,?1}
可取 n = M1M2? M1M3
132
643
kji
= 14i + 9j? k
例 2,求过三点 M1(2,?1,4),M2(? 1,3,?2)和 M3(0,2,3)
的平面的方程,
所以,所求平面的方程为,
14(x? 2) + 9(y + 1)? (z? 4) = 0
即,14x + 9y? z? 15 = 0
例 3、已知两点 M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直平分面?的方程。
解,因为矢量 M1M2={2,2,-4}=2{1,1,-2}
垂直于平面?，所以平面?的一个法矢量为
n={1,1,-2}.
又所求平面过点 M1M2的中点 M0(2,-1,1)，故平面的点法式方程为
(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0
整理得
x+y-2z+1=0
三、平面的一般方程
1,定理 1,任何 x,y,z的一次方程,Ax +By +Cz +D = 0
都表示平面,且此平面的一个法向量是,
n = {A,B,C}
证,A,B,C不能全为 0,不妨设 A? 0,则方程可以化为
0)0()0()( zCyBA DxA
它表示过定点 )0,0,(
0 A
DM?
注：一次方程,Ax + By + Cz + D = 0 (2)
称为平面的 一般方程,
且法向量为 n = {A,B,C}的平面,
例 2,已知平面过点 M0(?1,2,3),且平行于平面 2x?3y + 4z?1= 0,求其方程,
解,所求平面与已知平面有相同的法向量
n ={2?3,4}
2(x +1)? 3(y?2) + 4(z? 3) = 0
即,2x? 3y + 4z?4 = 0
2,平面方程的几种特殊情形
(1) 过原点的平面方程由于 O(0,0,0)满足方程,所以 D = 0,
于是,过原点的平面方程为,
Ax + By + Cz = 0
(2) 平行于坐标轴的方程考虑平行于 x轴的平面 Ax + By + Cz + D = 0,
它的法向量 n = {A,B,C}与 x 轴上的单位向量
i ={1,0,0}垂直,所以
n ·i = A ·1 + B ·0 + C ·0 = A = 0
于是,
平行于 x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0;
平行于 y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0;
平行于 z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0.
特别,D = 0时,平面过坐标轴,
(3) 平行于坐标面的平面方程平行于 xOy 面 的平面方程是平行于 xOz 面的平面方程是平行于 yOz 面的平面方程是,
Cz + D = 0;
By + D = 0;
Ax + D = 0
例 3,求通过 x 轴和点 (4,?3,?1)的平面方程,
解,由于平面过 x 轴,所以 A = D = 0.
设所求平面的方程是 By + Cz = 0
又点 (4,?3,?1)在平面上,所以
3B? C = 0
C =? 3B
所求平面方程为 By? 3Bz = 0
即,y? 3z = 0
例 4,设平面与 x,y,z 轴的交点依次为 P(a,0,0),
Q(0,b,0),R(0,0,c)三点,求这平面的方程,
解,设所求平面的方程为
Ax + By + Cz + D = 0
因 P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)
三点都在这平面上,于是
aA + D = 0
bB + D = 0
cC + D = 0
解得,cDCbDBaDA
o y
P
x
z
Q
R
所求平面的方程为,
0 DzcDybDxaD
即,1
c
z
b
y
a
x
(3)
例 5 求平行于平面 0566 zyx 而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程,
设平面为,1 czbyax
x
y
z
o,1?V?,12131 abc
由所求平面与已知平面平行得
,6
1
1
1
6
1
cba（向量平行的充要条件）
解
,61161 cba化简得 令 tcba 61161
,61ta,1tb?,61tc?
ttt 6
11
6
1
6
11
代入体积式
,61 t
,1,6,1 cba
.666 zyx所求平面方程为第二节 点到平面的距离设 P0(x0,y0,z0)是平面 Ax+By+Cz+D=0外一点，求点
P0到平面的距离。
在平面上任取一点 P1(x1,y1,z1)
则 P1P0 ={x0? x1,y0? y1,z0? z1}
过 P0点作一法向量 n ={A,B,C}
于是,
01jPr PPd n? || 01 n
n PP
222
101010 )()()(
CBA
zzCyyBxxA
1P N
n?
0P?
又 A(x0? x1) + B(y0? y1) + C(z0? z1)
= Ax0 + By0 + Cz0 + D?(Ax1 + By1 + C z1 + D)
= Ax0 + By0 + Cz0 + D
所以,得点 P0到平面 Ax + By + Cz + D = 0的距离,
222
000
CBA
DCzByAxd
(4)
例如,求点 A(1,2,1)到平面?,x + 2y + 2z?10 = 0
的距离
133
221
10122211
222
d
第三节 两平面的相关位置
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
1、设两个平面的方程为：
1,A1x+B1y+c1z+D1=0 (1)
2,A2x+B2y+c2z+D2=0 (2)
定理 1：两个平面（ 1）与（ 2）
相交?A1:B1:C1≠A2:B2:C2.
平行?
重合? 21212121 DDCCBBAA
（ 1）定义
（通常取锐角）
1?
1n?
2?
2n
两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角,
,0,11111 DzCyBxA
,0,22222 DzCyBxA
},,,{ 1111 CBAn
},,,{ 2222 CBAn
2、两平面的夹角
（ 2）、两个平面的交角公式设两个平面?1,?2间的二面角用?(?1,?2)表示，而两平面的法矢量 n1,n2的夹角记为 θ =?(n1,n2），显然有
(?1,?2)=θ 或?-θ
因此 co s),(co s
21
|||| 21
21
nn
nn1
n1n
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||
CBACBA
CCBBAA
3、两平面垂直的充要条件两平面 (1)(2)垂直的充要条件为
A1A2+B1B2+C1C2=0
例 5,一平面通过两点 M1(1,1,1)和 M2(0,1,?1),
且垂直于平面 x+y+z = 0,求它的方程,
解,设所求平面的一个法向量 n ={A,B,C}
已知平面 x+y+z = 0的法向量 n1={1,1,1}
所以,n? M1M2 且 n? n1
而 M1M2 = {?1,0,?2}
于是,A? (?1) + B? 0 + C? (?2) = 0
A? 1 + B? 1 + C? 1 = 0
解得,B=C
A=?2C
取 C = 1,得平面的一个法向量
n = {?2,1,1}
所以,所求平面方程是
2? (x?1) + 1? (y?1) + 1? (z?1) = 0
即,2x? y? z = 0
例 6 研究以下各组里两平面的位置关系：
013,012)1( zyzyx
01224,012)2( zyxzyx
02224,012)3( zyxzyx
解 )1( 22222 31)1(2)1( |311201|co s
60
1co s 两平面相交，夹角
.601a r cc o s
)2( },1,1,2{1n? }2,2,4{2n?
,212 142 两平面平行
21 )0,1,1()0,1,1( MM?
两平面平行但不重合．
)3(,2 12 142
21 )0,1,1()0,1,1( MM?
两平面平行两平面重合,?
一,填空题：
1,平面 0 CzByAx 必通过 _______,（其中
CBA,,不全为零）；
2,平面 0 DCzBy ___ ___ _ ___ x 轴；
3,平面 0 CzBy _______ x 轴；
4,通过点
)1,0,3(?
且与平面
012573 zyx
平行的平面方程为 __ ___ _ ___ ；
5,通过
),0,0()0,,0()0,0,( cba,、
三点的平面方
___ ___ _ ___ __ ___ ；6,平面 0522 zyx 与 x o y 面的夹角余弦为 ___
_ _ _ _ _ _ _ _,与 y o z 面的夹角余弦为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
与 z o x 面的夹角的余弦为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
练 习 题二,指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：
1,0632 yx ；
2,1 zy ；
3,056 zyx,
三,求过点 )2,2,2(,)1,1,1( 和 )2,1,1(? 三点的平面方程,
四,点 )1,0,1(? 且平行于向量1,1,2?a 和
0,1,1b 的平面方程,
五,求通过 Z 轴和点 )2,1,3( 的平面方程,
六,求与已知平面 0522 zyx 平行且与三坐标面所构成的四面体体积为 1 的平面方程,
一,1,(0,0,0) ； 2,平行于； 3,通过；
4,04573 zyx ； 5,1
c
z
b
y
a
x；
6,
3
2
,
3
2
,
3
1
,
二,1,平行于 轴z 的平面； 2,平行于 轴x 的平面；
3,通过原点的平面,
三、
023 zyx
,四、
43 zyx
.
五、
03 yx
,六、
3
3222 zyx,
练习题答案第四节 空间直线及其方程
x
y
z
o
1?
2?
定义 空间直线可看成两平面的交线．
0,11111 DzCyBxA
0,22222 DzCyBxA
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
空间直线的一般方程
L
一、空间直线的一般方程
1、方向向量的定义：
如果一非零向量 s ={m,n,p},
平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的 方向向量,
二、空间直线的对称式方程而 s 的坐标 m,n,p称为直线
L的一组 方向数,
s
M0
L
2,直线的对称式方程已知直线 L过 M0(x0,y0,z0)点方向向量 s ={m,n,p}
所以得比例式
p
zz
n
yy
m
xx 000
(2)
称为空间直线的 对称式方程或点向式方程,
,LM sMM?0 //
},,,{ pnms },,{ 0000 zzyyxxMM
),,,( zyxM x
y
z
o
s? L
0M?
M?
三,空间直线的参数式方程得,
称为空间直线的 参数方程,
(3)
tp zzn yym xx 000令
ptzz
ntyy
mtxx
0
0
0
直线的一组 方向数方向向量的余弦称为直线的 方向余弦,
例 1,写出直线 x + y + z +1 = 02x? y + 3z + 4 = 0 的对称式方程,
解,(1) 先找出直线上的一点 M0(x0,y0,z0)
令 z0 = 0,代入方程组,得
x + y +1 = 0
2x? y + 4 = 0
解得,
3
2,
3
5
00 yx
)0,32,35(0?M所以,点 在直线上,
(2) 再找直线的方向向量 s,
由于平面?1,x + y + z +1 = 0的法线向量 n1={1,1,1}
平面?2,2x? y+3z+4 = 0的法线向量 n2={2,?1,3}
所以,可取
312
111
kji
= 4i? j? 3k
于是,得直线的对称式方程,
31
3
2
4
3
5
z
yx
21 nns
例 2,求通过点 A(2,?3,4)与 B(4,?1,3)的直线方程,
解,直线的方向向量可取 AB = {2,2,?1}
所以,直线的对称式方程为
1
4
2
3
2
2
zyx
第五节 直线与平面的相关位置
)1(,000 Z zzY yyX xxl
设直线和平面的方程分别为
)2(0, DCzByAx?
一、直线与平面的位置关系的充要条件定理 1 直线 (1)与平面 (2)的相互位置关系有下列的充要条件：
1o 相交,? AX+BY+CZ≠0
2o 平行?
AX+BY+CZ=0
Ax0+By0+CZ0+D≠0
3o 重合?
AX+BY+CZ=0
Ax0+By0+CZ0+D=0
证：将直线方程改与为参数式
)3(
0
0
0
Ztzz
Ytyy
Xtxx
将（ 3）代入（ 2）并整理得
(AX+BY+CZ)t= -(Ax0+By0+Cz0+D) （ 4）
因此，当且仅当 AX+BY+CZ≠0时，（ 4）有唯一解
CZBYAX
DCzByAxt
000
这时直线与平面有唯一公共点；
当且仅当 AX+BY+CZ=0,Ax0+By0+Cz0+D≠0时方程（ 4）无解,这时直线与平面有没有公共点；
当且仅当 AX+BY+CZ=0,Ax0+By0+Cz0+D=0时方程（ 4）有无数个解，这时直线在平面内。
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角．
,,000 p zzn yym xxL
,0, DCzByAx
},,,{ pnms
},,,{ CBAn
2),( ns^ 2),( ns^
二、直线与平面的夹角
0,2?
222222
||s i n
pnmCBA
CpBnAm
（ 1）直线与平面的夹角公式
（ 2）直线与平面的 位置关系：
L)1(,pCnBmA
L)2( //,0 CpBnAm
,c o s 2 c o ss in 2? |||| || sn sn
s // n
s? n
例 1,判定下列各组直线与平面的关系,
.3224:37 42 3:)1( zyxΠzyxL 和解,L的方向向量 s ={?2,?7,3}
的法向量 n ={4,?2,?2}
s? n = (?2)? 4 + (?7)? (?2) + 3? (?2) = 0
又 M0(?3,? 4,0)在直线 L上,但不满足平面方程,
所以 L与? 平行,但不重合,
81446:723:)2( zyxΠzyxL 和解,L的方向向量 s ={3,?2,7}
的法向量 n ={6,?4,14}
L 与? 垂直,
.3:4 31 23 2:)3( zyxΠzyxL 和解,L的方向向量 s ={3,1,?4}
的法向量 n ={1,1,1}
s? n = 3? 1 + 1? 1 + (?4)?1 = 0
又 L上的点 M0(2,?2,3)满足平面方程,
所以,L 与? 重 合,
例 2 设直线,L
2
1
12
1?
zyx
，平面,? 32 zyx,求直线与平面的夹角,
解 },2,1,1{n? },2,1,2{s?
222222
||s i n
pnmCBA
CpBnAm
96
|22)1()1(21|
,
63
7?
63
7a rc s i n 为所求夹角．
第六节 空间两直线的位置关系一、空间两直线的位置关系
1、位置关系：
共面异面相交平行重合
2、相关位置的判定：
设两直线 L1,L2的方程 为
,:
1
1
1
1
1
1
1 p
zz
n
yy
m
xxLs
1 ={m1,n1,p1}
,:
2
2
2
2
2
2
2 p
zz
n
yy
m
xxL s
2 ={m2,n2,p2}
定理 1 判定空间两直线 L1,L2的相关位置的充要条件：
（ 1）异面
0
222
111
121212
pnm
pnm
zzyyxx
（ 2）共面?=0
相交,m1:n1:p1≠m2:n2:p2
平行,m1:n1:p1=m2:n2:p2≠(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1)
重合,m1:n1:p1=m2:n2:p2=(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1)
二、两直线的夹角定义,两直线的方向向量间的夹角称为两直线的夹角,常指锐角,
s1
s2?
已知直线 L1,L2的方程
,:
1
1
1
1
1
1
1 p
zz
n
yy
m
xxLs
1 ={m1,n1,p1}
,:
2
2
2
2
2
2
2 p
zz
n
yy
m
xxLs
2 ={m2,n2,p2}
1,L1与 L2的夹角?的余弦为,
cos
2,L1垂直于 L2? m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 = 0
3,L1平行于 L2?,
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m
|),c os (| 21 ss
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
21 ||
||||
||
pnmpnm
ppnnmm
ss
ss
.12 22:1 341 1::1 21 的夹角和求直线例 zyxLzyxL
解,直线 L1,L2的方向向量 s1={1,?4,1}
s2={2,?2,?1}
有,||||
||
21
21
ss
ss
2
2
)1()2(21)4(1
|)1(1)2()4(21|
222222
4
所以,
cos |),c os (| 21 ss
例 2 求过点 )5,2,3(? 且与两平面 34 zx 和 152 zyx
的交线平行的直线方程,
解 设所求直线的方向向量为 },,,{ pnms
根据题意知,1ns,2ns
取 21 nns },1,3,4{
.1 53 24 3 zyx所求直线的方程解 先作一过点 M且与已知直线垂直的平面?
0)3()1(2)2(3 zyx
再求已知直线与该平面的交点 N,
令 tzyx 12 13 1
.12
13
tz
ty
tx
例 3 求过点 )3,1,2(M 且与直线
12
1
3
1
zyx
垂直相交的直线方程,
代入平面方程得,73?t 交点 )73,713,72(?N
取所求直线的方向向量为 MN
MN }373,1713,272{ },724,76,12{
所求直线方程为,4 31 12 2 zyx
三、两异面直线间的距离与公垂线的方程
1、两异面直线间的距离设两异面直线 L1,L2与其公垂线 L0的交点为 N1,N2，
则 L1与 L2之间的距离
|Pr||| 2121 0 MMjNNd L
|Pr| 2121 MMj ss
||
|)(|
21
2121
ss
ssMM
L0
L1
L2
N1
N2
M1
M2
s1
s2
所以两异面直线 L1,L2的距离为
2
22
11
2
22
11
2
22
11
222
111
121212
nm
nm
mp
mp
pn
pn
pnm
pnm
zzyyxx
d
2、两直线的公垂线方程公垂线可看为由过 L1上的点 M1，以 v1,v1?v2为方位矢量的平面与过 L2上的点 M2，以 v2,v1?v2为方位矢量的平面的交线，因此，公垂线的方程为：
0
0
222
222
111
111
ZYX
ZYX
zzyyxx
ZYX
ZYX
zzyyxx
其中 {X,Y,Z}为 v1?v2 的分量。
例 1 求通过点 P(1,1,1)且与两直线
4
3
1
2
2
1:
321,21
zyxlzyxl
都相交的直线的方程。
解,设所求直线的方向矢为 v={X,Y,Z},则直线为
Z
z
Y
y
X
x 111
因为 L与 L1,L2都相交，且 L1过点 M1(0,0,0),方向矢为 v1={1,2,3},L2过点 M2(1,2,3)，方向矢为 v2={2,1,4}
故
0321
111
),( 11
ZYX
vvPM 0412
210
),( 22?
ZYX
vvPM
即 X-2Y+Z=0 X+2Y-Z=0
解得 X:Y:Z=0:1:2
故所求直线的方程为
2
1
1
1
0
1 zyx
例 2 已知两直线
0
1
1
1
1
1:
0
1
10,21
zyxlzyxl
试证明它们为异面直线，并求其距离和公垂线的方程。
解：
04
011
011
211
),,( 2121 vvMM
所以 L1与 L2为异面直线。
又 v1?v2={0,0,2},所以
2
2
4
||
|)(|
21
2121
vv
vvMMd
公垂线的方程为
0
200
011
111
0
200
011
1
zyx
zyx
即
0
0
yx
yx
第八节 平面束一、平面束
1、有轴平面束：
空间通过同一条直线的所有平面的集合称为有轴平面束，该直线称为平面束的轴。
2、平行平面束空间平行于同一平面的平面的集合称为平行平面束。
定理 1 如果两个平面
1,A1x+B1y+C1z+D1=0
2,A2x+B2y+C2z+D2=0
交于一条直线 L，则以直线 L为轴的有轴平面束的方程为
m(A1x+B1y+C1z+D1)+n(A2x+B2y+C2z+D2)=0
其中 m,n是不全为零的任意实数。（证略）
定理 2 如果两个平面
1,A1x+B1y+C1z+D1=0
2,A2x+B2y+C2z+D2=0
为平行平面，即 A1:A2=B1:B2=C1:C2,则方程
m(A1x+B1y+C1z+D1)+n(A2x+B2y+C2z+D2)=0
表示平行平面束，平面束中的任一平面都与?1平行。
m,n不全为零，且 m:n≠A1:A2=B1:B2=C1:C2.
推论：由平面?,Ax+By+Cz+D=0决定的平行平面束的方程为
Ax+By+Cz+λ=0
其中 λ为任意实数。
例 1 求通过直线
022
0122
zyx
zyx
且与平面 x+y+z-1=0 垂直的平面的方程。
解,设所求平面的方程为
m(2x+y-2z+1)+n(x+2y-z-2)=0
即 (2m+n)x+(m+2n)y+(-2m-n)z+(m-2n)=0
由两平面垂直的条件，得即 (2m+n)+(m+2n)+(-2m-n)=0
即 m+2n=0 因此 m:n=2:(-1)
所求平面的方程为 3x-3z+4=0
例 2、求与平面 3x+y-z+4=0平行且在 Oz轴上截距为 -2
的平面的方程。
解,设所求平面的方程为
3x+y-z+λ=0
因为平面在 Oz轴上的截距为 -2，故平面过点 (0,0,-2).
由此得 2+λ=0 λ=-2
故所求平面的方程为
3x+y-z-2=0
本章学习结束谢谢大家
1、平面的方程
2、平面与点的相关位置
3、两平面的相关位置
4、空间直线的方程
5、直线与平面的相关位置
6、空间两直线的相关位置
7、空间直线与点的相关位置
8、平面束第一节 平面及其方程一、由平面上一点与平面的方向矢量决定的平面的方程
1、方向矢量在空间给定一个点 M0与两个不共线的矢量 a,b，则通过点 M0且与 a,b平行的平面?就被唯一确定。矢量 a,
b称为平面?的方向矢量。
显然，任何一对与平面?平行的不共线矢量都可作为平面?的方向矢量。
2、平面的矢量式参数方程在空间，取标架 {O； e1,e2,e3},并设点 M0的径矢
OM0=r0,平面?上的任意一点 M的径矢为 OM=r，
M0M=ua+vb
又因为 M0M=r-r0
所以 r-r0= ua+vb
即 r=r0+ ua+vb （ 1）
方程（ 1）称为平面?的 矢量式参数方程 。
b
x y
z aM
0
M
O
r0
r
显然点 M在平面?上的充要条件为矢量 M0M与 a,b,面，
因为 a,b不共线，所以这个共面的条件可写成：
3、平面的坐标式参数方程若设 M0,M的坐标分别为 (x0,y0,z0),(x,y,z),则
r0={x0,y0,z0},r={x,y,z}
并设 a={X1,Y1,Z1},b={X2,Y2,Z2}
则由（ 1）可得
)2(
210
210
210
vZuZzz
vYuYyy
vXuXxx
（ 2）式称为平面?的 坐标式参数方程 。
r=r0+ ua+vb （ 1）
例 1、已知不共线的三点 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),
M3(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。
解：
r2-r1=M1M2={x2-x1,y2-y1,z2-z1},
因此，平面的 矢量式参数方程 为
r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1) (3)
坐标式参数方程 为
)4(
)()(
)()(
)()(
13121
13121
13121
zzvzzuzz
yyvyyuyy
xxvxxuxx
设 M(x,y,z)是平面上任意一点，已知点为 Mi的径矢为 ri=OMi，则可取方向矢量为
r3-r1=M1M3={x3-x1,y3-y1,z3-z1},
从（ 3），（ 4）中分别消去参数 u,v可得：
（ r-r1,r2-r1,r3-r1)=0 （ 5）
与 )6(0
13121
13121
13121
zzzzzz
yyyyyy
xxxxxx
或 )7(0
1
1
1
1
333
222
111
zyx
zyx
zyx
zyx
（ 5）（ 6）（ 7）都有叫做 平面的三点式方程 。
特别地，若平面与三坐标轴的交点分别 为 M1(a,0,0)
M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中 abc≠0,则平面的方程为
)8(1
c
z
b
y
a
x
称为平面的 截距式方程 。
其中 a,b,c分别称为平面在三坐标轴上的 截距 。 x
z
yM1
M2
M3
o
x
y
z
o
0M M如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的 法线向量,
法线向量的 特征,垂直于平面内的任一向量．
n?
二、平面的点法式方程
1,法向量,
注,1? 对平面?,法向量 n不唯一 ;
2? 平面?的法向量 n与? 上任一向量垂直,
2,平面的点法式方程设平面?过定点 M0(x0,y0,z0),且有法向量 n={A,B,C}.
对于平面上任一点 M(x,y,z),
向量 M0M与 n垂直,
y
x
z
M0
M
n
O
n? M0 M = 0
而 M0 M ={x? x0,y? y0,z? z0},
得,
A(x? x0) +B( y? y0) +C( z? z0) = 0
称方程 (1) 为平面的 点法式方程,
(1)
例 1,求过点 (2,?3,0)且以 n = {1,?2,3}为法向量的平面的方程,
解,根据平面的点法式方程 (1),可得平面方程为,
1? (x? 2)? 2? (y + 3) + 3? (z? 0) = 0
即,x? 2y + 3z? 8 = 0
n
M3
M2
M1
解,先找出该平面的法向量 n.
由于 n与向量 M1M2,M1M3都垂直,
而 M1M2={?3,4,?6} M1M3={?2,3,?1}
可取 n = M1M2? M1M3
132
643
kji
= 14i + 9j? k
例 2,求过三点 M1(2,?1,4),M2(? 1,3,?2)和 M3(0,2,3)
的平面的方程,
所以,所求平面的方程为,
14(x? 2) + 9(y + 1)? (z? 4) = 0
即,14x + 9y? z? 15 = 0
例 3、已知两点 M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直平分面?的方程。
解,因为矢量 M1M2={2,2,-4}=2{1,1,-2}
垂直于平面?，所以平面?的一个法矢量为
n={1,1,-2}.
又所求平面过点 M1M2的中点 M0(2,-1,1)，故平面的点法式方程为
(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0
整理得
x+y-2z+1=0
三、平面的一般方程
1,定理 1,任何 x,y,z的一次方程,Ax +By +Cz +D = 0
都表示平面,且此平面的一个法向量是,
n = {A,B,C}
证,A,B,C不能全为 0,不妨设 A? 0,则方程可以化为
0)0()0()( zCyBA DxA
它表示过定点 )0,0,(
0 A
DM?
注：一次方程,Ax + By + Cz + D = 0 (2)
称为平面的 一般方程,
且法向量为 n = {A,B,C}的平面,
例 2,已知平面过点 M0(?1,2,3),且平行于平面 2x?3y + 4z?1= 0,求其方程,
解,所求平面与已知平面有相同的法向量
n ={2?3,4}
2(x +1)? 3(y?2) + 4(z? 3) = 0
即,2x? 3y + 4z?4 = 0
2,平面方程的几种特殊情形
(1) 过原点的平面方程由于 O(0,0,0)满足方程,所以 D = 0,
于是,过原点的平面方程为,
Ax + By + Cz = 0
(2) 平行于坐标轴的方程考虑平行于 x轴的平面 Ax + By + Cz + D = 0,
它的法向量 n = {A,B,C}与 x 轴上的单位向量
i ={1,0,0}垂直,所以
n ·i = A ·1 + B ·0 + C ·0 = A = 0
于是,
平行于 x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0;
平行于 y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0;
平行于 z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0.
特别,D = 0时,平面过坐标轴,
(3) 平行于坐标面的平面方程平行于 xOy 面 的平面方程是平行于 xOz 面的平面方程是平行于 yOz 面的平面方程是,
Cz + D = 0;
By + D = 0;
Ax + D = 0
例 3,求通过 x 轴和点 (4,?3,?1)的平面方程,
解,由于平面过 x 轴,所以 A = D = 0.
设所求平面的方程是 By + Cz = 0
又点 (4,?3,?1)在平面上,所以
3B? C = 0
C =? 3B
所求平面方程为 By? 3Bz = 0
即,y? 3z = 0
例 4,设平面与 x,y,z 轴的交点依次为 P(a,0,0),
Q(0,b,0),R(0,0,c)三点,求这平面的方程,
解,设所求平面的方程为
Ax + By + Cz + D = 0
因 P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)
三点都在这平面上,于是
aA + D = 0
bB + D = 0
cC + D = 0
解得,cDCbDBaDA
o y
P
x
z
Q
R
所求平面的方程为,
0 DzcDybDxaD
即,1
c
z
b
y
a
x
(3)
例 5 求平行于平面 0566 zyx 而与三个坐标面所围成的四面体体积为一个单位的平面方程,
设平面为,1 czbyax
x
y
z
o,1?V?,12131 abc
由所求平面与已知平面平行得
,6
1
1
1
6
1
cba（向量平行的充要条件）
解
,61161 cba化简得 令 tcba 61161
,61ta,1tb?,61tc?
ttt 6
11
6
1
6
11
代入体积式
,61 t
,1,6,1 cba
.666 zyx所求平面方程为第二节 点到平面的距离设 P0(x0,y0,z0)是平面 Ax+By+Cz+D=0外一点，求点
P0到平面的距离。
在平面上任取一点 P1(x1,y1,z1)
则 P1P0 ={x0? x1,y0? y1,z0? z1}
过 P0点作一法向量 n ={A,B,C}
于是,
01jPr PPd n? || 01 n
n PP
222
101010 )()()(
CBA
zzCyyBxxA
1P N
n?
0P?
又 A(x0? x1) + B(y0? y1) + C(z0? z1)
= Ax0 + By0 + Cz0 + D?(Ax1 + By1 + C z1 + D)
= Ax0 + By0 + Cz0 + D
所以,得点 P0到平面 Ax + By + Cz + D = 0的距离,
222
000
CBA
DCzByAxd
(4)
例如,求点 A(1,2,1)到平面?,x + 2y + 2z?10 = 0
的距离
133
221
10122211
222
d
第三节 两平面的相关位置
2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
1、设两个平面的方程为：
1,A1x+B1y+c1z+D1=0 (1)
2,A2x+B2y+c2z+D2=0 (2)
定理 1：两个平面（ 1）与（ 2）
相交?A1:B1:C1≠A2:B2:C2.
平行?
重合? 21212121 DDCCBBAA
（ 1）定义
（通常取锐角）
1?
1n?
2?
2n
两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角,
,0,11111 DzCyBxA
,0,22222 DzCyBxA
},,,{ 1111 CBAn
},,,{ 2222 CBAn
2、两平面的夹角
（ 2）、两个平面的交角公式设两个平面?1,?2间的二面角用?(?1,?2)表示，而两平面的法矢量 n1,n2的夹角记为 θ =?(n1,n2），显然有
(?1,?2)=θ 或?-θ
因此 co s),(co s
21
|||| 21
21
nn
nn1
n1n
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121 ||
CBACBA
CCBBAA
3、两平面垂直的充要条件两平面 (1)(2)垂直的充要条件为
A1A2+B1B2+C1C2=0
例 5,一平面通过两点 M1(1,1,1)和 M2(0,1,?1),
且垂直于平面 x+y+z = 0,求它的方程,
解,设所求平面的一个法向量 n ={A,B,C}
已知平面 x+y+z = 0的法向量 n1={1,1,1}
所以,n? M1M2 且 n? n1
而 M1M2 = {?1,0,?2}
于是,A? (?1) + B? 0 + C? (?2) = 0
A? 1 + B? 1 + C? 1 = 0
解得,B=C
A=?2C
取 C = 1,得平面的一个法向量
n = {?2,1,1}
所以,所求平面方程是
2? (x?1) + 1? (y?1) + 1? (z?1) = 0
即,2x? y? z = 0
例 6 研究以下各组里两平面的位置关系：
013,012)1( zyzyx
01224,012)2( zyxzyx
02224,012)3( zyxzyx
解 )1( 22222 31)1(2)1( |311201|co s
60
1co s 两平面相交，夹角
.601a r cc o s
)2( },1,1,2{1n? }2,2,4{2n?
,212 142 两平面平行
21 )0,1,1()0,1,1( MM?
两平面平行但不重合．
)3(,2 12 142
21 )0,1,1()0,1,1( MM?
两平面平行两平面重合,?
一,填空题：
1,平面 0 CzByAx 必通过 _______,（其中
CBA,,不全为零）；
2,平面 0 DCzBy ___ ___ _ ___ x 轴；
3,平面 0 CzBy _______ x 轴；
4,通过点
)1,0,3(?
且与平面
012573 zyx
平行的平面方程为 __ ___ _ ___ ；
5,通过
),0,0()0,,0()0,0,( cba,、
三点的平面方
___ ___ _ ___ __ ___ ；6,平面 0522 zyx 与 x o y 面的夹角余弦为 ___
_ _ _ _ _ _ _ _,与 y o z 面的夹角余弦为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
与 z o x 面的夹角的余弦为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
练 习 题二,指出下列各平面的特殊位置，并画出各平面：
1,0632 yx ；
2,1 zy ；
3,056 zyx,
三,求过点 )2,2,2(,)1,1,1( 和 )2,1,1(? 三点的平面方程,
四,点 )1,0,1(? 且平行于向量1,1,2?a 和
0,1,1b 的平面方程,
五,求通过 Z 轴和点 )2,1,3( 的平面方程,
六,求与已知平面 0522 zyx 平行且与三坐标面所构成的四面体体积为 1 的平面方程,
一,1,(0,0,0) ； 2,平行于； 3,通过；
4,04573 zyx ； 5,1
c
z
b
y
a
x；
6,
3
2
,
3
2
,
3
1
,
二,1,平行于 轴z 的平面； 2,平行于 轴x 的平面；
3,通过原点的平面,
三、
023 zyx
,四、
43 zyx
.
五、
03 yx
,六、
3
3222 zyx,
练习题答案第四节 空间直线及其方程
x
y
z
o
1?
2?
定义 空间直线可看成两平面的交线．
0,11111 DzCyBxA
0,22222 DzCyBxA
0
0
2222
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
空间直线的一般方程
L
一、空间直线的一般方程
1、方向向量的定义：
如果一非零向量 s ={m,n,p},
平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的 方向向量,
二、空间直线的对称式方程而 s 的坐标 m,n,p称为直线
L的一组 方向数,
s
M0
L
2,直线的对称式方程已知直线 L过 M0(x0,y0,z0)点方向向量 s ={m,n,p}
所以得比例式
p
zz
n
yy
m
xx 000
(2)
称为空间直线的 对称式方程或点向式方程,
,LM sMM?0 //
},,,{ pnms },,{ 0000 zzyyxxMM
),,,( zyxM x
y
z
o
s? L
0M?
M?
三,空间直线的参数式方程得,
称为空间直线的 参数方程,
(3)
tp zzn yym xx 000令
ptzz
ntyy
mtxx
0
0
0
直线的一组 方向数方向向量的余弦称为直线的 方向余弦,
例 1,写出直线 x + y + z +1 = 02x? y + 3z + 4 = 0 的对称式方程,
解,(1) 先找出直线上的一点 M0(x0,y0,z0)
令 z0 = 0,代入方程组,得
x + y +1 = 0
2x? y + 4 = 0
解得,
3
2,
3
5
00 yx
)0,32,35(0?M所以,点 在直线上,
(2) 再找直线的方向向量 s,
由于平面?1,x + y + z +1 = 0的法线向量 n1={1,1,1}
平面?2,2x? y+3z+4 = 0的法线向量 n2={2,?1,3}
所以,可取
312
111
kji
= 4i? j? 3k
于是,得直线的对称式方程,
31
3
2
4
3
5
z
yx
21 nns
例 2,求通过点 A(2,?3,4)与 B(4,?1,3)的直线方程,
解,直线的方向向量可取 AB = {2,2,?1}
所以,直线的对称式方程为
1
4
2
3
2
2
zyx
第五节 直线与平面的相关位置
)1(,000 Z zzY yyX xxl
设直线和平面的方程分别为
)2(0, DCzByAx?
一、直线与平面的位置关系的充要条件定理 1 直线 (1)与平面 (2)的相互位置关系有下列的充要条件：
1o 相交,? AX+BY+CZ≠0
2o 平行?
AX+BY+CZ=0
Ax0+By0+CZ0+D≠0
3o 重合?
AX+BY+CZ=0
Ax0+By0+CZ0+D=0
证：将直线方程改与为参数式
)3(
0
0
0
Ztzz
Ytyy
Xtxx
将（ 3）代入（ 2）并整理得
(AX+BY+CZ)t= -(Ax0+By0+Cz0+D) （ 4）
因此，当且仅当 AX+BY+CZ≠0时，（ 4）有唯一解
CZBYAX
DCzByAxt
000
这时直线与平面有唯一公共点；
当且仅当 AX+BY+CZ=0,Ax0+By0+Cz0+D≠0时方程（ 4）无解,这时直线与平面有没有公共点；
当且仅当 AX+BY+CZ=0,Ax0+By0+Cz0+D=0时方程（ 4）有无数个解，这时直线在平面内。
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角．
,,000 p zzn yym xxL
,0, DCzByAx
},,,{ pnms
},,,{ CBAn
2),( ns^ 2),( ns^
二、直线与平面的夹角
0,2?
222222
||s i n
pnmCBA
CpBnAm
（ 1）直线与平面的夹角公式
（ 2）直线与平面的 位置关系：
L)1(,pCnBmA
L)2( //,0 CpBnAm
,c o s 2 c o ss in 2? |||| || sn sn
s // n
s? n
例 1,判定下列各组直线与平面的关系,
.3224:37 42 3:)1( zyxΠzyxL 和解,L的方向向量 s ={?2,?7,3}
的法向量 n ={4,?2,?2}
s? n = (?2)? 4 + (?7)? (?2) + 3? (?2) = 0
又 M0(?3,? 4,0)在直线 L上,但不满足平面方程,
所以 L与? 平行,但不重合,
81446:723:)2( zyxΠzyxL 和解,L的方向向量 s ={3,?2,7}
的法向量 n ={6,?4,14}
L 与? 垂直,
.3:4 31 23 2:)3( zyxΠzyxL 和解,L的方向向量 s ={3,1,?4}
的法向量 n ={1,1,1}
s? n = 3? 1 + 1? 1 + (?4)?1 = 0
又 L上的点 M0(2,?2,3)满足平面方程,
所以,L 与? 重 合,
例 2 设直线,L
2
1
12
1?
zyx
，平面,? 32 zyx,求直线与平面的夹角,
解 },2,1,1{n? },2,1,2{s?
222222
||s i n
pnmCBA
CpBnAm
96
|22)1()1(21|
,
63
7?
63
7a rc s i n 为所求夹角．
第六节 空间两直线的位置关系一、空间两直线的位置关系
1、位置关系：
共面异面相交平行重合
2、相关位置的判定：
设两直线 L1,L2的方程 为
,:
1
1
1
1
1
1
1 p
zz
n
yy
m
xxLs
1 ={m1,n1,p1}
,:
2
2
2
2
2
2
2 p
zz
n
yy
m
xxL s
2 ={m2,n2,p2}
定理 1 判定空间两直线 L1,L2的相关位置的充要条件：
（ 1）异面
0
222
111
121212
pnm
pnm
zzyyxx
（ 2）共面?=0
相交,m1:n1:p1≠m2:n2:p2
平行,m1:n1:p1=m2:n2:p2≠(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1)
重合,m1:n1:p1=m2:n2:p2=(x2-x1):(y2-y1):(z2-z1)
二、两直线的夹角定义,两直线的方向向量间的夹角称为两直线的夹角,常指锐角,
s1
s2?
已知直线 L1,L2的方程
,:
1
1
1
1
1
1
1 p
zz
n
yy
m
xxLs
1 ={m1,n1,p1}
,:
2
2
2
2
2
2
2 p
zz
n
yy
m
xxLs
2 ={m2,n2,p2}
1,L1与 L2的夹角?的余弦为,
cos
2,L1垂直于 L2? m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 = 0
3,L1平行于 L2?,
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m
|),c os (| 21 ss
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
212121
21
21 ||
||||
||
pnmpnm
ppnnmm
ss
ss
.12 22:1 341 1::1 21 的夹角和求直线例 zyxLzyxL
解,直线 L1,L2的方向向量 s1={1,?4,1}
s2={2,?2,?1}
有,||||
||
21
21
ss
ss
2
2
)1()2(21)4(1
|)1(1)2()4(21|
222222
4
所以,
cos |),c os (| 21 ss
例 2 求过点 )5,2,3(? 且与两平面 34 zx 和 152 zyx
的交线平行的直线方程,
解 设所求直线的方向向量为 },,,{ pnms
根据题意知,1ns,2ns
取 21 nns },1,3,4{
.1 53 24 3 zyx所求直线的方程解 先作一过点 M且与已知直线垂直的平面?
0)3()1(2)2(3 zyx
再求已知直线与该平面的交点 N,
令 tzyx 12 13 1
.12
13
tz
ty
tx
例 3 求过点 )3,1,2(M 且与直线
12
1
3
1
zyx
垂直相交的直线方程,
代入平面方程得,73?t 交点 )73,713,72(?N
取所求直线的方向向量为 MN
MN }373,1713,272{ },724,76,12{
所求直线方程为,4 31 12 2 zyx
三、两异面直线间的距离与公垂线的方程
1、两异面直线间的距离设两异面直线 L1,L2与其公垂线 L0的交点为 N1,N2，
则 L1与 L2之间的距离
|Pr||| 2121 0 MMjNNd L
|Pr| 2121 MMj ss
||
|)(|
21
2121
ss
ssMM
L0
L1
L2
N1
N2
M1
M2
s1
s2
所以两异面直线 L1,L2的距离为
2
22
11
2
22
11
2
22
11
222
111
121212
nm
nm
mp
mp
pn
pn
pnm
pnm
zzyyxx
d
2、两直线的公垂线方程公垂线可看为由过 L1上的点 M1，以 v1,v1?v2为方位矢量的平面与过 L2上的点 M2，以 v2,v1?v2为方位矢量的平面的交线，因此，公垂线的方程为：
0
0
222
222
111
111
ZYX
ZYX
zzyyxx
ZYX
ZYX
zzyyxx
其中 {X,Y,Z}为 v1?v2 的分量。
例 1 求通过点 P(1,1,1)且与两直线
4
3
1
2
2
1:
321,21
zyxlzyxl
都相交的直线的方程。
解,设所求直线的方向矢为 v={X,Y,Z},则直线为
Z
z
Y
y
X
x 111
因为 L与 L1,L2都相交，且 L1过点 M1(0,0,0),方向矢为 v1={1,2,3},L2过点 M2(1,2,3)，方向矢为 v2={2,1,4}
故
0321
111
),( 11
ZYX
vvPM 0412
210
),( 22?
ZYX
vvPM
即 X-2Y+Z=0 X+2Y-Z=0
解得 X:Y:Z=0:1:2
故所求直线的方程为
2
1
1
1
0
1 zyx
例 2 已知两直线
0
1
1
1
1
1:
0
1
10,21
zyxlzyxl
试证明它们为异面直线，并求其距离和公垂线的方程。
解：
04
011
011
211
),,( 2121 vvMM
所以 L1与 L2为异面直线。
又 v1?v2={0,0,2},所以
2
2
4
||
|)(|
21
2121
vv
vvMMd
公垂线的方程为
0
200
011
111
0
200
011
1
zyx
zyx
即
0
0
yx
yx
第八节 平面束一、平面束
1、有轴平面束：
空间通过同一条直线的所有平面的集合称为有轴平面束，该直线称为平面束的轴。
2、平行平面束空间平行于同一平面的平面的集合称为平行平面束。
定理 1 如果两个平面
1,A1x+B1y+C1z+D1=0
2,A2x+B2y+C2z+D2=0
交于一条直线 L，则以直线 L为轴的有轴平面束的方程为
m(A1x+B1y+C1z+D1)+n(A2x+B2y+C2z+D2)=0
其中 m,n是不全为零的任意实数。（证略）
定理 2 如果两个平面
1,A1x+B1y+C1z+D1=0
2,A2x+B2y+C2z+D2=0
为平行平面，即 A1:A2=B1:B2=C1:C2,则方程
m(A1x+B1y+C1z+D1)+n(A2x+B2y+C2z+D2)=0
表示平行平面束，平面束中的任一平面都与?1平行。
m,n不全为零，且 m:n≠A1:A2=B1:B2=C1:C2.
推论：由平面?,Ax+By+Cz+D=0决定的平行平面束的方程为
Ax+By+Cz+λ=0
其中 λ为任意实数。
例 1 求通过直线
022
0122
zyx
zyx
且与平面 x+y+z-1=0 垂直的平面的方程。
解,设所求平面的方程为
m(2x+y-2z+1)+n(x+2y-z-2)=0
即 (2m+n)x+(m+2n)y+(-2m-n)z+(m-2n)=0
由两平面垂直的条件，得即 (2m+n)+(m+2n)+(-2m-n)=0
即 m+2n=0 因此 m:n=2:(-1)
所求平面的方程为 3x-3z+4=0
例 2、求与平面 3x+y-z+4=0平行且在 Oz轴上截距为 -2
的平面的方程。
解,设所求平面的方程为
3x+y-z+λ=0
因为平面在 Oz轴上的截距为 -2，故平面过点 (0,0,-2).
由此得 2+λ=0 λ=-2
故所求平面的方程为
3x+y-z-2=0
本章学习结束谢谢大家
