空间解析几何主讲 杨涤尘第二章 轨迹与方程主要内容：
1,平面曲线的方程
2、曲面的方程
3、母线平行于坐标轴的柱面方程
4、空间曲线的方程第一节 平面曲线的方程一、曲线与方程：
定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一条曲线有着关系：
（ 1）满足方程的 (x,y)必是曲线上某一点的坐标；
（ 2）曲线上任何一点的坐标 (x,y)满足这个方程；
则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为方程的图形。
曲线的方程常表示为：
F(x,y)=0 或 y=f(x)
二、曲线的矢量式方程例 1、求圆心在原点，半径为 R的圆的方程。
解：矢量式方程 |OM|=R
普通方程 x2+y2=R2
例 2、已知两点 A(-2,-2),B(2,2),求满足条件
|MA|-|MB|=4的动点的轨迹。
化为普通方程为 xy=2 (x+y?2)
故曲线为
y
xo
xy=2
解：矢量式方程 |MA|-|MB|=4
1、矢性函数当动点按某种规律运动时，与它对应的径矢也随着时间 t的不同而改变（模与方向的改变），这样的径矢称为 变矢,记为 r(t)。如果变数 t(a?t?b)的每一个值对应于变矢 r的一个完全的值（模与方向） r(t)，则称
r是变数 t的 矢性函数,记为 r=r(t) (a?t?b).
2、矢性函数的分量表示设平面上取定的标架为 {O;e1,e2},则矢性函数可表示为
r(t)=x(t)e1+y(t)e2 (a?t?b),（ 1）
其中 x(t),y(t)是 r(t)的分量，它们分别是变数 t的函数 。
3、矢量式参数方程若取 (a?t?b)的一切可能值，由（ 1）
r(t)=x(t)e1+y(t)e2 (a?t?b).
4、坐标式参数方程曲线 的参数方程常可以写成下列形式：
)(
)(
)( bta
tyy
txx
称为曲线的 坐标式参数方程。
y
xO
r(t)
r(a)
r(b)
A
B
P(x(t),y(t))
的终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由 t的某一值 t0(a?t0?b)通过（ 1）完全确定，则称表达式（ 1）
为曲线的 矢量式参数方程,其中 t为参数。
表示的径矢 r(t)
已知直线 l通过定点 M0(x0,y0),且与非零矢量
v ={X,Y}共线，求直线 l的方程。
解：设 M(x,y)为直线 l上任意一点，并设 OM=r,OM0=r0，
则点 M在 l上的充要条件为矢量 M0M与 v共线，即
M0M=tv (t为随 M而定的实数）
又因为 M0M=r-r0
所以 r-r0=tv
（ 1） 矢量式参数方程为 r=r0+tv (＜ t＜ +?)
（ 2） 矢量式参数方程为
)2(
0
0
Ytyy
Xtxx
5、直线的方程故得 l的注 1,参数 t的几何意义,
当 v是单位矢量时,|t|为点 M与 M0之间距离。
事实上,|MM0|=|tv|=|t|
注 2,直线的方向矢量：
与直线 l共线的非零矢量 v 称为直线 l的方向矢量。
（ 3）,直线的对称式方程由直线的参数方程（ 2）中消去参数 t可得：
Y
yy
X
xx 00对称式方程
（ 4） 直线的一般方程和点法式方程将对称式方程改写为
Ax+By+c=0 (3)
其中 A=Y,B=-X,C=-(Yx0-Xy0),方程 (3)称为直线的 一般方程 。
反之，设 (x0,y0)是（ 3）上一点，则
Ax0+By0+c=0
故（ 3）可改写为
A(x-x0)+B(y-y0)=0 （ 4）
或
A
yy
B
xx
00
可见系数 A,B的几何意义是：
矢量 q={B,-A}是直线（ 3）的一个方向矢量，而矢量 p={A,B}垂直于矢量 q，从而垂直于直线（ 3），我们称 p={A,B}为直线（ 3）的 法矢量,而方程（ 4）称为直线的 点法式方程。
6,两条直线相关位置的判定给定两条直线
l1,A1x+B1y+C1=0 l2,A2x+B2y+C2=0
则
2
1
2
1
21)1( B
B
A
All相交与
2
1
2
1
2
1
21 ||)2( C
C
B
B
A
All
2
1
2
1
2
1
21)3( C
C
B
B
A
All重合与
（ 4）两直线的交角
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
21 ),(c o s BABA
BBAAll
例 3、一个圆在一直线上无滑动滚动，求圆周上一点
P的轨迹。
解,取直角坐标系，设半径为 a的圆在 x轴上滚动，开始时点 P 恰在原点,经过一段时间的滚动,圆与直线的切点移到 A 点，圆心的位置移到 C点，这时有
r=OP=OA+AC+CP
设 θ =?(CP,CA),于是矢量 CP对 x轴所成的有向角为
)
2
(),( CPi
P
O
r
a
a x
C
θ
y
则
ji
ji
)c o s()s in(
)
2
s in ()
2
c o s (
aa
aaCP
又因为 |OA|=AP=aθ，︵ 所以 OA=aθi,AC=aj
从而点 P的矢量式参数方程为
r=a(θ-sinθ)i+a(1-cosθ) （＜ θ ＜ +?）
其坐标式参数方程为
)(
)c o s1(
)s i n(
ay
ax
这种曲线称为 旋轮线 或 摆线 。
xO
y
例 5 已知大圆的半径为 a，小圆的半径为大圆半径的四分之一，若大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，动圆上某一定点 P的轨迹称为四尖星形线，求四尖星形线的方程。
解（略）
参数方程为
3
3
s i n
c o s
ay
ax
七 曲线的参数方程例 6 把椭圆的普通方程式 化为参数方程。
12
2
2
2
b
y
a
x
法一
)(s i nc o s
by
ax
法二 设 y=tx+b,代入原方程得
1)( 2
2
2
2
b
btx
a
x
解得
222
22
,0 tab btaxx
在第二式中取 t=0,得 x=0，所以舍去第一式，取
222
22
tab
btax
从而
222
222 )(
tab
tabby
在法二中，若令 u=-t，则得椭圆的另一种表示式为
)u(
uab
)uab ( b
y
uab
bu2a
x
222
222
222
2
注：第二种解法中，设 y=tx+b，实际上是在椭圆上取一定点 (0,b),作以 (0,b)为中心的直线束，而这时的椭圆的参数方程恰为直线束中的直线与椭圆交点的一般表达式。由于这时过点 (0,b)的 y轴的斜率不存在，因此需补上点 (0,-b)，或把它看成当 t→?时的交点。
例 7 化方程 y2(2a-x)=x3 (a>0) 为参数方程。
解：设 y=tx，代入可得参数方程
)(
1
2
1
2
2
3
2
2
t
t
at
y
t
at
x
注 1：有些曲线只能用参数方和表示而不能用普通方程表示，即不能用 x,y的初等函数来表示，如
ttty
ttex t
a r c s i ns i n
lg 2
注 2：在曲线的普通方程与参数方程的互化时，必须注意两种形式的方程的等价性，即考虑参数的取值范围。
第二节 曲面的方程一,,定义,若曲面 S与三元方程 F (x,y,z) =0有如下关系,
(1) S上任一点的坐标满足方程 F (x,y,z) =0;
(2) 不在 S上点的坐标都不满足方程 F (x,y,z) =0;
那末,方程 F (x,y,z) =0叫做 曲面 S的方程,而曲面 S
叫做方程 F (x,y,z) =0的图形,
F (x,y,z) = 0
S
x y
z
o
例 1、求连结两点 A(1,2,3),B(2,-1,4)的线段的垂直平分面的方程。
解：垂直平分面可以看成到两定点 A和 B等距离的动点
M(x,y,z)的轨迹，故点 M的特征为
|AM|=|BM|
用两点间的距离公式代入并化简可得：
2x-6y+2z-7=0
例 2 求两坐标面 xOz和 yOz所成二面角的平分面的方程。
解：因为所求平分面是与两坐标面 xOz和 yOz有等距离的点的轨迹，因此 M(x,y,z)在平分面上的充要条件是
|y|=|x|
即 X+y=0 与 x-y=0
(x? x0)2 + (y? y0)2 + (z? z0)2 = R2 (1)
称方程 (1)为 球面的标准方程,
特别,当球心在原点 O(0,0,0)时,
球面方程,x2 + y2 + z2 = R2
例 3、求球心为 M0(x0,y0,z0),半径为 R的球面 的方程,
解,对于球面上任一点 M(x,y,z),
都有 |M M0|2 =R2.即
M0
M
R
例 4 求与原点 O 及 )4,3,2(0M 的距离之比为 2:1 的点的全体所组成的曲面方程,
解 设 ),,( zyxM 是曲面上任一点，
,21|| ||
0
MMMO根据题意有
,2
1
432 222
222
zyx
zyx
,911634132
2
2
2
zyx
所求方程为解,原方程可改写为
(x?1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5
故,原方程表示球心在 M0(1,?2,0),
半径为 的球面,5
例 5,方程 x2 + y2 + z2?2x + 4y = 0表示怎样的曲面?
z
x
yo
例 6 方程 的图形是怎样的？ 1)2()1( 22 yxz
根据题意有 1z
用平面 cz? 去截图形得圆：
)1(1)2()1( 22 ccyx
当平面 cz? 上下移动时，
得到一系列圆圆心在 ),2,1( c,半径为 c?1
半径随 c 的增大而增大,图形上不封顶，下封底．
解
c
二、曲面的参数方程
1、双参数矢函数在两个变数 u,v的变动区域内定义的函数
r=r(u,v) 或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 (2)
称为双参数矢函数，其中 x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变矢
r(u,v)的分量，它们都是变数 u,v的函数 。
当 u,v取遍变动区域的一切值时，径矢
OM= r(u,v)
=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3
的终点 M(x(u,v),y(u,v),z(u,v))
所画的轨迹一般为一张曲面。
M
o
z
x y
S
2、曲面的矢量式参数方程定义：若取 u,v(a?u?b,c?v?d)的一切可能值，由（ 2）
表示的径矢 r(u,v)的终点 M总在一个曲面上，反之，在这个曲面上的任意点 M总对应着以它为终点的径矢，
而这径矢可由 u,v的值 (a?u?b,c?v?d)通过（ 2）完全决定，则称（ 2）式为曲面的 矢量式参数方程,其中 u,v为参数。
3、曲面的坐标式参数方程因为径矢 r(u,v)的分量为 {x(u,v),y(u,v)z(u,v)},所以曲面的参数方程也常写成
)3(
),(
),(
),(
vuzz
vuyy
vuxx
表达式（ 3）称为曲面的 坐标式参数方程 。
例 5 求中心在原点，半径为 r的球面的参数方程 。
M
R
x
y
z
P
Q
θ
解：设 M(x,y,z)是球面上任一点，
M在 xOy 坐标面上的射影为 P，而
P在 x轴上的射影为 Q，又设在坐标面上的有向角?(i,OP)=?,Oz轴与
OM的交角?zOM=θ,则
r=OM=OQ+QP+PM
且 PM=(rcosθ)k
所以
r=(rsinθcos?)i +(rsinθsin?)j+ (rcosθ)k (4)
此即为中心在原点，半径为 r的球面的矢量式参数方程 。
QP=(|OP|sin?)j=(rsinθsin?)j
OQ=(|OP|cos?)i=(rsinθcos?)i
中心在原点，半径为 r的球面的坐标式参数方程为
)5(
c o s
s i ns i n
c o ss i n
rz
ry
rx
（ 4），（ 5）中的 θ,?为参数，其取值范围分别是
0?θ与 -＜?。
例 7 求以 z轴为对称轴，半径为 R的圆柱面的参数方程。
解：如图,有
Px
y
z
oo
M
Q
r
r=OM=OQ+QP+PM
而 OQ=(Rcos?)i,QP(Rsin?)j,PM=uk
所以 r=(Rcos?)i+ (Rsin?)j +uk （ 6）
此即为圆柱面的矢量式参数方程。
其坐标式参数方程为
)7(s i n
c o s
uz
Ry
Rx
（ 6）（ 7）式中的?,u为参数，其取值范围是
-＜?,-?＜ u＜ +?
第三节 母线平行于坐标轴的柱面
x
y
z
o
1、引例,考虑方程 x2 + y2 = R2所表示的曲面,
在 xoy面上,x2 + y2 = R2 表示以原点 O为圆心,半径为 R的圆,
xoy面上的圆 x2 + y2 = R2 叫做柱面的 准线,
平行于 z 轴的直线 L 叫做柱面的 母线,
曲面可以看作是由平行于 z 轴的直线 L沿 xoy面上的圆 x2 + y2 = R2 移动而形成,称该曲面为 圆柱面,
o
l
M(x,y,0)
2,定义,平行于定直线并沿定曲线 C移动直线 L 形成的轨迹叫做 柱面,
定曲线 C叫做柱面的 准线,
动直线 L 叫做柱面的 母线,
例 1,方程 y2 =2x 表示,母线平行于 z 轴的柱面,
o x
z y
y2 =2x
它的准线是 xoy面上的抛物线 y2 =2x,
该柱面叫做 抛物柱面,
例 2,方程 x?y = 0表示,
母线平行于 z 轴的柱面,
x
x?y= 0
z
yo
它的准线是 xoy面上的直线 x?y = 0,所以它是过 z轴的平面,
3,母线平行于坐标轴的柱面方程,
1? 方程 F (x,y) =0 表示,
2? 方程 F (x,z) =0 表示,
3? 方程 F (y,z) =0 表示,
母线平行于 z 轴的柱面,
准线为 xoy面上的曲线 C,F (x,y) = 0,
母线平行于 y 轴的柱面,
准线为 xoz面上的曲线 C,F (x,z) = 0,
母线平行于 x 轴的柱面,
准线为 yoz面上的曲线 C,F (y,z) = 0,
例 3、下列方程各表示什么曲面？
1)1( 2
2
2
2
b
y
a
x
4)2( 22 zy
02)3( 2 zxx
（母线平行于 z轴的椭圆柱面）
（母线平行于 x轴的双曲柱面）
（母线平行于 y轴的抛物柱面）
注：上述柱面的方程都是二次的，都称为 二次柱面 。
第四节 空间曲线及其方程
空间曲线的一般方程
空间曲线的参数方程
（ 1）矢量式参数方程
（ 2）坐标式参数方程
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程,x
o
z
y
1S
2SC
空间曲线 C可看作空间两曲面的交线,
特点,
一、空间曲线的一般方程例 2、求在 xOy 坐标面上，半径为 R，圆心为原点的圆的方程。
解：
0
)1(
2222
z
Rzyx
0
)2(
222
z
Ryx
222
2222
)3(
Ryx
Rzyx
0
0
yx
yx
例 1、写出 Oz轴的方程。
解,Oz轴可看成两个平面的交线，如
0
0
y
x 或可见，空间曲线的一般方程的表示不是唯一的。
例 3,球面 x 2 + y 2 + z 2 = 32与平面 z = 2
的交线是
x 2 + y 2 + z 2 = 32
z = 2
一个圆,它的一般方程是例 4,方程组
222
222
)
2
()
2
( ayax
yxaz
表示怎样的曲线?
解,方程 222 yxaz
方程,222 )
2()2(
ayax
它的准线 xOy面上的圆,圆心在点,2),0,2( aa 半径为所以方程组表示上述半球面与圆柱面的交线,
（维维安尼曲线 Viviani）
表示球心在原点 O,半径为 a的上半球面,
表示母线平行于 z 轴的圆柱面二、空间曲线的参数方程将曲线 C上动点的坐标 x,y,z都表示成一个参数 t的函数,
x = x (t)
y = y (t) (2)
z = z (t)
当给定 t = t1时,就得到 C上一个点 (x,y,z),随着 t
的变动便可得曲线 C上的全部点,方程组 (2)叫做空间曲线的参数方程,
例 5,如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2上以角速度? 绕 z 轴旋转,同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升 (其中?,v都是常数 ),
那末点 M 构成的图形叫做 圆柱 螺旋线,试建立其参数方程,
解,取时间 t为参数,设当 t = 0时,
动点位于 x 轴 上 的 一 点
A(a,0,0)处 。
A
M
M?t? x y
z
o
经过时间 t,由 A运动到 M(x,y,z),
M在 xOy面上的投影为 M?(x,y,0).
(1) 动点在圆柱面上以角速度? 绕 z轴旋转,所以经过时间 t,?AOM? =? t,从而
x = |OM?| ·cos?AOM? = acos? t
y = |OM?| ·sin?AOM? = asin? t
(2) 动点同时以线速度 v沿 z 轴向上升,因而
z = MM? = vt
得螺旋线的参数方程
x = acos? t
y = asin? t
z = vt
注,还可以用其它变量作参数,x y
z
A
OM?t
M?
yx
z
A
OM?t
M?
例如,令? =? t,?为参数 ; 螺旋线的参数方程为,
x = acos?
y = asin?
z = b?
.?vb?这里当?从? 0变到? 0 +? 是,z由 b? 0变到 b? 0+ b?,
即 M点上升的高度与 OM?转过的角度成正比,
特别,当? = 2?时,M点上升高度 h = 2? b,
h
在工程上称 h = 2? b为 螺距,
例 6 维维安尼曲线 一半径为 a的球面与一个直径等于球的半径的圆柱面，如果圆柱面通过球心，则球面与圆柱面的交线称为 维维安尼曲线,试写出其一般方程和参数方程。
解,一般方程
022
2222
axyx
azyx
参数方程
)20(
s i n
s i nc o s
c o s
2
az
ay
ax
O
x y
z
三、空间曲线在坐标面上投影设空间曲线 C的一般方程
F (x,y,z) = 0
G (x,y,z) = 0 (3)
由方程组 (3)消去 z后得方程
H (x,y) = 0 (4)
方程 (4)表示一个母线平行于 z 轴的柱面,曲线 C
一定在曲面上,
以曲线 C为准线,母线平行于 z 轴 (即垂直 xOy面 )
的柱面叫做曲线 C关于 xOy面的 投影柱面,投影柱面与 xOy面的交线叫做空间曲线在 xOy面上的 投影曲线,或简称 投影,
所以方程 所表示的曲线必定包含了空间曲线 C在 xOy面上的投影,
H (x,y) = 0
z = 0
注,同理可得曲线在 yOz面或 xOz面上的投影曲线方程,
例 1,已知两个球面的方程分别为,
x2 + y2 + z2 = 1
和 x2 + (y?1)2 + (z?1)2 = 1
求它们的交线 C在 xOy面上的投影曲线的方程,
解,联立两个方程消去 z,得
0
1)
2
1(42 22
z
yx
1)21(42 22 yx
这是母线平行于 z 轴的椭圆柱面,两球面的交线 C在 xOy面上的投影曲线方程为例 2,设一个立体由上半球面 和锥面 224 yxz
)(3 22 yxz 所围成,求它在 xoy面上的投影,
解,半球面与锥面的交线为
)(3
4
:
22
22
yxz
yxz
C
由方程消去 z,得 x2 + y2 = 1
y
x
z
O
x2 + y2? 1
这是一个母线平行于 z 轴的圆柱面,于是交线 C
在 xoy面上的投影曲线为
x2 + y2 = 1
z = 0 这是 xoy面上的一个圆,
所以,所求立体在 xoy面上 的投影为,x2 + y2? 1
补充,空间立体或曲面在坐标面上的投影,
空间立体曲面本章学习结束谢谢大家
1,平面曲线的方程
2、曲面的方程
3、母线平行于坐标轴的柱面方程
4、空间曲线的方程第一节 平面曲线的方程一、曲线与方程：
定义：当平面上取定了标架之后，如果一个方程与一条曲线有着关系：
（ 1）满足方程的 (x,y)必是曲线上某一点的坐标；
（ 2）曲线上任何一点的坐标 (x,y)满足这个方程；
则这个方程称为这条曲线的方程，这条曲线称为方程的图形。
曲线的方程常表示为：
F(x,y)=0 或 y=f(x)
二、曲线的矢量式方程例 1、求圆心在原点，半径为 R的圆的方程。
解：矢量式方程 |OM|=R
普通方程 x2+y2=R2
例 2、已知两点 A(-2,-2),B(2,2),求满足条件
|MA|-|MB|=4的动点的轨迹。
化为普通方程为 xy=2 (x+y?2)
故曲线为
y
xo
xy=2
解：矢量式方程 |MA|-|MB|=4
1、矢性函数当动点按某种规律运动时，与它对应的径矢也随着时间 t的不同而改变（模与方向的改变），这样的径矢称为 变矢,记为 r(t)。如果变数 t(a?t?b)的每一个值对应于变矢 r的一个完全的值（模与方向） r(t)，则称
r是变数 t的 矢性函数,记为 r=r(t) (a?t?b).
2、矢性函数的分量表示设平面上取定的标架为 {O;e1,e2},则矢性函数可表示为
r(t)=x(t)e1+y(t)e2 (a?t?b),（ 1）
其中 x(t),y(t)是 r(t)的分量，它们分别是变数 t的函数 。
3、矢量式参数方程若取 (a?t?b)的一切可能值，由（ 1）
r(t)=x(t)e1+y(t)e2 (a?t?b).
4、坐标式参数方程曲线 的参数方程常可以写成下列形式：
)(
)(
)( bta
tyy
txx
称为曲线的 坐标式参数方程。
y
xO
r(t)
r(a)
r(b)
A
B
P(x(t),y(t))
的终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的径矢，而这径矢可由 t的某一值 t0(a?t0?b)通过（ 1）完全确定，则称表达式（ 1）
为曲线的 矢量式参数方程,其中 t为参数。
表示的径矢 r(t)
已知直线 l通过定点 M0(x0,y0),且与非零矢量
v ={X,Y}共线，求直线 l的方程。
解：设 M(x,y)为直线 l上任意一点，并设 OM=r,OM0=r0，
则点 M在 l上的充要条件为矢量 M0M与 v共线，即
M0M=tv (t为随 M而定的实数）
又因为 M0M=r-r0
所以 r-r0=tv
（ 1） 矢量式参数方程为 r=r0+tv (＜ t＜ +?)
（ 2） 矢量式参数方程为
)2(
0
0
Ytyy
Xtxx
5、直线的方程故得 l的注 1,参数 t的几何意义,
当 v是单位矢量时,|t|为点 M与 M0之间距离。
事实上,|MM0|=|tv|=|t|
注 2,直线的方向矢量：
与直线 l共线的非零矢量 v 称为直线 l的方向矢量。
（ 3）,直线的对称式方程由直线的参数方程（ 2）中消去参数 t可得：
Y
yy
X
xx 00对称式方程
（ 4） 直线的一般方程和点法式方程将对称式方程改写为
Ax+By+c=0 (3)
其中 A=Y,B=-X,C=-(Yx0-Xy0),方程 (3)称为直线的 一般方程 。
反之，设 (x0,y0)是（ 3）上一点，则
Ax0+By0+c=0
故（ 3）可改写为
A(x-x0)+B(y-y0)=0 （ 4）
或
A
yy
B
xx
00
可见系数 A,B的几何意义是：
矢量 q={B,-A}是直线（ 3）的一个方向矢量，而矢量 p={A,B}垂直于矢量 q，从而垂直于直线（ 3），我们称 p={A,B}为直线（ 3）的 法矢量,而方程（ 4）称为直线的 点法式方程。
6,两条直线相关位置的判定给定两条直线
l1,A1x+B1y+C1=0 l2,A2x+B2y+C2=0
则
2
1
2
1
21)1( B
B
A
All相交与
2
1
2
1
2
1
21 ||)2( C
C
B
B
A
All
2
1
2
1
2
1
21)3( C
C
B
B
A
All重合与
（ 4）两直线的交角
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
21 ),(c o s BABA
BBAAll
例 3、一个圆在一直线上无滑动滚动，求圆周上一点
P的轨迹。
解,取直角坐标系，设半径为 a的圆在 x轴上滚动，开始时点 P 恰在原点,经过一段时间的滚动,圆与直线的切点移到 A 点，圆心的位置移到 C点，这时有
r=OP=OA+AC+CP
设 θ =?(CP,CA),于是矢量 CP对 x轴所成的有向角为
)
2
(),( CPi
P
O
r
a
a x
C
θ
y
则
ji
ji
)c o s()s in(
)
2
s in ()
2
c o s (
aa
aaCP
又因为 |OA|=AP=aθ，︵ 所以 OA=aθi,AC=aj
从而点 P的矢量式参数方程为
r=a(θ-sinθ)i+a(1-cosθ) （＜ θ ＜ +?）
其坐标式参数方程为
)(
)c o s1(
)s i n(
ay
ax
这种曲线称为 旋轮线 或 摆线 。
xO
y
例 5 已知大圆的半径为 a，小圆的半径为大圆半径的四分之一，若大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，动圆上某一定点 P的轨迹称为四尖星形线，求四尖星形线的方程。
解（略）
参数方程为
3
3
s i n
c o s
ay
ax
七 曲线的参数方程例 6 把椭圆的普通方程式 化为参数方程。
12
2
2
2
b
y
a
x
法一
)(s i nc o s
by
ax
法二 设 y=tx+b,代入原方程得
1)( 2
2
2
2
b
btx
a
x
解得
222
22
,0 tab btaxx
在第二式中取 t=0,得 x=0，所以舍去第一式，取
222
22
tab
btax
从而
222
222 )(
tab
tabby
在法二中，若令 u=-t，则得椭圆的另一种表示式为
)u(
uab
)uab ( b
y
uab
bu2a
x
222
222
222
2
注：第二种解法中，设 y=tx+b，实际上是在椭圆上取一定点 (0,b),作以 (0,b)为中心的直线束，而这时的椭圆的参数方程恰为直线束中的直线与椭圆交点的一般表达式。由于这时过点 (0,b)的 y轴的斜率不存在，因此需补上点 (0,-b)，或把它看成当 t→?时的交点。
例 7 化方程 y2(2a-x)=x3 (a>0) 为参数方程。
解：设 y=tx，代入可得参数方程
)(
1
2
1
2
2
3
2
2
t
t
at
y
t
at
x
注 1：有些曲线只能用参数方和表示而不能用普通方程表示，即不能用 x,y的初等函数来表示，如
ttty
ttex t
a r c s i ns i n
lg 2
注 2：在曲线的普通方程与参数方程的互化时，必须注意两种形式的方程的等价性，即考虑参数的取值范围。
第二节 曲面的方程一,,定义,若曲面 S与三元方程 F (x,y,z) =0有如下关系,
(1) S上任一点的坐标满足方程 F (x,y,z) =0;
(2) 不在 S上点的坐标都不满足方程 F (x,y,z) =0;
那末,方程 F (x,y,z) =0叫做 曲面 S的方程,而曲面 S
叫做方程 F (x,y,z) =0的图形,
F (x,y,z) = 0
S
x y
z
o
例 1、求连结两点 A(1,2,3),B(2,-1,4)的线段的垂直平分面的方程。
解：垂直平分面可以看成到两定点 A和 B等距离的动点
M(x,y,z)的轨迹，故点 M的特征为
|AM|=|BM|
用两点间的距离公式代入并化简可得：
2x-6y+2z-7=0
例 2 求两坐标面 xOz和 yOz所成二面角的平分面的方程。
解：因为所求平分面是与两坐标面 xOz和 yOz有等距离的点的轨迹，因此 M(x,y,z)在平分面上的充要条件是
|y|=|x|
即 X+y=0 与 x-y=0
(x? x0)2 + (y? y0)2 + (z? z0)2 = R2 (1)
称方程 (1)为 球面的标准方程,
特别,当球心在原点 O(0,0,0)时,
球面方程,x2 + y2 + z2 = R2
例 3、求球心为 M0(x0,y0,z0),半径为 R的球面 的方程,
解,对于球面上任一点 M(x,y,z),
都有 |M M0|2 =R2.即
M0
M
R
例 4 求与原点 O 及 )4,3,2(0M 的距离之比为 2:1 的点的全体所组成的曲面方程,
解 设 ),,( zyxM 是曲面上任一点，
,21|| ||
0
MMMO根据题意有
,2
1
432 222
222
zyx
zyx
,911634132
2
2
2
zyx
所求方程为解,原方程可改写为
(x?1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5
故,原方程表示球心在 M0(1,?2,0),
半径为 的球面,5
例 5,方程 x2 + y2 + z2?2x + 4y = 0表示怎样的曲面?
z
x
yo
例 6 方程 的图形是怎样的？ 1)2()1( 22 yxz
根据题意有 1z
用平面 cz? 去截图形得圆：
)1(1)2()1( 22 ccyx
当平面 cz? 上下移动时，
得到一系列圆圆心在 ),2,1( c,半径为 c?1
半径随 c 的增大而增大,图形上不封顶，下封底．
解
c
二、曲面的参数方程
1、双参数矢函数在两个变数 u,v的变动区域内定义的函数
r=r(u,v) 或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 (2)
称为双参数矢函数，其中 x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变矢
r(u,v)的分量，它们都是变数 u,v的函数 。
当 u,v取遍变动区域的一切值时，径矢
OM= r(u,v)
=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3
的终点 M(x(u,v),y(u,v),z(u,v))
所画的轨迹一般为一张曲面。
M
o
z
x y
S
2、曲面的矢量式参数方程定义：若取 u,v(a?u?b,c?v?d)的一切可能值，由（ 2）
表示的径矢 r(u,v)的终点 M总在一个曲面上，反之，在这个曲面上的任意点 M总对应着以它为终点的径矢，
而这径矢可由 u,v的值 (a?u?b,c?v?d)通过（ 2）完全决定，则称（ 2）式为曲面的 矢量式参数方程,其中 u,v为参数。
3、曲面的坐标式参数方程因为径矢 r(u,v)的分量为 {x(u,v),y(u,v)z(u,v)},所以曲面的参数方程也常写成
)3(
),(
),(
),(
vuzz
vuyy
vuxx
表达式（ 3）称为曲面的 坐标式参数方程 。
例 5 求中心在原点，半径为 r的球面的参数方程 。
M
R
x
y
z
P
Q
θ
解：设 M(x,y,z)是球面上任一点，
M在 xOy 坐标面上的射影为 P，而
P在 x轴上的射影为 Q，又设在坐标面上的有向角?(i,OP)=?,Oz轴与
OM的交角?zOM=θ,则
r=OM=OQ+QP+PM
且 PM=(rcosθ)k
所以
r=(rsinθcos?)i +(rsinθsin?)j+ (rcosθ)k (4)
此即为中心在原点，半径为 r的球面的矢量式参数方程 。
QP=(|OP|sin?)j=(rsinθsin?)j
OQ=(|OP|cos?)i=(rsinθcos?)i
中心在原点，半径为 r的球面的坐标式参数方程为
)5(
c o s
s i ns i n
c o ss i n
rz
ry
rx
（ 4），（ 5）中的 θ,?为参数，其取值范围分别是
0?θ与 -＜?。
例 7 求以 z轴为对称轴，半径为 R的圆柱面的参数方程。
解：如图,有
Px
y
z
oo
M
Q
r
r=OM=OQ+QP+PM
而 OQ=(Rcos?)i,QP(Rsin?)j,PM=uk
所以 r=(Rcos?)i+ (Rsin?)j +uk （ 6）
此即为圆柱面的矢量式参数方程。
其坐标式参数方程为
)7(s i n
c o s
uz
Ry
Rx
（ 6）（ 7）式中的?,u为参数，其取值范围是
-＜?,-?＜ u＜ +?
第三节 母线平行于坐标轴的柱面
x
y
z
o
1、引例,考虑方程 x2 + y2 = R2所表示的曲面,
在 xoy面上,x2 + y2 = R2 表示以原点 O为圆心,半径为 R的圆,
xoy面上的圆 x2 + y2 = R2 叫做柱面的 准线,
平行于 z 轴的直线 L 叫做柱面的 母线,
曲面可以看作是由平行于 z 轴的直线 L沿 xoy面上的圆 x2 + y2 = R2 移动而形成,称该曲面为 圆柱面,
o
l
M(x,y,0)
2,定义,平行于定直线并沿定曲线 C移动直线 L 形成的轨迹叫做 柱面,
定曲线 C叫做柱面的 准线,
动直线 L 叫做柱面的 母线,
例 1,方程 y2 =2x 表示,母线平行于 z 轴的柱面,
o x
z y
y2 =2x
它的准线是 xoy面上的抛物线 y2 =2x,
该柱面叫做 抛物柱面,
例 2,方程 x?y = 0表示,
母线平行于 z 轴的柱面,
x
x?y= 0
z
yo
它的准线是 xoy面上的直线 x?y = 0,所以它是过 z轴的平面,
3,母线平行于坐标轴的柱面方程,
1? 方程 F (x,y) =0 表示,
2? 方程 F (x,z) =0 表示,
3? 方程 F (y,z) =0 表示,
母线平行于 z 轴的柱面,
准线为 xoy面上的曲线 C,F (x,y) = 0,
母线平行于 y 轴的柱面,
准线为 xoz面上的曲线 C,F (x,z) = 0,
母线平行于 x 轴的柱面,
准线为 yoz面上的曲线 C,F (y,z) = 0,
例 3、下列方程各表示什么曲面？
1)1( 2
2
2
2
b
y
a
x
4)2( 22 zy
02)3( 2 zxx
（母线平行于 z轴的椭圆柱面）
（母线平行于 x轴的双曲柱面）
（母线平行于 y轴的抛物柱面）
注：上述柱面的方程都是二次的，都称为 二次柱面 。
第四节 空间曲线及其方程
空间曲线的一般方程
空间曲线的参数方程
（ 1）矢量式参数方程
（ 2）坐标式参数方程
0),,(
0),,(
zyxG
zyxF
空间曲线的一般方程曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程,x
o
z
y
1S
2SC
空间曲线 C可看作空间两曲面的交线,
特点,
一、空间曲线的一般方程例 2、求在 xOy 坐标面上，半径为 R，圆心为原点的圆的方程。
解：
0
)1(
2222
z
Rzyx
0
)2(
222
z
Ryx
222
2222
)3(
Ryx
Rzyx
0
0
yx
yx
例 1、写出 Oz轴的方程。
解,Oz轴可看成两个平面的交线，如
0
0
y
x 或可见，空间曲线的一般方程的表示不是唯一的。
例 3,球面 x 2 + y 2 + z 2 = 32与平面 z = 2
的交线是
x 2 + y 2 + z 2 = 32
z = 2
一个圆,它的一般方程是例 4,方程组
222
222
)
2
()
2
( ayax
yxaz
表示怎样的曲线?
解,方程 222 yxaz
方程,222 )
2()2(
ayax
它的准线 xOy面上的圆,圆心在点,2),0,2( aa 半径为所以方程组表示上述半球面与圆柱面的交线,
（维维安尼曲线 Viviani）
表示球心在原点 O,半径为 a的上半球面,
表示母线平行于 z 轴的圆柱面二、空间曲线的参数方程将曲线 C上动点的坐标 x,y,z都表示成一个参数 t的函数,
x = x (t)
y = y (t) (2)
z = z (t)
当给定 t = t1时,就得到 C上一个点 (x,y,z),随着 t
的变动便可得曲线 C上的全部点,方程组 (2)叫做空间曲线的参数方程,
例 5,如果空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2上以角速度? 绕 z 轴旋转,同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升 (其中?,v都是常数 ),
那末点 M 构成的图形叫做 圆柱 螺旋线,试建立其参数方程,
解,取时间 t为参数,设当 t = 0时,
动点位于 x 轴 上 的 一 点
A(a,0,0)处 。
A
M
M?t? x y
z
o
经过时间 t,由 A运动到 M(x,y,z),
M在 xOy面上的投影为 M?(x,y,0).
(1) 动点在圆柱面上以角速度? 绕 z轴旋转,所以经过时间 t,?AOM? =? t,从而
x = |OM?| ·cos?AOM? = acos? t
y = |OM?| ·sin?AOM? = asin? t
(2) 动点同时以线速度 v沿 z 轴向上升,因而
z = MM? = vt
得螺旋线的参数方程
x = acos? t
y = asin? t
z = vt
注,还可以用其它变量作参数,x y
z
A
OM?t
M?
yx
z
A
OM?t
M?
例如,令? =? t,?为参数 ; 螺旋线的参数方程为,
x = acos?
y = asin?
z = b?
.?vb?这里当?从? 0变到? 0 +? 是,z由 b? 0变到 b? 0+ b?,
即 M点上升的高度与 OM?转过的角度成正比,
特别,当? = 2?时,M点上升高度 h = 2? b,
h
在工程上称 h = 2? b为 螺距,
例 6 维维安尼曲线 一半径为 a的球面与一个直径等于球的半径的圆柱面，如果圆柱面通过球心，则球面与圆柱面的交线称为 维维安尼曲线,试写出其一般方程和参数方程。
解,一般方程
022
2222
axyx
azyx
参数方程
)20(
s i n
s i nc o s
c o s
2
az
ay
ax
O
x y
z
三、空间曲线在坐标面上投影设空间曲线 C的一般方程
F (x,y,z) = 0
G (x,y,z) = 0 (3)
由方程组 (3)消去 z后得方程
H (x,y) = 0 (4)
方程 (4)表示一个母线平行于 z 轴的柱面,曲线 C
一定在曲面上,
以曲线 C为准线,母线平行于 z 轴 (即垂直 xOy面 )
的柱面叫做曲线 C关于 xOy面的 投影柱面,投影柱面与 xOy面的交线叫做空间曲线在 xOy面上的 投影曲线,或简称 投影,
所以方程 所表示的曲线必定包含了空间曲线 C在 xOy面上的投影,
H (x,y) = 0
z = 0
注,同理可得曲线在 yOz面或 xOz面上的投影曲线方程,
例 1,已知两个球面的方程分别为,
x2 + y2 + z2 = 1
和 x2 + (y?1)2 + (z?1)2 = 1
求它们的交线 C在 xOy面上的投影曲线的方程,
解,联立两个方程消去 z,得
0
1)
2
1(42 22
z
yx
1)21(42 22 yx
这是母线平行于 z 轴的椭圆柱面,两球面的交线 C在 xOy面上的投影曲线方程为例 2,设一个立体由上半球面 和锥面 224 yxz
)(3 22 yxz 所围成,求它在 xoy面上的投影,
解,半球面与锥面的交线为
)(3
4
:
22
22
yxz
yxz
C
由方程消去 z,得 x2 + y2 = 1
y
x
z
O
x2 + y2? 1
这是一个母线平行于 z 轴的圆柱面,于是交线 C
在 xoy面上的投影曲线为
x2 + y2 = 1
z = 0 这是 xoy面上的一个圆,
所以,所求立体在 xoy面上 的投影为,x2 + y2? 1
补充,空间立体或曲面在坐标面上的投影,
空间立体曲面本章学习结束谢谢大家
