第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面主要内容
1、柱面
2、锥面
3、旋转曲面
4、椭球面
5、双曲面
6、抛物面第一节 柱面定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面,
C L
这条定曲线 C 叫柱面的 准线,动直线 L 叫柱面的 母线,
设柱面的准线为 )1(
0),,(
0),,(
2
1
zyxF
zyxF
母线的方向数为 X,Y,Z。如果 M1(x1,y1,z1)为准线上一点，则过点 M1的母线方程为
)2(111 Z zzY yyX xx
且有
F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (3)
从（ 2）（ 3）中消去 x1,y1,z1得
F(x,y,z)=0
这就是以 （ 1） 为准线，母线的方向数为 X,Y,Z的柱面的方程。
柱面举例
x
o
z
y
x
o
z
y
xy 22?
抛物柱面
xy?
平面从柱面方程看柱面的 特征,
（其他类推）
实例
12
2
2
2
czby 椭圆柱面 母线 //
轴
x
12
2
2
2
byax 双曲柱面母线 // 轴z
pzx 22? 抛物柱面母线 // 轴y
只含 yx,而缺 z的方程 0),(?yxF,在空间直角坐标系中表示母线平行于 z轴的柱面，其准线为 xoy面上曲线 C.
例 1、柱面的准线方程为
222
1
222
222
zyx
zyx
而母线的方向数为 -1,0,1，求这柱面的方程。
例 2、已知圆柱面的轴为
2
1
2
1
1?
zyx
点 （ 1,-2,1)在此 圆柱面上，求这个柱面的方程 。
第二节 锥面
)1(
0),,(
0),,(
2
1
zyxF
zyxF
一、锥面
1、定义 在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。
2、锥面的方程设锥面的准线为顶点为 A(x0,y0,z0)，如果 M1(x1,y1,z1)为准线上任一点，
则锥面过点 M1的母线为：
)2(
01
0
01
0
01
0
zz
zz
yy
yy
xx
xx
且有 F1(x1,y1,z1)=0 F2(x1,y1,z1)=0 （ 3）
从（ 2）（ 3）中消去参数 x1,y1,z1得三元方程
F(x,y,z)=0
这就是以（ 1）为准线，以 A为顶点的锥面方程。
例 1、求顶点在原点，准线为
cz
b
y
a
x
1
2
2
2
2
的锥面的方程。
答,0
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
（二次锥面）
定理 一个关于 x,y,z的齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面。
齐次方程,
设 λ 为实数，对于函数 f(x,y,z)，如果有
f(tx,ty,tz)=tλf(x,y,z)
则称 f(x,y,z)为 λ 的 齐次函数,f(x,y,z)=0称为齐次方程。
例如，方程 x2+y2-z2=0 圆锥面又如，方程 x2+y2+z2=0 原点（虚锥面）
第三节 旋转曲面一,,旋转曲面
1,定义,以一条平面曲线 C绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做 旋转曲面,这条定直线叫旋转曲面的轴,
曲线 C称为放置曲面的 母线
o
C
纬线经线二、旋转曲面的方程在空间坐标系中，设旋转曲面的母线为：
)1(
0),,(
0),,(
:
2
1
zyxF
zyxF
C
旋转直线为：
)2(,000 Z zzY yyX xxL
其中 P0(x0,y0,z0)为轴 L上一定点,X,Y,Z为旋转轴
L的方向数。
设 M1(x1,y1,z1)为母线 C上的任意点，则 M1的纬圆总可以看成是过 M1且垂直于旋转轴 L的平面与以 P0为中心,|P0M1|为半径的球面的交线。
所以过 M1的纬圆的方程为：
2
01
2
01
2
01
2
0
2
0
2
0
000
)()()()()()(
)3(0)()()(
zzyyxxzzyyxx
zzZyyYxxX
当点 M1跑遍整个母线 C时，就得到所有的纬圆，
这些纬圆就生成旋转曲面。
又由于 M1在母线上，所以又有：
)4(
0),,(
0),,(
:
1112
1111
zyxF
zyxF
C
从（ 3）（ 4）的四个等式中消去参数 x1,y1,z1,得到一个三元方程,F(x,y,z)=0
这就是以 C为母线,L为旋转轴的旋转曲面的方程。
例 1、求直线
0
1
12
zyx
绕直线 x=y=z旋转所得旋转曲面的方程。
解：设 M1(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过 M1的纬圆方程是：
2
1
2
1
2
1
222
111 0)()()(
zyxzyx
zzyyxx
又由于 M1在母线上，所以又有：
0
1
12
111 zyx
即 x1=2y1,z1=1,消去 x1,y1,z1得所求旋转曲面的方程：
2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0。
三、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面：
已知 yoz面上一条曲线 C,方程为 f (y,z) = 0,曲线
C绕 z 轴旋转一周就得一个旋转曲面,
设 M1(0,y1`,z1)是 C上任意一点,则有 f( y1,z1) = 0
当 C绕 z 轴旋转而 M1随之转到 M (x,y,z)时,有
|| 122
1
yyx
zz
221 yxy
将 z1 = z,代入方程 F( y1,z1) = 0,x
o
z
y
0),(?zyf
),,0( 111 zyMMd
y o z 坐标面上的已知曲线 0),(?zyf 绕 z 轴旋转一周的 旋转曲面方程,
同理,yo z 坐标面上的已知曲线 0),(?zyf
绕 y 轴旋转一周的 旋转曲面方程 为
,0,22 zxyf
得 旋转曲面的方程,0),( 22 zyxF
即规律：
当坐标平面上的曲线 C绕此坐标平面的一个坐标旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线 C在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。
例 1 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的 顶点,两直线的夹角
2
0 叫圆锥面的 半顶角,试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶角为? 的圆锥面方程,
x
o
z
y
解 y o z 面上直线方程为
c o tyz? ),,0(
111 zyM?
),,( zyxM
圆锥面方程
c o t22 yxz
例 2,求直线 z = ay 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面方程,
z
x
y
z = ay
解,将 y 用 代入直线方程,得
22 yx
)( 22 yxaz
平方得,
z2 = a2 ( x2 + y2 )
该旋转曲面叫做 圆锥面,
其顶点在原点,
例 3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．
（ 1 ）双曲线 12
2
2
2
c
z
a
x
分别绕 x 轴和 z 轴；
绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转
12
22
2
2
c zyax
12
2
2
22
cza yx
旋转双曲面
（单叶）
（双叶）
例 4、将圆
0
)0()( 222
x
abazby
绕 Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程。
解：所求旋转曲面的方程为：
22222 )( azbyx
即,(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)
该曲面称为圆环面。
（ 2 ）椭圆
0
1
2
2
2
2
x
c
z
a
y
绕 y 轴和 z 轴；
绕 y 轴旋转绕 z 轴旋转
12
22
2
2
c zxay
12
2
2
22
cza yx
旋转椭球面
（ 3 ）抛物线
0
2
2
x
pzy
绕 z 轴；
pzyx 222 旋转抛物面
（长形）
（短形）
第四节 二次曲面二次曲面的定义,三元二次方程相应地平面被称为 一次曲面,
讨论二次曲面性状的 平面截痕法,
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
一,基本内容所表示的曲面称之为二次曲面．
ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz +fyz + gx + hy + iz +j = 0
z
o
x
y
O
2? 用平面 z = k去截割 (要求 |k |? c),得椭圆
kz
c
k
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
1
当 |k |? c 时,|k |越大,椭圆越小 ;
当 |k | = c 时,椭圆退缩成点,
二,几种常见二次曲面,
（一） 椭球面
1? 用平面 z = 0去截割,得椭圆
0
1
2
2
2
2
z
b
y
a
x
12
2
2
2
2
2
C
z
b
y
a
x
3? 类似地,依次用平面 x = 0,平面 y = 0截割,
得椭圆,
,
0
1
2
2
2
2
x
c
z
b
y
.
0
1
2
2
2
2
y
c
z
a
x
特别,当 a=b=c时,方程 x2 + y2 + z2 = a2,表示球心在原点 o,半径为 a的球面,
（二）双曲面单叶双曲面 12
2
2
2
2
2
czbyax
（ 1）用坐标面 与曲面相截 )0(?zx o y
截得中心在原点 的椭圆,)0,0,0(O
0
12
2
2
2
z
b
y
a
x
与平面 的交线为椭圆,1zz?
当 变动时，这种椭圆的 中心 都在 轴上,
1z
z?
1
2
2
1
2
2
2
2
1
zz
c
z
b
y
a
x
（ 2）用坐标面 与曲面相截 )0(?yxoz
截得中心在原点的双曲线,
0
12
2
2
2
y
c
z
a
x
实轴与 轴相合，
虚轴与 轴相合,
x
z
1
2
2
1
2
2
2
2
1
yy
b
y
c
z
a
x
双曲线的 中心 都在 轴上,y
与平面 的交线为双曲线,1yy? )( 1 by
,)1( 221 by x实轴与 轴平行,z虚轴与 轴平行,
,)2( 221 by z实轴与 轴平行,x虚轴与 轴平行,
,)3( 1 by 截痕为一对相交于点 的直线,)0,,0( b
,
0
by
c
z
a
x
.
0
by
c
z
a
x
,)4( 1 by
截痕为一对相交于点 的直线,)0,,0( b?
,
0
by
c
z
a
x
.
0
by
c
z
a
x
（ 3）用坐标面,与曲面相截 )0(?xy o z 1xx?
均可得双曲线,
单叶双曲面图形
x
yo
z
平面 的截痕是 两对相交直线,ax
双叶双曲面 12
2
2
2
2
2
czbyax
x
yo
（三）抛物面
zqypx 22
22
（ 与 同号）p q
椭圆抛物面用截痕法讨论：
（ 1）用坐标面 与曲面相截 )0(?zx o y
截得一点，即坐标原点 )0,0,0(O
设 0,0 qp
原点也叫椭圆抛物面的 顶点,
与平面 的交线为椭圆,1zz?
1
1
2
1
2
1
22
zz
qz
y
pz
x
当 变动时，这种椭圆的 中心 都在 轴上,
1z
z
)0( 1?z
与平面 不相交,1zz? )0( 1?z
（ 2）用坐标面 与曲面相截 )0(?yxoz
0
22
y
pzx
截得抛物线与平面 的交线为抛物线,1yy?
1
2
12
2
2
yy
q
y
zpx
它的轴平行于 轴z
顶点?
q
yy
2,,0
2
1
1
（ 3）用坐标面,与曲面相截 )0(?xy o z 1xx?
均可得抛物线,
同理当 时可类似讨论,0,0 qp
z
x y
o
x y
z
o
椭圆抛物面的图形如下：
0,0 qp 0,0 qp
特殊地：当 时，方程变为qp?
zpypx 22
22
旋转抛物面)0(?p
（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）
xoz pzx 22?
1
1
22 2
zz
pzyx
与平面 的交线为圆,1zz? )0( 1?z
当 变动时，这种圆的 中心 都在 轴上,
1z
z
zqypx 22
22
（ 与 同号）p q
双曲抛物面（马鞍面）
用截痕法讨论：
设 0,0 qp
图形如下：
x
y
z
o
本章学习结束谢谢大家
1、柱面
2、锥面
3、旋转曲面
4、椭球面
5、双曲面
6、抛物面第一节 柱面定义 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面,
C L
这条定曲线 C 叫柱面的 准线,动直线 L 叫柱面的 母线,
设柱面的准线为 )1(
0),,(
0),,(
2
1
zyxF
zyxF
母线的方向数为 X,Y,Z。如果 M1(x1,y1,z1)为准线上一点，则过点 M1的母线方程为
)2(111 Z zzY yyX xx
且有
F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0 (3)
从（ 2）（ 3）中消去 x1,y1,z1得
F(x,y,z)=0
这就是以 （ 1） 为准线，母线的方向数为 X,Y,Z的柱面的方程。
柱面举例
x
o
z
y
x
o
z
y
xy 22?
抛物柱面
xy?
平面从柱面方程看柱面的 特征,
（其他类推）
实例
12
2
2
2
czby 椭圆柱面 母线 //
轴
x
12
2
2
2
byax 双曲柱面母线 // 轴z
pzx 22? 抛物柱面母线 // 轴y
只含 yx,而缺 z的方程 0),(?yxF,在空间直角坐标系中表示母线平行于 z轴的柱面，其准线为 xoy面上曲线 C.
例 1、柱面的准线方程为
222
1
222
222
zyx
zyx
而母线的方向数为 -1,0,1，求这柱面的方程。
例 2、已知圆柱面的轴为
2
1
2
1
1?
zyx
点 （ 1,-2,1)在此 圆柱面上，求这个柱面的方程 。
第二节 锥面
)1(
0),,(
0),,(
2
1
zyxF
zyxF
一、锥面
1、定义 在空间，通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面称为锥面，这些直线都称为锥面的母线，定点称为锥面的顶点，定曲线称为锥面的准线。
2、锥面的方程设锥面的准线为顶点为 A(x0,y0,z0)，如果 M1(x1,y1,z1)为准线上任一点，
则锥面过点 M1的母线为：
)2(
01
0
01
0
01
0
zz
zz
yy
yy
xx
xx
且有 F1(x1,y1,z1)=0 F2(x1,y1,z1)=0 （ 3）
从（ 2）（ 3）中消去参数 x1,y1,z1得三元方程
F(x,y,z)=0
这就是以（ 1）为准线，以 A为顶点的锥面方程。
例 1、求顶点在原点，准线为
cz
b
y
a
x
1
2
2
2
2
的锥面的方程。
答,0
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
（二次锥面）
定理 一个关于 x,y,z的齐次方程总表示顶点在坐标原点的锥面。
齐次方程,
设 λ 为实数，对于函数 f(x,y,z)，如果有
f(tx,ty,tz)=tλf(x,y,z)
则称 f(x,y,z)为 λ 的 齐次函数,f(x,y,z)=0称为齐次方程。
例如，方程 x2+y2-z2=0 圆锥面又如，方程 x2+y2+z2=0 原点（虚锥面）
第三节 旋转曲面一,,旋转曲面
1,定义,以一条平面曲线 C绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做 旋转曲面,这条定直线叫旋转曲面的轴,
曲线 C称为放置曲面的 母线
o
C
纬线经线二、旋转曲面的方程在空间坐标系中，设旋转曲面的母线为：
)1(
0),,(
0),,(
:
2
1
zyxF
zyxF
C
旋转直线为：
)2(,000 Z zzY yyX xxL
其中 P0(x0,y0,z0)为轴 L上一定点,X,Y,Z为旋转轴
L的方向数。
设 M1(x1,y1,z1)为母线 C上的任意点，则 M1的纬圆总可以看成是过 M1且垂直于旋转轴 L的平面与以 P0为中心,|P0M1|为半径的球面的交线。
所以过 M1的纬圆的方程为：
2
01
2
01
2
01
2
0
2
0
2
0
000
)()()()()()(
)3(0)()()(
zzyyxxzzyyxx
zzZyyYxxX
当点 M1跑遍整个母线 C时，就得到所有的纬圆，
这些纬圆就生成旋转曲面。
又由于 M1在母线上，所以又有：
)4(
0),,(
0),,(
:
1112
1111
zyxF
zyxF
C
从（ 3）（ 4）的四个等式中消去参数 x1,y1,z1,得到一个三元方程,F(x,y,z)=0
这就是以 C为母线,L为旋转轴的旋转曲面的方程。
例 1、求直线
0
1
12
zyx
绕直线 x=y=z旋转所得旋转曲面的方程。
解：设 M1(x1,y1,z1)是母线上的任意点，因为旋转轴通过原点，所以过 M1的纬圆方程是：
2
1
2
1
2
1
222
111 0)()()(
zyxzyx
zzyyxx
又由于 M1在母线上，所以又有：
0
1
12
111 zyx
即 x1=2y1,z1=1,消去 x1,y1,z1得所求旋转曲面的方程：
2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0。
三、母线在坐标面而旋转轴为坐标轴的旋转曲面：
已知 yoz面上一条曲线 C,方程为 f (y,z) = 0,曲线
C绕 z 轴旋转一周就得一个旋转曲面,
设 M1(0,y1`,z1)是 C上任意一点,则有 f( y1,z1) = 0
当 C绕 z 轴旋转而 M1随之转到 M (x,y,z)时,有
|| 122
1
yyx
zz
221 yxy
将 z1 = z,代入方程 F( y1,z1) = 0,x
o
z
y
0),(?zyf
),,0( 111 zyMMd
y o z 坐标面上的已知曲线 0),(?zyf 绕 z 轴旋转一周的 旋转曲面方程,
同理,yo z 坐标面上的已知曲线 0),(?zyf
绕 y 轴旋转一周的 旋转曲面方程 为
,0,22 zxyf
得 旋转曲面的方程,0),( 22 zyxF
即规律：
当坐标平面上的曲线 C绕此坐标平面的一个坐标旋转时，要求该旋转曲面的方程，只要将曲线 C在坐标面里的方程保留和旋转轴同名的坐标，而以其它两个坐标平方和的平方根来代替方程中的另一坐标。
例 1 直线 L 绕另一条与 L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面,两直线的交点叫圆锥面的 顶点,两直线的夹角
2
0 叫圆锥面的 半顶角,试建立顶点在坐标原点，旋转轴为 z 轴，半顶角为? 的圆锥面方程,
x
o
z
y
解 y o z 面上直线方程为
c o tyz? ),,0(
111 zyM?
),,( zyxM
圆锥面方程
c o t22 yxz
例 2,求直线 z = ay 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面方程,
z
x
y
z = ay
解,将 y 用 代入直线方程,得
22 yx
)( 22 yxaz
平方得,
z2 = a2 ( x2 + y2 )
该旋转曲面叫做 圆锥面,
其顶点在原点,
例 3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．
（ 1 ）双曲线 12
2
2
2
c
z
a
x
分别绕 x 轴和 z 轴；
绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转
12
22
2
2
c zyax
12
2
2
22
cza yx
旋转双曲面
（单叶）
（双叶）
例 4、将圆
0
)0()( 222
x
abazby
绕 Z轴旋转，求所得旋转曲面的方程。
解：所求旋转曲面的方程为：
22222 )( azbyx
即,(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)
该曲面称为圆环面。
（ 2 ）椭圆
0
1
2
2
2
2
x
c
z
a
y
绕 y 轴和 z 轴；
绕 y 轴旋转绕 z 轴旋转
12
22
2
2
c zxay
12
2
2
22
cza yx
旋转椭球面
（ 3 ）抛物线
0
2
2
x
pzy
绕 z 轴；
pzyx 222 旋转抛物面
（长形）
（短形）
第四节 二次曲面二次曲面的定义,三元二次方程相应地平面被称为 一次曲面,
讨论二次曲面性状的 平面截痕法,
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．
一,基本内容所表示的曲面称之为二次曲面．
ax2 + by2 + cz2 +dxy + exz +fyz + gx + hy + iz +j = 0
z
o
x
y
O
2? 用平面 z = k去截割 (要求 |k |? c),得椭圆
kz
c
k
b
y
a
x
2
2
2
2
2
2
1
当 |k |? c 时,|k |越大,椭圆越小 ;
当 |k | = c 时,椭圆退缩成点,
二,几种常见二次曲面,
（一） 椭球面
1? 用平面 z = 0去截割,得椭圆
0
1
2
2
2
2
z
b
y
a
x
12
2
2
2
2
2
C
z
b
y
a
x
3? 类似地,依次用平面 x = 0,平面 y = 0截割,
得椭圆,
,
0
1
2
2
2
2
x
c
z
b
y
.
0
1
2
2
2
2
y
c
z
a
x
特别,当 a=b=c时,方程 x2 + y2 + z2 = a2,表示球心在原点 o,半径为 a的球面,
（二）双曲面单叶双曲面 12
2
2
2
2
2
czbyax
（ 1）用坐标面 与曲面相截 )0(?zx o y
截得中心在原点 的椭圆,)0,0,0(O
0
12
2
2
2
z
b
y
a
x
与平面 的交线为椭圆,1zz?
当 变动时，这种椭圆的 中心 都在 轴上,
1z
z?
1
2
2
1
2
2
2
2
1
zz
c
z
b
y
a
x
（ 2）用坐标面 与曲面相截 )0(?yxoz
截得中心在原点的双曲线,
0
12
2
2
2
y
c
z
a
x
实轴与 轴相合，
虚轴与 轴相合,
x
z
1
2
2
1
2
2
2
2
1
yy
b
y
c
z
a
x
双曲线的 中心 都在 轴上,y
与平面 的交线为双曲线,1yy? )( 1 by
,)1( 221 by x实轴与 轴平行,z虚轴与 轴平行,
,)2( 221 by z实轴与 轴平行,x虚轴与 轴平行,
,)3( 1 by 截痕为一对相交于点 的直线,)0,,0( b
,
0
by
c
z
a
x
.
0
by
c
z
a
x
,)4( 1 by
截痕为一对相交于点 的直线,)0,,0( b?
,
0
by
c
z
a
x
.
0
by
c
z
a
x
（ 3）用坐标面,与曲面相截 )0(?xy o z 1xx?
均可得双曲线,
单叶双曲面图形
x
yo
z
平面 的截痕是 两对相交直线,ax
双叶双曲面 12
2
2
2
2
2
czbyax
x
yo
（三）抛物面
zqypx 22
22
（ 与 同号）p q
椭圆抛物面用截痕法讨论：
（ 1）用坐标面 与曲面相截 )0(?zx o y
截得一点，即坐标原点 )0,0,0(O
设 0,0 qp
原点也叫椭圆抛物面的 顶点,
与平面 的交线为椭圆,1zz?
1
1
2
1
2
1
22
zz
qz
y
pz
x
当 变动时，这种椭圆的 中心 都在 轴上,
1z
z
)0( 1?z
与平面 不相交,1zz? )0( 1?z
（ 2）用坐标面 与曲面相截 )0(?yxoz
0
22
y
pzx
截得抛物线与平面 的交线为抛物线,1yy?
1
2
12
2
2
yy
q
y
zpx
它的轴平行于 轴z
顶点?
q
yy
2,,0
2
1
1
（ 3）用坐标面,与曲面相截 )0(?xy o z 1xx?
均可得抛物线,
同理当 时可类似讨论,0,0 qp
z
x y
o
x y
z
o
椭圆抛物面的图形如下：
0,0 qp 0,0 qp
特殊地：当 时，方程变为qp?
zpypx 22
22
旋转抛物面)0(?p
（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）
xoz pzx 22?
1
1
22 2
zz
pzyx
与平面 的交线为圆,1zz? )0( 1?z
当 变动时，这种圆的 中心 都在 轴上,
1z
z
zqypx 22
22
（ 与 同号）p q
双曲抛物面（马鞍面）
用截痕法讨论：
设 0,0 qp
图形如下：
x
y
z
o
本章学习结束谢谢大家
