实验数据处理方法
第一部分：概率论基础
第二章
概率的基本概念
第二章
概率的基本概念
2.1 概率和统计的关系
2.1 概率和统计的关系
两者是紧密相联系的
概率论,纯数学的一个分支，从一些公理和定义出发，用演绎法
（ deduction）建立理论；
统计学,应用数学的一个分支，用归纳法（ induction）处理问题 。
例如：掷硬币的实验,
设 p为掷硬币时其正面朝上的概率，则其反面朝上的概率为 1-p；
? 如果预先知道 p的值（ =1/2），问：在 n次投掷中有 r次正面朝
上的概率是多少？ ?概率论的问题，回答 —— 二项式分布,
rnrrnr n pppnrB ?? ?? )1(),;( )!(! !
? 如果预先不知道 p的值,(可能为 1/2，可能为 1/2多一点 —— 两
个面不完全相同 )，则需要通过实验来确定 p的值：投掷 n次，
出现了 r次正面朝上的情况,p=? ?统计学的问题，回答,
nrpp ?? ?
2.1 概率和统计的关系
21 ppp ??
? 确定区间也是统计学的问题。在计算 p1和 p2时，需要知道由概率
论给出的分布函数的具体形式。
即,p的值可由试验观测推断出来。只是 p的一个估计（点估
计）等于 p? 两组试验给出的 可能不一样，因此，应该用对
p的一个区间估计来表示实验结果,
p?
1p 2p
1p? 2p?
p ?p
第二章
概率的基本概念
2.2 概率的定义
2.2 概率 (Probability)的定义
??? nnrEp )(
? ?
??
?
i
i
jiji
i
)p ( E
);p ( E)p ( E)o r Ep ( E;)p ( E
c)
b)
a)
1
0
1)(0 ?? Ep
物理学家的定义,频数极限
设在某实验中观测到了 n个事例，其中种类为 E的事例出现了 r次，则
某事例的种类为 E的概率定义为,
数学家的定义,利用集合理论（ Set Thoery）
定义 Ω是所有可能的事件 Ei的一个集合，其中 Ei是互斥的（即 它们中
的一个发生时，所有其它的事件都不发生），定义事件 Ei发生的概率
p(Ei)具有如下的性质,
?
如果 p(E)=0,则表示事件 E总不发生；
如果 p(E)=1,则表示事件 E总发生；
1)(0 ?? Ep
数学上采用 集合 空间上的 概率测度 来定义概率
集合的概念怎样同物理的概率定义对应起来？
集合 ? 测量值的全体
元素 ? 一组测量中的一次测量值
子集 ? 符合特定条件的多次测量值 (可能是
相同的一些测量值）
概率 ? 频数
2.2 概率 (Probability)的定义
第二章
概率的基本概念
2.3 随机变量、样本空间
若随机变量 X只能取有限数目的值，则称 x为离散型随机变量；其中，
X的一个取值对应着集合中的一个元素,X的一种可能值的全体对应着
集合中的一个子集,
若 pi为离散型随机变量 x取值为 xi的概率,p(x=xi)=pi，则
2.3 随机变量、样本空间
1i
i
p ??
dxxfdxxXxp )()( ????
?? ? 1)( dxxf
随机变量,
其值不能完全确定地预测的变量。
样本空间,
随机变量 x的取值空间。
离散型随机变量,
连续型随机变量,
若随机变量 x在有限取间内的取值是连续的，则称 x为连续型的随机变
量。 连续型随机变量 x的取值位于区间 [x,x+dx]的概率定义为,
其中,f(x)为概率密度函数 ?p.d.f(probability density function),满足
归一化条件
第二章
概率的基本概念
2.4 概率的性质
2.4 概率的性质
以集合理论为基础介绍概率的一些运算规则。
一、集合（ set）
集合是指一些具有相同性质的元素的全体。
集合 A的元素 (element),
属于集合 A的某一元素；
集合 A的子集 (subset),
如果集合 B的任一元素又是集合 A的元素，则称 B为 A的子集；
集合的补集（ complement）,
设 A是样本空间 Ω中的任一组元素的集合，则 A的补集定义为 Ω中所有
不属于 A的元素的集合，记为,A
A和 B的并集 (union),
属于 A或属于 B元素的集合，记为,AB
2.4 概率的性质
AB??
0AB?
A和 B的交集（ intersection）,
既属于 A又属于 B的一些元素的集合，记为,AB
如果,则称 A和 B为完备集 (Exhaustive Sets)；
如果,则称 A和 B是互斥集 (Exclusive Sets)—— 正交集。
维因图 (Venn Diagram)
A B A B A
A ABAB
2.4 概率的性质
:有两个带电粒子且至少有一个 V0的事例的集合,
A
B
AB
AB
例, PP相互作用事例的分类,
p+p?(2,4,6,…) 个带电粒子 +(0,1,2,..)个 V0粒子
定义,
A为至少有一个 V0的事例的集合 ;
B为具有两个带电粒子的事例的集合 ;
:没有 V0的事例的集合
:具有两个以上带电粒子的事例的集合
:至少有一个 V0,或有两个带电粒子,或至少有一个 V0且有两个带电
粒子的事例的集合 ;
2.4 概率的性质
()p A B
()p A B
( ) ( ) ( ) ( )p A B p A p B p A B? ? ?
1 2 1 2 3(,,, ),,, ( 1 ) NNNp A A A S S S S? ? ? ? ? ?
12
12
3
3
( ) ( )
()
nn
i i j
i i j
n
i j k
i j k
S p A S p A A
S p A A A
? ? ?
? ? ?
??
?
??
?
二、概率的加法定律 (Addition rule of probability)
定义,
p(A),集合 A中某一事件发生的概率 ;
p(B),集合 B中某一事件发生的概率 ;
,属于 A或属于 B的某一事件发生的概率 ;
,既属于 A又属于 B的某一事件发生的概率 ;
加法定律,
推广到 N个集合的情况,A1,A2,…A N,属于至少其中一个集合 Ai的某一事件
发生的概率（用 Venn图来解释） —— 约当（ Jordan）公式,
其中,
2.4 概率的性质
三、条件概率 (Conditional probability)
定义,
在事件 A已经产生的情况下，事件 B产生的概率，记为,p(B|A)
假设 A和 B是样本空间 ?的两个子集，如果我们只对 A中的元素感兴趣，
并将样本空间重定义为子集 A，在新的样本空间 A中子集 B的概率称为 B
相对于 A的条件概率。
意义,
条件概率与 A和 B的交集的关系,
P(B|A)由下式定义的
)()|()( ApABpBAp ??
2.4 概率的性质
该式的意义可由下面的 Venn图说明,
?
N
A
NA
B
NB
NC
( ) ( )
()
( | )
( | )
AB
C
C
A
C
B
NN
NN
N
N
N
N
N
N
p A p B
p A B
p B A
p A B
??
?
?
?
实验上，所有的概率都是条件概率，因为事例都是在一定的实验条件下
获取的，只是由于这些条件对所有的事例都相同，因而被认为是无关紧
要的。
( ) ( | ) ( )
( | ) ( )
CC A
A
C B
B
NN N
N N N
N N
NN
p A B p B A p A
p A B p B
? ? ? ? ?
? ? ?
Traces from a bubble chamber that was used from 1964 to 1972 for research into the smallest constituents of
matter,It was installed in "DESY",Hamburg's first ring accelerator,Inside the bubble chamber there was a tank
filled with liquid hydrogen,Tiny particles flying through the tank make the hydrogen boil,Hydrogen vaporizes
and forms small bubbles along the paths of the particles,These traces were photographed,An analysis of the
pictures yielded information about the types of the particles and their properties,(Source,DESY
Hamburg)Blasemkammerbild,(Source,DESY Hamburg)
2.4 概率的性质
K+
p K0
p
?+
?+
?- A事件
Ｂ事件
条件概率的例子,K0p散射截面
K0的产生,K++p?K0?+p ?事例数为 N
K0的探测,K0??+?- ?事件 B
感兴趣的相互作用,K0p? K0p ?事件 A
求：事件 A的概率 p(A)
只有在观测到事件 B的条件下才能确定事件 A的产生
( ) ( | ) ( )p A B p B A p A?
( ),p A B
既发生了 K0p散射又探测到了 K0衰变的概率
K++p?K0?+p
K0p?K0p
?+?-
?探测到的事例数 N1? 1() N
Np A B ?
2.4 概率的性质
p(B|A),在 K0p散射发生的条件下 K0衰变的概率
0( | ) ( )p B A B r K? ? ? ?????
其中,?：探测效率
Br(K0??+?- ),K0??+?- 的分支比
?,K0衰变的截面
1
0() ()
NpA
N Br K? ? ? ?????
K0p散射截面,
2.4 概率的性质
四、独立性，乘法定律（ Independence,Multiplication Rule）
如果事件 B的产生与事件 A的产生无关，则称 A和 B是不相关的
（ Independent），即
p(B | A) = p(B)
( ) ( | ) ( ) ( ) ( )p A B p B A p A p A p B? ? ? ? ?
不相关事件的 概率乘法定律
如果事件 A和 B是不相关的，则 A和 B都发生的概率等于 A事件发生
的概率乘以 B事件发生的概率,
多个事件的不相关性 ( ) ( ) ( ) ( ;,1,.,,,)i j i jp A A p A p A i j i j n? ? ? ?
（定义更复杂）
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( k ;,,1,.,,,)
i j k i j k
i j l i j l
mm
p A A A p A p A p A
p A A A p A p A p A
i j l i j k l n
? ? ?
??
? ? ? ? ?
A和 B的不相关性（ Independence）可以理解为上面的 Venn图
B
A
Ω
BA?
一个推论,)()|( BPABP ?
Bc B
A
NN NN N N? ??
2.4 概率的性质
不相关事件的概率 加法 定律
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
p A B p A p B p A B
p A p B p A p B
? ? ? ? ?
? ? ? ?
互斥性（正交性）不等于不相关性（独立性）
对互斥事件,
( ) ( | ) ( ) 0p A B p B A p A? ? ?
?
N
A
NA
B
NB NC＝ 0
0)|( ?ABp因为
0)()( ?? BpAp但是
2.4 概率的性质
2.4 概率的性质
A B
1
2 3
五、概率运算的几个例子,
例 1：开关网络
?：每个开关接通的概率，每个开关的接通是互不相关的，求 A,B
两端有电流通过的概率
Ei：第 i个开关接通的事件,p(Ei)= ?,i=1,2,3
有电流流过的事件,2和 3同时接通或 1接通,
E1 E2 E3 E
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
1 2 3()E E E E??
真值表 —— 布尔代数
我们感兴趣的事件（布尔代数）,
1 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 1 2 3 1 2 3
1 2 3
()
( 1 ( ) ) ( )
( ) ( )
()
E E E E E
E E E E E E
E E E E E E E
E E E
??
? ? ?
? ? ?
??
2.4 概率的性质
1 2 3
1 2 3 1 2 3
( ( ) )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
p E E E
p E p E p E p E p E p E? ? ?
利用 Venn图来理解,
E2
E1
E3 Ω
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
32
( ) ( ( ) )
( ) ( ) ( ( ) )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P E p E E E
p E p E E p E E E
p E p E p E p E p E p E
? ? ?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
?概率加法
?概率乘法
1 2 3 1 2 3( ( ) ) ( ) ( ) ( )p E E E p E p E p E?其中
包含在“多个事件不相关性”的定义中。
2.4 概率的性质
2.4 概率的性质
例 2,Cerenkov计数器的效率
9只光电倍增管环绕契伦科夫计数器的轴线排列成一圈，当有带电
粒子沿计数器轴线穿过时，每个光电倍增管都可探测到粒子所发出的契
伦科夫光。
设每只 PMT的探测效率为 ?=0.93，且每只 PMT对 契伦科夫光的探测
是相互独立的，求：契伦科夫计数器的效率 P
2.4 概率的性质
E：某只 PMT有信号输出的事件,p(E)= ?=0.93
a) 如果要求 9只 PMT都有输出,
p=(p(E))9=?9=0.52 ?概率乘法定律
1
23
()
( ) ( ) ( ( ) )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]
3 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33
p p E E E
p E p E E p E E E
p E p E p E p E E p E p E E
p E p E p E p E p E p E p E E
p E p E p E p E p E p E
? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
b) 将 9只 PMT分成 3组，每组有 3只，如果每组至少有一只有信号，则认
为该组有信号输出，最后要求三组都有信号
9 9 9.0)33( 332321 ???????? ???pppp
2.4 概率的性质
)1(2)2()1()21()1( ??? ?????? EpEpEEpp
例 3,?0的探测效率
?0??? ?
e+e- ?对产生过程
e+e-
?：发生对产生的概率,1- ?：不发生对产生的概率
E,? 发生对产生的事件,p(E)= ?,两 ?发生对产生的事件是互不相关的
a)探测到两个 ?的概率,p(2 ?)=p(E)p(E)= ?2
b)没有 ?被探测到的概率,p(0 ?)=(1- ?)2
c)只有一个 ?被探测到的概率,
E1:第一个 ?被探测到，第二个 ?没有被探测到
E2:第二个 ?被探测到，第一个 ?没有被探测到
p(E1)=p(E2)= ?(1- ?）
E1和 E2是互斥的事件：两事件同时发生的概率为零
显然,p(2?)+ p(1?)+ p(0?)=1
2.4 概率的性质
2
( 1 ) ( )
( ) ( ) ( )
2 ( 2 ) ( 1 )
p p E E
p E p E p E E
pp
?
? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ?
d)至少探测到一个 ?的概率,
2.4 概率的性质
六、边缘概率（ Marginal probability)
实验所获取的事例通常可按不同的标准进行分类，如果忽略掉某些分类标准
而只考虑在某一种分类标准下某事件出现的概率，则称这种概率为边缘概率
例：粒子的单举产额
设实验事例按 A,B两种分类标准可分为,A1,A2,….A m B1,B2,….B n，且
?? ?? ?? ni imi i BpAp 11 1)(1)(
则 Ai的边缘概率定义为
同样,Bi的边缘概率定义为
?
?
?? n
j
jii BApAp
1
)()(
?
?
?? n
j
jii ABpBp
1
)()(
B1
B2
Bn
Bn－ 1
A
2.4 概率的性质
A4 A3 A2 A1 A
0sK ? 00 ss KK ?0sK
10 8 6 4 2
B5 B4 B3 B2 B1 B
()ijp A B
11()p A B 0sK
5
11
1
( ) ( )j
j
p A p A B
?
? ?
例,pp相互作用事例的分类
p+p?(2,4,6,…) 个带电粒子 +(0,1,2,..)个 V0粒子
分类标准 A:事例中有 V0
分类标准 B:事例中带电粒子的数目
如果实验中已测出了概率,如
：具有两个带电粒子且具有１个 的概率
则边缘概率 P(A1),即有一个 而不管有几个带电粒子的事例的概率为 0sK
第二章
概率的基本概念
2.5 贝叶斯 (Bayes)定理
2.5 贝叶斯 (Bayes)定理
1
( ) 1n i
i
pB
?
??
1
( | ) ( )( | )
( | ) ( )
ii
i n
jj
j
p A B p Bp B A
p A B p B
?
?
?
( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )
( | ) ( )( | )
()
i i i i
ii
i
p A B p B A p A p A B p B
p A B p Bp B A
pA
??
??
11
( ) ( ) ( | ) ( )nn j j j
jj
p A p A B p A B p B
??
????
定理：设样本空间 ?被分成了 n个互斥的完备事件组 Bi，即
B1+B2+… +Bn= ?
若 A也是属于 ?的一个事件组，则有
证明：利用概率运算定律
１,根据条件概率的定义
２,根据边缘概率的定义
代入上式即得贝叶斯定理
2.5 贝叶斯 (Bayes)定理
1
311
1 3 1 1 1 1
3 2 3 3
1
1( | ) ( ) 2( | )
1 0 3( | ) ( )
jj
j
p A B p Bp B A
p A B p B
?
?? ? ?
? ? ? ? ??
贝叶斯定理给出了两个条件概率 p(Bi|A)和 p(A|Bi)之间的关系
贝叶斯定理的例子
三个抽屉分别装有金币和银币 B
1,两个金币
B2：一个金币和一个银币
B3:两个银币
随机地选一个抽屉并从中取出一个钱币，假定取出的是一个金币，求
同一抽屉中另一个钱币是金币的概率
A:第一次取出金币的事件，另一个钱币也是金币条件要求只能选取 B1,即要
求的是在 A发生的条件下，选择抽屉 B1的概率,p(B1|A)
在选定抽屉的情况下，取出一个金币的概率
P(A|B1)=1,p(A|B2)=0.5,p(A|B3)=0
选择某一抽屉的概率
P(B1)=p(B2)=p(B3)=1/3
由贝叶斯定理
2.5 贝叶斯 (Bayes)定理
即：如果第一次取出的是一枚金币，则 B1被选中的概率增加了一倍
P(Bi):Bi被选中的先验概率（ Prior Probability)
P(Bi|A),Bi被选中的后验概率（ Posterior Probability)
P(A|Bi):在 Bi下，事件 A的似然值（ Likelyhood)
参考书,
,概率论引论,,汪仁官，北京大学出版社
第二章习题 （答案见上一页所引书中）
? 1．一盒中有五个球（三白二红），现从中随机取两个。求两个都是白球的概率。
? 2．盒中有 4个白球,6个红球，现从中随机取 4个。求取到 2个白 2个红的概率。
? 3．掷六颗骰子，得到三对的概率是多少？
? 4,n人中至少两人有相同生日的概率是多少（假设一年 365天）？当 n至少为多少时，这个概
率大于 0.5，即从 n个人中找两个人，生日相同的机会同掷硬币接近？
? 5．四张卡片分别标着 1,2,3,4，面朝下放在桌子上。一个自称有透视能力的“人”将用他
超感觉能力说出卡片上的号数，如果他是冒充者而只是随机地猜一下，他至少猜中一个的概 率是多少？（四个全猜完在翻开卡片检查结果。）
? 6．一均匀的正四面体，一面全染红色（记为第一面），一面全然黄色（记为的第二面），一
面全然蓝色（记为的第三面），而剩下的一面（记为第四面）染红、黄、蓝三色（各占一部 分），在桌上将此四面体任意掷一次，考察和桌面接触的那一面上出现什么颜色。设 A＝红色
出现,B＝黄色出现,C＝蓝色出现。说明 A,B,C两两独立，但不是相互独立事件（即不符
合三事件相互对立的定义）。
? 7．甲、乙、丙三人向同一飞机射击。设它们的命中率分别为 0.4,0.5,0.7；又设只一人射中，
飞机坠毁的概率为 0.2，若二人射中，飞机坠毁的概率为 0.6，若三人射中，飞机必坠毁，求飞机坠毁的概率。
? 8．发报台分别以概率 0.6和 0.4发出信号,·”和“－”。由于通讯系统受到干扰，当发出信号
,·”时，收报台未必收到,·”，而是分别以概率 0.8和 0.2收到信号,·”和“－”；又若，当发出
信号为“－”时，收报台分别以概率 0.9和 0.1收到信号“－”和,·”。求当收报台收到信号,·”
时，发报台确实发出信号,·”的概率。
第一部分：概率论基础
第二章
概率的基本概念
第二章
概率的基本概念
2.1 概率和统计的关系
2.1 概率和统计的关系
两者是紧密相联系的
概率论,纯数学的一个分支，从一些公理和定义出发，用演绎法
（ deduction）建立理论；
统计学,应用数学的一个分支，用归纳法（ induction）处理问题 。
例如：掷硬币的实验,
设 p为掷硬币时其正面朝上的概率，则其反面朝上的概率为 1-p；
? 如果预先知道 p的值（ =1/2），问：在 n次投掷中有 r次正面朝
上的概率是多少？ ?概率论的问题，回答 —— 二项式分布,
rnrrnr n pppnrB ?? ?? )1(),;( )!(! !
? 如果预先不知道 p的值,(可能为 1/2，可能为 1/2多一点 —— 两
个面不完全相同 )，则需要通过实验来确定 p的值：投掷 n次，
出现了 r次正面朝上的情况,p=? ?统计学的问题，回答,
nrpp ?? ?
2.1 概率和统计的关系
21 ppp ??
? 确定区间也是统计学的问题。在计算 p1和 p2时，需要知道由概率
论给出的分布函数的具体形式。
即,p的值可由试验观测推断出来。只是 p的一个估计（点估
计）等于 p? 两组试验给出的 可能不一样，因此，应该用对
p的一个区间估计来表示实验结果,
p?
1p 2p
1p? 2p?
p ?p
第二章
概率的基本概念
2.2 概率的定义
2.2 概率 (Probability)的定义
??? nnrEp )(
? ?
??
?
i
i
jiji
i
)p ( E
);p ( E)p ( E)o r Ep ( E;)p ( E
c)
b)
a)
1
0
1)(0 ?? Ep
物理学家的定义,频数极限
设在某实验中观测到了 n个事例，其中种类为 E的事例出现了 r次，则
某事例的种类为 E的概率定义为,
数学家的定义,利用集合理论（ Set Thoery）
定义 Ω是所有可能的事件 Ei的一个集合，其中 Ei是互斥的（即 它们中
的一个发生时，所有其它的事件都不发生），定义事件 Ei发生的概率
p(Ei)具有如下的性质,
?
如果 p(E)=0,则表示事件 E总不发生；
如果 p(E)=1,则表示事件 E总发生；
1)(0 ?? Ep
数学上采用 集合 空间上的 概率测度 来定义概率
集合的概念怎样同物理的概率定义对应起来？
集合 ? 测量值的全体
元素 ? 一组测量中的一次测量值
子集 ? 符合特定条件的多次测量值 (可能是
相同的一些测量值）
概率 ? 频数
2.2 概率 (Probability)的定义
第二章
概率的基本概念
2.3 随机变量、样本空间
若随机变量 X只能取有限数目的值，则称 x为离散型随机变量；其中，
X的一个取值对应着集合中的一个元素,X的一种可能值的全体对应着
集合中的一个子集,
若 pi为离散型随机变量 x取值为 xi的概率,p(x=xi)=pi，则
2.3 随机变量、样本空间
1i
i
p ??
dxxfdxxXxp )()( ????
?? ? 1)( dxxf
随机变量,
其值不能完全确定地预测的变量。
样本空间,
随机变量 x的取值空间。
离散型随机变量,
连续型随机变量,
若随机变量 x在有限取间内的取值是连续的，则称 x为连续型的随机变
量。 连续型随机变量 x的取值位于区间 [x,x+dx]的概率定义为,
其中,f(x)为概率密度函数 ?p.d.f(probability density function),满足
归一化条件
第二章
概率的基本概念
2.4 概率的性质
2.4 概率的性质
以集合理论为基础介绍概率的一些运算规则。
一、集合（ set）
集合是指一些具有相同性质的元素的全体。
集合 A的元素 (element),
属于集合 A的某一元素；
集合 A的子集 (subset),
如果集合 B的任一元素又是集合 A的元素，则称 B为 A的子集；
集合的补集（ complement）,
设 A是样本空间 Ω中的任一组元素的集合，则 A的补集定义为 Ω中所有
不属于 A的元素的集合，记为,A
A和 B的并集 (union),
属于 A或属于 B元素的集合，记为,AB
2.4 概率的性质
AB??
0AB?
A和 B的交集（ intersection）,
既属于 A又属于 B的一些元素的集合，记为,AB
如果,则称 A和 B为完备集 (Exhaustive Sets)；
如果,则称 A和 B是互斥集 (Exclusive Sets)—— 正交集。
维因图 (Venn Diagram)
A B A B A
A ABAB
2.4 概率的性质
:有两个带电粒子且至少有一个 V0的事例的集合,
A
B
AB
AB
例, PP相互作用事例的分类,
p+p?(2,4,6,…) 个带电粒子 +(0,1,2,..)个 V0粒子
定义,
A为至少有一个 V0的事例的集合 ;
B为具有两个带电粒子的事例的集合 ;
:没有 V0的事例的集合
:具有两个以上带电粒子的事例的集合
:至少有一个 V0,或有两个带电粒子,或至少有一个 V0且有两个带电
粒子的事例的集合 ;
2.4 概率的性质
()p A B
()p A B
( ) ( ) ( ) ( )p A B p A p B p A B? ? ?
1 2 1 2 3(,,, ),,, ( 1 ) NNNp A A A S S S S? ? ? ? ? ?
12
12
3
3
( ) ( )
()
nn
i i j
i i j
n
i j k
i j k
S p A S p A A
S p A A A
? ? ?
? ? ?
??
?
??
?
二、概率的加法定律 (Addition rule of probability)
定义,
p(A),集合 A中某一事件发生的概率 ;
p(B),集合 B中某一事件发生的概率 ;
,属于 A或属于 B的某一事件发生的概率 ;
,既属于 A又属于 B的某一事件发生的概率 ;
加法定律,
推广到 N个集合的情况,A1,A2,…A N,属于至少其中一个集合 Ai的某一事件
发生的概率（用 Venn图来解释） —— 约当（ Jordan）公式,
其中,
2.4 概率的性质
三、条件概率 (Conditional probability)
定义,
在事件 A已经产生的情况下，事件 B产生的概率，记为,p(B|A)
假设 A和 B是样本空间 ?的两个子集，如果我们只对 A中的元素感兴趣，
并将样本空间重定义为子集 A，在新的样本空间 A中子集 B的概率称为 B
相对于 A的条件概率。
意义,
条件概率与 A和 B的交集的关系,
P(B|A)由下式定义的
)()|()( ApABpBAp ??
2.4 概率的性质
该式的意义可由下面的 Venn图说明,
?
N
A
NA
B
NB
NC
( ) ( )
()
( | )
( | )
AB
C
C
A
C
B
NN
NN
N
N
N
N
N
N
p A p B
p A B
p B A
p A B
??
?
?
?
实验上，所有的概率都是条件概率，因为事例都是在一定的实验条件下
获取的，只是由于这些条件对所有的事例都相同，因而被认为是无关紧
要的。
( ) ( | ) ( )
( | ) ( )
CC A
A
C B
B
NN N
N N N
N N
NN
p A B p B A p A
p A B p B
? ? ? ? ?
? ? ?
Traces from a bubble chamber that was used from 1964 to 1972 for research into the smallest constituents of
matter,It was installed in "DESY",Hamburg's first ring accelerator,Inside the bubble chamber there was a tank
filled with liquid hydrogen,Tiny particles flying through the tank make the hydrogen boil,Hydrogen vaporizes
and forms small bubbles along the paths of the particles,These traces were photographed,An analysis of the
pictures yielded information about the types of the particles and their properties,(Source,DESY
Hamburg)Blasemkammerbild,(Source,DESY Hamburg)
2.4 概率的性质
K+
p K0
p
?+
?+
?- A事件
Ｂ事件
条件概率的例子,K0p散射截面
K0的产生,K++p?K0?+p ?事例数为 N
K0的探测,K0??+?- ?事件 B
感兴趣的相互作用,K0p? K0p ?事件 A
求：事件 A的概率 p(A)
只有在观测到事件 B的条件下才能确定事件 A的产生
( ) ( | ) ( )p A B p B A p A?
( ),p A B
既发生了 K0p散射又探测到了 K0衰变的概率
K++p?K0?+p
K0p?K0p
?+?-
?探测到的事例数 N1? 1() N
Np A B ?
2.4 概率的性质
p(B|A),在 K0p散射发生的条件下 K0衰变的概率
0( | ) ( )p B A B r K? ? ? ?????
其中,?：探测效率
Br(K0??+?- ),K0??+?- 的分支比
?,K0衰变的截面
1
0() ()
NpA
N Br K? ? ? ?????
K0p散射截面,
2.4 概率的性质
四、独立性，乘法定律（ Independence,Multiplication Rule）
如果事件 B的产生与事件 A的产生无关，则称 A和 B是不相关的
（ Independent），即
p(B | A) = p(B)
( ) ( | ) ( ) ( ) ( )p A B p B A p A p A p B? ? ? ? ?
不相关事件的 概率乘法定律
如果事件 A和 B是不相关的，则 A和 B都发生的概率等于 A事件发生
的概率乘以 B事件发生的概率,
多个事件的不相关性 ( ) ( ) ( ) ( ;,1,.,,,)i j i jp A A p A p A i j i j n? ? ? ?
（定义更复杂）
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( k ;,,1,.,,,)
i j k i j k
i j l i j l
mm
p A A A p A p A p A
p A A A p A p A p A
i j l i j k l n
? ? ?
??
? ? ? ? ?
A和 B的不相关性（ Independence）可以理解为上面的 Venn图
B
A
Ω
BA?
一个推论,)()|( BPABP ?
Bc B
A
NN NN N N? ??
2.4 概率的性质
不相关事件的概率 加法 定律
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
p A B p A p B p A B
p A p B p A p B
? ? ? ? ?
? ? ? ?
互斥性（正交性）不等于不相关性（独立性）
对互斥事件,
( ) ( | ) ( ) 0p A B p B A p A? ? ?
?
N
A
NA
B
NB NC＝ 0
0)|( ?ABp因为
0)()( ?? BpAp但是
2.4 概率的性质
2.4 概率的性质
A B
1
2 3
五、概率运算的几个例子,
例 1：开关网络
?：每个开关接通的概率，每个开关的接通是互不相关的，求 A,B
两端有电流通过的概率
Ei：第 i个开关接通的事件,p(Ei)= ?,i=1,2,3
有电流流过的事件,2和 3同时接通或 1接通,
E1 E2 E3 E
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
1 2 3()E E E E??
真值表 —— 布尔代数
我们感兴趣的事件（布尔代数）,
1 1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 1 2 3 1 2 3
1 2 3
()
( 1 ( ) ) ( )
( ) ( )
()
E E E E E
E E E E E E
E E E E E E E
E E E
??
? ? ?
? ? ?
??
2.4 概率的性质
1 2 3
1 2 3 1 2 3
( ( ) )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
p E E E
p E p E p E p E p E p E? ? ?
利用 Venn图来理解,
E2
E1
E3 Ω
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
32
( ) ( ( ) )
( ) ( ) ( ( ) )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P E p E E E
p E p E E p E E E
p E p E p E p E p E p E
? ? ?
?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
?概率加法
?概率乘法
1 2 3 1 2 3( ( ) ) ( ) ( ) ( )p E E E p E p E p E?其中
包含在“多个事件不相关性”的定义中。
2.4 概率的性质
2.4 概率的性质
例 2,Cerenkov计数器的效率
9只光电倍增管环绕契伦科夫计数器的轴线排列成一圈，当有带电
粒子沿计数器轴线穿过时，每个光电倍增管都可探测到粒子所发出的契
伦科夫光。
设每只 PMT的探测效率为 ?=0.93，且每只 PMT对 契伦科夫光的探测
是相互独立的，求：契伦科夫计数器的效率 P
2.4 概率的性质
E：某只 PMT有信号输出的事件,p(E)= ?=0.93
a) 如果要求 9只 PMT都有输出,
p=(p(E))9=?9=0.52 ?概率乘法定律
1
23
()
( ) ( ) ( ( ) )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]
3 ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33
p p E E E
p E p E E p E E E
p E p E p E p E E p E p E E
p E p E p E p E p E p E p E E
p E p E p E p E p E p E
? ? ?
?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
b) 将 9只 PMT分成 3组，每组有 3只，如果每组至少有一只有信号，则认
为该组有信号输出，最后要求三组都有信号
9 9 9.0)33( 332321 ???????? ???pppp
2.4 概率的性质
)1(2)2()1()21()1( ??? ?????? EpEpEEpp
例 3,?0的探测效率
?0??? ?
e+e- ?对产生过程
e+e-
?：发生对产生的概率,1- ?：不发生对产生的概率
E,? 发生对产生的事件,p(E)= ?,两 ?发生对产生的事件是互不相关的
a)探测到两个 ?的概率,p(2 ?)=p(E)p(E)= ?2
b)没有 ?被探测到的概率,p(0 ?)=(1- ?)2
c)只有一个 ?被探测到的概率,
E1:第一个 ?被探测到，第二个 ?没有被探测到
E2:第二个 ?被探测到，第一个 ?没有被探测到
p(E1)=p(E2)= ?(1- ?）
E1和 E2是互斥的事件：两事件同时发生的概率为零
显然,p(2?)+ p(1?)+ p(0?)=1
2.4 概率的性质
2
( 1 ) ( )
( ) ( ) ( )
2 ( 2 ) ( 1 )
p p E E
p E p E p E E
pp
?
? ? ? ?
??
? ? ?
? ? ? ?
d)至少探测到一个 ?的概率,
2.4 概率的性质
六、边缘概率（ Marginal probability)
实验所获取的事例通常可按不同的标准进行分类，如果忽略掉某些分类标准
而只考虑在某一种分类标准下某事件出现的概率，则称这种概率为边缘概率
例：粒子的单举产额
设实验事例按 A,B两种分类标准可分为,A1,A2,….A m B1,B2,….B n，且
?? ?? ?? ni imi i BpAp 11 1)(1)(
则 Ai的边缘概率定义为
同样,Bi的边缘概率定义为
?
?
?? n
j
jii BApAp
1
)()(
?
?
?? n
j
jii ABpBp
1
)()(
B1
B2
Bn
Bn－ 1
A
2.4 概率的性质
A4 A3 A2 A1 A
0sK ? 00 ss KK ?0sK
10 8 6 4 2
B5 B4 B3 B2 B1 B
()ijp A B
11()p A B 0sK
5
11
1
( ) ( )j
j
p A p A B
?
? ?
例,pp相互作用事例的分类
p+p?(2,4,6,…) 个带电粒子 +(0,1,2,..)个 V0粒子
分类标准 A:事例中有 V0
分类标准 B:事例中带电粒子的数目
如果实验中已测出了概率,如
：具有两个带电粒子且具有１个 的概率
则边缘概率 P(A1),即有一个 而不管有几个带电粒子的事例的概率为 0sK
第二章
概率的基本概念
2.5 贝叶斯 (Bayes)定理
2.5 贝叶斯 (Bayes)定理
1
( ) 1n i
i
pB
?
??
1
( | ) ( )( | )
( | ) ( )
ii
i n
jj
j
p A B p Bp B A
p A B p B
?
?
?
( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )
( | ) ( )( | )
()
i i i i
ii
i
p A B p B A p A p A B p B
p A B p Bp B A
pA
??
??
11
( ) ( ) ( | ) ( )nn j j j
jj
p A p A B p A B p B
??
????
定理：设样本空间 ?被分成了 n个互斥的完备事件组 Bi，即
B1+B2+… +Bn= ?
若 A也是属于 ?的一个事件组，则有
证明：利用概率运算定律
１,根据条件概率的定义
２,根据边缘概率的定义
代入上式即得贝叶斯定理
2.5 贝叶斯 (Bayes)定理
1
311
1 3 1 1 1 1
3 2 3 3
1
1( | ) ( ) 2( | )
1 0 3( | ) ( )
jj
j
p A B p Bp B A
p A B p B
?
?? ? ?
? ? ? ? ??
贝叶斯定理给出了两个条件概率 p(Bi|A)和 p(A|Bi)之间的关系
贝叶斯定理的例子
三个抽屉分别装有金币和银币 B
1,两个金币
B2：一个金币和一个银币
B3:两个银币
随机地选一个抽屉并从中取出一个钱币，假定取出的是一个金币，求
同一抽屉中另一个钱币是金币的概率
A:第一次取出金币的事件，另一个钱币也是金币条件要求只能选取 B1,即要
求的是在 A发生的条件下，选择抽屉 B1的概率,p(B1|A)
在选定抽屉的情况下，取出一个金币的概率
P(A|B1)=1,p(A|B2)=0.5,p(A|B3)=0
选择某一抽屉的概率
P(B1)=p(B2)=p(B3)=1/3
由贝叶斯定理
2.5 贝叶斯 (Bayes)定理
即：如果第一次取出的是一枚金币，则 B1被选中的概率增加了一倍
P(Bi):Bi被选中的先验概率（ Prior Probability)
P(Bi|A),Bi被选中的后验概率（ Posterior Probability)
P(A|Bi):在 Bi下，事件 A的似然值（ Likelyhood)
参考书,
,概率论引论,,汪仁官，北京大学出版社
第二章习题 （答案见上一页所引书中）
? 1．一盒中有五个球（三白二红），现从中随机取两个。求两个都是白球的概率。
? 2．盒中有 4个白球,6个红球，现从中随机取 4个。求取到 2个白 2个红的概率。
? 3．掷六颗骰子，得到三对的概率是多少？
? 4,n人中至少两人有相同生日的概率是多少（假设一年 365天）？当 n至少为多少时，这个概
率大于 0.5，即从 n个人中找两个人，生日相同的机会同掷硬币接近？
? 5．四张卡片分别标着 1,2,3,4，面朝下放在桌子上。一个自称有透视能力的“人”将用他
超感觉能力说出卡片上的号数，如果他是冒充者而只是随机地猜一下，他至少猜中一个的概 率是多少？（四个全猜完在翻开卡片检查结果。）
? 6．一均匀的正四面体，一面全染红色（记为第一面），一面全然黄色（记为的第二面），一
面全然蓝色（记为的第三面），而剩下的一面（记为第四面）染红、黄、蓝三色（各占一部 分），在桌上将此四面体任意掷一次，考察和桌面接触的那一面上出现什么颜色。设 A＝红色
出现,B＝黄色出现,C＝蓝色出现。说明 A,B,C两两独立，但不是相互独立事件（即不符
合三事件相互对立的定义）。
? 7．甲、乙、丙三人向同一飞机射击。设它们的命中率分别为 0.4,0.5,0.7；又设只一人射中，
飞机坠毁的概率为 0.2，若二人射中，飞机坠毁的概率为 0.6，若三人射中，飞机必坠毁，求飞机坠毁的概率。
? 8．发报台分别以概率 0.6和 0.4发出信号,·”和“－”。由于通讯系统受到干扰，当发出信号
,·”时，收报台未必收到,·”，而是分别以概率 0.8和 0.2收到信号,·”和“－”；又若，当发出
信号为“－”时，收报台分别以概率 0.9和 0.1收到信号“－”和,·”。求当收报台收到信号,·”
时，发报台确实发出信号,·”的概率。
