实验数据处理方法
第三部分：统计学方法
第十四章 假设检验
(Hypothesis Testing)
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
一, 假设检验的基本概念
二, 假设检验的一般方法
三, 假设检验的一个例子,Li－ Ma显著性（ Significance）
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
一, 假设检验的基本概念
1,什么是假设检验
实验的目的：验证一个科学论断的正确性
假设检验：利用概率和统计的语言，根据实验的结果来验证一个理论模
型是否可接受。
统计假设：待检验的理论模型
例,Ξ 0粒子的衰变。
实验结果：测量衰变时间求 Ξ 0粒子的平均寿命 τ 。
理论模型,ΔI=1/2 规则,Ξ 0的寿命是 Ξ - 的两倍,
Ξ - 的寿命 ? Ξ 0的寿命 τ 0
问题,τ ＝ τ 0？
由于 τ 有测量误差，对该问题的回答,τ=τ 0概率是多少？
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
2,假设检验的分类
（ 1）参数检验：如果欲检验的统计假设只包括某些参数的特定值,
（ 2）非参数检验：被观测的随机变量的分布是否符合一个特定的
原假设：欲检验的统计假设，如
如,τ ＝ τ 0？
函数形式？两个给定的实验分布是否具有相同
分布形式？ ……
3,原假设和备择假设（ Null Hypothesis,Alternative Hypothesis）
H0,τ=τ0
备择假设：实验结果有可能支持原假设，也可能支持别的假设而拒
绝原假设，与原假设不同的其它假设称为备择假设，如
H1,τ ≠ τ 0
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
一般情况下，是否接收原假设依赖于与备择假设的比较结果。
简单假设：假设中参数的值是一常数，如
4,简单假设和复合假设（ Simple Hypothesis,Composite Hypothesis）
H0,τ=τ0
复合假设：假设中的某一参数的值不是完全确定的，如
H,τ ≠ τ 0, H1,τ ≥ τ 0
如何选择原假设和备择假设，要根据所要解决的实际问题决定
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
二, 假设检验的一般方法
随机变量 x
参数检验
观测结果：容量为 n的样本,（ x1,x2,…,xn)
定义通过观测结果来接收原假设或拒绝原假设的标准
p.d.f.,f（ x,θ）,θ为未知参量
检验 θ 是否取某一值
原假设 H0,θ =θ 0
备择假设 H1,θ =θ 1
检验统计量,t = t(x1,x2,…,xn)
t 的定义域,ω
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
即：若 t 的观测量 tobs,
f (t |Ho),H0为真时,t 的 p.d.f,
α：显著性水平（ Significance Level）,tc：临界值
f (t |H1),H1为真时,t 的 p.d.f,
R,ω中的子域
α,t 落入 R中的概率。 0≤α≤1（ H0为真时）
???? R dttfRt )H|()H|P( 00?
R,H0 的拒绝域
ω - R,H0 的接收域
否则，接收 H0
f (t |Ho)
ω - R R
tc t
落入 R，则拒绝 H0
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
第一类错误（弃真错误）：当 H0为真时,tobs有 α的概率落入 R
? α应尽可能地小
? ????? R dttfRt ??? )H|()H|P( 11
1-β,H0 对 H0的检验势
当 tobs> tc时,H0被拒绝，而实验上 H0为真
I类错误的概率,
?? R dttf )H|( 0?
第二类错误（取伪错误）,H0不为真，但却接收了 H0
II类错误的概率,
????? R dttfRt )H|()H|P(1 11?
f (t |Ho)
1 - α R
tc t
α
1-β大,II类错误的概率小
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
假设检验的方法,
? α应尽可能地小
设 x的 p.d.f.,
1,选择合适的检验统计量 t
?? R dttf )H|( 0?
标准,α尽可能地小,1-β尽可能大。
三, 复合假设的检验,似然比（ Likelihood Ratio）
),,,( 21 n???? ?? ?
f (t |H1)
β
tc t
1-β
ω,Ω的子空间，即
2,选择适当的临界值 tc
)|( ??tf, x样本,(x1,x2,…,xn)
??：? 的取值空间
?? 的分量中只有一个受到某种约束
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
原假设
?
?
? n
i i
xf
1
)|( ??L
?? ??:H0
备择假设 ?? ????:H 1
设 )(??L, L 在 Ω中的极大值
)(??L, 在 H0为真时,L 在 ω中的极大值
定义,)( )(?? ??LL ??, 似然比（ Likelihood Ratio）
不可能比 大 )(??? L )(??L 10 ??? ?
1~? )(~)( ??? LL ? ?H0 为真的可能性较大
0~? )()( ??? ?? LL ? ?H0 为真的可能性较小
λ可作为原假设 H0的检验统计量 ?
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
对 H0的检验
?? ?? ??0 0 )H|( dgL, L 在 Ω中的极大值
y=y(λ)
中当 H0 为真时有 γ个参数取固定值，则
当样本容量 n很大时，统计量 -2lnλ趋近于自由度为 γ的 χ2分布
?求在给定的显著性水平 α 下,λ 的临界值
λ α,
g(λ| H0)：在 H0 为真时,λ的 p.d.f,
如果 g(λ| H0)的函数形式未知,
? h (y | H0)
?? ?? )( )0( 00 0 )H|()H|( ?? ?? ??? yy dyhdgL
y(λα) → λα
一般情况下,g(λ| H0)很难找到 ? 采用近似方法,
),,,( 21 k???? ?? ?设
? χ2(γ)分布求 λ α
令 ?? ?? ????0 2 ),( dL?? ln2?? ?λ α
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
例,γ点源寻找中的 Li-Ma显著性
问题：来自某一天体方向的事例数的超出是 γ点源信号还是背景
Non：向源事例数
未知量,γ事例数 Ns，源方向的背景事例数 NB
涨落，如果是信号，如何用统计学的方法描述这种超出？
实验测量,
背景事例：强子和核引起的簇射，是各向同性的,
Noff：离源事例数
ton：向源测量时间
toff：离源测量时间
可用似然比检验解决上述问题。
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
原假设
备择假设 0:H 1 ?sN
Non,Noff服从什么分布？
假定：事例率为常数，则 Non,Noff服从 Possion分布
令 L=ton / toff
如果 H0 为真,Ns=0,
??? ?? eNNP N!1),( μ：平均值
NS,NB的估计值,
o f fono f fo f fB Ntt
NN ?????
o f fonBonS NNNNN ????? ??
)(1? o f fonon
o f fon
o f fonB NNttt NNN ??????? ??
Non和 Noff的平均值,
（ 1） H0 为真时,Non全为本底事例。
0:H 0 ?sN
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
参数空间,NB,x轴,NS,y轴
H0为真时，有一个参数取定值：自由度为 1
（ 2） H1 为真时：,NS≠0
)(1? 0 o f fonon
o f fon
o f fonon NNt
tt
NNN ?
????
??
?
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)(1 1? 0 o f fono f f
o f fon
o f fono f f NNt
tt
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????
??
?
onBSon NNNN ??? ??1
o ffo ff NN ?1
H0, NS=0, ω= x轴
H1, NS≠0, Ω=NS >0,NB≥0
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
)()( o f fon NPNP ??L
000 !1)(,onon NNon
onon
eNNNPH ??
似然函数,
由于 Non和 Noff 是独立的随机变量，故一次实验获得测量量 Non和 Noff
概率为
00!1)( o f fo f f NNo f f
o f fo f f
eNNNP ??
?)|,( 0HNN o f fonL
onon NNon
onon
eNNNPH ?? !1)(:1
o f fo f f NNo f f
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第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
似然比,
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0
L
L
如果 Non,Noff 不是很小,-2 lnλ ? χ2(1)
χ2分布的定义：如果 χ? N(μ,σ2)
? χ2
,x 偏离平均值 μ多少标准偏差 u
u ～ -2 lnλ
∴ 在 H0假设为真时,ln 2- ??S =观测结果偏离 H0多少个
标准偏差。
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
? ?
2
1
1ln
1
ln2
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NN
N
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?
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?李 -马显著性 (Li-Ma significance)
第三部分：统计学方法
第十四章 假设检验
(Hypothesis Testing)
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
一, 假设检验的基本概念
二, 假设检验的一般方法
三, 假设检验的一个例子,Li－ Ma显著性（ Significance）
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
一, 假设检验的基本概念
1,什么是假设检验
实验的目的：验证一个科学论断的正确性
假设检验：利用概率和统计的语言，根据实验的结果来验证一个理论模
型是否可接受。
统计假设：待检验的理论模型
例,Ξ 0粒子的衰变。
实验结果：测量衰变时间求 Ξ 0粒子的平均寿命 τ 。
理论模型,ΔI=1/2 规则,Ξ 0的寿命是 Ξ - 的两倍,
Ξ - 的寿命 ? Ξ 0的寿命 τ 0
问题,τ ＝ τ 0？
由于 τ 有测量误差，对该问题的回答,τ=τ 0概率是多少？
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
2,假设检验的分类
（ 1）参数检验：如果欲检验的统计假设只包括某些参数的特定值,
（ 2）非参数检验：被观测的随机变量的分布是否符合一个特定的
原假设：欲检验的统计假设，如
如,τ ＝ τ 0？
函数形式？两个给定的实验分布是否具有相同
分布形式？ ……
3,原假设和备择假设（ Null Hypothesis,Alternative Hypothesis）
H0,τ=τ0
备择假设：实验结果有可能支持原假设，也可能支持别的假设而拒
绝原假设，与原假设不同的其它假设称为备择假设，如
H1,τ ≠ τ 0
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
一般情况下，是否接收原假设依赖于与备择假设的比较结果。
简单假设：假设中参数的值是一常数，如
4,简单假设和复合假设（ Simple Hypothesis,Composite Hypothesis）
H0,τ=τ0
复合假设：假设中的某一参数的值不是完全确定的，如
H,τ ≠ τ 0, H1,τ ≥ τ 0
如何选择原假设和备择假设，要根据所要解决的实际问题决定
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
二, 假设检验的一般方法
随机变量 x
参数检验
观测结果：容量为 n的样本,（ x1,x2,…,xn)
定义通过观测结果来接收原假设或拒绝原假设的标准
p.d.f.,f（ x,θ）,θ为未知参量
检验 θ 是否取某一值
原假设 H0,θ =θ 0
备择假设 H1,θ =θ 1
检验统计量,t = t(x1,x2,…,xn)
t 的定义域,ω
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
即：若 t 的观测量 tobs,
f (t |Ho),H0为真时,t 的 p.d.f,
α：显著性水平（ Significance Level）,tc：临界值
f (t |H1),H1为真时,t 的 p.d.f,
R,ω中的子域
α,t 落入 R中的概率。 0≤α≤1（ H0为真时）
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R,H0 的拒绝域
ω - R,H0 的接收域
否则，接收 H0
f (t |Ho)
ω - R R
tc t
落入 R，则拒绝 H0
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
第一类错误（弃真错误）：当 H0为真时,tobs有 α的概率落入 R
? α应尽可能地小
? ????? R dttfRt ??? )H|()H|P( 11
1-β,H0 对 H0的检验势
当 tobs> tc时,H0被拒绝，而实验上 H0为真
I类错误的概率,
?? R dttf )H|( 0?
第二类错误（取伪错误）,H0不为真，但却接收了 H0
II类错误的概率,
????? R dttfRt )H|()H|P(1 11?
f (t |Ho)
1 - α R
tc t
α
1-β大,II类错误的概率小
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
假设检验的方法,
? α应尽可能地小
设 x的 p.d.f.,
1,选择合适的检验统计量 t
?? R dttf )H|( 0?
标准,α尽可能地小,1-β尽可能大。
三, 复合假设的检验,似然比（ Likelihood Ratio）
),,,( 21 n???? ?? ?
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1-β
ω,Ω的子空间，即
2,选择适当的临界值 tc
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第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
原假设
?
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备择假设 ?? ????:H 1
设 )(??L, L 在 Ω中的极大值
)(??L, 在 H0为真时,L 在 ω中的极大值
定义,)( )(?? ??LL ??, 似然比（ Likelihood Ratio）
不可能比 大 )(??? L )(??L 10 ??? ?
1~? )(~)( ??? LL ? ?H0 为真的可能性较大
0~? )()( ??? ?? LL ? ?H0 为真的可能性较小
λ可作为原假设 H0的检验统计量 ?
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
对 H0的检验
?? ?? ??0 0 )H|( dgL, L 在 Ω中的极大值
y=y(λ)
中当 H0 为真时有 γ个参数取固定值，则
当样本容量 n很大时，统计量 -2lnλ趋近于自由度为 γ的 χ2分布
?求在给定的显著性水平 α 下,λ 的临界值
λ α,
g(λ| H0)：在 H0 为真时,λ的 p.d.f,
如果 g(λ| H0)的函数形式未知,
? h (y | H0)
?? ?? )( )0( 00 0 )H|()H|( ?? ?? ??? yy dyhdgL
y(λα) → λα
一般情况下,g(λ| H0)很难找到 ? 采用近似方法,
),,,( 21 k???? ?? ?设
? χ2(γ)分布求 λ α
令 ?? ?? ????0 2 ),( dL?? ln2?? ?λ α
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
例,γ点源寻找中的 Li-Ma显著性
问题：来自某一天体方向的事例数的超出是 γ点源信号还是背景
Non：向源事例数
未知量,γ事例数 Ns，源方向的背景事例数 NB
涨落，如果是信号，如何用统计学的方法描述这种超出？
实验测量,
背景事例：强子和核引起的簇射，是各向同性的,
Noff：离源事例数
ton：向源测量时间
toff：离源测量时间
可用似然比检验解决上述问题。
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
原假设
备择假设 0:H 1 ?sN
Non,Noff服从什么分布？
假定：事例率为常数，则 Non,Noff服从 Possion分布
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0:H 0 ?sN
第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
参数空间,NB,x轴,NS,y轴
H0为真时，有一个参数取定值：自由度为 1
（ 2） H1 为真时：,NS≠0
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第十三章 假设检验
(Hypothesis Testing)
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由于 Non和 Noff 是独立的随机变量，故一次实验获得测量量 Non和 Noff
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第十三章 假设检验
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如果 Non,Noff 不是很小,-2 lnλ ? χ2(1)
χ2分布的定义：如果 χ? N(μ,σ2)
? χ2
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∴ 在 H0假设为真时,ln 2- ??S =观测结果偏离 H0多少个
标准偏差。
第十三章 假设检验
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