第五章 观测误差的基本知识
西安理工大学工程管理系 屈漫利
Project Management Department of
XI’an University of Technology
Qu Manli
2005年 1月 22日
? 测量误差概述
? 偶然误差特性
? 衡量精度的标准
? 误差传播定律
? 等精度观测的平差
不同精度观测的平差?
§ 5.1 测量误差概述
一、测量与观测值
二、测量误差及其来源
1.测量误差定义
测量中的被观测量，客观上都存在着一个
真实值,简称真值。对该量进行观测得到观
测值。
观测值与真值之差，称为真误差。
△ = l - X
真误差＝观测值－真值
仪器设备不尽完善
人的感官不稳定
自然环境的影响
2.误差来源
误差分类
一、粗差
二、系统误差
三、偶然误差
§ 5.2 测量误差的种类
一、偶然误差的四个特性
举例：
a
b
c
△ i=ai+bi+ci-180°
（ i=1,2,·····358）
§ 5.3 偶然误差的特性
负 误 差 正 误 差
误差区间
△ d
个数 k
相对个数
k / n
个数 k
相对个数
k / n
0 ″,0 ~ 0 ″,2
0 ″,2 ~ 0 ″,4
0 ″,4 ~ 0 ″,6
0 ″,6 ~ 0 ″,8
0 ″,8 ~ 1 ″,0
1 ″,0 ~ 1 ″,2
1 ″,2 ~ 1 ″,4
1 ″,4 ~ 1 ″,6
1 ″,6 ~ 以上
45
40
33
23
17
13
6
4
0
0,12 6
0,1 12
0,09 2
0,06 4
0,04 7
0,03 6
0,01 7
0,01 1
0,00 0
46
41
33
21
16
13
5
2
0
0,12 8
0,1 15
0,09 2
0,05 9
0,04 5
0,03 6
0,01 4
0,00 6
0,00 0
总 和 181 0.505
177 0, 4 9 5
结 论
1.在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定
的限度；
2.绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；
3.绝对值相等的正负误差出现的机会相等；
4.偶然误差的算术平均值趋近于零，即
? ? 021 ?????????
???? n
linnlin
n
n
n
?
二、误差概率分布曲线
三、分析标准差 σ
1,σ与观测误差△及偶然误差概率密度 f(△ )的关系
? ? 2
2
2
2
1 ?
??
??
?
?
?? ef
2,σ 与误差分布曲线拐点的关系
－△
y=f(△ )
y
-? +?
3.标准差 σ 的概率值 P（ － σ ＜△ ＜＋ σ ）
+△－△
y=f(△ )
y
-? +?
§ 5.4 衡量精度的标准
一、用绝对误差来衡量精度
1,方差和中误差
方差 ? ?
nD n
???
??
lim
中误差（用 m表示）就是标准差 σ
标准差 σ 的计算公式
? ?
nD n
????
??
lim?
中误差的估算值的计算公式
? ?
n
m ????
2,平均误差
nn
??
??
lim?
3,极限误差（容许误差）
m容许 =3｜ m ｜ ~ 2｜ m ｜
m容许 的概率含义
二、用相对误差来衡量精度
ND
mk 1??
§ 5.5 误差传播定律
一、倍乘
二、和或差
三、一般函数
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
n
n
z mx
fm
x
fm
x
fm
???
?
???
?
?
???
???
?
???
?
?
??
???
?
???
?
?
??? ??
§ 5.6 等精度观测的平差
一、求最可靠值（最或是值）
? ?
n
l
n
lllx n ????? ??21
二、评定精度
1,求观测值的中误差
? ?
nm
????△ i= li－ X
用最或是值误差求观测值的中误差
vi= li- x
用真误差求观测值的中误差
? ?
? ? n
m
nn
vv
M x ??
?
??
1
2,求最可靠值中误差
§ 5.6 不等精度观测的平差
例：
A B
C
S=4k
m S=2km
S=2.5k
m
E
已知,HA,HB,HC, 求,HE
一、权（用 p 表示）
权是表示观测值可靠程度的一个相对性数值
权的特性
权愈大表示观测值愈可靠
权是相对数值，故单独一个值无意义
权始终取正号
权可以用一数乘除其意义不变
怎样定权
取中误差定权
2
i
i mp
??
从实际出发
i
i Lp
??
测角取测回数
ii np ?? ?
二、求不同精度观测值的最可靠值 (最或是值 )
—— 加权算术平均值
加权算术平均值
? ?
? ?p
pl
ppp
lplplpx
n
nn ?
???
????
??
??
21
2211
三、最可靠值（最或是值）的精度评定
? ?? ?
p
pl
ppp
lplplpx
n
nn ???? ???? ?? ??
21
2211
（ 一 ） 最或是值的中误差
? ?pM x
???加权 平均值的中误差
（ 二 ） 单位权观测值中误差 μ
n
p ][ ?????
? ?
1?
??
n
p v v
?
用观测值的最或是值误差来计算
单位权中误差的公式：
? ?
? ?
? ?? ?1????? np
p v v
p
M x ?
用最或是值误差
来计算不同精度观测值最或是值
中误差公式：
西安理工大学工程管理系 屈漫利
Project Management Department of
XI’an University of Technology
Qu Manli
2005年 1月 22日
? 测量误差概述
? 偶然误差特性
? 衡量精度的标准
? 误差传播定律
? 等精度观测的平差
不同精度观测的平差?
§ 5.1 测量误差概述
一、测量与观测值
二、测量误差及其来源
1.测量误差定义
测量中的被观测量，客观上都存在着一个
真实值,简称真值。对该量进行观测得到观
测值。
观测值与真值之差，称为真误差。
△ = l - X
真误差＝观测值－真值
仪器设备不尽完善
人的感官不稳定
自然环境的影响
2.误差来源
误差分类
一、粗差
二、系统误差
三、偶然误差
§ 5.2 测量误差的种类
一、偶然误差的四个特性
举例：
a
b
c
△ i=ai+bi+ci-180°
（ i=1,2,·····358）
§ 5.3 偶然误差的特性
负 误 差 正 误 差
误差区间
△ d
个数 k
相对个数
k / n
个数 k
相对个数
k / n
0 ″,0 ~ 0 ″,2
0 ″,2 ~ 0 ″,4
0 ″,4 ~ 0 ″,6
0 ″,6 ~ 0 ″,8
0 ″,8 ~ 1 ″,0
1 ″,0 ~ 1 ″,2
1 ″,2 ~ 1 ″,4
1 ″,4 ~ 1 ″,6
1 ″,6 ~ 以上
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13
6
4
0
0,12 6
0,1 12
0,09 2
0,06 4
0,04 7
0,03 6
0,01 7
0,01 1
0,00 0
46
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33
21
16
13
5
2
0
0,12 8
0,1 15
0,09 2
0,05 9
0,04 5
0,03 6
0,01 4
0,00 6
0,00 0
总 和 181 0.505
177 0, 4 9 5
结 论
1.在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定
的限度；
2.绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；
3.绝对值相等的正负误差出现的机会相等；
4.偶然误差的算术平均值趋近于零，即
? ? 021 ?????????
???? n
linnlin
n
n
n
?
二、误差概率分布曲线
三、分析标准差 σ
1,σ与观测误差△及偶然误差概率密度 f(△ )的关系
? ? 2
2
2
2
1 ?
??
??
?
?
?? ef
2,σ 与误差分布曲线拐点的关系
－△
y=f(△ )
y
-? +?
3.标准差 σ 的概率值 P（ － σ ＜△ ＜＋ σ ）
+△－△
y=f(△ )
y
-? +?
§ 5.4 衡量精度的标准
一、用绝对误差来衡量精度
1,方差和中误差
方差 ? ?
nD n
???
??
lim
中误差（用 m表示）就是标准差 σ
标准差 σ 的计算公式
? ?
nD n
????
??
lim?
中误差的估算值的计算公式
? ?
n
m ????
2,平均误差
nn
??
??
lim?
3,极限误差（容许误差）
m容许 =3｜ m ｜ ~ 2｜ m ｜
m容许 的概率含义
二、用相对误差来衡量精度
ND
mk 1??
§ 5.5 误差传播定律
一、倍乘
二、和或差
三、一般函数
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
n
n
z mx
fm
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?
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§ 5.6 等精度观测的平差
一、求最可靠值（最或是值）
? ?
n
l
n
lllx n ????? ??21
二、评定精度
1,求观测值的中误差
? ?
nm
????△ i= li－ X
用最或是值误差求观测值的中误差
vi= li- x
用真误差求观测值的中误差
? ?
? ? n
m
nn
vv
M x ??
?
??
1
2,求最可靠值中误差
§ 5.6 不等精度观测的平差
例：
A B
C
S=4k
m S=2km
S=2.5k
m
E
已知,HA,HB,HC, 求,HE
一、权（用 p 表示）
权是表示观测值可靠程度的一个相对性数值
权的特性
权愈大表示观测值愈可靠
权是相对数值，故单独一个值无意义
权始终取正号
权可以用一数乘除其意义不变
怎样定权
取中误差定权
2
i
i mp
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从实际出发
i
i Lp
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测角取测回数
ii np ?? ?
二、求不同精度观测值的最可靠值 (最或是值 )
—— 加权算术平均值
加权算术平均值
? ?
? ?p
pl
ppp
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n
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???
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??
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三、最可靠值（最或是值）的精度评定
? ?? ?
p
pl
ppp
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n
nn ???? ???? ?? ??
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（ 一 ） 最或是值的中误差
? ?pM x
???加权 平均值的中误差
（ 二 ） 单位权观测值中误差 μ
n
p ][ ?????
? ?
1?
??
n
p v v
?
用观测值的最或是值误差来计算
单位权中误差的公式：
? ?
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? ?? ?1????? np
p v v
p
M x ?
用最或是值误差
来计算不同精度观测值最或是值
中误差公式：
