悬索桥结构计算理论
悬索桥结构计算理论
主要内容
? 概 述
? 悬索桥的近似分析
? 悬索桥主塔的计算
? 悬索桥成桥状态和施工状态的精
确计算
1.概述
1.1 悬索桥的受力特征
悬索桥是由主缆, 加劲梁, 主塔, 鞍座, 锚碇, 吊索等构件
构成的柔性悬吊体系, 其主要构成如 下 图所示 。 成桥时,
主要由主缆和主塔承受结构自重, 加劲梁受力由施工方法决
定 。 成桥后, 结构共同承受外荷作用, 受力按刚度分配 。
? 主缆 是结构体系中的主要承重构件, 受拉 为主；
? 主塔 是悬索桥抵抗竖向荷载的主要承重构件, 受压 为主；
? 加劲梁 是悬索桥保证车辆行驶, 提供结构刚度的二次结构,
主要 承受弯曲 内力；
? 吊索 是将加劲梁自重, 外荷载传递到主缆的传力构件, 是
连系加劲梁和主缆的纽带, 受拉 。
? 锚碇 是锚固主缆的结构, 它将主缆中的拉力传递给地基 。
悬索桥各部分的作用
1.概述 (续 )
?悬索桥计算理论的发展与悬索桥自身的发展有
着密切联系
? 早期，结构分析采用 线弹性理论 (由于桥跨小，索自重较
轻，结构刚度主要由加劲梁提供 。
? 中期 (1877),随着跨度的增加，梁的刚度相对降低,采用
考虑位移影响的 挠度理论 。
? 现代悬索桥分析采用 有限位移理论 的矩阵位移法 。
? 跨度不断增大的同时, 加劲梁相对刚度不断减小, 线性挠度理
论引起的误差已不容忽略 。 因此, 基于矩阵位移理论的有限元方
法应运而生 。 应用有限位移理论的矩阵位移法, 可综合考虑体系
节点位移影响, 轴力效应, 把悬索桥结构非线性分析方法统一到
一般非线性有限元法中, 是目前普遍采用的方法 。
? 弹性理论
（ 1）悬索为完全柔性，吊索沿跨密布；
（ 2）悬索线性及座标受载后不变；
（ 3）加劲梁悬挂于主缆，截面特点不变；仅有二期
恒载、活载、温度、风力等引起的内力。
计算结果：悬索内力及加劲梁弯距随跨经
的增大而增大。
?几种计算理论的基本假定
? 挠度理论
与弹性理论不同之处仅在于：考虑悬索竖向变形
对内力的影响（不考虑剪力变形、吊杆倾斜及伸缩
变形，影响较小）。
线性挠度理论,忽略挠度理论中活载引起的主缆水
平分力与竖向位移之间的非线性关系。
计算结果：加劲梁弯距铰弹性理论结果要小。
? 有限位移理论
综合考虑各种非线性因素的影响，适于大跨径。
?几种计算理论的基本假定
1.概述 (续 )
悬索桥设计的计算内容
? 精确合理地确定悬索桥 成桥 内力状态与构形；
? 合理确定悬索桥 施工 阶段的受力状态与构形, 以期
在成桥时满足设计要求；
? 精确分析悬索桥运营阶段在活载及其它 附加荷载 作
用下的静力响应；
★ 悬索桥的设计计算要根据不同的结构形式, 不同的
设计阶段, 不同的计算内容和要求来选用不同的力
学模式和计算理论 。 基本上以计算主缆为主 。
1.概述 (续 )
?悬索桥成桥状态的确定
? 小跨径悬索桥,确定桥成状态采用抛物线法 。
由于主缆自重轻，成桥态主缆近似呈抛物线形。
? 大跨径悬索桥, 主缆线型呈多段悬链线组成的索
多边形, 计算主缆线型主要有非线性循环迭代法
和基于成桥状态的反算法 。
2.悬索桥的近似分析
2.1 成桥状态的近似计算法
成桥状态近似计算作如下 基本假定：
1) 主缆为柔性索, 不计其弯曲刚度；
2) 加劲梁恒载由主缆承担；
3) 在主缆吊梁段, 主缆, 索夹, 吊杆和加劲梁自重都
等效为沿桥长均布的荷载 q；在无梁段, 主缆自重沿
索长均匀分布 。
什么是成桥状态计算?
2.悬索桥的近似分析 (续 )
2.1 成桥状态的近似计算法
主缆设计计算步骤：
1) 导出主缆成桥态的线形, 张力以及几何长度 的计算公式；
2) 扣除加劲梁恒载作用下主缆产生的弹性伸长量, 得到主缆
自由悬挂态的缆长, 即 自重索长 ；
3) 在索鞍两边无应力索长不变的情况下, 用主缆在空挂状态
塔顶左, 右水平力相等的条件求 索鞍预偏量 ；
4) 由自由悬挂状态下的缆长扣除主缆自重产生的弹性伸长,
得到主缆 无应力长度 。 以中跨为例, 说明成桥状态的计算 。
2.悬索桥的近似分析 (续 )
2.2 加劲梁在竖向荷载作用下的近似分析
? 悬索桥加劲梁先铰接后固结的施工特点, 决定了加劲梁
在一期恒载作用下没有整体弯矩 。
? 加劲梁竖向荷载主要指二期恒载和活载等,如图所示 。
? 假定,忽略梁体剪切变形, 吊杆的伸缩和倾斜变形对结构
受力的影响, 将离散的吊杆简化为一连续膜 。 微小索段
的平衡方程为：
qdx ydH 2
2
q ??
(18)
2.悬索桥的近似分析 (续 )
(19)
悬索桥计算模型
在成桥后竖向荷载 p(x)作用下, 荷载集度由 q变为 qp,外力作用下主缆和
加劲梁产生挠度 ?,主缆挠度由 y变为 (y+?),主缆水平拉力 Hq变为
(Hp+Hq),根据式 (18)有：
H d ydx H H ddx q H d ydxp p q p q
2
2
2
2
2
2? ? ? ? ?( )
?
)qq(dxd)HH(dx ydH p2
2
qp2
2
p ???
??? (20)
将 (18),(19)两式相减得：
2.悬索桥的近似分析 (续 )
(22)
以加劲梁为研究对象, 在 p(x)作用下 加劲梁 上的竖向荷载为：
(23)
加劲梁的弹性方程为：
设 EI为常数, 将 (22)代入 (20)整理得：
式 (23)就是 挠度理论的基本微分方程 。
p2
2
2
2
qq)x(p)x(q)dxdEI(dxd ?????
EI ddx H H ddx p x H d ydxq p p
4
4
2
2
2
2
? ?? ? ? ?( ) ( )
q(x)=p(x)-（ -q＋ qp） (21)
2.悬索桥的近似分析 (续 )
(24)
讨论,
(25)
由于 Hp是 p(x)的函数, 因此这一微分方程是非线性的 。 此外, 方程中 Hq、
Hp和 ?均为未知, 求解时还需要一个补充方程 。
利用全桥主缆长度变化的水平投影为零这一边界条件：
式中,L－两锚碇间的水平距离
式 (25)中第三项进行分部积分, 并利用 x=0和 x=L时 ?=0的边界条件, 有：
00 ???L dx
H
E A
dx t dx dy
dx
d
dx dx
p
C C
L LL
c o s c o s30 2 00 0? ? ?
?? ? ?? ??
或
2.悬索桥的近似分析 (续 )
(28)
代入式 (25)整理后得：
??? ??? LLLL dxl fdxdx yddxdydxdxddxdy 00 22200 8 ????
)1( 0 tL
p
cc
p tLdxL
AEH ??
? ?? ?
? ?? ??? L LL
CC
p dx
dx
d
dx
dydxtdx
AE
H
0 020 3 0c o sc o s
?
???
?
?
?
??
?
?
?
????
?
?
,s e c
,s e c,
81
0
2
0
3
22
2
L
t
L
p
dxL
dxL
l
f
dx
yd
?
?
?
式中,?为线胀系数； t为温度变化； ECAC为主缆轴向刚度 。
(27)
(26)
2.悬索桥的近似分析 (续 )
最后, 非线性微分方程要通过 (23)和 (27)两式迭代才能求解,
尚达不到实用计算的要求 。 针对大跨径悬索桥活载远比恒载
为小的特点, Godard提出了在式 (23)中 只考虑恒载索力对竖
向荷载的抗力, 形成了线性挠度理论 。 此时线性叠加原理和
影响线加载均可应用, 使计算得到了简化 。 李国豪教授在此
基础上于 1941年提出了等代梁法和奇异影响线的概念, 揭示
了悬索桥受力的本质, 使挠度理论变为实用计算成为可能 。
下面对等代梁法作一简要介绍 。
应该指出,线性挠度理论忽略 了竖向荷载本身引起的主缆水
平力对加劲梁受力的影响, 这将 使计算结果绝对值增大 。 因
而, 用于设计加劲梁是偏安全的 。
2.悬索桥的近似分析 (续 )
2.3 水平静风荷载作用下的实用计算
水平静风荷载作用下悬索桥的变形如图所示 。 风载荷在桥上的实际分布
是相当复杂的, 在静风计算中, 一般假定风荷载为沿桥跨方向均布的已
知荷载 。 这样, 作用在悬索桥上的风载将分别通过主缆和加劲梁传
到基础 。 风荷在主缆与加劲梁之间的传递
是由吊索完成的, 其受力根据刚度分配 。
可见研究静风荷载的计算问题, 首先必须
研究风载在主缆和加劲梁上的分配问题 。
简单的计算方法有 均等分配法 。
水平静风荷载作用下的悬索桥
2.悬索桥的近似分析 (续 )
这种方法假定横向风荷在加劲梁和主缆间产生的重分配力
(实质上就是吊杆沿梁长每延米的水平分力 )为沿梁长的均布
荷载 q,索面和梁体在位移时保持刚性转动 。 于是, 加劲梁
和主缆跨中的水平位移 ?d和 ?c可写成：
?
?
?
??
?
?
?
?
??
2
4
8
)(
384
5
l
H
q
q
EI
l
c
c
dd
?
?
??
式中,?c, ?d分别为索, 梁横向风荷集度； l,EI分别为悬
索桥跨径和梁横向抗弯刚度； H为主索水平拉力 。
(33)
2.悬索桥的近似分析 (续 )
根据索面刚性转动的假定, 有：
式中,f,h分别为主缆的矢高, 加劲梁形心到吊点距离 。
由式 (33),(34)得：
将式 (35)得到的 q值代回式 (33),就可算出加劲梁和主缆的
横向静风响应 。
E I hHfl
E I hHflq cd
6.9
6.9
2
2
?
?? ??
f
h
c
d
? ??
(35)
(34)
2.悬索桥的近似分析 (续 )
实际上风的重分配力 q并不会沿梁长均匀分布, 而是梁长座
标 x的函数, 记为 q(x),索面和梁的位移也不满足刚性转动
假定 。 因此, 均等分配法的计算精度较差 。
相比之下, 弹性分配法就有较高的计算精度 。 按照弹性分配
法, 悬索桥在横向风荷及重分配力 q(x)的作用下, 主缆和加
劲梁的平衡微分方程为,
?
?
?
?
?
?
?
???
???
))((
)(
))((
)(
2
4
4
4
xq
dx
xd
H
xq
dx
xd
EI
c
c
d
b
?
?
?
?
q(x)是一个未知荷载, 可以根据梁, 塔的位移协调条件, 通
过迭代计算求解 。
(36)
3.主塔的计算
3.1 受力特点
悬索桥主塔承受的主要荷载有,
直接作用于塔身的自重, 风荷, 地震荷载, 温
变荷载； 由主缆传来的荷载,它一方面改变加
劲梁和主缆传至塔上的竖向荷载, 另一方面将
在塔顶产生顺桥向和横桥向的水平位移, 当两
根主索受力不一致时, 主塔还会受扭 。
工程中桥塔的设计流程如图示, 下面结
合设计流程逐一介绍主塔在纵向和横向
荷载作用下的静力计算和稳定计算 。
3.主塔的计算 (续 )
3.2 主塔在纵向荷载作用下的实用计算
? 纵向荷载是指顺桥向的风荷载, 地震荷载, 加劲梁和主缆传到
主塔的活载等 。
? 在活载作用下, 桥塔将发生水平位移, 由于主塔纵向抗推刚度
相对较小, 塔顶水平位移的大小, 主要是由主缆重力刚度的水
平分量决定, 而与塔的抗弯刚度关系不大 。
? 活载计算中常忽略塔的弯曲刚度, 先求出主塔水平位移, 再将
它作为已知条件计算主塔内力 。
? 在计算中, 必须考虑两种加载状态：
? 最大竖向荷载与相应塔顶位移状态；
? 最大塔顶位移与相应竖向荷载状态 。
一般来说, 后一种状态可能更为不利 。
3.主塔的计算 (续 )
图 14.9为纵向荷载作用下桥塔的计算模式 。
塔顶作用着主缆竖向分力 p,活载或其它荷载引起
的塔顶水平位移 ?,加劲梁传来的集中力 R,塔身受
有塔自重, 顺桥向风载或其它广义纵向纵向荷载,
用带有几何非线性的平面杆系程序, 可以直接对塔
进行分析 。
为了定性分析, 将塔自重集中于塔顶, 讨论等截面
塔在活载作用下的受力情况 。 x处的弯矩为：
M x Fx P v x( ) ( ( ))? ? ??
式中,F? 使塔顶位移达到 ?时的水平力 。 对于
给定的悬索桥, 通过缆梁体系分析可以求得 p
和 ?,这里假定为一已知常量 。 纵向载作用下桥塔
的计算模式
(37)
3.主塔的计算 (续 )
EI v x M x?? ? ?( ) ( ) 0
0|0|| 0 ???? ??? hxhxx vvv ?
v x
h x h x h
h h h
M x P
x
h h h
( )
s in s in ( ) c os
s in c os
( )
s in
s in c os
?
? ? ?
?
? ?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ? ? ?
? ? ?
?
?
? ? ?
dM x
dx
( ) ? 0 M P
h h hm a x ( s in c o s )? ? ?
?
? ? ?
由塔的弯曲平衡微分方程：
边界条件：
得：
得：由
(43)
(42)
(38)
(44)
3.主塔的计算 (续 )
由式 (43)可知, 塔内弯矩主要与分母有关, 当 EI
增大时, ?h减小, 弯矩就急剧增大, 为了经济地设
计塔与塔基, ?h一定要比 ?/2大 。 才能将塔内弯矩控
制在较小的范围内 。 当然, 确定 ?h时也应考虑塔的
纵向稳定性 。
对于变截面的主塔在各种荷载作用下的计算, 也可按
图示力学模型, 用几何非线性有限元方法进行计算 。
3.主塔的计算 (续 )
3.3 主塔在横桥向荷载作用下的计算
在横桥向荷载作用下, 桥塔的计算模式如图示：
塔顶作用着主缆的竖向分力, 主缆传来的横向水
平力 Hc,下横梁上作用着加劲梁传来的竖向力 Rs
和横向水平力 Hs,塔上还受有横向风载 w,地震等
广义荷载 ?(y)和主塔自重 。
由于主塔受到主缆传来的巨大竖向分力 P,因此
分析时仍需用带有几何非线性的杆系程序 。 图
14.10的分析模式中忽略了主缆对塔的水平约束
(非保向力 )作用, 因此, 其结果是偏安全的 。
桥塔横桥向荷载作用下
的计算模式
3.主塔的计算 (续 )
3.4 主塔在横桥向荷载作用下的组合
主塔是在纵横桥向荷载共同作用下工作的,其响应可以用直
接用空间有限元计算,也可以用上面两个平面问题来计算
采用后者计算,内力 (应力 )组合时必须注意,竖向荷载引起的
轴向力不能重复迭加
3.5 主塔的稳定计算
塔在挂索前和成桥后作用纵向荷载时都有失稳的可能, 必须
对这两种状态进行稳定验算 。
挂索前主塔可看成是一单端固定受自重作用的变截面柱 。 可
将变截面柱问题等效成等截面柱问题来计算 。 令等效荷载集
度为 q,等效刚度为 EI,根据 Eular稳定理论, 易得：
3.主塔的计算 (续 )
在成桥状态下, 必须考虑主缆对塔顺桥向失稳的约束作用 。 在计
算中偏安全地将塔自重荷载移到塔顶作为集中荷载, 与主缆竖向
分力共同作用下, 令其合力为 P,根据 14-3.1的推导, 主塔挠度由
式 (14-43)表示, 当主塔失稳时, v(x)??,因此有
此式与一端简支, 一端固定的压杆临界荷载相一致 。
对塔稳定问题更精确的计算, 可按有限元方法并考虑砼徐变, 收
缩及塔施工初始缺陷的不利因素影响进行求解 。 否则应在安全系
数取值时加以考虑 。
P EIhcr ? ?
2
20 699(, )
sin c o s? ? ?h h h? ? 0
( ),qh EIhcr ? 7 837 2
(47)
(46)
(45)h为主塔高度
解得：
以中跨为例，说明成桥状态的计算
1) 中跨主缆索形与张力计算
图示, 中跨主缆微小单元 dx与主缆竖向分力的平衡条件为：
0)s i n( ?? q d xTd q ?
qq HT ??c o s
dx
dyHtgHHT
qq
q
q ??? ???? s i nc o ss i n
qdx ydH q ??2
2
(2)
(3)
(1)
所以有：
1) 中跨主缆索形与张力计算 (续 )
若座标系如图选取, 式 (3)的解为：
(5)
(4)
)(4 2 xlxl fy ??
式中,f为索端连线在跨中到主缆的竖向距离, 即矢高；
l为跨径； Hq为主缆水平力
式 (4)是一抛物线方程, 用这种方法计算主缆也称 抛物线法 。
将式 (4)代入式 (3),得,
可知：成桥态主缆水平分力处处相等 。
对于不吊梁的主缆段, 其索形为悬链线 。
用抛物线法确定的索形是近似的, 误差来自基本假定 3。
8fq
l H?2
2) 中跨主缆成桥态和自由悬挂态的中心索长计算
根据中跨索形方程积分, 可得 成桥态主缆中心线有应力索长 为：
(13)
(11)
将其展开为级数形式, 则：
S=l(1+8/3 n2 － 32/5 n4 +,....,)
其中, n=f/l,为矢跨比； S为索长 。
加劲梁自重作用下 主缆产生的弹性伸长量为：
式中,H=ql2/8f,为一, 二期恒载引起的主缆近似水平拉力；
Ec为主缆弹性模量； Ac为主缆面积 。
成桥态缆长扣除加劲梁自重引起的主缆弹性伸长量, 可得 自由悬挂态的缆长 为：
S1 = S－ △ S1
])161(4ln [8)161(2 2/122/12 nnnlnlS ?????
)3161()'1( 20 21 nAE HldxyAE HS
cc
l
cc
????? ?
(12)
(14)
主缆自由悬挂状态下, 索形为 悬链线 。 取中跨曲线最低点为坐标原点, 则
对称悬链线方程为：
(16)
(15)
式中,c=H/q； H为索力水平投影； q为主索每延米重 。
主缆自重 引起的弹性伸长为：
3) 主缆与吊索的无应力索长计算
)1( ?? cxchcy
?? ???????? 2l0
CC
2
CC
2
l
0CC2 )c
lc s hl(
AE
H2dx)y1(
AE
H2ds
c o s
1
AE
H2S
则 主缆无应力长度 为,
S0=S－ ?S1－ ?S2
根据成桥状态主缆的几何线型, 桥面线型, 求得各吊索的有应力长
度, 扣除弹性伸长量, 即得 吊索无应力长度 。
(17)
? 为了保证成桥态主塔不受弯, 必须保证成桥状态下主缆中,
边跨水平分力 Hq是自平衡的 。
? 如果在挂索初期就强迫将主索就位于成桥状态, 塔顶两边
索的不平衡水平力将在塔内产生强大的弯矩, 导致主塔失
效或主塔发生很大的弯曲内力与变形
? 为了使主塔在施工过程中始终处于低弯矩状态, 从挂索开
始就必须使鞍座有一个预偏量, 并在施工过程中对它进行
不断调整 。
? 确定鞍座预偏量的原则 是挂索初态索自重在塔两边引起的
水平力相等 。
? 根据索长, 索力与索竖向投影和水平投影的关系, 通过迭
代计算, 就可求出鞍座的预偏量 。
4) 鞍座预偏量的概念
等代梁法
如图示一受拉, 弯耦合作用的简支梁, 其上受均布荷载, 两端拉力为
Hq,在 x截面处外荷引起的挠度为 ?,其弯矩为,q
pHqHp?
)
22
)((
2
)()(
2
)(
2
2
xlx
H
qH
pH
x
H
qH
p
H
qH
p
xl
HxM
q
p
q
q
p
q
p
q
?????
??????
?
?
根据梁的理论：
(29)
受拉、弯耦合作用的简支梁
等代梁法 (续 )
对 x求两次导数, 整理得：
q
p
q H
qHp
dx
dH
dx
dEI ???
2
2
4
4 ??
将式 (18)代入 (31),则：
2
2
2
2
4
4
dx
ydHp
dx
dH
dx
dEI
pq ???
??
式 (32)与线性挠度理论的平衡微分方程式 （ 23） 完全一致 。 可见, 悬索桥
线性挠度理论可以用等效梁来进行计算, 这种方法称为 等代梁法 。
)22)(()(
2
2
2 xlx
H
qHpHxM
dx
dEI
q
p
q ?????? ?
?
(32)
(31)
(30)
悬索桥结构计算理论
主要内容
? 概 述
? 悬索桥的近似分析
? 悬索桥主塔的计算
? 悬索桥成桥状态和施工状态的精
确计算
1.概述
1.1 悬索桥的受力特征
悬索桥是由主缆, 加劲梁, 主塔, 鞍座, 锚碇, 吊索等构件
构成的柔性悬吊体系, 其主要构成如 下 图所示 。 成桥时,
主要由主缆和主塔承受结构自重, 加劲梁受力由施工方法决
定 。 成桥后, 结构共同承受外荷作用, 受力按刚度分配 。
? 主缆 是结构体系中的主要承重构件, 受拉 为主；
? 主塔 是悬索桥抵抗竖向荷载的主要承重构件, 受压 为主；
? 加劲梁 是悬索桥保证车辆行驶, 提供结构刚度的二次结构,
主要 承受弯曲 内力；
? 吊索 是将加劲梁自重, 外荷载传递到主缆的传力构件, 是
连系加劲梁和主缆的纽带, 受拉 。
? 锚碇 是锚固主缆的结构, 它将主缆中的拉力传递给地基 。
悬索桥各部分的作用
1.概述 (续 )
?悬索桥计算理论的发展与悬索桥自身的发展有
着密切联系
? 早期，结构分析采用 线弹性理论 (由于桥跨小，索自重较
轻，结构刚度主要由加劲梁提供 。
? 中期 (1877),随着跨度的增加，梁的刚度相对降低,采用
考虑位移影响的 挠度理论 。
? 现代悬索桥分析采用 有限位移理论 的矩阵位移法 。
? 跨度不断增大的同时, 加劲梁相对刚度不断减小, 线性挠度理
论引起的误差已不容忽略 。 因此, 基于矩阵位移理论的有限元方
法应运而生 。 应用有限位移理论的矩阵位移法, 可综合考虑体系
节点位移影响, 轴力效应, 把悬索桥结构非线性分析方法统一到
一般非线性有限元法中, 是目前普遍采用的方法 。
? 弹性理论
（ 1）悬索为完全柔性，吊索沿跨密布；
（ 2）悬索线性及座标受载后不变；
（ 3）加劲梁悬挂于主缆，截面特点不变；仅有二期
恒载、活载、温度、风力等引起的内力。
计算结果：悬索内力及加劲梁弯距随跨经
的增大而增大。
?几种计算理论的基本假定
? 挠度理论
与弹性理论不同之处仅在于：考虑悬索竖向变形
对内力的影响（不考虑剪力变形、吊杆倾斜及伸缩
变形，影响较小）。
线性挠度理论,忽略挠度理论中活载引起的主缆水
平分力与竖向位移之间的非线性关系。
计算结果：加劲梁弯距铰弹性理论结果要小。
? 有限位移理论
综合考虑各种非线性因素的影响，适于大跨径。
?几种计算理论的基本假定
1.概述 (续 )
悬索桥设计的计算内容
? 精确合理地确定悬索桥 成桥 内力状态与构形；
? 合理确定悬索桥 施工 阶段的受力状态与构形, 以期
在成桥时满足设计要求；
? 精确分析悬索桥运营阶段在活载及其它 附加荷载 作
用下的静力响应；
★ 悬索桥的设计计算要根据不同的结构形式, 不同的
设计阶段, 不同的计算内容和要求来选用不同的力
学模式和计算理论 。 基本上以计算主缆为主 。
1.概述 (续 )
?悬索桥成桥状态的确定
? 小跨径悬索桥,确定桥成状态采用抛物线法 。
由于主缆自重轻，成桥态主缆近似呈抛物线形。
? 大跨径悬索桥, 主缆线型呈多段悬链线组成的索
多边形, 计算主缆线型主要有非线性循环迭代法
和基于成桥状态的反算法 。
2.悬索桥的近似分析
2.1 成桥状态的近似计算法
成桥状态近似计算作如下 基本假定：
1) 主缆为柔性索, 不计其弯曲刚度；
2) 加劲梁恒载由主缆承担；
3) 在主缆吊梁段, 主缆, 索夹, 吊杆和加劲梁自重都
等效为沿桥长均布的荷载 q；在无梁段, 主缆自重沿
索长均匀分布 。
什么是成桥状态计算?
2.悬索桥的近似分析 (续 )
2.1 成桥状态的近似计算法
主缆设计计算步骤：
1) 导出主缆成桥态的线形, 张力以及几何长度 的计算公式；
2) 扣除加劲梁恒载作用下主缆产生的弹性伸长量, 得到主缆
自由悬挂态的缆长, 即 自重索长 ；
3) 在索鞍两边无应力索长不变的情况下, 用主缆在空挂状态
塔顶左, 右水平力相等的条件求 索鞍预偏量 ；
4) 由自由悬挂状态下的缆长扣除主缆自重产生的弹性伸长,
得到主缆 无应力长度 。 以中跨为例, 说明成桥状态的计算 。
2.悬索桥的近似分析 (续 )
2.2 加劲梁在竖向荷载作用下的近似分析
? 悬索桥加劲梁先铰接后固结的施工特点, 决定了加劲梁
在一期恒载作用下没有整体弯矩 。
? 加劲梁竖向荷载主要指二期恒载和活载等,如图所示 。
? 假定,忽略梁体剪切变形, 吊杆的伸缩和倾斜变形对结构
受力的影响, 将离散的吊杆简化为一连续膜 。 微小索段
的平衡方程为：
qdx ydH 2
2
q ??
(18)
2.悬索桥的近似分析 (续 )
(19)
悬索桥计算模型
在成桥后竖向荷载 p(x)作用下, 荷载集度由 q变为 qp,外力作用下主缆和
加劲梁产生挠度 ?,主缆挠度由 y变为 (y+?),主缆水平拉力 Hq变为
(Hp+Hq),根据式 (18)有：
H d ydx H H ddx q H d ydxp p q p q
2
2
2
2
2
2? ? ? ? ?( )
?
)qq(dxd)HH(dx ydH p2
2
qp2
2
p ???
??? (20)
将 (18),(19)两式相减得：
2.悬索桥的近似分析 (续 )
(22)
以加劲梁为研究对象, 在 p(x)作用下 加劲梁 上的竖向荷载为：
(23)
加劲梁的弹性方程为：
设 EI为常数, 将 (22)代入 (20)整理得：
式 (23)就是 挠度理论的基本微分方程 。
p2
2
2
2
qq)x(p)x(q)dxdEI(dxd ?????
EI ddx H H ddx p x H d ydxq p p
4
4
2
2
2
2
? ?? ? ? ?( ) ( )
q(x)=p(x)-（ -q＋ qp） (21)
2.悬索桥的近似分析 (续 )
(24)
讨论,
(25)
由于 Hp是 p(x)的函数, 因此这一微分方程是非线性的 。 此外, 方程中 Hq、
Hp和 ?均为未知, 求解时还需要一个补充方程 。
利用全桥主缆长度变化的水平投影为零这一边界条件：
式中,L－两锚碇间的水平距离
式 (25)中第三项进行分部积分, 并利用 x=0和 x=L时 ?=0的边界条件, 有：
00 ???L dx
H
E A
dx t dx dy
dx
d
dx dx
p
C C
L LL
c o s c o s30 2 00 0? ? ?
?? ? ?? ??
或
2.悬索桥的近似分析 (续 )
(28)
代入式 (25)整理后得：
??? ??? LLLL dxl fdxdx yddxdydxdxddxdy 00 22200 8 ????
)1( 0 tL
p
cc
p tLdxL
AEH ??
? ?? ?
? ?? ??? L LL
CC
p dx
dx
d
dx
dydxtdx
AE
H
0 020 3 0c o sc o s
?
???
?
?
?
??
?
?
?
????
?
?
,s e c
,s e c,
81
0
2
0
3
22
2
L
t
L
p
dxL
dxL
l
f
dx
yd
?
?
?
式中,?为线胀系数； t为温度变化； ECAC为主缆轴向刚度 。
(27)
(26)
2.悬索桥的近似分析 (续 )
最后, 非线性微分方程要通过 (23)和 (27)两式迭代才能求解,
尚达不到实用计算的要求 。 针对大跨径悬索桥活载远比恒载
为小的特点, Godard提出了在式 (23)中 只考虑恒载索力对竖
向荷载的抗力, 形成了线性挠度理论 。 此时线性叠加原理和
影响线加载均可应用, 使计算得到了简化 。 李国豪教授在此
基础上于 1941年提出了等代梁法和奇异影响线的概念, 揭示
了悬索桥受力的本质, 使挠度理论变为实用计算成为可能 。
下面对等代梁法作一简要介绍 。
应该指出,线性挠度理论忽略 了竖向荷载本身引起的主缆水
平力对加劲梁受力的影响, 这将 使计算结果绝对值增大 。 因
而, 用于设计加劲梁是偏安全的 。
2.悬索桥的近似分析 (续 )
2.3 水平静风荷载作用下的实用计算
水平静风荷载作用下悬索桥的变形如图所示 。 风载荷在桥上的实际分布
是相当复杂的, 在静风计算中, 一般假定风荷载为沿桥跨方向均布的已
知荷载 。 这样, 作用在悬索桥上的风载将分别通过主缆和加劲梁传
到基础 。 风荷在主缆与加劲梁之间的传递
是由吊索完成的, 其受力根据刚度分配 。
可见研究静风荷载的计算问题, 首先必须
研究风载在主缆和加劲梁上的分配问题 。
简单的计算方法有 均等分配法 。
水平静风荷载作用下的悬索桥
2.悬索桥的近似分析 (续 )
这种方法假定横向风荷在加劲梁和主缆间产生的重分配力
(实质上就是吊杆沿梁长每延米的水平分力 )为沿梁长的均布
荷载 q,索面和梁体在位移时保持刚性转动 。 于是, 加劲梁
和主缆跨中的水平位移 ?d和 ?c可写成：
?
?
?
??
?
?
?
?
??
2
4
8
)(
384
5
l
H
q
q
EI
l
c
c
dd
?
?
??
式中,?c, ?d分别为索, 梁横向风荷集度； l,EI分别为悬
索桥跨径和梁横向抗弯刚度； H为主索水平拉力 。
(33)
2.悬索桥的近似分析 (续 )
根据索面刚性转动的假定, 有：
式中,f,h分别为主缆的矢高, 加劲梁形心到吊点距离 。
由式 (33),(34)得：
将式 (35)得到的 q值代回式 (33),就可算出加劲梁和主缆的
横向静风响应 。
E I hHfl
E I hHflq cd
6.9
6.9
2
2
?
?? ??
f
h
c
d
? ??
(35)
(34)
2.悬索桥的近似分析 (续 )
实际上风的重分配力 q并不会沿梁长均匀分布, 而是梁长座
标 x的函数, 记为 q(x),索面和梁的位移也不满足刚性转动
假定 。 因此, 均等分配法的计算精度较差 。
相比之下, 弹性分配法就有较高的计算精度 。 按照弹性分配
法, 悬索桥在横向风荷及重分配力 q(x)的作用下, 主缆和加
劲梁的平衡微分方程为,
?
?
?
?
?
?
?
???
???
))((
)(
))((
)(
2
4
4
4
xq
dx
xd
H
xq
dx
xd
EI
c
c
d
b
?
?
?
?
q(x)是一个未知荷载, 可以根据梁, 塔的位移协调条件, 通
过迭代计算求解 。
(36)
3.主塔的计算
3.1 受力特点
悬索桥主塔承受的主要荷载有,
直接作用于塔身的自重, 风荷, 地震荷载, 温
变荷载； 由主缆传来的荷载,它一方面改变加
劲梁和主缆传至塔上的竖向荷载, 另一方面将
在塔顶产生顺桥向和横桥向的水平位移, 当两
根主索受力不一致时, 主塔还会受扭 。
工程中桥塔的设计流程如图示, 下面结
合设计流程逐一介绍主塔在纵向和横向
荷载作用下的静力计算和稳定计算 。
3.主塔的计算 (续 )
3.2 主塔在纵向荷载作用下的实用计算
? 纵向荷载是指顺桥向的风荷载, 地震荷载, 加劲梁和主缆传到
主塔的活载等 。
? 在活载作用下, 桥塔将发生水平位移, 由于主塔纵向抗推刚度
相对较小, 塔顶水平位移的大小, 主要是由主缆重力刚度的水
平分量决定, 而与塔的抗弯刚度关系不大 。
? 活载计算中常忽略塔的弯曲刚度, 先求出主塔水平位移, 再将
它作为已知条件计算主塔内力 。
? 在计算中, 必须考虑两种加载状态：
? 最大竖向荷载与相应塔顶位移状态；
? 最大塔顶位移与相应竖向荷载状态 。
一般来说, 后一种状态可能更为不利 。
3.主塔的计算 (续 )
图 14.9为纵向荷载作用下桥塔的计算模式 。
塔顶作用着主缆竖向分力 p,活载或其它荷载引起
的塔顶水平位移 ?,加劲梁传来的集中力 R,塔身受
有塔自重, 顺桥向风载或其它广义纵向纵向荷载,
用带有几何非线性的平面杆系程序, 可以直接对塔
进行分析 。
为了定性分析, 将塔自重集中于塔顶, 讨论等截面
塔在活载作用下的受力情况 。 x处的弯矩为：
M x Fx P v x( ) ( ( ))? ? ??
式中,F? 使塔顶位移达到 ?时的水平力 。 对于
给定的悬索桥, 通过缆梁体系分析可以求得 p
和 ?,这里假定为一已知常量 。 纵向载作用下桥塔
的计算模式
(37)
3.主塔的计算 (续 )
EI v x M x?? ? ?( ) ( ) 0
0|0|| 0 ???? ??? hxhxx vvv ?
v x
h x h x h
h h h
M x P
x
h h h
( )
s in s in ( ) c os
s in c os
( )
s in
s in c os
?
? ? ?
?
? ?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ? ? ?
? ? ?
?
?
? ? ?
dM x
dx
( ) ? 0 M P
h h hm a x ( s in c o s )? ? ?
?
? ? ?
由塔的弯曲平衡微分方程：
边界条件：
得：
得：由
(43)
(42)
(38)
(44)
3.主塔的计算 (续 )
由式 (43)可知, 塔内弯矩主要与分母有关, 当 EI
增大时, ?h减小, 弯矩就急剧增大, 为了经济地设
计塔与塔基, ?h一定要比 ?/2大 。 才能将塔内弯矩控
制在较小的范围内 。 当然, 确定 ?h时也应考虑塔的
纵向稳定性 。
对于变截面的主塔在各种荷载作用下的计算, 也可按
图示力学模型, 用几何非线性有限元方法进行计算 。
3.主塔的计算 (续 )
3.3 主塔在横桥向荷载作用下的计算
在横桥向荷载作用下, 桥塔的计算模式如图示：
塔顶作用着主缆的竖向分力, 主缆传来的横向水
平力 Hc,下横梁上作用着加劲梁传来的竖向力 Rs
和横向水平力 Hs,塔上还受有横向风载 w,地震等
广义荷载 ?(y)和主塔自重 。
由于主塔受到主缆传来的巨大竖向分力 P,因此
分析时仍需用带有几何非线性的杆系程序 。 图
14.10的分析模式中忽略了主缆对塔的水平约束
(非保向力 )作用, 因此, 其结果是偏安全的 。
桥塔横桥向荷载作用下
的计算模式
3.主塔的计算 (续 )
3.4 主塔在横桥向荷载作用下的组合
主塔是在纵横桥向荷载共同作用下工作的,其响应可以用直
接用空间有限元计算,也可以用上面两个平面问题来计算
采用后者计算,内力 (应力 )组合时必须注意,竖向荷载引起的
轴向力不能重复迭加
3.5 主塔的稳定计算
塔在挂索前和成桥后作用纵向荷载时都有失稳的可能, 必须
对这两种状态进行稳定验算 。
挂索前主塔可看成是一单端固定受自重作用的变截面柱 。 可
将变截面柱问题等效成等截面柱问题来计算 。 令等效荷载集
度为 q,等效刚度为 EI,根据 Eular稳定理论, 易得：
3.主塔的计算 (续 )
在成桥状态下, 必须考虑主缆对塔顺桥向失稳的约束作用 。 在计
算中偏安全地将塔自重荷载移到塔顶作为集中荷载, 与主缆竖向
分力共同作用下, 令其合力为 P,根据 14-3.1的推导, 主塔挠度由
式 (14-43)表示, 当主塔失稳时, v(x)??,因此有
此式与一端简支, 一端固定的压杆临界荷载相一致 。
对塔稳定问题更精确的计算, 可按有限元方法并考虑砼徐变, 收
缩及塔施工初始缺陷的不利因素影响进行求解 。 否则应在安全系
数取值时加以考虑 。
P EIhcr ? ?
2
20 699(, )
sin c o s? ? ?h h h? ? 0
( ),qh EIhcr ? 7 837 2
(47)
(46)
(45)h为主塔高度
解得：
以中跨为例，说明成桥状态的计算
1) 中跨主缆索形与张力计算
图示, 中跨主缆微小单元 dx与主缆竖向分力的平衡条件为：
0)s i n( ?? q d xTd q ?
qq HT ??c o s
dx
dyHtgHHT
q
q ??? ???? s i nc o ss i n
qdx ydH q ??2
2
(2)
(3)
(1)
所以有：
1) 中跨主缆索形与张力计算 (续 )
若座标系如图选取, 式 (3)的解为：
(5)
(4)
)(4 2 xlxl fy ??
式中,f为索端连线在跨中到主缆的竖向距离, 即矢高；
l为跨径； Hq为主缆水平力
式 (4)是一抛物线方程, 用这种方法计算主缆也称 抛物线法 。
将式 (4)代入式 (3),得,
可知：成桥态主缆水平分力处处相等 。
对于不吊梁的主缆段, 其索形为悬链线 。
用抛物线法确定的索形是近似的, 误差来自基本假定 3。
8fq
l H?2
2) 中跨主缆成桥态和自由悬挂态的中心索长计算
根据中跨索形方程积分, 可得 成桥态主缆中心线有应力索长 为：
(13)
(11)
将其展开为级数形式, 则：
S=l(1+8/3 n2 － 32/5 n4 +,....,)
其中, n=f/l,为矢跨比； S为索长 。
加劲梁自重作用下 主缆产生的弹性伸长量为：
式中,H=ql2/8f,为一, 二期恒载引起的主缆近似水平拉力；
Ec为主缆弹性模量； Ac为主缆面积 。
成桥态缆长扣除加劲梁自重引起的主缆弹性伸长量, 可得 自由悬挂态的缆长 为：
S1 = S－ △ S1
])161(4ln [8)161(2 2/122/12 nnnlnlS ?????
)3161()'1( 20 21 nAE HldxyAE HS
cc
l
cc
????? ?
(12)
(14)
主缆自由悬挂状态下, 索形为 悬链线 。 取中跨曲线最低点为坐标原点, 则
对称悬链线方程为：
(16)
(15)
式中,c=H/q； H为索力水平投影； q为主索每延米重 。
主缆自重 引起的弹性伸长为：
3) 主缆与吊索的无应力索长计算
)1( ?? cxchcy
?? ???????? 2l0
CC
2
CC
2
l
0CC2 )c
lc s hl(
AE
H2dx)y1(
AE
H2ds
c o s
1
AE
H2S
则 主缆无应力长度 为,
S0=S－ ?S1－ ?S2
根据成桥状态主缆的几何线型, 桥面线型, 求得各吊索的有应力长
度, 扣除弹性伸长量, 即得 吊索无应力长度 。
(17)
? 为了保证成桥态主塔不受弯, 必须保证成桥状态下主缆中,
边跨水平分力 Hq是自平衡的 。
? 如果在挂索初期就强迫将主索就位于成桥状态, 塔顶两边
索的不平衡水平力将在塔内产生强大的弯矩, 导致主塔失
效或主塔发生很大的弯曲内力与变形
? 为了使主塔在施工过程中始终处于低弯矩状态, 从挂索开
始就必须使鞍座有一个预偏量, 并在施工过程中对它进行
不断调整 。
? 确定鞍座预偏量的原则 是挂索初态索自重在塔两边引起的
水平力相等 。
? 根据索长, 索力与索竖向投影和水平投影的关系, 通过迭
代计算, 就可求出鞍座的预偏量 。
4) 鞍座预偏量的概念
等代梁法
如图示一受拉, 弯耦合作用的简支梁, 其上受均布荷载, 两端拉力为
Hq,在 x截面处外荷引起的挠度为 ?,其弯矩为,q
pHqHp?
)
22
)((
2
)()(
2
)(
2
2
xlx
H
qH
pH
x
H
qH
p
H
qH
p
xl
HxM
q
p
q
q
p
q
p
q
?????
??????
?
?
根据梁的理论：
(29)
受拉、弯耦合作用的简支梁
等代梁法 (续 )
对 x求两次导数, 整理得：
q
p
q H
qHp
dx
dH
dx
dEI ???
2
2
4
4 ??
将式 (18)代入 (31),则：
2
2
2
2
4
4
dx
ydHp
dx
dH
dx
dEI
pq ???
??
式 (32)与线性挠度理论的平衡微分方程式 （ 23） 完全一致 。 可见, 悬索桥
线性挠度理论可以用等效梁来进行计算, 这种方法称为 等代梁法 。
)22)(()(
2
2
2 xlx
H
qHpHxM
dx
dEI
q
p
q ?????? ?
?
(32)
(31)
(30)
