第九章 组合变形
§ 9–1 概述
§ 9–2 斜弯曲
§ 9–3 弯曲与扭转
§ 9-4 拉 (压 )弯组合 ? 偏心拉（压） ? 截面核心
一、组合变形,在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简
单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略
之，这类构件的变形称为组合变形。
§ 9–1 概 述
M
P
R z
x
y
P
P
P
hg
水坝
q
P
hg
二、组合变形的研究方法 —— 叠加原理
① 外力分析,外力向形心 (后弯心 )简化并沿主惯性轴分解
② 内力分析,求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确
定危险面。
③ 应力分析,画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强
度条件。
x
y
z
P
§ 9–2 斜弯曲
一、斜弯曲, 杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横
向力）不共面。
二、斜弯曲的研究方法,
1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交
的平面弯曲。
PyPz
Pz
Py
y
z
P
j
2.叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。
x
y
z P
y
Pz
P
Pz
Py
y
z
P
j
js inPPy? jc o sPPz ?
解,1.将外载沿横截面的形心主轴分解
2.研究两个平面弯曲
j
j
s in
s in)(
)(
M
xLP
xLPM yz
?
??
??
jco sMM y ?
①
内
力
x
y
z P
y
Pz
P
Pz
Py
y
z
P
j
L
m
mx
L
j? c os
yy
y
I
M
I
zM z?????②应
力
j? s i n
zz
z
I
M
I
yM y??????
)s i nco s( jj???
zy I
y
I
zM ????????
My引起的应力：
M z引起的应力：
合应力：
Pz
Py
y
z
P
j
x
y
z P
y
Pz
PL
m
mx
④ 最大正应力
⑤ 变形计算
0)s i nco s( 00 ???? jj?
zy I
y
I
zM
③ 中性轴方程
j? c t gtg
0
0
y
z
I
I
z
y ??
可见：只有当 Iy = Iz时，中性轴与外力才垂直。
在中性轴两侧，距中性轴最远的点为拉压最大正应力点。
1m a x DL ?? ? 2m a x Dy ?? ?
22 zy fff ??
z
y
f
f??tg
当 j= ?时，即为平面弯曲。
Pz
Py
y
z
P
j
D1
D2
?
中性轴
f
fz
fy
?
例 1结构如图,P过形心且与 z轴成 j角,求此梁的最大应力与挠度。
最大正应力 变形计算
21m a x D
y
y
z
z
DL W
M
W
M ??? ?????
2
3
2
3
22 )
3()3( y
z
z
y
zy EI
LP
EI
LPfff ????
j? tgtg
z
y
z
y
I
I
f
f ??当 Iy = Iz时，即发生平面弯曲。
解：危险点分析如图
f
fz
fy
?
y
z
L
x
Py
Pz
P
h
b P
z
Py
y
z
P
j
D2
D1
?
中性轴
例 2 矩形截面木檩条如图，跨长 L=3m,受集度为 q=800N/m的
均布力作用,[?]=12MPa,容许挠度为,L/200, E=9GPa，试
选择截面尺寸并校核刚度。
N / m3 5 84 4 7.08 0 0s i n ???? ?qq y
解,① 外力分析 — 分解 q
? ??? ???
y
y
z
z
W
M
W
M
m a x
N / m7 1 58 9 4.08 0 0c os ???? ?qq z
Nm4038 33588
22
m a x ?
??? LqM y
z
Nm8048 37158
22
m a x ?
??? LqM z
z
? ?26° 34′
y zq
q
L
A B
§ 9–3 弯曲与扭转
80oP2 z
y
x
P1
150 200 100A B C D
解, ① 外力向形心
简化并分解
建立图示杆件的强度条件
弯扭组合变形
80oP2 z
y
x
P1
150 200 100A B C D
150 200 100A B C D
P1
Mx
z
x
y
P2y
P2z
Mx
② 每个外力分量对应
的内力方程和内力图
③ 叠加 弯矩, 并画图
)()()( 22 xMxMxM zy ??
④ 确定危险面
)( ; )( ; )( xMxMxM nzy
M Z ( N m)
X
(Nm)My
x
M y ( N m)
X
Mz (Nm) x
（ Nm ）
x
M nM n
Mn (Nm)
x
M ( N m)
X
M max
M (Nm) Mmax
x
⑤ 画危险面应力分布图，找危险点
W
M
xB
m a x
1 ??
P
n
B W
M?
1
?
22
3
1 )
2(2 ?
??
?
? ???
?
?
?
⑥ 建立强度条件
22313 4 ????? ?????
2
2
2
2
m a x 4
P
n
W
M
W
M ??
1xB?
1B?
x
1xB?
2xB?
M
1B?
1xB?
1B?
xB1
B2My
Mz
Mn
M
? ? ? ? ? ?? ?2132322214 21 ??????? ??????? 22 3?? ??
W
MM n22 75.0?
?
W
MMM nzy 222 75.0??
?
W
MMM nzy 222*
4
75.0??
??
1xB?
1B?
W
MMM nzy 222*
3
??
??
22313 4 ????? ?????
2
2
2
2
m a x 4
P
n
W
M
W
M ??
W
MMM nzy 222 ??
?
① 外力分析,外力向形心简化并 分解。
② 内力分析,每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危
险面。
③ 应力分析,建立强度条件。
W
MMM nzy 222*
3
??
??
W
MMM nzy 222*
4
75.0??
??
弯扭组合问题的求解步骤：
例 3 图示空心圆杆，
内径 d=24mm，外
径 D=30mm，
P1=600N，
[?]=100MPa，试用
第三强度理论校核
此杆的强度。
① 外力分析：
弯扭组合变形
80oP2 z
y
x
P1
150 200 100A B C D
150 200 100A B C D
P1
Mx
z
x
y
P2y
P2z
Mx
解：
② 内力分析,危
险面内力为：
③ 应力分析：
W
MM n22m a x*
3
???
Nm3.71m a x?M
Nm120?nM
)8.01(03.014.3
12 03.7132
43
22
??
??
? ???? M P a5.97
安全
M Z ( N m)
X
(Nm)My
x
M y ( N m)
X
Mz (Nm) x
（ Nm ）
x
M nM n
Mn (Nm)
x
M ( N m)
X
M max
M (Nm) 71.3
x
71.25
40
7.05
120
5.5
40.6
§ 9–4 拉 (压 )弯组合 ? 偏心拉（压） ? 截面核心
一、拉 (压 )弯组合变形,杆件同时受横向力和轴向力的作用而产
生的变形。
P
R
P
x
yz P
My
x
yz P
My
Mz
P MZ My
A
P
xP ??
z
z
xM I
yM
z
???
y
y
xM I
zM
y
??
y
y
z
z
x I
zM
I
yM
A
P ????
二、应力分析,
x
yz P
My
Mz
000 ????
y
y
z
z
x I
zM
I
yM
A
P?
四、危险点
（距中性轴最远的点）
三、中性轴方程
对于偏心拉压问题
0)1( 2 02 02 02 0 ??????
y
P
z
P
y
P
z
P
i
zz
i
yy
A
P
Ai
zPz
Ai
yPy
A
P
y
y
z
z
W
M
W
M
A
P ???
m a x?
y
y
z
z
W
M
W
M
A
P ???
m a x?
01 2 02 0 ???
y
P
z
P
i
zz
i
yy中性轴
y
z
),( PP yzP
y
z
五、（偏心拉、压问题的）截面核心：
ay
az
01 2 ??
z
yP
i
ay
01 2 ??
y
zP
i
az
已知 ay,az 后,
压力作用区域。
当压力作用在此区域内时，横截面上无拉应力。
可求 P力的一个作用点 ),(
PP yz
01 2 02 0 ???
y
P
z
P
i
zz
i
yy
中性轴 ),( PP yzP
截面核心
MP a75.8
2.02.0
350000
m a x2
?
?
?
?
A
P
?
???
11
m a x1
zW
M
A
P?
MP a7.11
3.02.0
6503 5 0
3.02.0
3 5 0 0 0 0
2
?
?
???
?
解,两柱均为 压应力
例 4 图示不等截面与等截面杆，受力 P=350kN，试分别求出两柱
内的绝对值最大正应力。
图（ 1） 图（ 2）
P
300
200
P
200
M P
Pd
P
P
mm5102010100 201020 ???? ???Cz
2
3
5100101210010 ?????CyI
45
2
3
mm1027.7
]252010
12
2010[
??
?????
例 5 图示钢板受力 P=100kN,试求最大正应力；若将缺口移至板
宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少？
解,内力分析 如图
坐标如图，挖孔处的形心
Nm5 0 0105 3 ??? ?PM
P
P
M
N
20 10020
y
z
yC
P
P
M
N
ycI
zM
A
N m a x
m a x ???
M P a8.1 6 28.371 2 5 ???
应力分析 如图
7
3
6
3
1027.7
10555 0 0
108 0 0
101 0 0
?
?
? ?
???
?
??
孔移至板中间时
)100(10mm9.631108.162 10100 26
3
m a x
xNA ??????? ?
mm8.36 ?? x
20 10020
y
z
yC
MP a7.351.07 0 0 016 3 ????? ??
nW
T
M P a37.6101.0504 32 ?????? ?? AP
解,拉扭组合,危险点 应力状态如图
例 6 直径为 d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,P=50kN,
[?]=100MPa,试按 第三强度理论校核此杆的强度 。
故，安全。
223 4??? ???
? ????
???
M P a7.71
7.35437.6 22
?
?
A
A P
P
T
T