第一部分 基本变形部分
第二部分 复杂变形部分
总 复 习
压杆稳定
能量方法
第一部分
基本变形部分
拉 （压） 扭 转 平面弯曲
内
力
应
力
变
形
N
N > 0
x—杆轴
A
Mn > 0
x—杆轴
A M
n A M
Q M > 0
Q > 0x—平行于杆轴
x
s
A
xN )(?s
L
xxEA xNL L d)( )(d ??
O
tr
p
n
I
M rrt ?)(
z
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y
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QS ??t
A B
xGIM
ABL p
n
AB d???
q?
f
x
q? f′
?? f
EI
xMxf )()( ????
拉 （压） 扭 转 平面弯曲
强
度
条
件
刚
度
条
件
变
形
能
][max ss ?
][
m a x
m i n s
NA ?
][m a x sAN ?
][max tt ?
][
|| m a x
t
n
t
MW ?
][| m a x ttn WM ?
][max ss ? ][max tt ?
][
m a x
s
MW
z?
][m a x szWM ?
][max qq ?
][m a x qq ?
??
?
??
??
L
f
L
f || m a x
xEAxNU L d2 )(
2?
? xGI xMU
L
n d
2
)(2?? x
EI
xMU
L d2
)(2??
拉
压
扭
转
平
面
弯
曲
内力计算
以 A点左侧部分为对象,A点的内力由下式计算：
(其中,Pi,Pj”均为 A 点左侧部分的所有外力 )
?? ?? ) () ( jiAn mmM
? ? ? ??? ?? )( )( jAiAA PmPm M
? ? ? ??? ???? jiA PP Q
?? ???? )()( jiA PPN
弯曲剪力、弯矩与外力间的关系
? ? ? ?xq
x
xQ ?
d
d
)(d )(d xQx xM ?
)(d )(d 2
2
xqx xM ?
对称性与反对称性的应用：
对称结构在对称载荷作用下,Q图反对称,M图对称；对称
结构在反对称载荷作用下,Q图对称,M图反对称。
剪力, 弯矩与外力间的关系
外
力
无外力段 均布载荷段 集中力 集中力偶
q=0 q>0 q<0
Q
图
特
征
M
图
特
征
C
P
C
m
水平直线
x
Q
Q>0
Q
Q<0
x
斜直线
增函数
x
Q
x
Q
降函数
x
Q
C
Q1
Q2
Q1–
Q2=P
自左向右突变
x
Q
C
无变化
斜直线
x
M
增函数
x
M
降函数
曲线
x
M
坟状
x
M
盆状
自左向右折角 自左向右突变
与
m
反
x
M
折向与 P反向
M
x
M1
M2
mMM ?? 21
超静定问题的方法步骤：
① 平衡方程
② 几何方程 —— 变形协调方程
③ 物理方程 —— 变形与力的关系
④ 补充方程
⑤ 解由平衡方程和补充方程组
变形的应用：
求位移和解决超静定问题
变形能的应用：
求位移和解决动载问题
j
h
d
K
?
???
2
11
,( 1 ) 自由落体
jg
v
d
K
?
?
2
,)2( 水平冲击
△ j:冲击物落点的静位移
材料试验
sp se ss
sb
s
a
b
ep
et
ee
st
f
g h
e
s?MPa?
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
450
400
350
300
250
200
150
100
50
0
低碳钢 s?e曲线线上特征点
p
e
? ?
n
jxss ?
,1,容许应力
},,2.0{,2 bsjx ssss ?、极限应力
3,安全系数, n
泊松比（或横向变形系数 ）
ee? ??
三个弹性常数
?
t?G
e
s?E
)1(2 ???
EG
n n
（合力）
（合力）
P
P
Pc
n n
Q
h?
b
h
t 1 Mn
tmax
注意, b
剪切与挤压的实用计算
? ?tt ?? AQ
? ?c
c
c
c A
P ss ??
矩形截面杆约束扭转
3m a x
m a x, bpWW
M
P
n ?t ?? 其中
4,,bI
GI
M
P
P
n ?q ?? 其中 m a x1 ?tt ?
64
,
64
3
4
4
3
nR
Gd
K
K
P
Gd
nPR
?
???
其中
圆柱形密圈螺旋弹簧的计算
为弹簧常数
其中：精确值：;
615.0
44
14;
8
3m a x
d
D
C
CC
C
k
d
DP
k
??
?
?
?
?
?
t
非对称截面梁发生平面 弯曲的条件
① 外力必须作用在主惯性面内 ;
② 中性轴为形心主轴 ;
③ 若是横向力，还必须过弯曲中心。
P
x
y
z
O
3m a x
8)1
2( d
DP
D
d
?t ??近似值：
积分法求挠曲线方程（弹性曲线）
)()( xMxfEI ????
1d))(()( CxxMxfEI ???? ?
21d)d))((()( CxCxxxMxE I f ???? ? ?
1.微分方程的积分
2.位移边界条件
P
A BC
P
D
?支点位移条件：
?连续条件：
?光滑条件：
0?Af 0?Bf 0?Df 0?Dq
?? ? CC ff
?? ? CC qq 右左或写成 CC qq ?
右左或写成 CC ff ?
A BC M PA B C
D
K
BCA
P
BCA P
D
按叠加原理求梁的 挠度与转角
一、载荷叠加：
二, 结构形式叠加 （ 逐段刚化法 ）,
+
=C
qP
A B
a a
P
A B
q
A B
逐段刚化法原理原理说明
21 fff ??
PL1 L2
A BC x
f f
BC
PL2
f1
x
f
f2
PL1 L2
A BC M
=
+
共轭梁法 —— 实梁与虚梁的关系
① x 轴指向及 坐标原点完全相同。 ② 几何形状完全相同。
④ 依实梁的“位移”边界条件，建立虚梁的“力”边界条件。
AAAA QEIME I f ?? q ;
EI
Q
EI
Mf x
x
x
x ?? q ;
⑤ 依虚梁的“内力”，求实梁的“位移”。
a,固定端 自由端
b,铰支座 铰支座
c,中间铰支座 中间铰链
载荷。依此建立虚梁上的分布令,)()( xMxq ??③
第二部分
复杂变形部分
321 sss ??
s2
s1
x
y
z
s3 3s 2s 1s
?s
?t
2
31
m a x
sst ??
tmax三向应力分析
平 面 应 力 分 析
?
?
?
??
?
?
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?
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?
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?t?
ss
t
?t?
ssss
s
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?
2c o s2s i n
2
2s i n2c o s
22
xy
yx
xy
yxyx
x
y
sx
txy
sy
O
sy
txysx
s?
t?
?
x
y
O t
n
平 面 内 的 主 应 力
yx
xy
ss
t?
???
22tg
0
！极值正应力就是主应力?? 00?t
） 2222 xyyxyx
m in
m ax tssss
s
s ??±??
?
?
?
（′
′
x
y
sx
txy
sy
O
主
单元体
s??在剪应力相对的项限内，
且偏向于 sx 及 sy大的一侧。m i n2m a x1 ; ssss ??????
1s?
2s?
应 力 圆
sx
txy
sy
x
y
O
n
s?
t?
?
O
s?
t?
A(sx,txy)
B(sy,tyx)
2?
n D( s?,t?? x
C
复杂应力状态下的应力 --- 应变关系
———— （ 广义虎克定律 ）
G
ij
ij
t? ?
? ?? ?kjii E ss?se ??? 1
),,,,( zyxkji ?
x
y
z
sz
sy
txy
sx
强 度 准 则 的 统 一 形 式
? ? ss ?? 其中, s *—相当应力 。
1*1 ss ?
? ?3212 ss?ss ????
? ? ? ? ? ?? ?2132322214 21 sssssss ???????
313 sss ???
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?
? ?
n
sssss,,2.0b?
31 ][
][ s
s
sss
y
L
M ??
?
组合变形的研究方法 —— 叠加原理
① 外力分析,外力向形心 (后弯心 )简化并沿主惯性轴分解
② 内力分析,求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确
定危险面。
③ 应力分析,画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强
度条件。
1.外载分解
2.研究两个平面弯曲
s?
① 内力
② 应力
s??
sss ?????
My引起的应力：
Mz引起的应力：
合应力：
斜弯曲
x
y
z P
y
Pz
P
Pz
Py
y
z
P
?
L
m
mx
④ 最大正应力
⑤ 变形计算
0?s
③ 中性轴方程
1m a x DL ss ?
2m a x Dy ss ?
22 zy fff ??
Pz
Py
y
z
P
?
D1
D2
?
中性轴
f
fz
fy
?
22
313 4 tssss ????
?
W
MMM nzy 222
*
3
??
?s
弯扭组合
经内力分析，确定杆发生弯扭组合变形后，直接 建立强度条件。
1xBs
1Bt
xB1
B2My
Mz
Mn
M
? ? ? ? ? ?? ?2132322214 21 sssssss ???????
22 3ts ??
W
MMM nzy 222*
4
75.0??
?s
1xBs
1Bt
拉 （ 压 ） 弯 组 合,
P MZ My
A
P
xP ?s
z
z
xM I
yM
z
??s
y
y
xM I
zM
y
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y
y
z
z
x I
zM
I
yM
A
P ???s
x
yz P
My
Mz
偏 心 拉, 压 问 题 的 截 面 核 心
01 2 02 0 ???
y
P
z
P
i
zz
i
yy中性轴
y
z
中性轴 ),( PP yzP
截面核心
ay
az
压杆稳定
临界应力总图 （ 线形 ）
压 杆 稳 定
i
L???
crs
2
2
?
?
s E
cr
??s bacr ??
Ps
Ss
b
as
s
??s
?
P
P
E
s
?
?
2
?
压杆的稳定容许应力,
1.安全系数法确定容许应力,
? ?
W
cr
W n
ss ?
2.折减系数法确定容许应力, ? ? ? ?
s?s ?W
的函数。它是折减系数 ??,?
压杆的稳定条件,
? ?WAP ss ??
能量原理
变形能的普遍表达式：
普 遍 形 式 的 莫 尔 定 理
x
EI
xMx
GI
xMx
EA
xNU
LL
P
n
L
d
2
)(d
2
)(d
2
)( 222 ??? ???
?? ??? L
P
nn
LA
xGI xMxMxEA xNxN d)()(d)()( 00? xEI xMxML d)()( 0?
使用莫尔定理的注意事项：
④ M0(x)与 M(x)的坐标系必须一致，每段杆的坐标系可
自由建立。
⑤ 莫尔积分必须遍及整个结构 。
② M0——去掉主动力，在所求 广义位移 点,沿所求
广义位移 的 方向加 广义单位力 时，结构产生的内力。
① M(x)：结构在原载荷下的内力。
③ 所加广义单位力与所求广义位移之积，必须为功的量纲。
n ?
nP
U
?
?? 第二卡氏定理
第二卡氏定理
使用卡氏定理的注意事项：
① U——整体结构在外载作用下的线弹性变形能
② Pn 视为变量，结构反力和变形能等都必须表示为 Pn的函数
③ ?n为 Pn 作用点的沿 Pn 方向的 变形。
④ 当无与 ?n对应的 Pn 时，先加一沿 ?n 方向的 Pn,求偏导后，
再令其为零。
特 殊结 构 （ 杆 ） 的卡氏 定理
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
L
n
L
n
n
P
L
nn
n
x
P
xM
EI
xM
x
P
xM
GI
xM
x
P
xN
EA
xN
P
U
d
)()(
d
)()(
d
)()(
n
?