5.1 引言
? 函数逼近,用比较简单的函数代替复杂的
函数
? 误差为最小，即距离为最小（不同的度
量意义）
举例
? 对被逼近函数 f(x)=sqrt(x）,在区间
［０,１］上按如下三种不同的逼近方
式求其形如
p1(x)=ax+b
? 的逼近函数,
? 解 （ 1)按插值法，以 x0＝ 0,x1＝１ 为插
值节点对 f(x) 作一次插值所得形如 (1)
式的 p1(x)是 p1(x)=x.
dis(f(x),p1(x))=‖f(x) -p1(x)‖ ∞ =max|f(x)-p1(x)|
的意义下，在 P１ [０，１］ 中求得与 f(x)的距离最小的形如 (1)
式的 p1(x) p１ (x)=x+1/8.
③按距离 dis (f(x),p１ (x)) =‖f(x) -p1(x)‖ ２
=(∫ 01[f(x)-p１ (x)２ dx) 1/2
的意义下，在 P１ [０，１］ 中求得与 f(x)的距离最小的形如 (1)式的
p１ (x) p１ (x)=4/5x+4/15
? 可见，对同一个被逼近函数，不同距离
意义下的逼近，逼近函数是不同的,
Chebyshev多项式及其应用
? Chebyshev多项式及其性质
? 定义 1 称 Tn(x)=cos(n arccos x),|x|≤1
? 为 n次 Chebyshev多项式
? 定义 2(交错点组 ) 若函数 f(x)在其定义域的某一区
间［ a,b］ 上存在 n个点 {xk}n k=1，
? ① |f(xk)|=max|f(x)|=‖f(x)‖ ∞, k=1,2,…, n;
? ② -f(xk)=f(xk+1),k=1,2,…, n-1,
? 则称点集 {xk}n k=1为函数 f(x)在区间［ a,b］ 上的一
个交错点组, 点 xk称为交错点组的点,
It is very important
预备知识：
Chebyshev多项式的性质
? 性质 1 n次 Chebyshev多项式 Tn(x)的首
项系数为 2n-1
? 性质 2 n次 Chebyshev多项式相邻三项有
递推关系,
? T0(x)=1,T1(x)=x,
? Tn+1(x)=2xTn(x)-Tn-1(x),n=1,2,…,
当 时,即 {x1,…,
xn } 为 Tn(x)的 n个零点。
),...,1(2 12c o s nknkx k ??????? ?? ? 0)( ?kn xT
?性质 6
?性质 8
?当 时,交错取到极大值 1
和极小值 ?1，即
),...,1,0(co s nknkt k ???????? ? )( kn tT
??? ||)(||)1()( xTtT nkkn
denote
?
? 显然 是首项系数为 1的 n次
Chebyshev多项式,
? 又若记
? 为一切定义在［－１，１］上首项系数
为 1的 n次多项式的集合
* ()nTx
*
1
()()
2
n
n n
TxTx
??
* [ 1,1 ]
nP ?
? 这个性质，称为 Chebyshev多项式最小模
性质,
**
**
| | ( ) | | ( )
( ) [ 1 1 ]
nn
nn
T x p x
p x P
? ??
??对 任 意, 成 立
§ 3 Optimal Approximation
? Chebyshev 多项式的应用
—— 多项式降次 ( reduce the degree of polynomial
with a minimal loss of accuracy)
设 f (x) ? Pn(x)。 在降低 Pn(x) 次数的同时,使
因此增加的误差尽可能小,也叫 economiza-
tion of power series。
从 Pn中去掉一个含有其最高次项的,结果降
次为,则：
Pn
~P
n?1
|)(|max|)()(|max|)()(|max
]1,1[]1,1[1]1,1[
xPxPxfxPxf nnn
????
+??? ~
因降次而增的误差
设 Pn 的首项系数为 an,则取 可使
精度尽可能少损失。
12
)()(
??? n
n
nn
xTaxP
§ 3 Optimal Approximation
例,f (x) = ex 在 [?1,1]上的 4 阶 Taylor 展开为
24621
432
4
xxxxP ++++?,此时误差 023.0||
!5|)(|
5
4 ?? x
exR
请将其 降为 2阶多项式 。
解,取 )
8
1(
24
1)(
2
1
24
1 24
434 +???? xxxTP
188 244 +?? xxT（查表知 ）
)81(241621 23244 +??+++?? xxxxPP 32 612413192191 xxx +++?
取
)43(61)(2161 3323 xxxTP ???? xxT 34 33 ??
（查表知 ）
192
191
8
9
24
13~ 2
33 ++?? xxPP 057.0||)(
~|| 2 ?? ?xPe x
若简单取,则误差
21)(
2
2
xxxP ++? 45.0
!3 ??
e
另类解法可阅读 p.228例 1。
注,对一般区间 [a,b],先将 x 换为 t, 考虑 f (t)在 [?1,1]上
的逼近 Pn(t),再将 t 换回 x,最后得到 Pn(x)。
§ 5.3 函数的最佳一致逼近 (Optimal uniform Approximation)
|)(|m ax|||| ],[ xff bax ???
在 意义下，使得 最小。
?? |||| yP
偏差
/* deviation*/
?在 Pn［ a,b］ 中，是否存在一个元素 pn(x)，
使不等式
?‖f(x) -p*n(x)‖ ∞ ≤‖f(x) -pn(x)‖ ∞ (1)
?对任意的 pn(x)∈P n［ a,b］ 成立?
一,最佳逼近元的存在性
? 定理 5.3.1 对任意的 f(x)∈C ［ a,b］,在 Pn［ a,b］
中都存在对 f(x)的最佳一致逼近元，记为 p*n(x)，
即
? ‖f(x) -p*n(x)‖ ∞ =inf{‖f(x) -pn(x)‖ ∞ }
? 成立,
?
2 最佳一致逼近元的充要条件
? 定理 5.3.2 (Chebyshev定理） pn*(x)∈P n
［ a,b］ 为对 f(x)∈C ［ a,b］ 的最佳一致逼
近元的充要条件是误差曲线函数
? f(x)- pn*(x)
? 在区间［ a,b］ 上存在一个至少由 n+2个点组
成的交错点组,
即存在点集 a ? t1 <…< tn+2 ? b 使得
*( ) ( ) || ( ) ( ) ||
k n kf t p t f x p x ?? ? ? ?
证明充分性
? 用反证法, 设 f(x)- pn*(x)在［ a,b］ 上存在一
个至少由 n+2个点组成的交错点组，但 pn*(x)不
是最佳一致逼近元,
? 不妨设 Pn［ a,b ］ 中的元素 qn(x)为最佳一致逼
? ‖f(x) -qn(x)‖ ∞ <‖f(x) -pn*(x)‖ ∞, (4)
? Q(x) = pn*(x) -qn(x)
? =〔 f(x)-qn(x)〕 -〔 f(x)- pn*(x)〕
? 记 {x1*,x2*,…,xn+2*}为误差曲线函数 f(x)-
pn*(x)在［ a,b］ 上的交错点组，
? 由 (4)式可知 n次多项式 Q(x)在点集 {x1*,
x2*,…,xn+2*}上的符号完全由 f(x)- pn*(x)
在这些点上的符号所决定，
? {x1*,x2*,…,xn+2*} 为 f(x)-pn*(x)的交错
点组，即 f(x)- pn*(x) 在这 n+2个点上正
负 (或负 正 )相间至少 n+1次，从而至少 n+1
次改变符号，
? 故 Q(x)也至少 n+1次改变符号，
? 说明 n次多项式 Q(x)至少在［ a,b］ 上有 n+1
个根，矛盾,
? ‖f(x) - pn*(x)‖ ∞ ≤‖f(x) -qn(x)‖ ∞,
三,最佳一致逼近元的惟一性
? 定理 5.3.3 在 Pn［ a,b］ 中,若存在对
函数 f(x)∈C ［ a,b］ 的最佳一致逼近元，
则惟一,
证明,反证，设有 2个最佳一致逼近元, 分别是
pn* 和 qn(x) 。
则它们的平均函数 也是一个 最佳一
致逼近元 。
* ( ) ( )
() 2nnn p x q xpx +??
? 令 En=‖f(x) - pn*(x)‖ ∞ =‖f(x) -qn(x)‖ ∞,
? 由于 En≤‖f(x) -（ pn*(x)+qn(x))/2‖ ∞
? ≤1/2(‖f(x) -pn*(x)‖ ∞ +‖f(x) -qn(x)‖ ∞ )
? ≤ 1/2(E n+En)=En,
? 这说明
? 也是对函数 f(x)∈C ［ a,b］ 的最佳一致逼近元,
* ( ) ( )
() 2nnn p x q xpx +?
?现设误差曲线函数 f(x)-?pn(x)在区间［ a,b］
上的一个交错点组为 {x1,x2,…,xn+2}, 为此
?En=|f(xk)-?pn(xk)|
? =1/2|(f(xk)-pn*(xk))+(f(xk)-qn(xk) ) |.
?
?
?若对某一个 k,1≤k≤n+2,
?f(xk)-pn*(xk)≠f(x k)-qn(xk),那么上式两个差中至
少有一个达不到 En或 -En，
?En＝ |f(xk)-?pn(xk)|
? ≤ 1/2 (| f(x k)-pn*(xk)|)+|f(xk)-qn(xk)|)
? < 1/2(‖f(x) - pn*(x)‖ ∞ +‖f(x) -qn(x)‖ ∞ )
? ＝ 1/2(En+En)=En,
?这是不可能的，只有,f(xk)-pn*(xk)=f(xk)-qn(xk),
k=1,2,…, n+2，
?即 pn*(xk)=qn(xk),k=1,2,…, n+2.
?而 pn*(xk),qn(xk)∈P n［ a,b］,故必有 pn(x)=qn(x).
四、关于最佳一致逼近元的求解
（ 1） 当 f(x)为［－１，１］上的 n+1次多项式时，求
f(x)在 Pn［－１,１］ 中的最佳一致逼近多项式,
（利用 Chebyshev多项式最小模性质，就比较容易）
? 不妨记 f(x)=b0+b1x+… + bn+1xn+1,|x|≤1,且设
bn+1≠0, pn(x)为最佳一致逼近元,
? 由于首项系数为 1的 n+1次 Chebyshev多项式 Tn+1(x)
无穷模最小，
*
*
1
1
( ) ( ) ()n
n
n
f x p x Tx
b ++
? ?
? pn*(x)=f(x)-bn+1Tn+1(x).(5)
考虑两种特殊情形
? 例 1 设 f(x)=4x4＋ 2x３ －５ x２ ＋ 8x-5/2，
|x|≤1,f(x) 在 P3［ -1,1］ 中的
最佳一致逼近元 p3(x).
?解 由 f(x)的表达式可知 b４ ＝４,首项系数为 1的 4次
Chebyshev多项式
?T4(x)＝ x４ － x２ ＋ 1/8.
? 由 (5)式得 p3*(x)=f(x)-4T4(x)=2x３ － x２ ＋ 8x-3.
?对区间为［ a,b］ 的情形，作变换
?x=(b-a)t/2+(b+a)/2 (6)
?后，对变量为 t的多项式用 (5)式求得 pn(t),然后再作
(6)式的反变换得到［ a,b］ 上的最佳一致逼近多项式,
（ 2）逼近多项式 为低次多项式时
关于交错点组的定理
定理 5.3.4 设 pn*(x)∈P n［ a,b］ 为对 f(x)∈C
［ a,b］ 的最佳一致逼近元, 若 f(n+1)(x)在区
间［ a,b］ 上不变号，则 x=a和 b为误差曲线函
数 f(x)-pn(x)在区间［ a,b］ 上交错点组中的
点,
证 用反证法, 若点 a (点 b类似 )不属于交错点
组，那么在区间 (a,b)内至少存在 n+1个点属于
交错点组, 若 f(x)足够光滑，由交错点组的定
义，可以证得 (a,b)内的交错点必为误差曲线函
数 f(x)-pn*(x)的驻点，
?即区间 (a,b)内 n+1个交错点上,f(x)-pn*(x)
的一阶导数等于零, 这样，由 Rolle定理便可
推得在 (a,b)内至少存在一点 f (n+1)
(? ) =0.
?这与 f(n+1)(x)在［ a,b］ 上不变号
?则 f(n+1)(x)无零点矛盾，故点 x=a属于交错点组,
推论 1
设 pn*(x)∈P n［ a,b］ 为对 f(x)∈C ［ a,b］ 的
最佳一致逼近元, 若 f(n+1)(x)在区间 (a,b)
上不变号，但在 x=a (或 b)处不存在 (但为
无穷 )而符号与 (a,b)内 f(n+1)(x)的符号相同，
则 x=a(或 b)属于 f(x)- pn*(x)的交错点组,
例 2 设 f(x)= ??x,求在 P1［ 0,1］ 中对
f(x)的最佳一致逼近元,
解 由定理 5.3.4和推论 1可知 x=0,1为 f(x)-
p1*(x)交错点组的点,?
由定理 5.3.2，交错点还差一个，?
记这个点为 x1∈ （０，１）, x０ ＝０, x２ ＝１,
x１ 为区间 (0,1)内的交错点，所以 x１ 就是误差曲线函数
f(x)- p1*(x)的驻点,
记 p1*(x)=a０ ＋ a１ x，
?由〔 ??x-(a0+a1x)〕 ′ x１ ＝０,可得
?
x１ ＝ 1/(2a１ )２,
p1(x)＝ x+1/8
为所求在 P1［ 0,1］ 中对 f(x)= ??x 的最佳一致逼近多项式,
因为 x=0,1为交错点，由〔 ??x-(a0+a1x)〕 x=0＝ 〔 ??x-(a0+a1x)〕 x=1
得 a1=1
将 a１ ＝１ 代入 x１ ＝ 1/(2a１ )２ 得 x１ ＝ 1/4,
〔 ??x-(a0+a1x)〕 x1=1/4＝ -〔 ??x-(a0+a1x)〕 x2=1
?得 a０ ＝ 1/8，