7.3 Romberg积分
设 是任意数,是关于步长 h逼近
的近似公式,它们的误差估计式为
(1)
0h ? ()Fh
*F
* 2 31 2 3( ),..F F h k h k h k h? ? ? ? ?
7.3.1 Richardson外推法
外推法是用精确度较低的近似公式组合成精
确度较高的近似公式的一种方法,
这里,k1,k2,k3,… 是一组常数,
我们希望找到一种简便的方法,用近似公式 F(h)的
组合,得到误差阶较高的近似公式,使
(2)
此时,逼近 F* 的误差为 O(h2)
类似地,用 组合产生逼近 F* 的误差 为 O(h3)
的近似公式等,下面我们给出一种具体的组合方法,
()Fh *F ()Oh
2()Oh
~ ()Fh
~* ' 2 ' 3
23( ),,,F F h k h k h? ? ? ?
~ ()Fh
~ ()Fh
按 (1)式,称 逼近 的误差为,把 h
的幂次称为误差的阶,例如,称为二阶误差
把 (1)式改写为
(3)
用 h/2代替 (3)式中的 h,得
(4)
用 2乘 (4)式再减去 (3)式,消去含 h的项,得
(5)
令,且记
* 2 31 2 3( ),..F F h k h k h k h? ? ? ? ?
23
*
1 2 3( ),.,2 2 4 8
h h h hF F k k k? ? ? ? ?
23
* 2 3
23[ ( ) ( ( ) ( ) ) ] ( ) ( ),,,2 2 2 2
h h h hF F F F h k h k h? ? ? ? ? ? ? ?
1 ( ) ( )F h F h?
2 1 1 1( ) ( ) [ ( ) ( ) ]22
hhF h F F F h? ? ?
那么 (5)式可写为
(6)
这里,逼近 的误差为
再用 h/2 代替 h,使 (6)式变为
(7)
用 4乘 (7)式减去 (6)式,消去含 的项,得
(8)
同样记
* 2 3
2 2 3
13( ),,,
24
F F h k h k h? ? ? ?
2 ()Fh 2()Oh
* 2 3
2 2 3
13( ),,,
8 3 2
F F h k h k h? ? ? ?
2h
*3 22
23
( / 2 ) ( ) 1[ ( ) ],,,
2 3 8
F h F hhF F k h?? ? ? ?
22
32
( / 2 ) ( )( ) ( )
23
F h F hhF h F ???
*F
(8)式可以写为
(9)
这里 逼近 的误差为
还是用 h/2代替 h代入 (9)式后,类似上述过
程,可以得到误差为 的
一般地,对,有逼近 的误差为
的递推公式
(10)
也称为关于步长 h的外推公式,
表 7-1列出了 时,按 (10)式产生
的计算次序,表中各列左边黑体数字表示序号,
*3
33
1( ),.,
8
F F h k h? ? ?
3()Fh
*F 3()Oh
4()Oh
4 ()Fh
2,3,...,kn?
()kOh
*F
11
1 1
( / 2 ) ( )( ) ( )
2 2 1
kk
kk k
F h F hhF h F ??
? ?
???
?
2,3,4k ? ()kFh
表 7-1
例 1 设 带余项的差分公式为
()Oh 2()Oh 3()Oh 4()Oh
11, ( ) ( )F h F h?
122, ( ) ( ) 3, ( )22
hhF F F h?
1 2 34, ( ) ( ) 5, ( ) 6, ( )4 4 2
h h hF F F F h?
1 2 3 47, ( ) ( ) 8, ( ) 9, ( ) 1 0, ( )8 8 4 2
h h h hF F F F F h?
'
0()fx
(11)
导出具有误差为 的外推公式,
解 令
用 h/2代替 h,得
(12)
为消去含 的项,用 4乘 (12)式减去 (11)式,得
2
' '''
0 0 0 0
1( ) [ ( ) ( ) ] ( )
26
hf x f x h f x h f x
h
? ? ? ? ?
4
( 5 )
0( ),,,120
h fx??
2()jOh
1 0 0
1( ) ( ) [ ( ) ( ) ]
2F h F h f x h f x hh? ? ? ? ?
24
' ''' ( 5 )
0 1 0 0( ) ( ) ( ) ( ),..2 2 4 1 9 2 0
h h hf x F f x f x? ? ? ?
2h
2h
从而有
(13)
这里
这时,逼近 的误差为,
重复用 h/2代替 h并消去含 的项
,得到逼近 的误差为 的
外推公式为
( 4 )
' ( 5 )
0 1 1 03 ( ) 4 ( ) ( ) ( ),..2 16 0
hhf x F F h f x? ? ? ?
( 4 )
' ( 5 )
0 2 0( ) ( ) ( ),..480
hf x F h f x? ? ?
11
21
( / 2 ) ( )( ) ( )
23
F h F hhF h F ???
2 ()Fh ' 0()fx ( 4 )()Oh
2ih ( 2,3,.,,,1 )ij??
46(,,..,)hh如 ' 0()fx 2()jOh
注意 (14)式中第二项的分母为 而不
是 (10)式中的,这是由于 (11)式中的余项
为关于 的幂次而不是关于 h的幂次,
7.3.2 Romberg求积方法
Romberg求积方法是以复化梯形公式为基
础,应用 Richardson外推法导出的数值求积方
法,
回忆 7.2.1节的复化梯形公式,分别把积分区
11
1 1
( / 2 ) ( )( ) ( ) 2,3,...,
2 4 1
jj
jj j
F h F hhF h F j k??
? ?
?? ? ?
?
141j? ?
121j? ?
2h
间 [a,b]分为 1,2,4等分的结果列入表 7-2.
表 7-2
k
1 1
2 2
3 4
12 kkm ??
k
k
bah
m
??
1h b a??
2
1 ()
2h b a??
3
1 ()
4h b a??
1 [ ( ) ( ) ]
2
h f a f b?
2
2[ ( ) ( ) 2 ( ) ]2
h f a f b f a h? ? ?
3
3{ ( ) ( ) 2 [ ( )2
h f a f b f a h? ? ? ?
33( 2 ) ( 3 ) ] }f a h f a h? ? ?
我们还可以进一步推导出它们的递推关系,由
可以化为
类似地,有
一般地,把区间 [a,b]逐次分半 k-1次,
区间长度 (步长 )为,其中,为
2
22[ ( ) ( ) 2 ( ) ]2
hT f a f b f a h? ? ? ?
1
2 1 2
1 { [ ( ) ( ) ] ( ) ] }
22
hT f a f b h f a h? ? ? ?
1 1 2
1 [ ( ) ]
2 T h f a h? ? ?
3 2 2 3 3
1 [ ( ( ) ( 3 ) ) ]
2T T h f a h f a h? ? ? ? ?
( 1,2,.,,,)kn?
k
k
bah
m
?? 12 kkm ??
叙述方便起见,记,那么,
(15)
或
(16)
从而有
(17)
其中,
按外推法的思想,可以把 (15)看成是关于
(1)kkTT?
1
(1)
1
[ ( ) ( ) 2 ( ( )) ]
2
km
k
kk
j
hT f a f b f a j h?
?
? ? ? ??
( 1 ) 2 ''( ) ( )
12
b
k k ka
baf x d x T h f ?????
[,]k ab? ?
kh
/2
( 1 ) ( 1 )
11
1
1 [ ( ( 2 1 ) )]
2
km
k k k k
j
T T h f a j h??
?
? ? ? ??
误差为 的一个近似公式,因此,复化梯形公
式的误差公式为
(18)
为消去 项,再取 代替 (18)式中的,
得
(19)
2()kOh
( 1 ) 2 4
12( ),.,
b
k k ka f x d x T K h K h? ? ? ??
2 2 2
1
12
ii
i k k i k
ii
K h K h K h
??
??
? ? ???
2
kh 1
1
2kkhh? ? kh
( 1 ) 2 2
11 2
1
1()
2
b ii
k i k i kia
i
f x dx T K h K h
?
??
?
? ? ???
22
1
2
11
44
i
k i ki
i
K h K h
?
?
?? ?
用 4乘 (19)式再减去 (18)式,得
(20)
记
(21)
这是误差为 的外推公式,
重复上述过程,将区间逐次分半 k-1次后,可
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) 1
1( ) ( )41
b kk
ka
TTf x d x T ?
?
???
??
2
2
2
1 ()
3 4 1
i
ik
iki
i
hKh?
?
?? ??
1
2
1
2
1 2 4()
3 4 1
i
i
iki
i
Kh
??
?
?
??
??
( 1 ) ( 1 )
( 2 ) ( 1 ) 1,2,3,.,,,.
3
kk
kk
TTT T k n??? ? ?
4()Oh
以得到误差为 的外推公式
(22)
当 j=2时
(23)
当 K=2时,有
这是 n=2的复化 Simpson公式的,不难验证,对
一般的 k,,这里,是 的复化
2()jOh
2,3,.,,,,2,3,.,,,k n j n??
( 1 ) ( 1 )
( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1
1
1 ( 4 )
33
kk
k k k k
TTT T T T?
?
?? ? ? ?
( 2 ) 2
2 2 2
11[ 4 ( ( ) ( ) 2 ( ) ) 2 ( ( ) ( ) ) ]
3 2 2
hT f a f b f a h h f a f b? ? ? ? ? ? ? ?
22
1 [ ( ) 4 ( ) ( ) ]
3 h f a f a h f b? ? ? ?
2S
( 2 ) 12kkTS ?? 1
2kS ?
12 kn ??
( 1 ) ( 1 )
( ) ( 1 ) 1
141
jj
jj kk
kk j
TTTT ??? ?
?
???
?
Simpson公式,
类似地,当 j=3时,
(24)
在实际计算中,经常直接应用 (23)式和形式与 (24)
式相类似的公式进行计算,
所谓 Romberg求积方法,就是由上述两部分
组成,第一部分,对积分区间逐次分半 k-1次,用复
化梯形求积公式 (16)计算,第二部
分,用外推公式 (22)计算
( 2 ) ( 2 )
( 3 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )1
1
1 ( 1 6 )
1 5 1 5
kk
k k k k
TTT T T T?
?
?? ? ? ?
( 1 ) ( 1,2,..,)kTk ?
() ( 2,3,...,2,3,...,)jkT k j k??
用 Romberg求积方法计算 的计算值的
过程如下,首先,令 k=1,区间长度,用梯形
求积公式计算 (表 7-3中第一行 );区间分半,令
K=2,区间长度,先按 (16)式计算,再按
外推公式 (22)式计算 (表 7-3中第二行 );再区
间分半,令 k=3,区间长度,先按 (16)
式计算,再按 (22)式计算 (表 7-3中第
三行 )等等,逐次分半区间 k次后的计算结果如表
7-3所示 (见下页 ).
()ba f x dx?
1h b a??
(1)1T
21
1
2hh? (1)2T
(2)2T
3 2 12
11
22h h h??
(1)3T
( 2 ) ( 3 )33,TT
表 7-3
:
:
:
,…….
表 7-3中 的计算按行 (k的序号 )进行,每行第
1个元素 用复化梯形公式 (16)计算,其他元
素 均按 (22)式用 与 的组
合得到,在实际应用中,往往根据实际问题对计
(1)1T
(1)2T
(2)2T
(1)3T (2)
3T (3)3T
1h
2h
3h
kh (1)kT
(2)kT (3)kT ()kkT
(1)kT
()jkT
( 1)jkT ? ( 1 )1 ( 2,3,...,)jkT j k?? ?()j
kT
算精确度的要求来确定区间逐次分半的次数,
常用不等式
(25)
作为达到精确度要求的判断准则,这里,是给
定的一个小的正数,
例 2 用 Romberg求积方法计算
(26)
的近似值,给定
解 首先令区间长度,用梯形求积公式计算
?
1
0
1 l n 2 0, 6 9 3 1 4 7 1,,,
1 dxx ????
0,0 0 1? ?
1 1h ?
( 1 ) 1
1 [ ( 0 ) ( 1 ) ] 0, 7 5 0 0 0 0 02
hT f f? ? ?
( ) ( 1 )[]jj
kkTT ?
???
区间 [0,1]分半,令区间长度,按 16式
计算
再按 (23)式计算
这时
未达到精确度要求,
为此,再将区间分半,令区间长度
按 (16)式计算
21
11
22hh??
( 1 ) ( 1 )
2 1 2
1 ( 0, 5 ) 0, 7 0 8 3 3 3 3,
2T T h f? ? ?
( 2 )
2
1 ( 4 0, 7 0 8 3 3 3 3 0, 7 5 0 0 0 0 0 ) 0, 6 9 4 4 4 4 4
3T ? ? ? ?
( 1 ) ( 2 )22[ ] 0,01 38 88 9TT ??
32
11
24hh??
按 j=2和 j=3的外推公式 (23)和 (24),分别用
和 的组合得到 以及用 和 的组合
得到,即
以及
这时,
已满足不等式 (25)的要求, 作为积分 (26)式
的近似,其误差为,
( 1 ) ( 1 )
3 2 3
1 [ (0, 2 5 ) (0, 7 5 ) ] 0, 6 9 7 0 2 3 7
2T T h f f? ? ? ?
(1)2T
(1)3T (2)
3T
(2)3T(2)2T
(3)3T
( 2 ) ( 1 ) ( 1 )
3 3 2
1 ( 4 ) 0, 6 9 3 2 5 3 8
3T T T? ? ?
( 3 ) ( 2 ) ( 2 )
3 3 2
1 ( 1 6 )
15T T T??
( 1 ) ( 2 )
33[ ] 0,00 06 36 4TT ??
63()Oh
(3)3T
下面给出用 Romberg求积方法计算
近似值的计算步骤,用二维数组 T的元素 存
放表 7-3中的,
1 输入,积分区间端点
2 令,计算
3 令
4 令,计算
5 for j=2,3,…,k
5.1 计算
end for (j)
()ba f x dx?
jkT
()jkT
,;ab?
1h b a?? 1
11 [ ( ) ( ) ]2
hT f a f b??
1
12,
2kk h h??
12 kkm ??
/2
( 1 ) ( 1 )
11
1
1 [ ( ( 2 1 ) )]
2
km
k k k k
j
T T h f a j h??
?
? ? ? ??
( 1 ) ( 1 )
( ) ( 1 ) 1
141
jj
jj kk
kk j
TTTT ??? ?
?
???
?
6 if,then
goto 8
end if
7 令 k=k+1,,goto 4
8 输出
9 end
( ) ( 1 )[]jjkkTT ????
1
1
2kkhh ??
jkT
7.5 Gauss求积公式
7.5.1 引言
求积公式
(1)
当求积系数,求积节点 都可以
自由选取时,其代数精确度最高可以达到多少
次?
下面的引理可以回答上述问题,
1
( ) ( ) ( ) ( ) (,)
nb
kka
k
I f x f x dx A f x R f??
?
? ? ???
1{}nkkA ? 1{}nkkx ?
引理 1 当求积系数 和求积节点
都可以自由选取时,n点的求积公式 (1)的代数精
确度最高可以达到 2n-1次,
证 假设求积公式 (1)具有 m次代数精确度,
即对任意的 m次代数多项式
求积公式 (1)的精确成立,于是成立等式
即
若记 (2)
0
()
m
i
m i m
i
p x a x P
?
???
1
( ) ( ) ( )
mb
m k m ka
k
x p x dx A p x?
?
? ??
1
1 1 0
01
( ) (,., )
mn b
i m m
i k m k m k ka
ik
a x x dx A a x a x a x a? ??
??
? ? ? ? ????
( ),0,1,2,..,,b i i
a
x x d x i m?? ???
1{}nkkA ? 1{}nkkx ?
则 (2)式成为
(3)
由于系数 的任意性,故使 (3)式
成为恒等式的充要条件是
(4)
(4)式的待定系数有 2n个,所以确定待定系数的
1 1 1 1 0 0...m m m ma a a a? ? ? ???? ? ? ?
10
1 1 1
...
n n n
m
m k k k k k
k k k
a A x a A x a A
? ? ?
? ? ? ?? ? ?
1 1 0,,.,,,,mma a a a?
1 2 0
1 1 2 2 1
1 1 2 2
n
nn
m m m
n n m
A A A
A x A x A x
A x A x A x
?
?
?
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
?
独立条件至多给出 2n个,从而可知 m至多为
2n-1.
定义 1 n点的求积公式 (1)具有 2n-1次代数
精确度 (或称为具有最高的代数精确度 )时,称
为 Gauss型求积公式,
Gauss型求积公式的求积节点,称为
Gauss点,它们可以通过求区间 [a,b]上带权
的 n次正交多项式 的 n个根获得,所以先介
绍正交多项式及其性质,然后讨论 Gauss型求
积公式的构造,等等,
1{}nkkx ?
()x?
()ngx
7.5.2 正交多项式及其性质
定义 2 若
(1),则称函数 f(x)和 g(x)在区间
[a,b]上正交,
(2),则称函数 f(x)和 g(x)在区
间 [a,b]上带权 正交,
(3)代数多项式序列 (下标 k为多项式
的次数,表示 k次多项式 ),在区间 [a,b]上满足
当 m n
当 m=n
则称多项式序列 为区间 [a,b]上带权
( ) ( ) 0ba f x g x d x ??
( ) ( ) ( ) 0ba x f x g x d x? ??
()x?
0{ ( ) }kkgx ??
()kgx
2
0,
( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ) 0
b
bnm
a
na
x g x g x d x
x g x d x
?
?
??
? ?
???? ?
?
0{ ( ) }kkgx ??
的正交多项式序列,
定义 3 若 n次记多项式 中含 项的系
数为,则称 为 的 首次系数 ; 时,称
为 首次系数为 1的 n次多项式,
正交多项式有如下性质,
性质 1 若 是区间 [a,b]上带权 的正
交多项式序列,则它们线行无关,
证 对任意的,若,在式子
两边同乘,并从 a到 b积分,由
的正交性定义 1中的 (3)可知必有
()x?
()ngx nx
nd nd
()ngx 0
nd ?
* ()() n
n
n
gxgx
d?
0{ ( ) } nkkgx ? ()x?
[,]x a b?
0
( ) 0
n
kk
k
c g x
?
??
( ) ( )lx g x? ( 0,1,...,)ln?
0{ ( )} nkkgx ? 0
lc ?
.故正交多项式序列 线性无关,
由性质 1可知,若 为 [a,b]上带权 的
正交多项式序列,则序列 可以作为空间
的一组基函数,即 中的任一元素
可由它们线性表出,
其中 为组合系数,
性质 2 若 为 [a,b]上带权 的正交多
项式序列,且,则
0{ ( )} nkkgx ?
()x?
0{ ( )} nkkgx ?
[,]nP a b [,]nP a b ()
npx
0
( ) ( )
n
n k k
k
p x a g x
?
? ?
0{}nkka ?
( 0,1,...,)ln? 0{ ( )} nkkgx ?
0{ ( )}kkgx ?? ()x?
( ) [,]nq x P a b?
(1)
(2)
事实上,由性质 1,.由 的正
交性定义容易证得 (1).证 (2)也是类似的,
为方便起见,记
下面,不加证明地给出正交多项式如下的性质,
性质 3 [a,b]上带权函数 的正交多项式序
列 相邻三项的递推关系为
其中,,
0
( ) ( )
n
kk
k
q x a g x
?
? ? { ( )}ngx
(,) ( ) ( ) ( )baf g x f x g x d x?? ?
0{ ( )}kkgx ??
1 1 1( ) ( ( ) ) ( ) ( ),1,2,..,,n n n n n ng x a x g x g x n??? ? ?? ? ? ?
1n
n
n
d
a
d
?? 1 (,)
(,)
n n n
n
n n n
d g x g
d g g?
?? ? ?
( ) ( ) ( ) 0,1,2,..,b ka x q x g x d x k n n? ? ? ? ??
( ) ( ) 0,0,1,2,...,1b ina x g x x dx i n? ? ? ??
()x?
为 的首项系数,
即为
性质 4 [a,b]上带权函数 的正交多项式
序列 中任意相邻两个正交多项式 和
的根相间,
若记,的根分别为,
则所谓 与 的根相同,即是指这两个正
交多项式的根有如下的关系,
11
1 2
11
(,),
(,)
n n n n
n
n n n
d d g g
d g g?
??
?
??
? ? ?
11,,n n nd d d?? 11( ),( ),( )n n ng x g x g x??
( ) (,1 )kg x k n n??
0{ ( )}kkgx ?? ()ngx
1 ()ngx?
()ngx 1 ()ngx? () 1{}nniix ? ( 1) 11{}nnjjx ???
1 ()ngx?()ngx
()x?
性质 5 (1) 区间 [a,b]上带权函数 的正交
多项式序列 与 对应元素之间
只相差一个比例常数,
(2)区间 [a,b]上带权函数 首项系数为 1的
正交多项式序列 唯一,
常见的正交多项式有 Legendre(勒让德 )多
项式,Hermite多项式,Chebyshev多项式以
及 Jacobi多项式,Chebyshev多项式在 5.2节已
( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )
1 1 2,1,2,...,1
n n n n n
i i i i ix x x x x i n
???
? ? ?? ? ? ? ? ?
0{ ( ) }nnfx ?? 0{ ( ) }nngx
??
* 0{ ( )}nngx ??
()x?
()x?
详细讨论,这里主要介绍 Legendre多项式
一,Legendre多项式
隐式表达式
显式表达式
()nPx
0
2
( ) 1,
1 ( 1 )
( ),1,2,.,,
2!
nn
n nn
Px
dx
P x n
n d x
??
?
? ?
? ? ??
?
0
2
0
( ) 1,
1 ( 2 2 )
( ) ( 1 ),
2 ! ( ) ! ( 2 ) !
N
j n j
n n
j
Px
nj
P x x
j n j n j
?
?
??
?
??
???
???
?
1,2,...n ?
当 n为偶数时,
当 n为奇数时,
Legendre多项式的主要性质有
(1)n次 Legendre多项式 的首项系数
当 x=1,
当 x=-1.
(3)正交性为, 为区间 [-1,1]上带权
函数 的正交多项式序列,且有
/ 2,
( 1 ) / 2,
n
N
n
?
? ?
??
其 中
()nPx
2
( 2 ) !( ) ;
2 ( ! )n n
nx
n?d
1,
( 2 ) ( 1 )
( 1 ),n n
P
?
?? ?
??
0{ ( ) }nnPx ??
( ) 1x? ?
当 m n
当 m=n
(4) Legendre多项式相邻三项的递推关系
为
二,Legendre多项式
将隐式表达式
1
1
0,
(,) ( ) ( ) 2
,
21
m n m nP P P x P x d x
n
?
?
?
? ?
? ??
?
?
0
1
11
( ) 1,
( ),
21
( ) ( ) ( ),1,2,.,,
11
n n n
Px
P x x
nn
P x x P x P x n
nn
??
?
? ?
?
??
?
?
? ? ? ?
???
()Ln x
()() n n xx
n n
d x eL x e
dx
?
?
将隐式表达式中 n阶导数用乘积导数的
Leibniz公式可得显式表达式
Legendre多项式的主要性质有
(1)n次 Legendre多项式 的首项系数
(2)正交性为, 为区间 上带权函
数 的正交多项式序列,且有
0
!( ) ( 1 )
( ) !
n
n k k n k
nn
k
nL x C x
nk
??
?
?? ??
()nLx ( 1 ) nnd ??
0{ ( ) }nnLx ?? [0,)??
() xxe? ??
20
0,
(,) ( ) ( )
( ! ),
x
n m n mL L e L x L x d x n
?? ? ??
?? ?
?
?
当 mn
当 m=n
权函数 的正交多项式序列,且有
(3) Hermite多项式相邻三项的递推关系为
四,Jacobi多项式
Jacobi多项式是在区间 [-1,1]上带权函数
的正交多项式,其中
2() xxe? ??
2 0,,
(,) ( ) ( )
2 !,
x
m n m n n
mn
H H e H x H x d x
n ?
?? ?
??
???
?? ?
???
当
当 m=n;
0
1
11
( ) 1,
( ) 2,
( ) 2 ( ) 2 ( ),1,2,...n n n
Hx
H x x
H x x H x nH x n??
??
?
??
? ? ? ?
?
( ) ( 1 ) ( 1 )x x x??? ? ? ? 1,1??? ? ? ?
(3) Legendre多项式相邻三项的递推关系为
三,Hermite多项式
表达式
Hermite多项式的主要性质有
(1)n次 Hermite多项式 的首项系数
(2)正交性为, 为区间 上带
()nHx
()nHx
0
1
2
11
( ) 1,
( ) 1,
( ) ( 1 2 ) ( ) ( ),1,2,...n n n
Lx
L x x
L x n x L x n L x n??
? ?
?
???
?
? ? ? ? ??
2
2 ()( ) ( 1 )
nx
nx
n n
deH x e
dx
?
??
( 2 ) nnd ??
0{ ( )}nnHx ?? (,)?? ??
有的书籍文献把 Jacobi多项式记为
即 n次 Jacobi多项式表示为
其中 或,两种系数
推出两种 Jacobi多项式,详细的情形请参阅文
献 [27].
(,) ()nJx??
(,) ( ) ( 1 ) ( 1 ) [ ( 1 ) ( 1 ) ]
n
nn
nn n
dJ x K x x x x
dx
? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?
1 2 1
( 2 ) ! 2n
nK
n
?? ( 1 )
2!
n
n nK n
??
7.5.3 Gauss型求积公式
由 7.5.1中的引理 1和定义 1可知 n点的求积
公式 (1)若具有最高的代数精确度,或具有 2n-1
次的代数精确度成为 Gauss型求积公式,到底
求积公式 (1)的求积节点 和求积系数
如何选取,才能使之成为 Gauss型求积公式?
定理 7.5.1 求积公式 (1)中的 n个求积节点
,取在区间 [a,b]上带权函数 的 n次正交
多项式 的 n个根成为 Gauss型求积公式,
证 设,[a,b]上带权函数 的
1{}nkkx ? 1{}nkkA ?
1{}nkkx ?
()ngx
()x?21( ) [,]nf x P a b??
()x?
n次正交多项式 的 n个根记为,记
的首项系数为,由定义 2有
因此,
(5)
其中,在 (5)式两边同乘,并从
a到 b积分,由正交多项式的性质可知,含
项的积分为零,所以
(6)
注意到当 作为插值节点时建立的 n点插值
()ngx 1{}nkkx ?
1{}nkkx ?
nd
*
1
()( ) ( )n n
nk
k n
gxg x x x
d?
? ? ??
*( ) ( ) ( ) ( ),nf x q x g x r x??
1( ),( ) [,]nq x r x P a b??
* ( ) ( )ng x q x
()x?
( ) ( ) ( ) ( )bbaax f x d x x r x d x?? ???
求积公式
至少具有 n-1次代数精确度,而,
所以
(7)
又由 (5)式可知,
即 (8)
综合 (6),(7),(8)式可知,当 时,求积
公式 (1)
成立,
1
( ) ( )
n
n k k
k
I f A f x
?
? ?
1( ) [,]nr x P a b??
1
( ) ( ) ( )
n
k k n
k
I r A r x I r
?
???
( ) ( ) ( 1,2,..,,)kkf x r x k n??
( ) ( )nnI f I r?
21( ) [,]nf x P a b??
1
( ) ( ) ( )
nb
kka
k
x f x d x A r x?
?
? ??
用 n点 Gauss求积公式
(9)
之值近似积分值 有下面的误差估计,
定理 7.5.2 若,则 Gauss型求
积公式 (1)的误差估计 为
其中
证明略,
在稍后讨论 Gauss积分值数列的收敛性
1
( ) ( )
n
n k k
k
I f A f x
?
? ?
()nIf
2( ) [,]nf x C a b?
(,)Rf?
2
*2()(,) ( ) [ ( ) ]
( 2 ) !
n b
na
fR f x g x dx
n
???? ?
*
1
( ) ( )
n
nk
k
g x x x
?
???
等问题时,需要用到 Gauss型求积公式的求积
系数 大于零的结论,这里用下面的定理
给出,
定理 7.5.3 Gauss型求积公式的求积系数
大于零,
证 令,这里 为区间 [a,b]
上带权函数 的 n次正交多项式 的 n个
根,显然
1{}nkkA ?
1{}nkkx ?
()x? ()ngx
1{}nkkA ?
2
1()
n
i
i
k
xx
fx
xx
?
??
???
???
???
??
??
?
1,
0,
() ()
n
j
ki
i
ik
fx xx
?
?
??
?
? ? ?
?
?
?
当 jk
,当 j=k
由于,所以对 求积公式 (1)精确成
立,即
因为
所以
在 7.2节,我们讨论了复化梯形求积公式和
复化 Simpson求积公式的收敛性,那么 Gauss
22() nf x P ??
()fx
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
nb
n j ja
j
I f x f x dx I f A f x?
?
? ? ? ??
2
1,
()
n
k k i
i
ik
A x x
?
?
???,
2
1,
( ) 0,( ) ( ) 0
n b
ki a
i
ik
x x x f x d x?
?
?
? ? ?? ?
0,1,2,3,.,,,kA k n??
型求积公式被积函数 应当满足什么条件才
收敛呢? Gauss型求积公式的收敛性问题由下
面的定理给出,
定理 7.5.4 若,则 Gauss型求
积公式所求积分值序列 收敛
于积分值,即
证 因为,由 Weierstrass定理
对任意的,存在,使得
()fx
( ) [,]f x a b?
1
{ ( ) ( ) }
n
n k k
k
I f A f x
?
? ?
()If
1
l im ( ) ( ) ( )
n b
kk an
k
A f x x f x d x?
?? ?
?? ?
( ) [,]f x a b?
1 0? ? ( ) [,]mmp x P a b?
(10)
对任意的 成立,
由于公式 (1)为 Gauss型求积公式时具有
2n-1次代数精确度,取 N>(m+1)/2,故当 n>N时,
即 m<2N-1<2n-1时,有
(11)
成立,于是
由 (11)式可知,而由 (10)式,有
1( ) ( )mf x p x ???
[,]x a b?
( ) ( )n m mI p I p?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n m m n mI f I f I f I p I p I p? ? ? ? ?
( ) ( )n m nI p I f??
( ) ( ) 0m n mI p I p??
和,从而
因为,记
( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]bmm
a
I f I p x f x p x d x?? ? ??
1
1
n
k
k
A?
?
? ?
1( ) ( )k m kf x p x ???
1
( ) ( ) [ ( ) ( ) ]
n
n m n k m k k
k
I p I f A p x f x
?
? ? ??
1
1
n
k
k
A?
?
? ?
0,1,2,..,,kA k n??
故
即
1 1 1
11
( ) ( ) 0 2
nn
n k k
kk
I f I f A A C? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ???
l i m ( ) ( ),nn I f I f?? ?
1
()
nb
ka
k
C x dx A?
?
?? ??
7.5.4 Gauss型求积公式的构造与应用
定理 7.5.1实际上给出了构造 Gauss型求积
公式的一种方法,这种方法,当给定了积分区间
[a,b]和权函数 以后,构造 n个点的 Gauss型求
积公式,先求出区间 [a,b]上带权函数 的 n次
正交多项式,然后用多项式求根的方法求出
的 n个根,从而获得了求积节点
为了求得求积系数,将 n个求积节点
代入方程组 (4)中的前 n个方程并加以求解,
即解线性代数方程组
()x?
()x?
()ngx
()ngx
1{}nkkx ? 1{}nkkx ?
1{}nkkA ?
1{}nkkx ?
求得求积系数,完成 Gauss型求积公式的
构造,
表 7-5为 Gauss-Legendre求积公式的求积
系数 和求积节点 的一个表,而表 7-6和表
7-7则分别是 Gauss-Legendre和 Gauss-Hermit
-te求积公式的求积系数 和求积节点 的一
1{}nkkA ?
1 2 0
1 1 2 2 1
1 1 2 2
n
nn
m m m
n n m
A A A
A x A x A x
A x A x A x
?
?
?
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
?
kA
kx
kxkA
个表,有些数值分析的书籍还给出了 Gauss-
Chebyshev求积公式的求积节点与求积系数,
表见 P366.
需要指出的是,不同求积公式的求积系数与
求积节点,积分区间和权函数是不同的,Gauss-
Lagendre求积公式的积分区间为 [-1,1],权函数
.而 Gauss-Legendre求积公式的积分
区间为,权函数,Gauss-Hermitte
求积公式的积分区间为,权函数
Gauss-Chebyshev求积公式的积分区间为 [-1,1]
( ) 1x? ?
[0,)?? () xxe? ??
2() xxe? ??(,)?? ??
权函数
这里需要指出的另一点是 Gauss-
Chebyshev求积公式的求积系数是相同的,例
如,n点的 Gauss-Chebyshev求积公式,它的 n个
求积系数 都是,即,而 n个
求积节点则为
正是因为 Gauss-Chebyshev求积公式的
求积系数相同,所以在实际计算时,乘法的次数
只需一次,节省了 n-1次的乘法运算,
2
1()
1x x? ? ?
kA
n
? 12 nA A A n?? ? ? ?
21c o s,1,2,.,,,
2k
kx k n
n ?
???
例 1 求 使求积公式
具有三次代数精确度,
问题是构造区间 [0,1]上带权函数
的两点 Gauss型求积公式,
解 方法 1 容易计算出当
时 的积分值分别为,所求
公式具有 3次代数精确度,故可得
为未知数的方程组为
1 2 1 2,,,,A A x x
1
1 1 2 20 ( ) ( ) ( ) (,)x f x d x A f x A f x R x f? ? ??
()xx? ?
23( ) 1,,,f x x x x?
1
0 ()x f x dx?
2222,,,,
3 5 7 9
1 2 1 2,,,,A A x x
(1)
(2)
(3)
(4)
又因为 为 Gauss型求积公式的求积节点,
所以它们是区间 [0,1]上带权函数 且
首项系数为 1的二次正交多项式 的两个根,
不妨记,为此
又因为 必须满足方程 (2)(3)(4),所以
12
1 1 2 2
22
1 1 2 2
33
1 1 2 2
2 / 3
2 / 5
2 / 7
2 / 9
AA
A x A x
A x A x
A x A x
???
?
???
?
??
?
? ??
?
12,xx
()xx? ?
*2 ()gx
*22 ()g x x px q? ? ?
**
2 1 2 2( ) ( ) 0g x g x??
12,xx
由
可得关于 p,q的方程组为
解此方程组得
**
1 2 1 2 2 2
**
1 1 2 1 2 2 2 2
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( ) ( ) 0
( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( ) ( ) 0
q p A g x A g x
q p A x g x A x g x
? ? ? ? ? ? ? ??
?
? ? ? ? ? ? ???
2 2 2
3 5 7
2 2 2
5 7 9
qp
qp
?
? ? ?
??
?
? ? ? ?
??
10
9
5
21
p
q
?
??
??
?
? ?
??
将所求 p,q代入,求得其根为
再将所求 代入方程 (1)(2),联立解得
为此,公式
为所求具有 3次代数精确度的求积公式,
*22 ()g x x px q? ? ?
1
2
0, 2 8 9 9 4 9 1 9 8
0, 8 2 1 1 6 1 9 1 2
x
x
??
? ?
?
12,xx
1
0 ( ) 0,2 7 7 5 5 5 9 9 7 ( 0,2 8 9 9 4 9 1 9 8 )x f x d x f??
1
2
0, 2 7 7 5 5 5 9 9 7
0, 3 8 9 1 1 0 6 6 9
A
A
??
? ?
?
0.389110669 ( 0.821161912) (,)f R x f??
方法 2 求出区间 [0,1]上带权函数
的二次正交多项式,并求出其根,获
得求积节点,再求方程组 (12)前两个方程组成
的方程组获得求积系数,
由于 和 都是
的线性无关组,所以考虑由 求得
所需的正交多项式,这种方法可以称作将它们
正交化,
记
()xx? ?
*2()gx
12,xx
12,AA
***0 1 2{ ( ),( ),( ) }g x g x g x
2{1,,}xx
2 [0,1]P
1 1 / 2
20(,) ( ) ( ),(,)f g x f x g x d x f f f???
令
所以
又令 这样
即如此作出的 与 正交,也与 正交,
由于
所以
这样,
* * * *0 0 0 0
2( ) 1,(,) 2 / 3,2 / 3g x g g g? ? ?
*1 0 0( ) (,),g x x x e e??
*
0
0 *
02
() 3,
2()
gxe
gx
??
*1 0 0 0 0 0 0( ( ),) ( (,),) (,) (,) 0g x e x x e e e x e x e? ? ? ? ?
*1 ()gx
0e
0 ()gx
1
0 0
3 2 3(,)
2 5 2x e x x d x? ? ? ??
**
11 2
38( ),( )
5 175
g x x g x? ? ?
同理可令
并且容易验证,与 正交,容易求得
所以
*
1
1 *
1 2
() 17 5 3 17 5
8 5 8()
gx
ex
gx
? ? ?
* 2 2 22 1 1 0 0( ) (,) (,),g x x x e e x e e? ? ?
*2 ()gx 10,ee
2
1
1 7 5 1 6(,)
8 3 1 5xe ?? 2 0 32(,),
27
xe ??
*2
2
1 0 5()
9 2 1g x x x? ? ?
第二种方法与第一种方法求出的 是一样
的,后面的求解过程相同,这里略去,
方法 2是一种将一组线性无关函数组
正交化而得到正交多项式 的方法,高于 2次
的正交多项式用这样的方法同样可以得到,这
样求正交多项式在实际应用时是方便的,
这里需要附带说明的是,Gauss-Legendre
,Gauss-Chebyshev求积公式作数值求积精度
不够时,可以采取将积分区间 [a,b]若干等分后,
将每一个子区间映射到区间 [-1,1]上再用相同
*2 ()gx
*2()gx
2{1,,}xx
节点数的求积公式进行数值求积的计算,通常
会得到精度较好的计算结果,
Gauss型求积公式具有数值结果精度高,收
敛得以保证、计算简便、易于在计算机上实现
等优点,并且在积分区间 [a,b]有限时便于推广
到高维数值积分,不足之处是公式的构造比较
困难,另一个是由于相邻次数的正交多项式的
根,从而造成增加求积节点以提高计算结果的
精度时,原先所有求积节点上的函数值全部无
用,所以在具体应用 Gauss求积公式计算数值
积分时,n取得都较小,
设 是任意数,是关于步长 h逼近
的近似公式,它们的误差估计式为
(1)
0h ? ()Fh
*F
* 2 31 2 3( ),..F F h k h k h k h? ? ? ? ?
7.3.1 Richardson外推法
外推法是用精确度较低的近似公式组合成精
确度较高的近似公式的一种方法,
这里,k1,k2,k3,… 是一组常数,
我们希望找到一种简便的方法,用近似公式 F(h)的
组合,得到误差阶较高的近似公式,使
(2)
此时,逼近 F* 的误差为 O(h2)
类似地,用 组合产生逼近 F* 的误差 为 O(h3)
的近似公式等,下面我们给出一种具体的组合方法,
()Fh *F ()Oh
2()Oh
~ ()Fh
~* ' 2 ' 3
23( ),,,F F h k h k h? ? ? ?
~ ()Fh
~ ()Fh
按 (1)式,称 逼近 的误差为,把 h
的幂次称为误差的阶,例如,称为二阶误差
把 (1)式改写为
(3)
用 h/2代替 (3)式中的 h,得
(4)
用 2乘 (4)式再减去 (3)式,消去含 h的项,得
(5)
令,且记
* 2 31 2 3( ),..F F h k h k h k h? ? ? ? ?
23
*
1 2 3( ),.,2 2 4 8
h h h hF F k k k? ? ? ? ?
23
* 2 3
23[ ( ) ( ( ) ( ) ) ] ( ) ( ),,,2 2 2 2
h h h hF F F F h k h k h? ? ? ? ? ? ? ?
1 ( ) ( )F h F h?
2 1 1 1( ) ( ) [ ( ) ( ) ]22
hhF h F F F h? ? ?
那么 (5)式可写为
(6)
这里,逼近 的误差为
再用 h/2 代替 h,使 (6)式变为
(7)
用 4乘 (7)式减去 (6)式,消去含 的项,得
(8)
同样记
* 2 3
2 2 3
13( ),,,
24
F F h k h k h? ? ? ?
2 ()Fh 2()Oh
* 2 3
2 2 3
13( ),,,
8 3 2
F F h k h k h? ? ? ?
2h
*3 22
23
( / 2 ) ( ) 1[ ( ) ],,,
2 3 8
F h F hhF F k h?? ? ? ?
22
32
( / 2 ) ( )( ) ( )
23
F h F hhF h F ???
*F
(8)式可以写为
(9)
这里 逼近 的误差为
还是用 h/2代替 h代入 (9)式后,类似上述过
程,可以得到误差为 的
一般地,对,有逼近 的误差为
的递推公式
(10)
也称为关于步长 h的外推公式,
表 7-1列出了 时,按 (10)式产生
的计算次序,表中各列左边黑体数字表示序号,
*3
33
1( ),.,
8
F F h k h? ? ?
3()Fh
*F 3()Oh
4()Oh
4 ()Fh
2,3,...,kn?
()kOh
*F
11
1 1
( / 2 ) ( )( ) ( )
2 2 1
kk
kk k
F h F hhF h F ??
? ?
???
?
2,3,4k ? ()kFh
表 7-1
例 1 设 带余项的差分公式为
()Oh 2()Oh 3()Oh 4()Oh
11, ( ) ( )F h F h?
122, ( ) ( ) 3, ( )22
hhF F F h?
1 2 34, ( ) ( ) 5, ( ) 6, ( )4 4 2
h h hF F F F h?
1 2 3 47, ( ) ( ) 8, ( ) 9, ( ) 1 0, ( )8 8 4 2
h h h hF F F F F h?
'
0()fx
(11)
导出具有误差为 的外推公式,
解 令
用 h/2代替 h,得
(12)
为消去含 的项,用 4乘 (12)式减去 (11)式,得
2
' '''
0 0 0 0
1( ) [ ( ) ( ) ] ( )
26
hf x f x h f x h f x
h
? ? ? ? ?
4
( 5 )
0( ),,,120
h fx??
2()jOh
1 0 0
1( ) ( ) [ ( ) ( ) ]
2F h F h f x h f x hh? ? ? ? ?
24
' ''' ( 5 )
0 1 0 0( ) ( ) ( ) ( ),..2 2 4 1 9 2 0
h h hf x F f x f x? ? ? ?
2h
2h
从而有
(13)
这里
这时,逼近 的误差为,
重复用 h/2代替 h并消去含 的项
,得到逼近 的误差为 的
外推公式为
( 4 )
' ( 5 )
0 1 1 03 ( ) 4 ( ) ( ) ( ),..2 16 0
hhf x F F h f x? ? ? ?
( 4 )
' ( 5 )
0 2 0( ) ( ) ( ),..480
hf x F h f x? ? ?
11
21
( / 2 ) ( )( ) ( )
23
F h F hhF h F ???
2 ()Fh ' 0()fx ( 4 )()Oh
2ih ( 2,3,.,,,1 )ij??
46(,,..,)hh如 ' 0()fx 2()jOh
注意 (14)式中第二项的分母为 而不
是 (10)式中的,这是由于 (11)式中的余项
为关于 的幂次而不是关于 h的幂次,
7.3.2 Romberg求积方法
Romberg求积方法是以复化梯形公式为基
础,应用 Richardson外推法导出的数值求积方
法,
回忆 7.2.1节的复化梯形公式,分别把积分区
11
1 1
( / 2 ) ( )( ) ( ) 2,3,...,
2 4 1
jj
jj j
F h F hhF h F j k??
? ?
?? ? ?
?
141j? ?
121j? ?
2h
间 [a,b]分为 1,2,4等分的结果列入表 7-2.
表 7-2
k
1 1
2 2
3 4
12 kkm ??
k
k
bah
m
??
1h b a??
2
1 ()
2h b a??
3
1 ()
4h b a??
1 [ ( ) ( ) ]
2
h f a f b?
2
2[ ( ) ( ) 2 ( ) ]2
h f a f b f a h? ? ?
3
3{ ( ) ( ) 2 [ ( )2
h f a f b f a h? ? ? ?
33( 2 ) ( 3 ) ] }f a h f a h? ? ?
我们还可以进一步推导出它们的递推关系,由
可以化为
类似地,有
一般地,把区间 [a,b]逐次分半 k-1次,
区间长度 (步长 )为,其中,为
2
22[ ( ) ( ) 2 ( ) ]2
hT f a f b f a h? ? ? ?
1
2 1 2
1 { [ ( ) ( ) ] ( ) ] }
22
hT f a f b h f a h? ? ? ?
1 1 2
1 [ ( ) ]
2 T h f a h? ? ?
3 2 2 3 3
1 [ ( ( ) ( 3 ) ) ]
2T T h f a h f a h? ? ? ? ?
( 1,2,.,,,)kn?
k
k
bah
m
?? 12 kkm ??
叙述方便起见,记,那么,
(15)
或
(16)
从而有
(17)
其中,
按外推法的思想,可以把 (15)看成是关于
(1)kkTT?
1
(1)
1
[ ( ) ( ) 2 ( ( )) ]
2
km
k
kk
j
hT f a f b f a j h?
?
? ? ? ??
( 1 ) 2 ''( ) ( )
12
b
k k ka
baf x d x T h f ?????
[,]k ab? ?
kh
/2
( 1 ) ( 1 )
11
1
1 [ ( ( 2 1 ) )]
2
km
k k k k
j
T T h f a j h??
?
? ? ? ??
误差为 的一个近似公式,因此,复化梯形公
式的误差公式为
(18)
为消去 项,再取 代替 (18)式中的,
得
(19)
2()kOh
( 1 ) 2 4
12( ),.,
b
k k ka f x d x T K h K h? ? ? ??
2 2 2
1
12
ii
i k k i k
ii
K h K h K h
??
??
? ? ???
2
kh 1
1
2kkhh? ? kh
( 1 ) 2 2
11 2
1
1()
2
b ii
k i k i kia
i
f x dx T K h K h
?
??
?
? ? ???
22
1
2
11
44
i
k i ki
i
K h K h
?
?
?? ?
用 4乘 (19)式再减去 (18)式,得
(20)
记
(21)
这是误差为 的外推公式,
重复上述过程,将区间逐次分半 k-1次后,可
( 1 ) ( 1 )
( 1 ) 1
1( ) ( )41
b kk
ka
TTf x d x T ?
?
???
??
2
2
2
1 ()
3 4 1
i
ik
iki
i
hKh?
?
?? ??
1
2
1
2
1 2 4()
3 4 1
i
i
iki
i
Kh
??
?
?
??
??
( 1 ) ( 1 )
( 2 ) ( 1 ) 1,2,3,.,,,.
3
kk
kk
TTT T k n??? ? ?
4()Oh
以得到误差为 的外推公式
(22)
当 j=2时
(23)
当 K=2时,有
这是 n=2的复化 Simpson公式的,不难验证,对
一般的 k,,这里,是 的复化
2()jOh
2,3,.,,,,2,3,.,,,k n j n??
( 1 ) ( 1 )
( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1
1
1 ( 4 )
33
kk
k k k k
TTT T T T?
?
?? ? ? ?
( 2 ) 2
2 2 2
11[ 4 ( ( ) ( ) 2 ( ) ) 2 ( ( ) ( ) ) ]
3 2 2
hT f a f b f a h h f a f b? ? ? ? ? ? ? ?
22
1 [ ( ) 4 ( ) ( ) ]
3 h f a f a h f b? ? ? ?
2S
( 2 ) 12kkTS ?? 1
2kS ?
12 kn ??
( 1 ) ( 1 )
( ) ( 1 ) 1
141
jj
jj kk
kk j
TTTT ??? ?
?
???
?
Simpson公式,
类似地,当 j=3时,
(24)
在实际计算中,经常直接应用 (23)式和形式与 (24)
式相类似的公式进行计算,
所谓 Romberg求积方法,就是由上述两部分
组成,第一部分,对积分区间逐次分半 k-1次,用复
化梯形求积公式 (16)计算,第二部
分,用外推公式 (22)计算
( 2 ) ( 2 )
( 3 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )1
1
1 ( 1 6 )
1 5 1 5
kk
k k k k
TTT T T T?
?
?? ? ? ?
( 1 ) ( 1,2,..,)kTk ?
() ( 2,3,...,2,3,...,)jkT k j k??
用 Romberg求积方法计算 的计算值的
过程如下,首先,令 k=1,区间长度,用梯形
求积公式计算 (表 7-3中第一行 );区间分半,令
K=2,区间长度,先按 (16)式计算,再按
外推公式 (22)式计算 (表 7-3中第二行 );再区
间分半,令 k=3,区间长度,先按 (16)
式计算,再按 (22)式计算 (表 7-3中第
三行 )等等,逐次分半区间 k次后的计算结果如表
7-3所示 (见下页 ).
()ba f x dx?
1h b a??
(1)1T
21
1
2hh? (1)2T
(2)2T
3 2 12
11
22h h h??
(1)3T
( 2 ) ( 3 )33,TT
表 7-3
:
:
:
,…….
表 7-3中 的计算按行 (k的序号 )进行,每行第
1个元素 用复化梯形公式 (16)计算,其他元
素 均按 (22)式用 与 的组
合得到,在实际应用中,往往根据实际问题对计
(1)1T
(1)2T
(2)2T
(1)3T (2)
3T (3)3T
1h
2h
3h
kh (1)kT
(2)kT (3)kT ()kkT
(1)kT
()jkT
( 1)jkT ? ( 1 )1 ( 2,3,...,)jkT j k?? ?()j
kT
算精确度的要求来确定区间逐次分半的次数,
常用不等式
(25)
作为达到精确度要求的判断准则,这里,是给
定的一个小的正数,
例 2 用 Romberg求积方法计算
(26)
的近似值,给定
解 首先令区间长度,用梯形求积公式计算
?
1
0
1 l n 2 0, 6 9 3 1 4 7 1,,,
1 dxx ????
0,0 0 1? ?
1 1h ?
( 1 ) 1
1 [ ( 0 ) ( 1 ) ] 0, 7 5 0 0 0 0 02
hT f f? ? ?
( ) ( 1 )[]jj
kkTT ?
???
区间 [0,1]分半,令区间长度,按 16式
计算
再按 (23)式计算
这时
未达到精确度要求,
为此,再将区间分半,令区间长度
按 (16)式计算
21
11
22hh??
( 1 ) ( 1 )
2 1 2
1 ( 0, 5 ) 0, 7 0 8 3 3 3 3,
2T T h f? ? ?
( 2 )
2
1 ( 4 0, 7 0 8 3 3 3 3 0, 7 5 0 0 0 0 0 ) 0, 6 9 4 4 4 4 4
3T ? ? ? ?
( 1 ) ( 2 )22[ ] 0,01 38 88 9TT ??
32
11
24hh??
按 j=2和 j=3的外推公式 (23)和 (24),分别用
和 的组合得到 以及用 和 的组合
得到,即
以及
这时,
已满足不等式 (25)的要求, 作为积分 (26)式
的近似,其误差为,
( 1 ) ( 1 )
3 2 3
1 [ (0, 2 5 ) (0, 7 5 ) ] 0, 6 9 7 0 2 3 7
2T T h f f? ? ? ?
(1)2T
(1)3T (2)
3T
(2)3T(2)2T
(3)3T
( 2 ) ( 1 ) ( 1 )
3 3 2
1 ( 4 ) 0, 6 9 3 2 5 3 8
3T T T? ? ?
( 3 ) ( 2 ) ( 2 )
3 3 2
1 ( 1 6 )
15T T T??
( 1 ) ( 2 )
33[ ] 0,00 06 36 4TT ??
63()Oh
(3)3T
下面给出用 Romberg求积方法计算
近似值的计算步骤,用二维数组 T的元素 存
放表 7-3中的,
1 输入,积分区间端点
2 令,计算
3 令
4 令,计算
5 for j=2,3,…,k
5.1 计算
end for (j)
()ba f x dx?
jkT
()jkT
,;ab?
1h b a?? 1
11 [ ( ) ( ) ]2
hT f a f b??
1
12,
2kk h h??
12 kkm ??
/2
( 1 ) ( 1 )
11
1
1 [ ( ( 2 1 ) )]
2
km
k k k k
j
T T h f a j h??
?
? ? ? ??
( 1 ) ( 1 )
( ) ( 1 ) 1
141
jj
jj kk
kk j
TTTT ??? ?
?
???
?
6 if,then
goto 8
end if
7 令 k=k+1,,goto 4
8 输出
9 end
( ) ( 1 )[]jjkkTT ????
1
1
2kkhh ??
jkT
7.5 Gauss求积公式
7.5.1 引言
求积公式
(1)
当求积系数,求积节点 都可以
自由选取时,其代数精确度最高可以达到多少
次?
下面的引理可以回答上述问题,
1
( ) ( ) ( ) ( ) (,)
nb
kka
k
I f x f x dx A f x R f??
?
? ? ???
1{}nkkA ? 1{}nkkx ?
引理 1 当求积系数 和求积节点
都可以自由选取时,n点的求积公式 (1)的代数精
确度最高可以达到 2n-1次,
证 假设求积公式 (1)具有 m次代数精确度,
即对任意的 m次代数多项式
求积公式 (1)的精确成立,于是成立等式
即
若记 (2)
0
()
m
i
m i m
i
p x a x P
?
???
1
( ) ( ) ( )
mb
m k m ka
k
x p x dx A p x?
?
? ??
1
1 1 0
01
( ) (,., )
mn b
i m m
i k m k m k ka
ik
a x x dx A a x a x a x a? ??
??
? ? ? ? ????
( ),0,1,2,..,,b i i
a
x x d x i m?? ???
1{}nkkA ? 1{}nkkx ?
则 (2)式成为
(3)
由于系数 的任意性,故使 (3)式
成为恒等式的充要条件是
(4)
(4)式的待定系数有 2n个,所以确定待定系数的
1 1 1 1 0 0...m m m ma a a a? ? ? ???? ? ? ?
10
1 1 1
...
n n n
m
m k k k k k
k k k
a A x a A x a A
? ? ?
? ? ? ?? ? ?
1 1 0,,.,,,,mma a a a?
1 2 0
1 1 2 2 1
1 1 2 2
n
nn
m m m
n n m
A A A
A x A x A x
A x A x A x
?
?
?
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
?
独立条件至多给出 2n个,从而可知 m至多为
2n-1.
定义 1 n点的求积公式 (1)具有 2n-1次代数
精确度 (或称为具有最高的代数精确度 )时,称
为 Gauss型求积公式,
Gauss型求积公式的求积节点,称为
Gauss点,它们可以通过求区间 [a,b]上带权
的 n次正交多项式 的 n个根获得,所以先介
绍正交多项式及其性质,然后讨论 Gauss型求
积公式的构造,等等,
1{}nkkx ?
()x?
()ngx
7.5.2 正交多项式及其性质
定义 2 若
(1),则称函数 f(x)和 g(x)在区间
[a,b]上正交,
(2),则称函数 f(x)和 g(x)在区
间 [a,b]上带权 正交,
(3)代数多项式序列 (下标 k为多项式
的次数,表示 k次多项式 ),在区间 [a,b]上满足
当 m n
当 m=n
则称多项式序列 为区间 [a,b]上带权
( ) ( ) 0ba f x g x d x ??
( ) ( ) ( ) 0ba x f x g x d x? ??
()x?
0{ ( ) }kkgx ??
()kgx
2
0,
( ) ( ) ( )
( ) ( ( ) ) 0
b
bnm
a
na
x g x g x d x
x g x d x
?
?
??
? ?
???? ?
?
0{ ( ) }kkgx ??
的正交多项式序列,
定义 3 若 n次记多项式 中含 项的系
数为,则称 为 的 首次系数 ; 时,称
为 首次系数为 1的 n次多项式,
正交多项式有如下性质,
性质 1 若 是区间 [a,b]上带权 的正
交多项式序列,则它们线行无关,
证 对任意的,若,在式子
两边同乘,并从 a到 b积分,由
的正交性定义 1中的 (3)可知必有
()x?
()ngx nx
nd nd
()ngx 0
nd ?
* ()() n
n
n
gxgx
d?
0{ ( ) } nkkgx ? ()x?
[,]x a b?
0
( ) 0
n
kk
k
c g x
?
??
( ) ( )lx g x? ( 0,1,...,)ln?
0{ ( )} nkkgx ? 0
lc ?
.故正交多项式序列 线性无关,
由性质 1可知,若 为 [a,b]上带权 的
正交多项式序列,则序列 可以作为空间
的一组基函数,即 中的任一元素
可由它们线性表出,
其中 为组合系数,
性质 2 若 为 [a,b]上带权 的正交多
项式序列,且,则
0{ ( )} nkkgx ?
()x?
0{ ( )} nkkgx ?
[,]nP a b [,]nP a b ()
npx
0
( ) ( )
n
n k k
k
p x a g x
?
? ?
0{}nkka ?
( 0,1,...,)ln? 0{ ( )} nkkgx ?
0{ ( )}kkgx ?? ()x?
( ) [,]nq x P a b?
(1)
(2)
事实上,由性质 1,.由 的正
交性定义容易证得 (1).证 (2)也是类似的,
为方便起见,记
下面,不加证明地给出正交多项式如下的性质,
性质 3 [a,b]上带权函数 的正交多项式序
列 相邻三项的递推关系为
其中,,
0
( ) ( )
n
kk
k
q x a g x
?
? ? { ( )}ngx
(,) ( ) ( ) ( )baf g x f x g x d x?? ?
0{ ( )}kkgx ??
1 1 1( ) ( ( ) ) ( ) ( ),1,2,..,,n n n n n ng x a x g x g x n??? ? ?? ? ? ?
1n
n
n
d
a
d
?? 1 (,)
(,)
n n n
n
n n n
d g x g
d g g?
?? ? ?
( ) ( ) ( ) 0,1,2,..,b ka x q x g x d x k n n? ? ? ? ??
( ) ( ) 0,0,1,2,...,1b ina x g x x dx i n? ? ? ??
()x?
为 的首项系数,
即为
性质 4 [a,b]上带权函数 的正交多项式
序列 中任意相邻两个正交多项式 和
的根相间,
若记,的根分别为,
则所谓 与 的根相同,即是指这两个正
交多项式的根有如下的关系,
11
1 2
11
(,),
(,)
n n n n
n
n n n
d d g g
d g g?
??
?
??
? ? ?
11,,n n nd d d?? 11( ),( ),( )n n ng x g x g x??
( ) (,1 )kg x k n n??
0{ ( )}kkgx ?? ()ngx
1 ()ngx?
()ngx 1 ()ngx? () 1{}nniix ? ( 1) 11{}nnjjx ???
1 ()ngx?()ngx
()x?
性质 5 (1) 区间 [a,b]上带权函数 的正交
多项式序列 与 对应元素之间
只相差一个比例常数,
(2)区间 [a,b]上带权函数 首项系数为 1的
正交多项式序列 唯一,
常见的正交多项式有 Legendre(勒让德 )多
项式,Hermite多项式,Chebyshev多项式以
及 Jacobi多项式,Chebyshev多项式在 5.2节已
( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )
1 1 2,1,2,...,1
n n n n n
i i i i ix x x x x i n
???
? ? ?? ? ? ? ? ?
0{ ( ) }nnfx ?? 0{ ( ) }nngx
??
* 0{ ( )}nngx ??
()x?
()x?
详细讨论,这里主要介绍 Legendre多项式
一,Legendre多项式
隐式表达式
显式表达式
()nPx
0
2
( ) 1,
1 ( 1 )
( ),1,2,.,,
2!
nn
n nn
Px
dx
P x n
n d x
??
?
? ?
? ? ??
?
0
2
0
( ) 1,
1 ( 2 2 )
( ) ( 1 ),
2 ! ( ) ! ( 2 ) !
N
j n j
n n
j
Px
nj
P x x
j n j n j
?
?
??
?
??
???
???
?
1,2,...n ?
当 n为偶数时,
当 n为奇数时,
Legendre多项式的主要性质有
(1)n次 Legendre多项式 的首项系数
当 x=1,
当 x=-1.
(3)正交性为, 为区间 [-1,1]上带权
函数 的正交多项式序列,且有
/ 2,
( 1 ) / 2,
n
N
n
?
? ?
??
其 中
()nPx
2
( 2 ) !( ) ;
2 ( ! )n n
nx
n?d
1,
( 2 ) ( 1 )
( 1 ),n n
P
?
?? ?
??
0{ ( ) }nnPx ??
( ) 1x? ?
当 m n
当 m=n
(4) Legendre多项式相邻三项的递推关系
为
二,Legendre多项式
将隐式表达式
1
1
0,
(,) ( ) ( ) 2
,
21
m n m nP P P x P x d x
n
?
?
?
? ?
? ??
?
?
0
1
11
( ) 1,
( ),
21
( ) ( ) ( ),1,2,.,,
11
n n n
Px
P x x
nn
P x x P x P x n
nn
??
?
? ?
?
??
?
?
? ? ? ?
???
()Ln x
()() n n xx
n n
d x eL x e
dx
?
?
将隐式表达式中 n阶导数用乘积导数的
Leibniz公式可得显式表达式
Legendre多项式的主要性质有
(1)n次 Legendre多项式 的首项系数
(2)正交性为, 为区间 上带权函
数 的正交多项式序列,且有
0
!( ) ( 1 )
( ) !
n
n k k n k
nn
k
nL x C x
nk
??
?
?? ??
()nLx ( 1 ) nnd ??
0{ ( ) }nnLx ?? [0,)??
() xxe? ??
20
0,
(,) ( ) ( )
( ! ),
x
n m n mL L e L x L x d x n
?? ? ??
?? ?
?
?
当 mn
当 m=n
权函数 的正交多项式序列,且有
(3) Hermite多项式相邻三项的递推关系为
四,Jacobi多项式
Jacobi多项式是在区间 [-1,1]上带权函数
的正交多项式,其中
2() xxe? ??
2 0,,
(,) ( ) ( )
2 !,
x
m n m n n
mn
H H e H x H x d x
n ?
?? ?
??
???
?? ?
???
当
当 m=n;
0
1
11
( ) 1,
( ) 2,
( ) 2 ( ) 2 ( ),1,2,...n n n
Hx
H x x
H x x H x nH x n??
??
?
??
? ? ? ?
?
( ) ( 1 ) ( 1 )x x x??? ? ? ? 1,1??? ? ? ?
(3) Legendre多项式相邻三项的递推关系为
三,Hermite多项式
表达式
Hermite多项式的主要性质有
(1)n次 Hermite多项式 的首项系数
(2)正交性为, 为区间 上带
()nHx
()nHx
0
1
2
11
( ) 1,
( ) 1,
( ) ( 1 2 ) ( ) ( ),1,2,...n n n
Lx
L x x
L x n x L x n L x n??
? ?
?
???
?
? ? ? ? ??
2
2 ()( ) ( 1 )
nx
nx
n n
deH x e
dx
?
??
( 2 ) nnd ??
0{ ( )}nnHx ?? (,)?? ??
有的书籍文献把 Jacobi多项式记为
即 n次 Jacobi多项式表示为
其中 或,两种系数
推出两种 Jacobi多项式,详细的情形请参阅文
献 [27].
(,) ()nJx??
(,) ( ) ( 1 ) ( 1 ) [ ( 1 ) ( 1 ) ]
n
nn
nn n
dJ x K x x x x
dx
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1 2 1
( 2 ) ! 2n
nK
n
?? ( 1 )
2!
n
n nK n
??
7.5.3 Gauss型求积公式
由 7.5.1中的引理 1和定义 1可知 n点的求积
公式 (1)若具有最高的代数精确度,或具有 2n-1
次的代数精确度成为 Gauss型求积公式,到底
求积公式 (1)的求积节点 和求积系数
如何选取,才能使之成为 Gauss型求积公式?
定理 7.5.1 求积公式 (1)中的 n个求积节点
,取在区间 [a,b]上带权函数 的 n次正交
多项式 的 n个根成为 Gauss型求积公式,
证 设,[a,b]上带权函数 的
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1{}nkkx ?
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()x?21( ) [,]nf x P a b??
()x?
n次正交多项式 的 n个根记为,记
的首项系数为,由定义 2有
因此,
(5)
其中,在 (5)式两边同乘,并从
a到 b积分,由正交多项式的性质可知,含
项的积分为零,所以
(6)
注意到当 作为插值节点时建立的 n点插值
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1
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* ( ) ( )ng x q x
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( ) ( ) ( ) ( )bbaax f x d x x r x d x?? ???
求积公式
至少具有 n-1次代数精确度,而,
所以
(7)
又由 (5)式可知,
即 (8)
综合 (6),(7),(8)式可知,当 时,求积
公式 (1)
成立,
1
( ) ( )
n
n k k
k
I f A f x
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1
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k k n
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1
( ) ( ) ( )
nb
kka
k
x f x d x A r x?
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用 n点 Gauss求积公式
(9)
之值近似积分值 有下面的误差估计,
定理 7.5.2 若,则 Gauss型求
积公式 (1)的误差估计 为
其中
证明略,
在稍后讨论 Gauss积分值数列的收敛性
1
( ) ( )
n
n k k
k
I f A f x
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2
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*
1
( ) ( )
n
nk
k
g x x x
?
???
等问题时,需要用到 Gauss型求积公式的求积
系数 大于零的结论,这里用下面的定理
给出,
定理 7.5.3 Gauss型求积公式的求积系数
大于零,
证 令,这里 为区间 [a,b]
上带权函数 的 n次正交多项式 的 n个
根,显然
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1{}nkkx ?
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2
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i
i
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?
?
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当 jk
,当 j=k
由于,所以对 求积公式 (1)精确成
立,即
因为
所以
在 7.2节,我们讨论了复化梯形求积公式和
复化 Simpson求积公式的收敛性,那么 Gauss
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1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
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n j ja
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I f x f x dx I f A f x?
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k k i
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2
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i
ik
x x x f x d x?
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?
? ? ?? ?
0,1,2,3,.,,,kA k n??
型求积公式被积函数 应当满足什么条件才
收敛呢? Gauss型求积公式的收敛性问题由下
面的定理给出,
定理 7.5.4 若,则 Gauss型求
积公式所求积分值序列 收敛
于积分值,即
证 因为,由 Weierstrass定理
对任意的,存在,使得
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( ) [,]f x a b?
1
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n
n k k
k
I f A f x
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1
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k
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( ) [,]f x a b?
1 0? ? ( ) [,]mmp x P a b?
(10)
对任意的 成立,
由于公式 (1)为 Gauss型求积公式时具有
2n-1次代数精确度,取 N>(m+1)/2,故当 n>N时,
即 m<2N-1<2n-1时,有
(11)
成立,于是
由 (11)式可知,而由 (10)式,有
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[,]x a b?
( ) ( )n m mI p I p?
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n m m n mI f I f I f I p I p I p? ? ? ? ?
( ) ( )n m nI p I f??
( ) ( ) 0m n mI p I p??
和,从而
因为,记
( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ]bmm
a
I f I p x f x p x d x?? ? ??
1
1
n
k
k
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1
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n m n k m k k
k
I p I f A p x f x
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1
1
n
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k
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0,1,2,..,,kA k n??
故
即
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11
( ) ( ) 0 2
nn
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kk
I f I f A A C? ? ? ?
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l i m ( ) ( ),nn I f I f?? ?
1
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nb
ka
k
C x dx A?
?
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7.5.4 Gauss型求积公式的构造与应用
定理 7.5.1实际上给出了构造 Gauss型求积
公式的一种方法,这种方法,当给定了积分区间
[a,b]和权函数 以后,构造 n个点的 Gauss型求
积公式,先求出区间 [a,b]上带权函数 的 n次
正交多项式,然后用多项式求根的方法求出
的 n个根,从而获得了求积节点
为了求得求积系数,将 n个求积节点
代入方程组 (4)中的前 n个方程并加以求解,
即解线性代数方程组
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()x?
()ngx
()ngx
1{}nkkx ? 1{}nkkx ?
1{}nkkA ?
1{}nkkx ?
求得求积系数,完成 Gauss型求积公式的
构造,
表 7-5为 Gauss-Legendre求积公式的求积
系数 和求积节点 的一个表,而表 7-6和表
7-7则分别是 Gauss-Legendre和 Gauss-Hermit
-te求积公式的求积系数 和求积节点 的一
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1 2 0
1 1 2 2 1
1 1 2 2
n
nn
m m m
n n m
A A A
A x A x A x
A x A x A x
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?
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?
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?
?
? ? ? ? ?
?
kA
kx
kxkA
个表,有些数值分析的书籍还给出了 Gauss-
Chebyshev求积公式的求积节点与求积系数,
表见 P366.
需要指出的是,不同求积公式的求积系数与
求积节点,积分区间和权函数是不同的,Gauss-
Lagendre求积公式的积分区间为 [-1,1],权函数
.而 Gauss-Legendre求积公式的积分
区间为,权函数,Gauss-Hermitte
求积公式的积分区间为,权函数
Gauss-Chebyshev求积公式的积分区间为 [-1,1]
( ) 1x? ?
[0,)?? () xxe? ??
2() xxe? ??(,)?? ??
权函数
这里需要指出的另一点是 Gauss-
Chebyshev求积公式的求积系数是相同的,例
如,n点的 Gauss-Chebyshev求积公式,它的 n个
求积系数 都是,即,而 n个
求积节点则为
正是因为 Gauss-Chebyshev求积公式的
求积系数相同,所以在实际计算时,乘法的次数
只需一次,节省了 n-1次的乘法运算,
2
1()
1x x? ? ?
kA
n
? 12 nA A A n?? ? ? ?
21c o s,1,2,.,,,
2k
kx k n
n ?
???
例 1 求 使求积公式
具有三次代数精确度,
问题是构造区间 [0,1]上带权函数
的两点 Gauss型求积公式,
解 方法 1 容易计算出当
时 的积分值分别为,所求
公式具有 3次代数精确度,故可得
为未知数的方程组为
1 2 1 2,,,,A A x x
1
1 1 2 20 ( ) ( ) ( ) (,)x f x d x A f x A f x R x f? ? ??
()xx? ?
23( ) 1,,,f x x x x?
1
0 ()x f x dx?
2222,,,,
3 5 7 9
1 2 1 2,,,,A A x x
(1)
(2)
(3)
(4)
又因为 为 Gauss型求积公式的求积节点,
所以它们是区间 [0,1]上带权函数 且
首项系数为 1的二次正交多项式 的两个根,
不妨记,为此
又因为 必须满足方程 (2)(3)(4),所以
12
1 1 2 2
22
1 1 2 2
33
1 1 2 2
2 / 3
2 / 5
2 / 7
2 / 9
AA
A x A x
A x A x
A x A x
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12,xx
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*2 ()gx
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**
2 1 2 2( ) ( ) 0g x g x??
12,xx
由
可得关于 p,q的方程组为
解此方程组得
**
1 2 1 2 2 2
**
1 1 2 1 2 2 2 2
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( ) ( ) 0
( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( ) ( ) 0
q p A g x A g x
q p A x g x A x g x
? ? ? ? ? ? ? ??
?
? ? ? ? ? ? ???
2 2 2
3 5 7
2 2 2
5 7 9
qp
qp
?
? ? ?
??
?
? ? ? ?
??
10
9
5
21
p
q
?
??
??
?
? ?
??
将所求 p,q代入,求得其根为
再将所求 代入方程 (1)(2),联立解得
为此,公式
为所求具有 3次代数精确度的求积公式,
*22 ()g x x px q? ? ?
1
2
0, 2 8 9 9 4 9 1 9 8
0, 8 2 1 1 6 1 9 1 2
x
x
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12,xx
1
0 ( ) 0,2 7 7 5 5 5 9 9 7 ( 0,2 8 9 9 4 9 1 9 8 )x f x d x f??
1
2
0, 2 7 7 5 5 5 9 9 7
0, 3 8 9 1 1 0 6 6 9
A
A
??
? ?
?
0.389110669 ( 0.821161912) (,)f R x f??
方法 2 求出区间 [0,1]上带权函数
的二次正交多项式,并求出其根,获
得求积节点,再求方程组 (12)前两个方程组成
的方程组获得求积系数,
由于 和 都是
的线性无关组,所以考虑由 求得
所需的正交多项式,这种方法可以称作将它们
正交化,
记
()xx? ?
*2()gx
12,xx
12,AA
***0 1 2{ ( ),( ),( ) }g x g x g x
2{1,,}xx
2 [0,1]P
1 1 / 2
20(,) ( ) ( ),(,)f g x f x g x d x f f f???
令
所以
又令 这样
即如此作出的 与 正交,也与 正交,
由于
所以
这样,
* * * *0 0 0 0
2( ) 1,(,) 2 / 3,2 / 3g x g g g? ? ?
*1 0 0( ) (,),g x x x e e??
*
0
0 *
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*1 ()gx
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1
0 0
3 2 3(,)
2 5 2x e x x d x? ? ? ??
**
11 2
38( ),( )
5 175
g x x g x? ? ?
同理可令
并且容易验证,与 正交,容易求得
所以
*
1
1 *
1 2
() 17 5 3 17 5
8 5 8()
gx
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gx
? ? ?
* 2 2 22 1 1 0 0( ) (,) (,),g x x x e e x e e? ? ?
*2 ()gx 10,ee
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1
1 7 5 1 6(,)
8 3 1 5xe ?? 2 0 32(,),
27
xe ??
*2
2
1 0 5()
9 2 1g x x x? ? ?
第二种方法与第一种方法求出的 是一样
的,后面的求解过程相同,这里略去,
方法 2是一种将一组线性无关函数组
正交化而得到正交多项式 的方法,高于 2次
的正交多项式用这样的方法同样可以得到,这
样求正交多项式在实际应用时是方便的,
这里需要附带说明的是,Gauss-Legendre
,Gauss-Chebyshev求积公式作数值求积精度
不够时,可以采取将积分区间 [a,b]若干等分后,
将每一个子区间映射到区间 [-1,1]上再用相同
*2 ()gx
*2()gx
2{1,,}xx
节点数的求积公式进行数值求积的计算,通常
会得到精度较好的计算结果,
Gauss型求积公式具有数值结果精度高,收
敛得以保证、计算简便、易于在计算机上实现
等优点,并且在积分区间 [a,b]有限时便于推广
到高维数值积分,不足之处是公式的构造比较
困难,另一个是由于相邻次数的正交多项式的
根,从而造成增加求积节点以提高计算结果的
精度时,原先所有求积节点上的函数值全部无
用,所以在具体应用 Gauss求积公式计算数值
积分时,n取得都较小,
