第 3章 非线性方程（组）的数值解法 1． 用对分区间法求方程 432 24440x xxx??++= 在区间 [ ]0, 2 内的根，使误差不超过 . 2 10 ? 2． 若将方程 32 10x x??= 写成下列几种迭代函数求不动点的形式： （1 ） 2 3 1 () 1 x xx ? == + ； （2 ） 2 2 1 1 ()x x x ? ==+ ； （3 ） 3 1 1 () x x x ? == ? . 试判断由它们构成的迭代法在 0 1.5x = 附近的收敛性. 选择一种收敛的迭代法，求在 1.5 附近的根，并用 Aitken 方法加速，使 4 1 1 2 10kkxx ? + ?≤ × . 3． 试证：对任意初值 ，由迭代公式 0x 1 cosnnxx+= ， 0,1,2,n= L 所生成的序列 { } nx 都 收敛于方程 的解. cosx= x 4． 检验下列序列是否线性收敛于 0： （1 ） 21 11 1 1, , , , , 3 33 n? ?? ?? ?? ?? LL ； （2 ） 22 2 11 1 1, , , , , 23 n ?? ?? ?? ?? LL ； （3 ） 11 1 1, , , , , 23 kk k n ?? ?? ? ?? LL ? ，k 为任何正整数. 5． 证明：序列 1 248 11 1 1 1 ,,,,, , 10 2 10 10 10 10 n??? ?? ?? LL平方收敛于 0. 6． 求 的根，将方程写成迭代形式：() 0fx= () ()x gx x cfx= =+ ，其中 为常数，若0c ≠ () 0f α = 且 ，为使迭代序列 ' () 0 f α ≠ 1 () n g x+ nx = 收敛于 α ，应如何选择常数 ？ c 7． 用 Newton 法求方程 3 310x x??= 在 0 2x = 附近的实根. 8． 常数 A 的 m 次根可由对方程 0 m x A=? 或 01 m A x ? = 用 Newton 法求得，验证它们相 应的 Newton 迭代格式分别为 11 1 (1) mkk k m m A xx x ?+ ? ? ? ?=?+ ? ? ? ? ， 1 1 1 (1) m k kk m m x xx A + + ? ? ? ?=+? ? ? ? ? . 9． 设 * x 为 ()f x 的 m 重零点 . 若将 Newton 法修改如下： '1 () () k kk k f x xxm f x + = ? ，证明此 迭代格式至少具有 2 阶收敛速度. 10． Newton 法可用于求复根，迭代公式仍为 '1 () () k kk k f z zz f z + =? ， 0,1,2,k= L .这里 ()f z 为 复变量 的复值函数. 设 zxiy=+ () (,) (,)f z g xy xy ih =+（这里 g， h 为实函数）. 试证：为避免复数运算， 的实部、虚部可分别表示为 1kz + （a ） 221 x x kk xy gg hh xx g g + + =? + ，（b ） 22 1 x x kk xy g g hh yy g g + ? =? + ， 0,1,2,k= L ， 其中 x g ， 分别表示对 x,y 求导（其余记号类似）. y g 试分别用（a ），（ b）两种迭代格式求解方程 2 10z + = ，分别取初始值 ， 0 1 iz =+ 0 1 3 z = . 11．设 α 为方程 的单重根，定义迭代法： () 0 fx = '1 () () () () 1 2 nn nn n f ' x x xx x f x x μ μ + ? ? ? ? =? +? ? ? ? ? ，这里 ' () () () f x x f x μ = . 若序列 { } nx 收敛于 α ，证明：其收敛速度至少是 3 阶的 . 12．用割线法求方程 在 3 () 301 fx xx=? =? 0 2x = 附近的实根，要求 3 1 10kk xx ? + ? ≤ 或者 3 () 10k f x ? ≤ . 13．设 * x 为 () 0fx= 的根，在 * x 的某领域内 " ()f x 连续且 ' 0 ()fx ≠ ，证明则对充分 接近 * x 的初始值 ，割线法收敛，且收敛速度至少为一阶. 01 , xx