第 2章 求解线性方程组的数值方法
1． 设 A 是 n 阶矩阵，且经过 Gauss 消去法一步消去后变为
11 1
20
T
a
A
α
??
??
??
证明：（1 ）如果 A 是实对称矩阵，那么
2A
也是对称的；
（2 ）如果
ii ij
ji
aa
≠
>
∑
(
1, 2, ,i= L
)
n，称 A 为（按行）严格对角占优矩阵，那么
2A
也是严格对角
占优.
2． 设 A 是各阶主子阵都是非奇异的 n 阶矩阵. 试推导出将 A 分解为一个下三角矩阵 L 与一个单位上三角矩阵 R
相乘的计算公式（A=LR 为 A 的 Crout 分解）.
3． 设 A 是 n 阶实对称矩阵，其第 i 阶主子阵（ 1, 2, , 1in= ?L ）均非奇异 .证明：A 有唯一的分解式
T
A LDL
= ，A 其中 L 为单位下三角矩阵，D 为对角阵.
4． 设 是 n 阶非奇异方程组，Ax b=
*
x
和
~
x 分别是其精确解和近似解. 记 ，证 明
~
rbAx=?
*
*
()
xx
r
cond A
b
x
≤
?
5． 设二阶方程组的系数矩阵和右端向量分别为
10.9
0.99 0.98
A
??
=
??
??
， ，其精确解为
1
1
b
??
=
??
??
*
100
100
x
??
=
??
?
??
（1 ）分别取近似解 ， 计算残向量 （
~
1
1
0
x
??
=
??
??
~
2
100.5
99.5
x
??
=
?
?
??
?
~
i ibxrA
=? 1, 2i = ）.
（2 ）计算 ()
cond A∞
，并以此分析（1 ）所计算的结果.
6． 设逐次逼近法 ， 的迭代矩阵 B 有
1kk
g
xxB+
=+ 0,1, 2,k = L () 0Bρ = . 证明：对任意初始向量 ，至
多迭代 n 次就可以得到方程组
0x
x Bx g=+的精确解.
设
11
0
2
2
11
0
22
11
0
2
2
B
??
??
=
??
?
??
??
，
1
2
1
1
2
g
??
?
??
??
=
?
??
???
??
?
，验证 () 0Bρ = ，并以 验证上述结果.
0 0x
=
7．设求解方程组 的逐次逼近法为 Ax b=
11
1
()
kkx xbI BA B
?
+
=? ?
)
，其中 B 是非奇异矩阵. 证明：当
()(
T
A B
AB
?
?
的最大特征值小于 的最小特征值时逐次逼近法收敛.
T
BB
8．设逐次逼近法
1kkx xbH+
=+，证明：如果存在对称正定矩阵 P，使
T
BPHPH
=
?
为对称正定矩阵，那么逐次逼近法收敛.
9．设
1
1
1
aa
A aa
aa
??
??
=
??
??
，其中 aR. ∈
（1 ）对 a 的哪些值， Jacobi 迭代法收敛？
（2 ）对 a 的哪些值， G-S 迭代法收敛？
10．设三阶方程组 中， ， ，写出用 SOR 迭代法求解的迭代公式，并取 Ax b=
10 1 0
110 2
0210
A
???
??
=? ?
??
?
??
9
7
6
b
??
??
=
??
??
??
0 0x =
， 1.3ω = ，求出方程组的解.
11．设 A 是对称正定矩阵，从方程组 的近似解出发，依次沿直线 ，Ax b=
kixxte
=+ 1, 2, ,in= L
求二次泛函 ()
2
T
Hx
T
x xbxA
=?的极小点，验证这样的迭代过程就是 G-S 迭代法.
12．设 A 是 n 阶对称正定矩阵，
{}
是 A-共轭向量组. 证明：
i
p (0,1,, 1)in=?L
1
1
0
T
n
ii
T
i
ii
p p
A
p Ap
?
?
=
=
∑
