第 1章 基 本 知 识
1． 把下列各数按四舍五入规则舍入为有 3 位小数的近似数，并写出近似数的绝对误差和
相对误差，指出近似数有几位有效数字：
93.18222， 4.32250， 15.94774， 17.36751
2． 证明以下各题：
（1 ） 设 ,p≥1, 那么
n
x
R
∈
1/ p
p
x xx
N
∞ ∞
≤≤ ；
（2 ）
lim
p
p
x x
∞
→∞
= ；
（3 ） 记 ()f xx= ，那么，对所有的 ，
n
x
R
∈ ()f x 是连续函数.
3．证明对所有 0x≠ ，
0lim
m
m
xA
→∞
=
的充要条件是
0lim
m
m
A
→∞
=
4．设 A 是非奇异矩阵， λ 是 A 的任意特征值， A 是相容矩阵范数，证明
1I ≥ ；
1
1
A
A
λ
?
≤≤
5．设 g 是从属的矩阵范数，A 是非奇异矩阵，证明
1
1
1
min
x
xA A
?
=
?
=
6．证明
2F F
ABAB
≤ 和
2FF
ABAB
≤
7．证明
2
21
A AA
∞
≤
8．设 A M∈ ，
2
x
是已知向量范数，证明
1 1
max
n
ij
in j
A
a
∞
≤≤ =
=
∑
9．设 ? 是从属矩阵范数，A 是 n 阶矩阵且 1A < ，则矩阵 IA± 都是非奇异的，且
( )
1
11
A A
IA
?
≤≤
+?
±
10．设 A M∈ 非奇异，证明：
（ 1）若 A 为正交矩阵，则
2
() 1A
cond
=
（ 2）若 U 为正交矩阵，则
22
() ( ) ( )
2
A AU UA
cond cond cond
==
（ 3）若 ，则
T
BAA
=
2
22
() ()BA
cond cond
=
