第 9 章 矩阵特征值问题的数值方法 1.设 A∈ nn R × 且有线性初等因子，其特征值为 12 ,,, nλ λλ " .证明：存在 A 的左特征向量 12 ,,, n yy y " 和右特征向量 12 ,,, nx xx " ，满足 A= 1 n T ii i i y xλ = ∑ 。 2.设 A∈ nn R × 且有线性初等因子， 其特征值为 12 ,,, nλ λλ " ， 相应的左特征向量为 12 ,,, n yy y " ，右特征向量为 12 ,,, nx xx " ，并有 0 T j i y x = ()ij≠ ， 0 T i i y x ≠ . 证明：矩阵 1 1 1 1 11 TT TTk k k k yy xxIIA yy ???? ???? ?? ???? " 的特征值为 1 0,0, ,0, , , knλ λ+ ""，左、右特征向 量分别为 12 ,,, n yy y " 和 12 ,,, nx xx " 。 3.设 A∈ nn R × ， x∈ n R . 若 1 (, , , ) n LxAx Ax ? = " n R ∈ 是非奇异矩阵，证明：存在向量 12 (, , , ) T n n c Rcc c ∈ = " ，使 1 2 1 3 1, 00 0 0 10 0 0 10 0 10 1 n n n nn nn c c c LAL c c ? ? ?? ?? = ?? ?? " " " %% # # 并说明 A 的特征多项式为 1 21 () nn nn n n f ccc λ λλ λ ? =? ?? ?" 。 4.设 A∈ nn R × ，其特征值和相应的特征向量分别为 12 ,,, nλ λλ " 和 12 ,,, nx xx " . 又设 1v ∈ n R ，且 11 1 T vx = . 证明：矩阵 11 () T xvIA ? 有特征值 23 ,,,, 0 nλ λλ " 和相应的特征向量 111 ,( ) T iix xvxx ? (2,3,,)in= " 。 5.设 A∈ nn R × ，又设 μ 是 A 的一个近似特征值， x 是关于 μ 的近似特征向量且 2 1 x = . 记 rAx xμ=?. 证明：存在矩阵 E，满足 2F E r = 且 ()AEx xμ+ = 。 6.设 T B a A α α ?? ??= ?? 是一个 Hermite 矩阵 . 证明：在区间 { } 2 : aλλ α ?≤ 中存在 B 的一个特 征值。 7.设 A∈ nn R × 是一个 Hermite 矩阵， nr Q R × ∈ 有标准正交列，这时，称 T B QAQ= 是 A 的 r –部分 （ r-section） . 证明： 如果 A的特征值为 12 nλ λλ ≤≤≤" ， B的特征值为 12 r μ μμ ≤≤≤" ，那么， i i μ λ ≤ ， 1, 2, ,ir= " . 且 1 1 ni ri μ λ ? + ?+ ≤ ， 1, 2, ,ir= " 。 8.设 A，B 都是 n 阶 Hermite 矩阵，且 A 是满足 22 1 1 AB ? < 的正定矩阵. 证明：A+B 是正 定矩阵。 9.设 12 nλ λλ ≥≥≥" 是 Hermite 矩阵 A 的 n 个特征值，其相应的标准正交特征向量为 12 ,,, nuu u " . 用 kC 表示任意 k 维子空间. 证明： 1 1 , 0 maxmin nk nk H Hk C xC x x Ax x x λ ?+ =+ == ∈≠ . 10.设 Jacobi 算法中第 k 次旋转平面为（p,q）平面. 证明 () ( 1) ( 1)kk k pp pp pqaa a ?? ?≤ ， () ( 1) ( 1)kk k qq qq pqaa a ?? ?≤ 11.求 Householder 矩阵 2 T wwI ? (1) T ww = 的特征值和特征向量。 12.设 1 1 2 12 3 2 1 1 n n n C β α γβ α γ α β γ α ? ? ?? ?? = ?? ?? % %% 是一个三对角矩阵，且 ,, i ii β γ α 为实数， 0 ii βγ > . 证明：存在满秩对角矩阵 D，使 1 CDD ? 为对称三对角矩阵。 （这里 C 称为 Jacobi 矩阵，它的特征值全为实数） 13.设 C 是次对角元 i β （ 2,3, ,in= " ）全不为零的实对称三对角矩阵， λ 是 C 的一个特征 值， () 12 ,,, T n x x xx = " 是其相应的特征向量. 证明： 1 1 12 1 () (1) i i i i p x λ β ββ ? ? ? = ? " ， 2,3, ,in= " 其中 1 () i p λ ? 表示矩阵 CIλ? 的第 i 阶主子式， 0 1 ()p λ = 。 14.设 A 是一个上 Hessenberg 矩阵， ~ T QAQ A = 是经过一个 QR 迭代步得到的矩阵. 证明： ~ A 也是上 Hessenberg 矩阵。