第四章 插值法 习题 1． 给定函数值表如下： x 0 1.5 3.4 6.8 )(xf 1.45 3.14 4.65 4.11 试用不少与三种插值公式求)1.2(f的近似值。 2． 利用)(xf = 3 1 x，取节点0=x，1=x，1?=x，作插值求 3 3，并估计截断误差。 3． 利用差分性质证明： 2 333 2 )1( 21)( ? ? ? ? ? ? + =+++= nn nnH " 4． 若 nn nn axaxaxaxf ++++= ? ? 1 1 10 )( "有互异的n个实根 n xxx ,,, 21 "证明： = ′ ∑ = n j j k j xf x 1 )( ? ? ? ? ? ? ? ?= ?≤≤ ?=? ?= ? ? ? ? 1 200 1 2 1 0 1 2 1 nka nk ka kaa n nn 5． 利用Lagrange插值多项式，证明： (1) Nnmnm km CC nm k n n m n k kn ∈> ? ?= ? ∑ = ? ,,,)1( 1 0 (2) NnmnmCC km k nm m k n n k n m kn ∈> ? ?= ? ∑ = ? ,,,)1( 0 6． 给定函数[]3,0,30,)( 4 ≤≤= xxxf的分化π为[ ]3,0 3等份，试求)(xf在此分划π上的 ),3,()( π p SxS ∈使的 00 () (),( 0,1 ,3), () () ii Sx fx i S x f x′ ′== ="以及 33 () ()Sx fx′′= 7． 求[]2,0)( 4 PxH =，使1)2(,1)1()1(,0)0()0( ==′==′= HHHHH 8．若 ij i jii j xx xxn xl ? ? = ∏ ≠= ,0 )( (j=0,1……n),证明： (1) 0 ( ) ( ) 0, 1, 2, , n l jj j x xl x l n = ?== ∑ " (2) )())(( )())(( ))(( ))(( 1)( 02010 110 2010 10 10 0 0 n n xxxxxx xxxxxx xxxx xxxx xx xx xl ??? ??? ++ ?? ?? + ? ? += ? " " " 9． 下面三次多项式)( 3 xp的表中，)( 3 xp的一个值有误差，试将其找出并校正 x -3 -2 -1 0 1 2 3 )( 3 xp -28 -9 -2 -1 1 7 26 10． 给定函数xxf sin)( =的函数值表格如下： x D 10 D 11 D 12 D 13 xsin 0.174 0.191 0.208 0.225 试用线形插值方法求 ( ) sin 11 6′ D 的近似值 ( ) * sin 11 6′ D ，并求出 () sin 11 6′ D - () * sin 11 6′ D 与理论误差估计的绝对误差限作比较，若不符，应当作何解 释？