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1.广义变分原理及其应用
1.1 虚力原理与余能原理
1.2 泛函的变换格式
1.3 含可选参数的广义变分原理
1.4 基于 Reissner原理的混合元
1.5 放松约束的变分原理及杂交元
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1.1 虚力原理与余能原理
1.1.1 虚位移原理和势能原理（复习）
1） 虚位移原理的虚功方程 —— 矩阵表达
δWe=∫V[Fb]Tδ[u]dV+ ∫Sζ[Fs]Tδ[u]dS
=δWi=∫V[ζ]Tδ[ε]dV
体积力虚功 表面力虚功
虚变形功
δWe=∫VFbiδuidV+ ∫SζFsiδuidS
=δWi=∫VζijδεijdV
虚功方程 —— 张量表达
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2） 势能原理的数学表达
Ve=Vε+VP =1/2∫VζijεijdV
-∫VFbiuidV-∫SζFsiuidS = min总势能
应变能
外力势能
1.1.2 虚力原理
1） 虚力原理的表述
给定位移状态协调的充分必要条件为：对
一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成
立（矩阵）
∫V[ε]Tδ[ζ]dV=∫Su([L]δ[ζ])T [u ]0dS
虚反力功 表面给定位移虚余变形功
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虚功方程 —— 张量表达
∫VεijδζijdV=∫Suδζijnjui0dS
2) 必要性证明
εij=1/2(ui,j+uj,i)=D-1ijklζkl
V,δζij,j =0 Sζ, δζijnj=0
已知条件, [ε]=[A]T[u]=[D]-1[ζ]
V,δ[ζ]=[0] Sζ,[L]δ[ζ]=[0]
需证明的是,∫VεijδζijdV=∫Suδζijnjui0dS
或张量表达形式已知条件：
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∫V( [A][u])Tδ[ζ]dV=
∫S([L]δ[ζ])T [u ] dS-∫V([A]δ[ζ])T [u ] dV
1/2∫V(ui,j+uj,i) δζijdV=
∫SδζijnjuidS-∫V δζij,juidV
[证明 ]：利用格林公式
或张量形式格林公式
考虑到虚应力的已知自平衡条件，立即可得
∫VεijδζijdV=∫Suδζijnjui0dS
必要性证毕 。
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2) 充分性证明
V,δζij,j =0 Sζ, δζijnj=0
已知条件, [ε]= [D]-1[ζ]
需证明的是：应变 εij是协调的。
或张量表达形式 εij=D-1ijklζkl
∫VεijδζijdV=∫Suδζijnjui0dS
∫V[ε]Tδ[ζ]dV=∫Su([L]δ[ζ])T [u ]0dS
V,[A]δ[ζ]=[0] Sζ,[L]δ[ζ]=[0]
[证明 ],因为 V,[A]δ[ζ]=[0]，所以
对任意 [λ] ∫V ([A]δ[ζ])T [λ]dV=[0]
利用格林公式和已知条件可得
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设体内三个虚剪应力任意、独立，另三个正应
力满足 [A]δ[ζ]=[0]。 又因为 [λ]完全任意，因此
可设
zyx
V zyx
?
??
?
??
?
?? 321, ??????
∫V( [D] -1[ζ]-[A]T[λ ])Tδ[ζ]dV
+∫Su([L]δ[ζ])T ( [λ]-[u ]0)dS=0 (a)
在此条件下，式 (a)由于虚应力的任意、独立性
可得
V,[D] -1[ζ]-[A]T[λ ]=[0] Su,[λ]-[u ]0=[0]
充分性证毕。
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1.1.3 余能原理
和由虚位移原理导出势能原理一样，由虚力
原理
∫V[ε]Tδ[ζ]dV=∫Su([L]δ[ζ])T [u ]0dS
可得
δ(1/2∫V[ε]T [ζ]dV-∫Su([L] [ζ])T [u ]0dS)=0
记 VC如下所示，并称为 变形体的总余能
VC=1/2∫V[ε]T [ζ]dV-∫Su([L] [ζ])T [u ]0dS
则由 δVC=0可得
在一切可能的静力平衡状态中，某应力状态
为真实应力的充要条件是，变形体的总余能取
驻值。对线弹性体，此驻值为最小值。
余能原理
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余能原理等价于协调，表达为
VC=1/2∫VζijεijdV-∫SuFsiu0idS = min
利用格林公式，立即可证明
Ve+ VC=0
1.2 泛函的变换格式（龙驭球提出）
简单来说，势能原理等价平衡，表达为
Ve=Vε+VP =1/2∫VζijεijdV
-∫VFbiuidV-∫SζFsiuidS = min
1.2.1 一些预备知识
1) 变量的分类
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除泛函变量外，泛函中的其他变量称为泛函
的 增广变量 。
在余能泛函
VC=1/2∫VζijεijdV-∫SuFsiu0idS
中 ζij 是泛函变量，其他是增广变量。
泛函中所显含的自变函数称为泛函的 泛函变
量 。
在势能泛函
Ve=Vε+VP =1/2∫VζijεijdV
-∫VFbiuidV-∫SζFsiuidS
中 ui 是泛函变量，其他是增广变量。
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泛函中泛函变量事先所需满足的条件，称为
泛函的 强制条件 。
在余能泛函 中 ζij 所需满足的平衡条件（内部
和边界）即为强制条件。
VC=1/2∫VζijεijdV-∫SuFsiu0idS
2) 泛函所满足的条件
在势能泛函 中 ui 所满足的协调条件即为强制
条件。
Ve=Vε+VP =1/2∫VζijεijdV
-∫VFbiuidV-∫SζFsiuidS
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在余能泛函 中 ζij 所对应的应变应满足的协调
条件为自然条件。
由返函的变分等于零所导出的条件，称为泛
函的 自然条件 。
在势能泛函 中 ui 所满足的平衡条件即为自然
条件。
在泛函 中，泛函变量与增广变量间，或增广
变量之间所应满足的条件称为 增广条件 。
在势能泛函 中几何方程和物理方程即为增广
条件。
3) 泛函间关系的分类
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如果广义等价的两泛函，其变量和条件均对
应相同，称此两泛函为 等价 的。
两泛函所包含的全部变量、全部条件均相同，
但是变量的区分不同，或变量的条件不同等，
称此两泛函为 广义等价 。
如果两泛函等价，且只相差一比例系数，则
称这两泛函 互等 。
1.2.2 泛函的三种变换格式
1) 泛函的放松格式 —— 拉氏乘子法（传统）
基本思路是，将强制条件用拉氏乘子引入泛
函，从泛函变分判断拉氏乘子含义，并得到放
松了强制条件的多自变量泛函的变换格式。
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2) 增广格式 —— 高阶拉氏乘子法（钱伟长）
教材上介绍了从余能原理得到海林格 -赖斯
纳二变量广义余能原理的基本步骤，请大家按
思路自行推证。只有自己动手，才能真真掌握。
基本思路是，对无条件泛函，将增广条件构
造一正定二次型，再乘一待定乘子，从而得到
新的增广变量变为泛函变量的无条件泛函。
请大家自行证明教材给出的，钱伟长教授建
立的泛函是三变量的无条件泛函。
3) 等价格式 —— 龙驭球格式
基本思路是，用自然条件构造正定二次型，
按增广格式建立与原泛函等价的新泛函。
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请大家自行证明教材给出的，钱伟长教授建
立的另一泛函也是三变量的无条件泛函。并证
明当参数等于 1时，将“退化”成两变量的海
林格 -赖斯纳泛函（差一符号）。
学习的关键在真真掌握原理、方法等的
基本思路，从而以便能灵活运用它。上述
各种格式的思路就是如此简单，但不亲自
做一做，经验证明真真掌握它是不可能的。
4) 换元乘子法（龙驭球）
将增广变量通过增广条件引入泛函，从而增
广条件成为强制条件，再用拉氏乘子法放松强
制条件，将增广变量引入无条件泛函的方法。
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1.3 含可选参数的广义变分原理
1.3.1 含可选参数的广义变分原理
1） 变分泛函的建立
从三变量无条件胡海昌 -鹫津久一郎广义泛
函出发，用等价格式龙驭球建立了教材上前
12个正定二次型，我补充了后两个二次型，
乘 14个参数构成和胡 -鹫广义泛函等价的新泛
函。龙驭球认为参数是可以任意选取的，因
此称为含任意参数的广义变分原理。
我提出并得到龙先生认同，参数不能完全
任意选取，必须满足教材图示的通路关系。
2) 参数选取问题
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从而建立了含可选参数的广义变分原理。
最基本的是结构力学中介绍的虚功原理，
它是一个必要性命题，要求力状态平衡，要
求位移状态协调，满足此条件恒有虚功方程
成立。
虚功原理中力状态是给定的一个，虚位移
是任意的，条件的改变导致结论的改变，由
此得到虚位移原理。在无限分割情况下，等
价于平衡条件。它是一个充分必要性命题。
1.3.2 变分原理间的相互关系
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虚力原理也是虚功原理条件改变的结果，
位移给定虚应力任意，无限分割时等价于协
调条件。它也是充要条件。
由虚位移原理可导得势能原理，由虚力原
理可导得余能原理（当然它们也可由定义来
推导）。它们是一对对偶的原理。
从势能原理出发，用 放松格式 可得到无条
件的势能原理，用 换元乘子法 可得到二变量
广义余能原理、三变量的广义势能原理。
从余能原理出发，用 放松格式 可得无条件
的广义余能原理，用 换元乘子法 可得到三变
量的广义势能原理。
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从二变量的广义余能原理和三变量的广义
势能原理出发，用 格林公式 可分别得到二变
量的广义势能原理和三变量广义余能原理。
从二变量的广义余能原理或二变量的广义
势能原理出发，用 等价格式 可得到二变量含
可选参数的广义变分原理，当满足特定退化
条件时，将退化为无条件的势能原理。参数
为零时恢复成二变量广义变分原理。
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从三量的广义余能原理或三变量的广义势能原
理出发，用 等价格式 可得到三变量含可选参数的
广义变分原理，当满足特定退化条件时，将退化
为二变量的含可选参数广义变分原理。参数为零
时恢复成三变量广义变分原理。
上述原理间的关系，可用教材上 P,196 图 6-2
来表示。
如果真的掌握了, 有限元 Ⅰ, 所学习的内容，
象从势能原理出发通过构造位移场那样，合适地
建立变分原理对应的场变量，即可用变分原理得
到对应的有限元列式。下面简单介绍基于赖斯纳
原理的混合元分析。
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1.4 基于 Reissner原理的混合元
1.4.1 原理的使用选择
前面介绍了从余能原理获得了二变量广义
余能原理如下：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ???
?
??
???
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u
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S
S
V
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1
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S
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S
S
V
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u
e
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TT
0
S
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T1T
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d]}[
2
1
{
e
???
???
??
?
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用于单元时，考虑结点力作用后改为
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由此原理出发，如, 有限元 Ⅰ, 所述，进行有
限元分析时要求构造的应力场跨单元协调、在单
元应力边界上要求平衡，构造这样的变量场是困
难的。为此，用格林公式作变换，得到二变量广
义势能泛函如下：
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ???
?
??
???
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u
e
S
S
V
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SLuuSFu--
VFuDuAV
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1
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T
0
S
T
T1TTT
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???
?
用于单元时，考虑结点力作用可同样修改。当
用此泛函作有限元分析时，要求位移场跨单元 (C0
级 )协调，由, 有限元 Ⅰ, 可知，这是不难做到的。
因此，一般用它分析。
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1.4.2 单元列式及说明
用上述原理作单元列式时，要建立两类变
量场：位移场 (u)和应力场 (ζ)，位移场只要满
足跨单元协调,并不要 像位移元组装后需作
约束条件处理,使满足位移边界条件 。
设 (u)=(N)(δ)e (ζ)=(β)(P)e
代入赖斯纳原理并经数学推导后，可得教材
上 (6.4-7)所示混合元性质方程。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ee
S
S
V
b
e
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0
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式 (6.4-7)中的一些矩阵分别为
? ? ? ? ? ? ? ?
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ??
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S
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V S
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V
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SNLVBH
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d][
dd
d][d
d
0
T
E
TT
E
TT
1T
?
??
??
?
?
?
有了 (6.4-7)混合元性质方程，作整体组装即
可获得整体性质方程。但必须注意，整体性
质矩阵是奇异的，求解时必须作必要的处理。
只和 (ζ)有关
和 (ζ),(u)有关
只和 (u)有关
只和 (ζ)有关
混合元分析可直接求得应力，因此一般来
说应力的精度比位移元要高。
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混合元依据的是驻值原理，因此结果没有
一致的趋向性。
赖斯纳原理包含两类场变量，这就存在必
须解决它们之间合理地配合的问题。
当应力参数矩阵 (P)相邻单元无关时，可对
单元性质方程进行缩聚处理，最终可得到单
元“刚度方程”，只要修改“刚度矩阵”和
“等效结点荷载矩阵”，就可用位移元的计
算程序来解算。
对平面和空间问题来说，位移元建立位移
场并无多大困难，混合元对板壳计算更有用。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 26
1.4.3 薄板弯曲的混合元
薄板弯曲理论中的广义势能泛函为
式中有关符号的说明见教材 P.200。从 κ 的表
达式可见，用它进行混合元分析需要 w 具有
C1级连续。这将与位移元一样产生困难。
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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?
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dd
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S
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M
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s
M
--
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eee
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为此，需对上述泛函进行改造。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 27
Herrmann提出用分部积分和奥 -高公式 对
上述泛函进行改造，获得如下的 Herrmann泛
函（教材上有这种纯数学的具体推导）
有了广义变分泛函，和平面问题一样，设
出挠度场 w 和弯矩场 M 后，代入泛函即可
建立薄板弯曲的混合元性质方程。
? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
???
?
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?
?
???
?
13
ddd
d}
2
1
]{[
Q
S
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S
nn
S
ns
V
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bH
SMSwFS
s
w
M--
VqwMDMMAV
ee
e
?
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教材上结合常弯矩三角形、线性弯矩三角
形混合元介绍了一些具体列式，可供大家应
用时参考。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 28
1.5 放松约束的变分原理及杂交元
1.5.1 修正余能原理
前面已得到余能原理，作有限元分析时
VC=Σ[1/2∫VζijεijdV-∫SuFsiu0idS]e= min
该泛函的强制条件为
Ve,ζij,j+Fbi=0
Sζe上, FSi-ζijnj =0
SBL上, (ζijnj)+-(ζijnj) -=0
相邻界面
前面已经提到，要事先满足上述条件是困难的。
为此，可利用放松格式来得到放松了边界处约
束条件的修正余能原理（具体推导见教材）。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 29
V*C=Σ[1/2∫VζijεijdV+∫SζFsiuidS
-∫SζijnjuidS]e= min
该泛函的强制条件改为了
Ve,ζij,j+Fbi=0
Sue上, ui-ui0=0
有兴趣的同学，可自学教材上修正势能原理
的推证,但教材中已经指出，基于修正势能原理
的杂交位移元应用较少。
必须注意的是，修正余能原理是多变量泛函，
但是和赖斯纳原理不同，它在域内是单变量的，
在边界上才是多变量的。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 30
修正余能原理在域内是有强制条件的，放松
的只是边界上的约束条件。
1.5.2 基于修正余能原理的杂交应力元
设 Ve,ζ0ij,j+Fbi=0 是单元内的一个特解，
又设 Ve,ζij=HikPkj+ζ0ij, 应力参数 Pkj和其他
单元无关。
再设 Se,ui=Niδi, 将应力和位移代入修
正余能原理，经单元列式推导（具体推导见教
材），考虑到应力参数 Pkj和其他单元无关，最
后可得象位移元一样的“刚度”方程
kijδj=FEi
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 31
因此只要修改单元刚度、等效荷载的子程序，
即可用位移元程序计算杂交应力元分析问题。
当结点受有荷载作用时，综合等效结点荷载
中尚需组装直接结点荷载。
杂交应力元构造场变量时，也必须注意适当
的匹配。
象位移元分析一样，对已知位移边界条件，
需要进行边界条件处理。
对薄板弯曲问题，可仿此思路建立修正的变
分原理，从而建立板弯曲杂交元。有兴趣的可
自行参阅有关文献。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 32
再次强调，本章内容
理论性很强，必须亲自
动手，才能真真掌握！
1.广义变分原理及其应用
1.1 虚力原理与余能原理
1.2 泛函的变换格式
1.3 含可选参数的广义变分原理
1.4 基于 Reissner原理的混合元
1.5 放松约束的变分原理及杂交元
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1.1 虚力原理与余能原理
1.1.1 虚位移原理和势能原理（复习）
1） 虚位移原理的虚功方程 —— 矩阵表达
δWe=∫V[Fb]Tδ[u]dV+ ∫Sζ[Fs]Tδ[u]dS
=δWi=∫V[ζ]Tδ[ε]dV
体积力虚功 表面力虚功
虚变形功
δWe=∫VFbiδuidV+ ∫SζFsiδuidS
=δWi=∫VζijδεijdV
虚功方程 —— 张量表达
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2） 势能原理的数学表达
Ve=Vε+VP =1/2∫VζijεijdV
-∫VFbiuidV-∫SζFsiuidS = min总势能
应变能
外力势能
1.1.2 虚力原理
1） 虚力原理的表述
给定位移状态协调的充分必要条件为：对
一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成
立（矩阵）
∫V[ε]Tδ[ζ]dV=∫Su([L]δ[ζ])T [u ]0dS
虚反力功 表面给定位移虚余变形功
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虚功方程 —— 张量表达
∫VεijδζijdV=∫Suδζijnjui0dS
2) 必要性证明
εij=1/2(ui,j+uj,i)=D-1ijklζkl
V,δζij,j =0 Sζ, δζijnj=0
已知条件, [ε]=[A]T[u]=[D]-1[ζ]
V,δ[ζ]=[0] Sζ,[L]δ[ζ]=[0]
需证明的是,∫VεijδζijdV=∫Suδζijnjui0dS
或张量表达形式已知条件：
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∫V( [A][u])Tδ[ζ]dV=
∫S([L]δ[ζ])T [u ] dS-∫V([A]δ[ζ])T [u ] dV
1/2∫V(ui,j+uj,i) δζijdV=
∫SδζijnjuidS-∫V δζij,juidV
[证明 ]：利用格林公式
或张量形式格林公式
考虑到虚应力的已知自平衡条件，立即可得
∫VεijδζijdV=∫Suδζijnjui0dS
必要性证毕 。
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2) 充分性证明
V,δζij,j =0 Sζ, δζijnj=0
已知条件, [ε]= [D]-1[ζ]
需证明的是：应变 εij是协调的。
或张量表达形式 εij=D-1ijklζkl
∫VεijδζijdV=∫Suδζijnjui0dS
∫V[ε]Tδ[ζ]dV=∫Su([L]δ[ζ])T [u ]0dS
V,[A]δ[ζ]=[0] Sζ,[L]δ[ζ]=[0]
[证明 ],因为 V,[A]δ[ζ]=[0]，所以
对任意 [λ] ∫V ([A]δ[ζ])T [λ]dV=[0]
利用格林公式和已知条件可得
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设体内三个虚剪应力任意、独立，另三个正应
力满足 [A]δ[ζ]=[0]。 又因为 [λ]完全任意，因此
可设
zyx
V zyx
?
??
?
??
?
?? 321, ??????
∫V( [D] -1[ζ]-[A]T[λ ])Tδ[ζ]dV
+∫Su([L]δ[ζ])T ( [λ]-[u ]0)dS=0 (a)
在此条件下，式 (a)由于虚应力的任意、独立性
可得
V,[D] -1[ζ]-[A]T[λ ]=[0] Su,[λ]-[u ]0=[0]
充分性证毕。
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1.1.3 余能原理
和由虚位移原理导出势能原理一样，由虚力
原理
∫V[ε]Tδ[ζ]dV=∫Su([L]δ[ζ])T [u ]0dS
可得
δ(1/2∫V[ε]T [ζ]dV-∫Su([L] [ζ])T [u ]0dS)=0
记 VC如下所示，并称为 变形体的总余能
VC=1/2∫V[ε]T [ζ]dV-∫Su([L] [ζ])T [u ]0dS
则由 δVC=0可得
在一切可能的静力平衡状态中，某应力状态
为真实应力的充要条件是，变形体的总余能取
驻值。对线弹性体，此驻值为最小值。
余能原理
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余能原理等价于协调，表达为
VC=1/2∫VζijεijdV-∫SuFsiu0idS = min
利用格林公式，立即可证明
Ve+ VC=0
1.2 泛函的变换格式（龙驭球提出）
简单来说，势能原理等价平衡，表达为
Ve=Vε+VP =1/2∫VζijεijdV
-∫VFbiuidV-∫SζFsiuidS = min
1.2.1 一些预备知识
1) 变量的分类
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除泛函变量外，泛函中的其他变量称为泛函
的 增广变量 。
在余能泛函
VC=1/2∫VζijεijdV-∫SuFsiu0idS
中 ζij 是泛函变量，其他是增广变量。
泛函中所显含的自变函数称为泛函的 泛函变
量 。
在势能泛函
Ve=Vε+VP =1/2∫VζijεijdV
-∫VFbiuidV-∫SζFsiuidS
中 ui 是泛函变量，其他是增广变量。
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泛函中泛函变量事先所需满足的条件，称为
泛函的 强制条件 。
在余能泛函 中 ζij 所需满足的平衡条件（内部
和边界）即为强制条件。
VC=1/2∫VζijεijdV-∫SuFsiu0idS
2) 泛函所满足的条件
在势能泛函 中 ui 所满足的协调条件即为强制
条件。
Ve=Vε+VP =1/2∫VζijεijdV
-∫VFbiuidV-∫SζFsiuidS
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在余能泛函 中 ζij 所对应的应变应满足的协调
条件为自然条件。
由返函的变分等于零所导出的条件，称为泛
函的 自然条件 。
在势能泛函 中 ui 所满足的平衡条件即为自然
条件。
在泛函 中，泛函变量与增广变量间，或增广
变量之间所应满足的条件称为 增广条件 。
在势能泛函 中几何方程和物理方程即为增广
条件。
3) 泛函间关系的分类
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如果广义等价的两泛函，其变量和条件均对
应相同，称此两泛函为 等价 的。
两泛函所包含的全部变量、全部条件均相同，
但是变量的区分不同，或变量的条件不同等，
称此两泛函为 广义等价 。
如果两泛函等价，且只相差一比例系数，则
称这两泛函 互等 。
1.2.2 泛函的三种变换格式
1) 泛函的放松格式 —— 拉氏乘子法（传统）
基本思路是，将强制条件用拉氏乘子引入泛
函，从泛函变分判断拉氏乘子含义，并得到放
松了强制条件的多自变量泛函的变换格式。
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2) 增广格式 —— 高阶拉氏乘子法（钱伟长）
教材上介绍了从余能原理得到海林格 -赖斯
纳二变量广义余能原理的基本步骤，请大家按
思路自行推证。只有自己动手，才能真真掌握。
基本思路是，对无条件泛函，将增广条件构
造一正定二次型，再乘一待定乘子，从而得到
新的增广变量变为泛函变量的无条件泛函。
请大家自行证明教材给出的，钱伟长教授建
立的泛函是三变量的无条件泛函。
3) 等价格式 —— 龙驭球格式
基本思路是，用自然条件构造正定二次型，
按增广格式建立与原泛函等价的新泛函。
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请大家自行证明教材给出的，钱伟长教授建
立的另一泛函也是三变量的无条件泛函。并证
明当参数等于 1时，将“退化”成两变量的海
林格 -赖斯纳泛函（差一符号）。
学习的关键在真真掌握原理、方法等的
基本思路，从而以便能灵活运用它。上述
各种格式的思路就是如此简单，但不亲自
做一做，经验证明真真掌握它是不可能的。
4) 换元乘子法（龙驭球）
将增广变量通过增广条件引入泛函，从而增
广条件成为强制条件，再用拉氏乘子法放松强
制条件，将增广变量引入无条件泛函的方法。
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1.3 含可选参数的广义变分原理
1.3.1 含可选参数的广义变分原理
1） 变分泛函的建立
从三变量无条件胡海昌 -鹫津久一郎广义泛
函出发，用等价格式龙驭球建立了教材上前
12个正定二次型，我补充了后两个二次型，
乘 14个参数构成和胡 -鹫广义泛函等价的新泛
函。龙驭球认为参数是可以任意选取的，因
此称为含任意参数的广义变分原理。
我提出并得到龙先生认同，参数不能完全
任意选取，必须满足教材图示的通路关系。
2) 参数选取问题
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从而建立了含可选参数的广义变分原理。
最基本的是结构力学中介绍的虚功原理，
它是一个必要性命题，要求力状态平衡，要
求位移状态协调，满足此条件恒有虚功方程
成立。
虚功原理中力状态是给定的一个，虚位移
是任意的，条件的改变导致结论的改变，由
此得到虚位移原理。在无限分割情况下，等
价于平衡条件。它是一个充分必要性命题。
1.3.2 变分原理间的相互关系
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虚力原理也是虚功原理条件改变的结果，
位移给定虚应力任意，无限分割时等价于协
调条件。它也是充要条件。
由虚位移原理可导得势能原理，由虚力原
理可导得余能原理（当然它们也可由定义来
推导）。它们是一对对偶的原理。
从势能原理出发，用 放松格式 可得到无条
件的势能原理，用 换元乘子法 可得到二变量
广义余能原理、三变量的广义势能原理。
从余能原理出发，用 放松格式 可得无条件
的广义余能原理，用 换元乘子法 可得到三变
量的广义势能原理。
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从二变量的广义余能原理和三变量的广义
势能原理出发，用 格林公式 可分别得到二变
量的广义势能原理和三变量广义余能原理。
从二变量的广义余能原理或二变量的广义
势能原理出发，用 等价格式 可得到二变量含
可选参数的广义变分原理，当满足特定退化
条件时，将退化为无条件的势能原理。参数
为零时恢复成二变量广义变分原理。
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从三量的广义余能原理或三变量的广义势能原
理出发，用 等价格式 可得到三变量含可选参数的
广义变分原理，当满足特定退化条件时，将退化
为二变量的含可选参数广义变分原理。参数为零
时恢复成三变量广义变分原理。
上述原理间的关系，可用教材上 P,196 图 6-2
来表示。
如果真的掌握了, 有限元 Ⅰ, 所学习的内容，
象从势能原理出发通过构造位移场那样，合适地
建立变分原理对应的场变量，即可用变分原理得
到对应的有限元列式。下面简单介绍基于赖斯纳
原理的混合元分析。
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1.4 基于 Reissner原理的混合元
1.4.1 原理的使用选择
前面介绍了从余能原理获得了二变量广义
余能原理如下：
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S
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1
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用于单元时，考虑结点力作用后改为
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由此原理出发，如, 有限元 Ⅰ, 所述，进行有
限元分析时要求构造的应力场跨单元协调、在单
元应力边界上要求平衡，构造这样的变量场是困
难的。为此，用格林公式作变换，得到二变量广
义势能泛函如下：
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S
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0
S
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用于单元时，考虑结点力作用可同样修改。当
用此泛函作有限元分析时，要求位移场跨单元 (C0
级 )协调，由, 有限元 Ⅰ, 可知，这是不难做到的。
因此，一般用它分析。
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1.4.2 单元列式及说明
用上述原理作单元列式时，要建立两类变
量场：位移场 (u)和应力场 (ζ)，位移场只要满
足跨单元协调,并不要 像位移元组装后需作
约束条件处理,使满足位移边界条件 。
设 (u)=(N)(δ)e (ζ)=(β)(P)e
代入赖斯纳原理并经数学推导后，可得教材
上 (6.4-7)所示混合元性质方程。
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S
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式 (6.4-7)中的一些矩阵分别为
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有了 (6.4-7)混合元性质方程，作整体组装即
可获得整体性质方程。但必须注意，整体性
质矩阵是奇异的，求解时必须作必要的处理。
只和 (ζ)有关
和 (ζ),(u)有关
只和 (u)有关
只和 (ζ)有关
混合元分析可直接求得应力，因此一般来
说应力的精度比位移元要高。
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混合元依据的是驻值原理，因此结果没有
一致的趋向性。
赖斯纳原理包含两类场变量，这就存在必
须解决它们之间合理地配合的问题。
当应力参数矩阵 (P)相邻单元无关时，可对
单元性质方程进行缩聚处理，最终可得到单
元“刚度方程”，只要修改“刚度矩阵”和
“等效结点荷载矩阵”，就可用位移元的计
算程序来解算。
对平面和空间问题来说，位移元建立位移
场并无多大困难，混合元对板壳计算更有用。
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1.4.3 薄板弯曲的混合元
薄板弯曲理论中的广义势能泛函为
式中有关符号的说明见教材 P.200。从 κ 的表
达式可见，用它进行混合元分析需要 w 具有
C1级连续。这将与位移元一样产生困难。
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为此，需对上述泛函进行改造。
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Herrmann提出用分部积分和奥 -高公式 对
上述泛函进行改造，获得如下的 Herrmann泛
函（教材上有这种纯数学的具体推导）
有了广义变分泛函，和平面问题一样，设
出挠度场 w 和弯矩场 M 后，代入泛函即可
建立薄板弯曲的混合元性质方程。
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13
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e
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教材上结合常弯矩三角形、线性弯矩三角
形混合元介绍了一些具体列式，可供大家应
用时参考。
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1.5 放松约束的变分原理及杂交元
1.5.1 修正余能原理
前面已得到余能原理，作有限元分析时
VC=Σ[1/2∫VζijεijdV-∫SuFsiu0idS]e= min
该泛函的强制条件为
Ve,ζij,j+Fbi=0
Sζe上, FSi-ζijnj =0
SBL上, (ζijnj)+-(ζijnj) -=0
相邻界面
前面已经提到，要事先满足上述条件是困难的。
为此，可利用放松格式来得到放松了边界处约
束条件的修正余能原理（具体推导见教材）。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 29
V*C=Σ[1/2∫VζijεijdV+∫SζFsiuidS
-∫SζijnjuidS]e= min
该泛函的强制条件改为了
Ve,ζij,j+Fbi=0
Sue上, ui-ui0=0
有兴趣的同学，可自学教材上修正势能原理
的推证,但教材中已经指出，基于修正势能原理
的杂交位移元应用较少。
必须注意的是，修正余能原理是多变量泛函，
但是和赖斯纳原理不同，它在域内是单变量的，
在边界上才是多变量的。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 30
修正余能原理在域内是有强制条件的，放松
的只是边界上的约束条件。
1.5.2 基于修正余能原理的杂交应力元
设 Ve,ζ0ij,j+Fbi=0 是单元内的一个特解，
又设 Ve,ζij=HikPkj+ζ0ij, 应力参数 Pkj和其他
单元无关。
再设 Se,ui=Niδi, 将应力和位移代入修
正余能原理，经单元列式推导（具体推导见教
材），考虑到应力参数 Pkj和其他单元无关，最
后可得象位移元一样的“刚度”方程
kijδj=FEi
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因此只要修改单元刚度、等效荷载的子程序，
即可用位移元程序计算杂交应力元分析问题。
当结点受有荷载作用时，综合等效结点荷载
中尚需组装直接结点荷载。
杂交应力元构造场变量时，也必须注意适当
的匹配。
象位移元分析一样，对已知位移边界条件，
需要进行边界条件处理。
对薄板弯曲问题，可仿此思路建立修正的变
分原理，从而建立板弯曲杂交元。有兴趣的可
自行参阅有关文献。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 32
再次强调，本章内容
理论性很强，必须亲自
动手，才能真真掌握！
