2000.5 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 1
其他数值方法简单介绍
加权余量法
半解析法
样条有限元法
边界单元法
2000.5 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 2
加权余量法
前面介绍的固体力学有限元法，都是基于变
分原理泛函的驻值来列式的。
加权余量法直接从所需求解的微分方程和边
界条件出发，将所构造试函数代入微分方程和
边界条件，一般它不是真实解。 因此,将产生余
量。 然后通过加权积分为零建立消除余量的条
件，从而获得求解试函数中待定系数的方程。
求得待定系数后，代回试函数即可得到问题的
近似解。 显然，这对没有或难以建立能量积分
的问题，是一种有效的数值方法。
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根据余量的类型，可分为内部法（边界余量
为零）、
根据权函数的不同，可分为子域法、
无论什么方法，建立试函数时应注意：
试函数应由完备函数集的子集构成。
试函数应具有直到比加权积分表达式中最高
阶导数低一阶的连续性。
试函数应与待解问题解析解或特解相关联。
如问题具有对称性，应充分利用。
边界法（微分方程余量为零）和混合
法（两类余量都不为零）。
配点 (配
线 )法,最小二乘法,Galerkin法和矩法。
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当设整个求解域分成若干子域，全域试函数
由各子域试函数联合而得，对每一子域用 Ga-
lerkin法 (余量和基函数正交 )分析。
在, 有限单元法及计算程序, 一书中，除简
介加权余量的一般方法外，还通过温度场分析
和广义协调元说明了加权余量有限元法。有兴
趣的可自行查阅有关资料。
为降低子域
试函数的连续性要求，可象建立 Herrmann泛
函那样，用分部积分 (高斯公式 )进行处理。 用
此思路即可从控制方程直接建立有限元列式，
这就是加权余量有限元。
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半解析法
所谓半解析法是指，将解析解和有限元离散
化思想相结合的数值方法。它不仅可大大减少
未知量个数，还能大大提高计算精度。
1,有限条元法
以板分析为例，该法基本思想是，将求解域
划分成若干狭长条带形“单元”，单元位移场
按分离变量法构造。即每一条带纵向 (长向 )取
满足两端边界条件的正交函数 (一般为梁的振型
函数 )，条带窄边方向以节线 (无内节线时为条
带间公共边线 )未知位移作参数由形函数构造。
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因任意函数均可按正交完备的函数集展开，
因此理论上说，只要问题可分离变量，长向的
级数取得足够多，就可保证位移延长向趋于精
确解，这样就使问题减少了一维，使未知量得
以减少。
此外，由于长边方向函数的正交性，可使级
数及其导数项的一些积分为零，对一些问题最
终变成对级数每一项分别计算后叠加，自然这
又将使工作量减少，提高解算效率。
2,组合条元法
有限条元法有如下局限性：
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1）长向不能连接单元或其他条元；
2）为保证节线位移连续性，长向边界必须
一致；
为克服这些不足，同时又保留条元的优点，
发展了这种组合条元。
其基本思路为：
3）长向边界条件可有多种不同组合，导致
计算程序繁杂。
条带长向短边上象有限元一样放置有结点；
节线位移按两步法构造：先由结点位移参数
象有限元一样插值构造；后在不改变结点位移
参数含义条件下，象条元法一样用级数修正。
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象条元法一样，在节线位移基础上构造位移
场。
3,有限元线法
基于如此思路，曾用于分析平面、板壳静动
力问题，应力蒙皮线性、非线性问题等。
在, 有限单元法及计算程序, 一书中，以平
面问题为例简单介绍了这种方法。想更多了解
的可查阅, The Finite Element Method of Lines
Theory and Application,(袁驷著 )
还联
合应用有限单元、组合条元和无限元研究过路
面力学问题。证明了方法的有效和可靠性。
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象条元法、组合条元法一样，也是按分离变
量思想构造位移场，但设节线位移是未知的 (待
定的 )。
4,超级单元法
这是用于复杂结构分析的一种近似方法，其
思路是：
由此位移场用虚位移原理列式的结果，得到
的是关于节线位移的常微分方程组。在对边界
(包括节线搭接 )进行适当处理后，借助常微分
方程组求解器，由求解常微分方程得到节线位
移函数，从而得到问题的解答。无疑这一方法
精度高于前两种。但其解算效率取决于求解器。
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设由多种构件组成的复杂结构，其整体变形
(位移 )象一实体物体，当将结构划分成若干个
实体超级单元后，超级单元的位移场根据具体
问题可象一般有限元一样建立。
但这个超级元并非实际存在，其力学特性取
决于超级元所包含的具体构件。
由所有构件的力学特性获得超级元特性后，
即可按一般有限元方法分析超级元结构。
对超级元所包含的具体构件，其位移场不再
是独立的，这些构件单元的结点位移可根据结
点坐标，由超级元的位移场确定。这样，就可
把构件的力学特性转换成超级元位移 -力关系。
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求得超级元结点位移后，根据超级元位移场
所得到的构件单元结点位移，即可确定各构件
的受力和变形。
由此思路可见，超级元象子结构法，但又是
不一样的。子结构各构件的结点位移都是独立
的未知量，只是分析时将内部自由度凝聚掉而
已。因此，它是“精确的”、有大量未知量的。
可超级元只有超级元结点的位移未知量，包含
在超级元内的构件结点不存在独立的未知位移，
因此它是一种可大量减少自由度的近似方法。
由于考虑了实际各构件的力学特性，因此分
析大型复杂结构还是可得到满意结果的。
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样条有限元法
因为 n次样条函数是具有 n-1阶导数连续的 n
次多项式，因此将其用于有限元分析，可提高
计算精度、减少计算工作量。
用样条函数做结构分析有两种方式。
在, 有限单元法及计算程序, 一书中，介绍
了梁、平面问题和薄板弯曲的样条单元。更多
的内容可查阅龙驭球, 新型有限元引论, 等。
其一是，
用样条函数构造整体场变量，称为样条变分法。
另一是，用样条函数进行分区构造场变量，称
为样条有限元法。 前者局限于解规则问题，后
者则象有限元一样，可解决各类工程问题。
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这里仅就四自由度二次样条梁单元为例加以
说明。
四自由度二次样条梁
单元如图所示。
设挠度 v在每段上为二次多项式
1 3 2
2l 2l
01 ?? 213 ?? 12 ??
),( 11 ?v ),( 22 ?v
xvlx,,?? ??
因是二次样条，将单
元分成两段如图。
六个待定系数由 1,2 位移条件和 3 的连续条件
确定。从而可得到形函数表示的位移模式。
121(
21(0 )(
2
654
2
321
?
?
?
????
?????
）
）
???
???
ccc
cccxv
221220111110)( ?? NvNNvNxv ????
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上式中的形函数都是二次样条函数，分别为
将单元位移场写成如下矩阵标准形式
)1(2
21
2
2
10
?
?
?
?
??
?
?N
exv ?N?)(
121( 2)1(
21(0 2)32(
2
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）
）
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l
lN
1 1020 NN ??
121( 2)341(
21(0 2
2
2
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????
????
）
）
???
??
l
lN
其余工作就可完全按一般有限元分析步骤进行，
从而建立样条有限单元的刚度方程。这里就不
再赘述了。
合肥工业大学
沈鹏程教授
写了一本基于多变
量广义变分原理的
,多变量样条有限元法,
有兴趣的可参考
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边界单元法
边界单元法的基本思想是，将微分方程边值
问题转换成边界积分方程，利用微分方程的基
本解和边界离散技术，建立边界未知量的代数
方程组。
用基本解建立边界积分方程，是边界单元法
的基础。所谓基本解是指：无限或半无限域中
作用 函数时，满足拉普拉斯或纳维埃方程的
解。如流体力学里点源产生的势函数，弹性力
学里集中力产生的位移场等。
?
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在, 有限单元法及计算程序, 一书中，简单
介绍了边界单元这两种列式的基本思想、基本
方法，可以作为进一步学习的入门知识。
要进一步深入学习和研究可参考, 工程科学
中的边界单元法,,, 边界单元法进展, 和
,弹性动力的边界单元法, 等译著 (我只有这三
本书 )和有关著作、文献资料。
边界单元法可有两种列式方法：直接法和间
接法。
其他数值方法简单介绍
加权余量法
半解析法
样条有限元法
边界单元法
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加权余量法
前面介绍的固体力学有限元法，都是基于变
分原理泛函的驻值来列式的。
加权余量法直接从所需求解的微分方程和边
界条件出发，将所构造试函数代入微分方程和
边界条件，一般它不是真实解。 因此,将产生余
量。 然后通过加权积分为零建立消除余量的条
件，从而获得求解试函数中待定系数的方程。
求得待定系数后，代回试函数即可得到问题的
近似解。 显然，这对没有或难以建立能量积分
的问题，是一种有效的数值方法。
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根据余量的类型，可分为内部法（边界余量
为零）、
根据权函数的不同，可分为子域法、
无论什么方法，建立试函数时应注意：
试函数应由完备函数集的子集构成。
试函数应具有直到比加权积分表达式中最高
阶导数低一阶的连续性。
试函数应与待解问题解析解或特解相关联。
如问题具有对称性，应充分利用。
边界法（微分方程余量为零）和混合
法（两类余量都不为零）。
配点 (配
线 )法,最小二乘法,Galerkin法和矩法。
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当设整个求解域分成若干子域，全域试函数
由各子域试函数联合而得，对每一子域用 Ga-
lerkin法 (余量和基函数正交 )分析。
在, 有限单元法及计算程序, 一书中，除简
介加权余量的一般方法外，还通过温度场分析
和广义协调元说明了加权余量有限元法。有兴
趣的可自行查阅有关资料。
为降低子域
试函数的连续性要求，可象建立 Herrmann泛
函那样，用分部积分 (高斯公式 )进行处理。 用
此思路即可从控制方程直接建立有限元列式，
这就是加权余量有限元。
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半解析法
所谓半解析法是指，将解析解和有限元离散
化思想相结合的数值方法。它不仅可大大减少
未知量个数，还能大大提高计算精度。
1,有限条元法
以板分析为例，该法基本思想是，将求解域
划分成若干狭长条带形“单元”，单元位移场
按分离变量法构造。即每一条带纵向 (长向 )取
满足两端边界条件的正交函数 (一般为梁的振型
函数 )，条带窄边方向以节线 (无内节线时为条
带间公共边线 )未知位移作参数由形函数构造。
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因任意函数均可按正交完备的函数集展开，
因此理论上说，只要问题可分离变量，长向的
级数取得足够多，就可保证位移延长向趋于精
确解，这样就使问题减少了一维，使未知量得
以减少。
此外，由于长边方向函数的正交性，可使级
数及其导数项的一些积分为零，对一些问题最
终变成对级数每一项分别计算后叠加，自然这
又将使工作量减少，提高解算效率。
2,组合条元法
有限条元法有如下局限性：
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1）长向不能连接单元或其他条元；
2）为保证节线位移连续性，长向边界必须
一致；
为克服这些不足，同时又保留条元的优点，
发展了这种组合条元。
其基本思路为：
3）长向边界条件可有多种不同组合，导致
计算程序繁杂。
条带长向短边上象有限元一样放置有结点；
节线位移按两步法构造：先由结点位移参数
象有限元一样插值构造；后在不改变结点位移
参数含义条件下，象条元法一样用级数修正。
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象条元法一样，在节线位移基础上构造位移
场。
3,有限元线法
基于如此思路，曾用于分析平面、板壳静动
力问题，应力蒙皮线性、非线性问题等。
在, 有限单元法及计算程序, 一书中，以平
面问题为例简单介绍了这种方法。想更多了解
的可查阅, The Finite Element Method of Lines
Theory and Application,(袁驷著 )
还联
合应用有限单元、组合条元和无限元研究过路
面力学问题。证明了方法的有效和可靠性。
2000.5 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 9
象条元法、组合条元法一样，也是按分离变
量思想构造位移场，但设节线位移是未知的 (待
定的 )。
4,超级单元法
这是用于复杂结构分析的一种近似方法，其
思路是：
由此位移场用虚位移原理列式的结果，得到
的是关于节线位移的常微分方程组。在对边界
(包括节线搭接 )进行适当处理后，借助常微分
方程组求解器，由求解常微分方程得到节线位
移函数，从而得到问题的解答。无疑这一方法
精度高于前两种。但其解算效率取决于求解器。
2000.5 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 10
设由多种构件组成的复杂结构，其整体变形
(位移 )象一实体物体，当将结构划分成若干个
实体超级单元后，超级单元的位移场根据具体
问题可象一般有限元一样建立。
但这个超级元并非实际存在，其力学特性取
决于超级元所包含的具体构件。
由所有构件的力学特性获得超级元特性后，
即可按一般有限元方法分析超级元结构。
对超级元所包含的具体构件，其位移场不再
是独立的，这些构件单元的结点位移可根据结
点坐标，由超级元的位移场确定。这样，就可
把构件的力学特性转换成超级元位移 -力关系。
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求得超级元结点位移后，根据超级元位移场
所得到的构件单元结点位移，即可确定各构件
的受力和变形。
由此思路可见，超级元象子结构法，但又是
不一样的。子结构各构件的结点位移都是独立
的未知量，只是分析时将内部自由度凝聚掉而
已。因此，它是“精确的”、有大量未知量的。
可超级元只有超级元结点的位移未知量，包含
在超级元内的构件结点不存在独立的未知位移，
因此它是一种可大量减少自由度的近似方法。
由于考虑了实际各构件的力学特性，因此分
析大型复杂结构还是可得到满意结果的。
2000.5 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 12
样条有限元法
因为 n次样条函数是具有 n-1阶导数连续的 n
次多项式，因此将其用于有限元分析，可提高
计算精度、减少计算工作量。
用样条函数做结构分析有两种方式。
在, 有限单元法及计算程序, 一书中，介绍
了梁、平面问题和薄板弯曲的样条单元。更多
的内容可查阅龙驭球, 新型有限元引论, 等。
其一是，
用样条函数构造整体场变量，称为样条变分法。
另一是，用样条函数进行分区构造场变量，称
为样条有限元法。 前者局限于解规则问题，后
者则象有限元一样，可解决各类工程问题。
2000.5 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 13
这里仅就四自由度二次样条梁单元为例加以
说明。
四自由度二次样条梁
单元如图所示。
设挠度 v在每段上为二次多项式
1 3 2
2l 2l
01 ?? 213 ?? 12 ??
),( 11 ?v ),( 22 ?v
xvlx,,?? ??
因是二次样条，将单
元分成两段如图。
六个待定系数由 1,2 位移条件和 3 的连续条件
确定。从而可得到形函数表示的位移模式。
121(
21(0 )(
2
654
2
321
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上式中的形函数都是二次样条函数，分别为
将单元位移场写成如下矩阵标准形式
)1(2
21
2
2
10
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其余工作就可完全按一般有限元分析步骤进行，
从而建立样条有限单元的刚度方程。这里就不
再赘述了。
合肥工业大学
沈鹏程教授
写了一本基于多变
量广义变分原理的
,多变量样条有限元法,
有兴趣的可参考
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边界单元法
边界单元法的基本思想是，将微分方程边值
问题转换成边界积分方程，利用微分方程的基
本解和边界离散技术，建立边界未知量的代数
方程组。
用基本解建立边界积分方程，是边界单元法
的基础。所谓基本解是指：无限或半无限域中
作用 函数时，满足拉普拉斯或纳维埃方程的
解。如流体力学里点源产生的势函数，弹性力
学里集中力产生的位移场等。
?
2000.5 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 16
在, 有限单元法及计算程序, 一书中，简单
介绍了边界单元这两种列式的基本思想、基本
方法，可以作为进一步学习的入门知识。
要进一步深入学习和研究可参考, 工程科学
中的边界单元法,,, 边界单元法进展, 和
,弹性动力的边界单元法, 等译著 (我只有这三
本书 )和有关著作、文献资料。
边界单元法可有两种列式方法：直接法和间
接法。
