2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 1
第二章 弹塑性本构关系简介
1,弹性介质本构关系
2,弹塑性力学有关内容简介
3,几种常用弹塑性材料模型简介
4,弹塑性矩阵的建立步骤
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1,弹性介质本构关系
对线弹性介质只有 两个独立的弹性常数,但
应力应变（本构）关系有多种表示形式：
用 G和 μ表示
用 G和 体积模量 K表示
ijijkkmijijij GeKGe 23
12 ???? ?????
ijijkkij sGK 2
1
9
1 ?? ???
ijkkijij G
G ???
?
?? 2
21
2 ?
?? )1(2 1 kkijijij G ?????? ???
1.1 线性弹性小变形
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式中 应力和应变偏张量分别为
如果用 拉梅（ Lame）常数 表示，则有
弹性常数间有如下关系
ijij Ges 2? ijvijijkkijij ee ????? 3
1
3
1 ????
GK
KGEEGEK
?????? 3
9 ;
)1(2 ;)21(3 ??
ijkkijij G ????? ?? 2
G
kk
kk 23 ?? ?
??
ijkk
ij
ij GG ??
???
22
??
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利用上述关系，只要已知两个弹性常数就可
写出有限元分析中的弹性矩阵 (D)。
例如，当以 G和 μ表示时，以张量形式表示的
本构关系为;
)2(;
)21)(1(
;
)32(;
3
2;
)3(2
23
G
E
G
GG
E
G
K
GK
GK
?
?
??
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
klljikklijkli j k lij G
GD ?????
?
??? )2
21
2( ?
?
??
由此可获得 弹性张量 Dijkl。 其他可仿此写出。
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非线性弹性介质的本构关系，一般是根据材
料的力学试验通过拟合来得到的。例如金属材
料单向拉伸 Romberg-Osgood模型的关系为
式中 k和 n为拟合的实验参数,E为初始弹性模
量。一般情况下本构关系可表为
n
EkE )(
??? ??
)( klijij f ?? ?
1.2 非线性弹性小变形
在有限元分析中有两种应用形式：全量形和增
量形本构关系。
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全量本构关系的表达形式和线性弹性情况相
同，也即
klsijk lij D ?? ?
1.2.1 全量形式本构关系
但其中的弹性系数 Gs,μs不再是常数，它们是应
变或应力的函数，分别称为 割线弹性系数 。可
将它们看作与一定应力（或应变）水平对应的
割线常数（割线剪切模量和割线泊松比）。
式中 为 割线弹性张量,形式上它仍可表为s
ijklD
ljiksklij
s
sss
i j k l G
G
D ????
?
?
2
21
2
?
?
?
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o c tso c t K ?? 3?
例如对混凝土,Andenaes等依据实验给出，
八面体正应力、切应力和八面体线应变、角应
变间关系为
σ oct
ε octKs
Kt
o c tso c t G ?? ?
并有
m
B
c
o c ts a
G
G
??
?
?
??
?
?
??
?
?
1
p
o c tcss e
G
G
K
K )( ??
其中 G,K分别为初始切线剪切和体积模量，
为混凝土单轴抗压强度,a,m,c和 p为由试验
确定的常数。
Bc?
oct?
oct?
Gt
Gs
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1.2.2 增量形式本构关系
增量本构关系的表达形式为
klti j klklijij Df kl ??? ? dd,d ??
但其中的弹性系数 Gt,μt也不是常数，也是应变
或应力的函数，分别称为 切线弹性系数 。可将
它们看作与一定应力（或应变）水平对应的切
线常数（切线剪切模量和切线泊松比）。
式中 为 切线弹性张量,形式上仍可表为t
ijklD
ljiktklij
t
ttt
i j k l G
G
D ????
?
?
2
21
2
?
?
?
上面介绍的是 哥西方法,讲义上还简述了 格
林方法,大家可自行阅读。
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韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如
下图示意
2.1 应力空间表述的弹塑性本构关系
2,弹塑性力学有关内容简介
?
?
e?
弹性极限
Ly?
屈服下限
Uy?屈服上限
b?
强度极限 强化段
软化段
弹性变形残余变形
卸载
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包辛格效应
反向屈服点
?
?
y?
y??
卸载、反向加载
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由单向拉伸曲线可见，弹塑性材料受外部作
用的反应和变形的历史有关（可称为历史相关
性或路径相关性），因此本构关系应写成 增量
关系 。又因弹塑性状态下加载和卸载有不同的
规律，所以其本构关系的表述要比非线性弹性
情况复杂。
以应力为坐标，其每点代表一个应力状态，
如此的空间称为 应力空间 。
判断材料处于弹性还是塑性的准则，称为 屈
服条件或塑性条件 。
1) 屈服条件和屈服面
弹性和塑性区的分界面称为 屈服面 。空间屈
服面应是一个 凸曲面 。
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屈服条件曾经有最大主应力（伽）、最大主
应变（圣）假设，但后来都被实验所否定。
后来法国的 H.Tresca提出，最大切应力达某
一极限值时，材料即进入塑性状态。德国的 R,
Von.Mises及 H.Hencky又进一步指出，弹性形
变比能（也称歪形能）达一定值时材料进入塑
性。对韧性金属，这一假设比较接近实际。
原苏联学者伊留申提出应力强度的概念，并
以应力强度作为表征物体受力程度的参数。认
为应力强度达到单向拉伸的屈服极限时，材料
进入塑性。这不仅概念清楚，而且便于使用，
因此是塑性力学常用假设之一。
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在材料的一般应力状态下，可认为应力满足
如下条件时材料发生屈服，即处于塑性状态：
0),,( p ?kf ijij ??
式中 为 应力张量, 为 塑性应力张量, k 为
标志永久变形的量。 和 k 统称为 内变量 。 其
中 与 塑性应变张量 间存在如下关系
ij?
p
ij?
p
ij?
p
ij?
p
ij?
pp
klijk lij D ?? ?
k（又称 硬化参数 ）有多种取法，可以是 塑性
功, 塑性体应变 和 等效塑性应变 。
pp d kiik ??? ??
转图
其中塑性体应变为
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?
?
?
p?
e?p?
e?
?
A
ed?
pd?
?d
ed?
pd?
?d
B
应力、应变关系示意
pe ??? ??
pp
kli j k lij D ?? ?
kli j k lij D ?? ?
e
pe ddd ??? ??
pp dd
kli j k lij D ?? ?
kli j k lij D ?? dd
e ?
?? 21ppp )d(d ijij ???等效塑性应变
p
p d ijijσw ???塑性功
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从自然状态第一次进入屈服的屈服条件称 初
始屈服条件,产生塑性变形后的屈服条件称 后
继屈服条件 。初始屈服条件可表为：,
它只与当前应力状态有关。屈服条件都可看成
应力空间的超曲面,初始屈服条件称初始屈服
面，后继屈服条件称后继屈服面，统称 屈服面 。
0)(0 ?ijf ?
如果一点应力的,则此点处于
弹性状态，如果,则处于塑性状
态。
0),,( p ?kf ijij ??
0),,( p ?kf ijij ??
屈服面随内变量改变的规律称 强化规律 。由
材料试验的资料可建立各种强化模型，目前广
泛采用的有,等向强化 ； 随动强化 两种模型。
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0),,( p ?kf ijij ??后继屈服面
0)(0 ?ijf ?弹性
0)( 0 ?ijf ?初始屈服面
1?
2?
1?
2?
o
o
A
B
C
D
等
向
强
化
随
动
强
化
1o
AC
B
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等向强化 认为屈服面形状不变，只是作均匀
的扩张，后继屈服面仅与一个和内变量有关的
参数 有关，可表为：?
随动强化则认为屈服面大小和形状不变，仅
是整体地在应力空间中作平动，其后继屈服面
可表为：
0)()(),,( 0p ??? kfkf ijijij ????
0)(),,( p0p ??? ijijijij fkf ?????
多数材料的屈服面介于两者间。如果应力空
间中应力方向变化不大，等向强化与实际较符
合。它的数学处理简单，故应用较广。但当需
考虑循环荷载下耗能时，随动强化可反应包辛
格效应，因此应该用它。
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2）塑性状态的加载和卸载准则
跳
转
在外部作用下应变点仍在屈服面上，并有新
的塑性变形发生，此时称这个过程为 塑性加载 。
如果应变点离开屈服面退回弹性区，反应是
纯弹性的，此过程称 塑性卸载 。
应变点不离开屈服面，又无新的塑性变形发
生，此时称 中性变载 。
转
下
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塑性加载
塑性卸载
中性变载
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2-2) 具有强化的弹塑性材料
跳
转
2-1）理想弹塑性材料
0)(0 ?ijf ?
由于此时屈服面大小和形状不随内变量发展
而改变，因此屈服面为 。用公式表
示理想弹塑性材料的加卸载准则为：
?
?
?
?
??
0
0,
1 ijdfl ij ??
卸载，弹性
加载，塑性
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
,1 ijdfl
ij
??
卸载，弹性
加载，塑性
中性变载，塑性
对软化材料，无法建立加、卸载准则。
转图
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卸载
ijf ?,
0?f
塑性加载
理想弹塑性材料
ijf ?,
塑性加载
卸载
中性变载
等向强化弹塑性材料
0?f
后继面
后继面
0?f
ijf ?,
中性变载 加载
卸载
卸载
随动强化弹塑性材料
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3）流动准则
在塑性力学中,认为材料进入塑性后存在一
个势函数（简称塑性势） 。 塑性
应变增量可由势函数给出：
0),,( p ?kg ijij ??
?? ? d,d p ijgij ?流动准则又可分为 正交（相关）流动准则 和
非正交（非相关）流动准则 两种。前者认为塑
性势就是屈服面，因此 。而后者
则认为塑性势和屈服面不同。对正交准则，塑
性流动方向垂直于屈服面，加、卸载准则取决
于非负的尺度因子 dλ,它大于零，表示加载，
等于零，表示其他情况。
?? ? d,d p ijfij ?
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4）弹塑性本构关系
在应力增量 dσ ij作用下，应变增量 dε ij 可
分成弹性和塑性两部分。弹性部分
在上述概念基础上，下面讨论材料非线性分
析的核心问题 —— 正交流动弹塑性本构关系。
因此总应变为
kli j klijkli j klij DD ???? dd dd 1ee ???
弹性张量
ij?d
ed ij?pd ij?
????? ? d,dddd 1pe ijfD kli j k lijijij ???? ?
因为在卸载和中性变载状态 dλ =0，因此反
应是纯弹性的。
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对于具有强化的加载状态，因为屈服面为
因此
又因为 0d,d,d,),,(d
pp
p ???? kfffkf kijijijij ijij ???? ??
则由 df =0（也称一致性条件）可得
0),,( p ?kf ijij ??
???? ? d,d dd ppp ijfD ijkli j k lij ??
在永久变形标志 k各种不同取法情况下,dk将
有不同的形式，若统一记
?dd,Mkf k ?
MfDfA
A
f
klij
ij
i j k l
ij ????
??
? ??,,d,d
p
一致性条件
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由此可见，只要建立了屈服面方程，则对应
加载状态应力增量 dσ ij的应变增量 dε ij 为
若引入如下记号：
则弹塑性本构关系可统一表示成
kli j k lij klij ffAD ?? ?? d),,
1(d 1 ?? ?
ijijfl ?? d,?
?
?
?
?
??
0 1
0 0)(
加载
卸载、中性变载
l
llH
kli j k lkli j k lij DffA
lHD
klij
??? ?? dd),,)((d 1,ep1 ?? ???
上述本构方程是以应力为基本未知量的,它
只适用于强化材料 。
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2.2 应变空间表述的弹塑性本构关系
以应变空间来讨论，能给出对强化、软化和
理想塑性材料普遍适用的本构关系表达式。
由于所有的讨论基本上和应力空间对应，因
此下面只是简单列出有关式子。
1) 屈服条件和屈服面
0),,( p ?kF ijij ??
屈服面方程
0)( ?ijF ?初始屈服面
屈服面内弹性，屈服面上塑性。
2) 加、卸载和流动准则
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对正交流动准则
dλ 大于零表示加载，等于零表示其他情况。
3) 弹塑性本构关系
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
d,
2
卸载
中性变载
加载
ijij
Fl ?
?
ijFij ???,dd
p ?
kli j kli j klij DD ?? d)(d p??
式中
klij
FFAD i j k l ??,,1p ? MFDFA klij i j k l ??? ? ??,,1p
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同样，若引入如下记号：
则弹塑性本构关系也可统一表示成
ijijfl ?? d,?
?
?
?
?
??
0 1
0 0)(
加载
卸载、中性变载
l
llH
ijijFA ?? ? d,
1d ?
kli j klkli j kli j klij DDlHD ??? dd))((d
epp ???
式中 称塑性矩阵,称弹塑性矩阵。
p
ijklD
ep
ijklD
上述本构方程是以应变为基本未知量的，它
适用于理想塑性、强化和软化材料 。
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2.3 两种表述的关系
由于建立屈服函数的实验研究多为用应力表
示的，关于强化、软化和理想塑性等也是用应
力定义的，但是应力空间本构有很大局限性。
因此有必要把应变空间表述的本构关系转换成
用应力表示。
在应力空间的屈服面方程为
0),,( p ?kf ijij ??
由于, 。将其代
入屈服面方程，则可得到应变空间的屈服面 )(
p
klkli j k lij D ??? ??
pp kli j k lij D ?? ?
0),,(),),(( ppp ??? kFkDDf ijijkli j k lklkli j k l ?????
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建立了两空间屈服面关系后，对应变空间的
导数就可用应力空间屈服面的导数来计算
利用上述式子，即可将应变空间的本构方程和
加、卸载准则用应力屈服面函数表示如下：
klij fDF ijk l ??,,? ),,(,pp klklij ffDF i j k l ??? ?? kk fF,,?
klkl
fDfDAD k l i ji j k li j k l ??,,1p ?
MfDffDfA kl
ijklij i j k li j k l
??? ????,,,,p
kli j klDfl ij ?? d,?
?
?
?
?
??
0 1
0 0)(
加载
卸载、中性变载
l
llH
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必须注意，这里导数
是由应力空间屈服面定义的，
但是它是应变空间表述的。
位移有限元分析用它！
下节将利用本节知识讨论几种常用材料的
本构和流动准则
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3,几种常用弹塑性材料模型简介
3.1 等向强化 -软化的米塞斯（ Mises）材料
由薄壁圆筒的实验研究可得，这种材料的屈
服面方程为
0)(212 ??? kJf ?
2
31
2
23
2
12
2
1133
2
3322
2
22112 ])()()[(6
1 sssssssssJ ?????????
在主应力状态下，第二不变量为
])()()[(61 2132322212 ?????? ??????J
式中 J2是应力偏张量的第二不变量,
由于偏张量第一不变量等于零,因此
2/2 ijij ssJ ?
01 ?? iisJ
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在单向拉伸状态下,J2=σ2/3。 在纯剪状态下，
J2=τ2。一般情况下,sij=σij -σkkδij /3,所
以, ijijijijijijij sssssssJ
ijijijij
???? ????,),,(21,2
屈服面式中 χ(k),是 由单向应力状态的数据
确定的屈服参数。 在单向拉伸时为 χ2=σB2/3。 在
纯剪状态下 χ=τB。任何情况下 χ都是硬化参数塑
性功 wp的函数。
??? 2/2/2/,,2122212 ijij ssJJJf ijij ??? ??
根据屈服面表达式，可求得
因为
klijjliki j k l
GKGD ???? )
3
2(2 ???
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因此
为了求 A，需先由屈服面对 wp的偏导数求 M
ij
kl
klijjliki j k l s
GsGKGfD
kl ??
????? ???? 2])32(2[,
GGJsG
s
fDf ijiji j k l
klkl
??? 22
2
2
2
,,
?????
B
ij
ijwBijw
s
ffM
ij ?
??? ?
2
,,,
pp
????
ppp,2)3
1(,Gss
wB
B
ij
ijmijwB ???? ?????
式中 Gp是 曲线的斜率。同理，对单向拉伸
情况,-M=Ep/3。p?? ?
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由此可得 A=G+Gp（或 A=G+Ep/3），又因
因为
MfDffDfA kl
ijklij i j k li j k l
??? ????,,,,p
纯剪
Gp是塑性剪切
模量
单向拉伸
Ep是塑性拉伸
模量
klijk l i ji j k li j k l s
GsG
A
fDfD
A
D
klkl ????
1,,1p ??
kl
ij
klij s
s
GG
GsGsG
GG 2p
2
p
1
??? ?
?
?
?
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由此可得
弹塑性矩阵为
kl
ij
i j k li j k l s
s
GG
GDD
2
p
2
p
??
??
)d)
3
2(d2(
2 kkijij
ij GKGsl ???
?
???
?
?
?
?
??
0 1
0 0)(
加载
卸载、中性变载
l
llH
加、卸载准则为
kli j k lkli j k li j k lij DDlHD ??? dd))((d
epp ???
统一的本构关系为
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 37
3.2 随动强化的米塞斯材料
这种材料的屈服面方程为
由此屈服面方程出发，求导可得
式中 α是与内变量有关的量,称为应力迁
移张量，由它可以确定屈服面在应力空间的位
置。 是一个常量，表示屈服面形状不变。
pij??
0?
0)])((21[),,( 021ppp ????? ?????? ijijijijijij ssksf
)(2 1,
0
p
ijijsf ij ???? ??
如上推导即可得到应变空间的本构关系和流动
准则。米塞斯屈服准则主要适用于金属材料。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 38
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 39
3.3 岩土工程广泛使用的 Mohr-Coulomb材料
这种材料的屈服准则为
式中 τ是破坏面上切应力,σn是破坏面的正压力。
c是材料粘性系数,υ是内摩擦角,c和 υ是两个
材料常数。在主应力空间，此屈服准则可用下
图示意
??? t a nnc ??
n?
n?
23 1
? ??
23 1
? ??
c ?
? cos c
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 40
据此，屈服面方程可写为
引入主应力的三角公式
0s i n)(c o s2 3131 ?????? ?????? cf
3/c o s2 kkii J ??? ??
角洛得 )L o d e(2 33a r c c o s31 23
2
3 ??
J
J?
??? c o s2 231 J?? kk
J ????
3
2s i n
3
2 2
31 ????
上述屈服面方程可改为
0s i ns i n
3
c o sc o ss i n
3
1 2
2 ????? ??????
JJcf
kk
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 41
与前面两种情况相同，由此即可求得,但
必须注意，在棱面交界处导数是无法确定的，
因此使有限元分析困难。
ijf ?,
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 42
3.4 等向强化 -软化的 Drucker - Prager材料
这种材料的屈服面方程为
式中 α和 χ是材料常数，为了确定它，将其和摩
尔 -库仑准则对比。摩尔 -库仑准则在主应力空
间是一六棱锥，德鲁克 -普拉克准则是一圆锥面，
令两锥顶重合，在 π平面上 D-P的截线 (圆 )和 M-
C截线（不规则六边形）外（内）顶点重合，
可得（参考 <殷 >内顶点重合时为,+”）
)s i n3(3
c o s6
)s i n3(3
s i n2
?
??
?
??
??
c??
0212 ???? ??? iiJf
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 43
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 44
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 45
从屈服面方程可得
由此可得 ijijsJf ij ??? ?? ? 2/,212
ijijklkli j k li j k l sJ
GKsJDfD
kl
2
21
2 3)2/(,????
? ????
?
GKfDf klij i j k l ?? 29,,???
现取硬化参数 k为塑性体应变 θp的函数，则设
)d( )( )( pppp ???? kiik ?????????
则可得
),,(39 pp 2 iiGKA ????? ?? ????
0
0
0
,,pp
?
?
?
?
?
?
?
?
?
软化
理想塑性
强化
ii??? ??如果
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 46
对软化速度的限制为
如果引入如下记号
A
K
AJ
G ??? 3
2
2
1 ??
并记
ijijijs ???? ?? 21
则塑性矩阵和弹塑性矩阵可写作
kliji jk lD ???p
GKii ??? 2 9,,pp ???? ??
epp)( i j k li j k li j k l DDlHD ??
上述模型，在模拟岩土和混凝土等材料的弹
塑性性质时得到广泛的应用。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 47
4,弹塑性矩阵的建立步骤
4) 根据硬化参数的选取，计算 M。
3) 用弹性矩阵或张量和 相乘。
ijf ?,
MfDffDfA klijklij i j k li j k l ??? ????,,,,p5) 由 计算 A。
6) 由 计算 塑性矩阵。 AfDfDD klkl k l i ji j k li j k l /,,p ???
7) 计算 并由此判断 H(l)。kli j k lDfl
ij ?? d,?
8) 最后形成弹塑性矩阵 。 pep )( i j k li j k li j k l DlHDD ??
1) 根据实验研究建立材料合理的屈服条件 f。
2) 由屈服条件求屈服面方程对应力或不变量
等的导数。
关键
第二章 弹塑性本构关系简介
1,弹性介质本构关系
2,弹塑性力学有关内容简介
3,几种常用弹塑性材料模型简介
4,弹塑性矩阵的建立步骤
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 2
1,弹性介质本构关系
对线弹性介质只有 两个独立的弹性常数,但
应力应变（本构）关系有多种表示形式：
用 G和 μ表示
用 G和 体积模量 K表示
ijijkkmijijij GeKGe 23
12 ???? ?????
ijijkkij sGK 2
1
9
1 ?? ???
ijkkijij G
G ???
?
?? 2
21
2 ?
?? )1(2 1 kkijijij G ?????? ???
1.1 线性弹性小变形
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 3
式中 应力和应变偏张量分别为
如果用 拉梅（ Lame）常数 表示，则有
弹性常数间有如下关系
ijij Ges 2? ijvijijkkijij ee ????? 3
1
3
1 ????
GK
KGEEGEK
?????? 3
9 ;
)1(2 ;)21(3 ??
ijkkijij G ????? ?? 2
G
kk
kk 23 ?? ?
??
ijkk
ij
ij GG ??
???
22
??
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 4
利用上述关系，只要已知两个弹性常数就可
写出有限元分析中的弹性矩阵 (D)。
例如，当以 G和 μ表示时，以张量形式表示的
本构关系为;
)2(;
)21)(1(
;
)32(;
3
2;
)3(2
23
G
E
G
GG
E
G
K
GK
GK
?
?
??
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
klljikklijkli j k lij G
GD ?????
?
??? )2
21
2( ?
?
??
由此可获得 弹性张量 Dijkl。 其他可仿此写出。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 5
非线性弹性介质的本构关系，一般是根据材
料的力学试验通过拟合来得到的。例如金属材
料单向拉伸 Romberg-Osgood模型的关系为
式中 k和 n为拟合的实验参数,E为初始弹性模
量。一般情况下本构关系可表为
n
EkE )(
??? ??
)( klijij f ?? ?
1.2 非线性弹性小变形
在有限元分析中有两种应用形式：全量形和增
量形本构关系。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 6
全量本构关系的表达形式和线性弹性情况相
同，也即
klsijk lij D ?? ?
1.2.1 全量形式本构关系
但其中的弹性系数 Gs,μs不再是常数，它们是应
变或应力的函数，分别称为 割线弹性系数 。可
将它们看作与一定应力（或应变）水平对应的
割线常数（割线剪切模量和割线泊松比）。
式中 为 割线弹性张量,形式上它仍可表为s
ijklD
ljiksklij
s
sss
i j k l G
G
D ????
?
?
2
21
2
?
?
?
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 7
o c tso c t K ?? 3?
例如对混凝土,Andenaes等依据实验给出，
八面体正应力、切应力和八面体线应变、角应
变间关系为
σ oct
ε octKs
Kt
o c tso c t G ?? ?
并有
m
B
c
o c ts a
G
G
??
?
?
??
?
?
??
?
?
1
p
o c tcss e
G
G
K
K )( ??
其中 G,K分别为初始切线剪切和体积模量，
为混凝土单轴抗压强度,a,m,c和 p为由试验
确定的常数。
Bc?
oct?
oct?
Gt
Gs
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 8
1.2.2 增量形式本构关系
增量本构关系的表达形式为
klti j klklijij Df kl ??? ? dd,d ??
但其中的弹性系数 Gt,μt也不是常数，也是应变
或应力的函数，分别称为 切线弹性系数 。可将
它们看作与一定应力（或应变）水平对应的切
线常数（切线剪切模量和切线泊松比）。
式中 为 切线弹性张量,形式上仍可表为t
ijklD
ljiktklij
t
ttt
i j k l G
G
D ????
?
?
2
21
2
?
?
?
上面介绍的是 哥西方法,讲义上还简述了 格
林方法,大家可自行阅读。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 9
韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如
下图示意
2.1 应力空间表述的弹塑性本构关系
2,弹塑性力学有关内容简介
?
?
e?
弹性极限
Ly?
屈服下限
Uy?屈服上限
b?
强度极限 强化段
软化段
弹性变形残余变形
卸载
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 10
包辛格效应
反向屈服点
?
?
y?
y??
卸载、反向加载
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 11
由单向拉伸曲线可见，弹塑性材料受外部作
用的反应和变形的历史有关（可称为历史相关
性或路径相关性），因此本构关系应写成 增量
关系 。又因弹塑性状态下加载和卸载有不同的
规律，所以其本构关系的表述要比非线性弹性
情况复杂。
以应力为坐标，其每点代表一个应力状态，
如此的空间称为 应力空间 。
判断材料处于弹性还是塑性的准则，称为 屈
服条件或塑性条件 。
1) 屈服条件和屈服面
弹性和塑性区的分界面称为 屈服面 。空间屈
服面应是一个 凸曲面 。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 12
屈服条件曾经有最大主应力（伽）、最大主
应变（圣）假设，但后来都被实验所否定。
后来法国的 H.Tresca提出，最大切应力达某
一极限值时，材料即进入塑性状态。德国的 R,
Von.Mises及 H.Hencky又进一步指出，弹性形
变比能（也称歪形能）达一定值时材料进入塑
性。对韧性金属，这一假设比较接近实际。
原苏联学者伊留申提出应力强度的概念，并
以应力强度作为表征物体受力程度的参数。认
为应力强度达到单向拉伸的屈服极限时，材料
进入塑性。这不仅概念清楚，而且便于使用，
因此是塑性力学常用假设之一。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 13
在材料的一般应力状态下，可认为应力满足
如下条件时材料发生屈服，即处于塑性状态：
0),,( p ?kf ijij ??
式中 为 应力张量, 为 塑性应力张量, k 为
标志永久变形的量。 和 k 统称为 内变量 。 其
中 与 塑性应变张量 间存在如下关系
ij?
p
ij?
p
ij?
p
ij?
p
ij?
pp
klijk lij D ?? ?
k（又称 硬化参数 ）有多种取法，可以是 塑性
功, 塑性体应变 和 等效塑性应变 。
pp d kiik ??? ??
转图
其中塑性体应变为
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 14
?
?
?
p?
e?p?
e?
?
A
ed?
pd?
?d
ed?
pd?
?d
B
应力、应变关系示意
pe ??? ??
pp
kli j k lij D ?? ?
kli j k lij D ?? ?
e
pe ddd ??? ??
pp dd
kli j k lij D ?? ?
kli j k lij D ?? dd
e ?
?? 21ppp )d(d ijij ???等效塑性应变
p
p d ijijσw ???塑性功
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 15
从自然状态第一次进入屈服的屈服条件称 初
始屈服条件,产生塑性变形后的屈服条件称 后
继屈服条件 。初始屈服条件可表为：,
它只与当前应力状态有关。屈服条件都可看成
应力空间的超曲面,初始屈服条件称初始屈服
面，后继屈服条件称后继屈服面，统称 屈服面 。
0)(0 ?ijf ?
如果一点应力的,则此点处于
弹性状态，如果,则处于塑性状
态。
0),,( p ?kf ijij ??
0),,( p ?kf ijij ??
屈服面随内变量改变的规律称 强化规律 。由
材料试验的资料可建立各种强化模型，目前广
泛采用的有,等向强化 ； 随动强化 两种模型。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 16
0),,( p ?kf ijij ??后继屈服面
0)(0 ?ijf ?弹性
0)( 0 ?ijf ?初始屈服面
1?
2?
1?
2?
o
o
A
B
C
D
等
向
强
化
随
动
强
化
1o
AC
B
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 17
等向强化 认为屈服面形状不变，只是作均匀
的扩张，后继屈服面仅与一个和内变量有关的
参数 有关，可表为：?
随动强化则认为屈服面大小和形状不变，仅
是整体地在应力空间中作平动，其后继屈服面
可表为：
0)()(),,( 0p ??? kfkf ijijij ????
0)(),,( p0p ??? ijijijij fkf ?????
多数材料的屈服面介于两者间。如果应力空
间中应力方向变化不大，等向强化与实际较符
合。它的数学处理简单，故应用较广。但当需
考虑循环荷载下耗能时，随动强化可反应包辛
格效应，因此应该用它。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 18
2）塑性状态的加载和卸载准则
跳
转
在外部作用下应变点仍在屈服面上，并有新
的塑性变形发生，此时称这个过程为 塑性加载 。
如果应变点离开屈服面退回弹性区，反应是
纯弹性的，此过程称 塑性卸载 。
应变点不离开屈服面，又无新的塑性变形发
生，此时称 中性变载 。
转
下
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 19
塑性加载
塑性卸载
中性变载
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 20
2-2) 具有强化的弹塑性材料
跳
转
2-1）理想弹塑性材料
0)(0 ?ijf ?
由于此时屈服面大小和形状不随内变量发展
而改变，因此屈服面为 。用公式表
示理想弹塑性材料的加卸载准则为：
?
?
?
?
??
0
0,
1 ijdfl ij ??
卸载，弹性
加载，塑性
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
,1 ijdfl
ij
??
卸载，弹性
加载，塑性
中性变载，塑性
对软化材料，无法建立加、卸载准则。
转图
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 21
卸载
ijf ?,
0?f
塑性加载
理想弹塑性材料
ijf ?,
塑性加载
卸载
中性变载
等向强化弹塑性材料
0?f
后继面
后继面
0?f
ijf ?,
中性变载 加载
卸载
卸载
随动强化弹塑性材料
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 22
3）流动准则
在塑性力学中,认为材料进入塑性后存在一
个势函数（简称塑性势） 。 塑性
应变增量可由势函数给出：
0),,( p ?kg ijij ??
?? ? d,d p ijgij ?流动准则又可分为 正交（相关）流动准则 和
非正交（非相关）流动准则 两种。前者认为塑
性势就是屈服面，因此 。而后者
则认为塑性势和屈服面不同。对正交准则，塑
性流动方向垂直于屈服面，加、卸载准则取决
于非负的尺度因子 dλ,它大于零，表示加载，
等于零，表示其他情况。
?? ? d,d p ijfij ?
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 23
4）弹塑性本构关系
在应力增量 dσ ij作用下，应变增量 dε ij 可
分成弹性和塑性两部分。弹性部分
在上述概念基础上，下面讨论材料非线性分
析的核心问题 —— 正交流动弹塑性本构关系。
因此总应变为
kli j klijkli j klij DD ???? dd dd 1ee ???
弹性张量
ij?d
ed ij?pd ij?
????? ? d,dddd 1pe ijfD kli j k lijijij ???? ?
因为在卸载和中性变载状态 dλ =0，因此反
应是纯弹性的。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 24
对于具有强化的加载状态，因为屈服面为
因此
又因为 0d,d,d,),,(d
pp
p ???? kfffkf kijijijij ijij ???? ??
则由 df =0（也称一致性条件）可得
0),,( p ?kf ijij ??
???? ? d,d dd ppp ijfD ijkli j k lij ??
在永久变形标志 k各种不同取法情况下,dk将
有不同的形式，若统一记
?dd,Mkf k ?
MfDfA
A
f
klij
ij
i j k l
ij ????
??
? ??,,d,d
p
一致性条件
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 25
由此可见，只要建立了屈服面方程，则对应
加载状态应力增量 dσ ij的应变增量 dε ij 为
若引入如下记号：
则弹塑性本构关系可统一表示成
kli j k lij klij ffAD ?? ?? d),,
1(d 1 ?? ?
ijijfl ?? d,?
?
?
?
?
??
0 1
0 0)(
加载
卸载、中性变载
l
llH
kli j k lkli j k lij DffA
lHD
klij
??? ?? dd),,)((d 1,ep1 ?? ???
上述本构方程是以应力为基本未知量的,它
只适用于强化材料 。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 26
2.2 应变空间表述的弹塑性本构关系
以应变空间来讨论，能给出对强化、软化和
理想塑性材料普遍适用的本构关系表达式。
由于所有的讨论基本上和应力空间对应，因
此下面只是简单列出有关式子。
1) 屈服条件和屈服面
0),,( p ?kF ijij ??
屈服面方程
0)( ?ijF ?初始屈服面
屈服面内弹性，屈服面上塑性。
2) 加、卸载和流动准则
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 27
对正交流动准则
dλ 大于零表示加载，等于零表示其他情况。
3) 弹塑性本构关系
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
0
d,
2
卸载
中性变载
加载
ijij
Fl ?
?
ijFij ???,dd
p ?
kli j kli j klij DD ?? d)(d p??
式中
klij
FFAD i j k l ??,,1p ? MFDFA klij i j k l ??? ? ??,,1p
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 28
同样，若引入如下记号：
则弹塑性本构关系也可统一表示成
ijijfl ?? d,?
?
?
?
?
??
0 1
0 0)(
加载
卸载、中性变载
l
llH
ijijFA ?? ? d,
1d ?
kli j klkli j kli j klij DDlHD ??? dd))((d
epp ???
式中 称塑性矩阵,称弹塑性矩阵。
p
ijklD
ep
ijklD
上述本构方程是以应变为基本未知量的，它
适用于理想塑性、强化和软化材料 。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 29
2.3 两种表述的关系
由于建立屈服函数的实验研究多为用应力表
示的，关于强化、软化和理想塑性等也是用应
力定义的，但是应力空间本构有很大局限性。
因此有必要把应变空间表述的本构关系转换成
用应力表示。
在应力空间的屈服面方程为
0),,( p ?kf ijij ??
由于, 。将其代
入屈服面方程，则可得到应变空间的屈服面 )(
p
klkli j k lij D ??? ??
pp kli j k lij D ?? ?
0),,(),),(( ppp ??? kFkDDf ijijkli j k lklkli j k l ?????
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 30
建立了两空间屈服面关系后，对应变空间的
导数就可用应力空间屈服面的导数来计算
利用上述式子，即可将应变空间的本构方程和
加、卸载准则用应力屈服面函数表示如下：
klij fDF ijk l ??,,? ),,(,pp klklij ffDF i j k l ??? ?? kk fF,,?
klkl
fDfDAD k l i ji j k li j k l ??,,1p ?
MfDffDfA kl
ijklij i j k li j k l
??? ????,,,,p
kli j klDfl ij ?? d,?
?
?
?
?
??
0 1
0 0)(
加载
卸载、中性变载
l
llH
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 31
必须注意，这里导数
是由应力空间屈服面定义的，
但是它是应变空间表述的。
位移有限元分析用它！
下节将利用本节知识讨论几种常用材料的
本构和流动准则
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 32
3,几种常用弹塑性材料模型简介
3.1 等向强化 -软化的米塞斯（ Mises）材料
由薄壁圆筒的实验研究可得，这种材料的屈
服面方程为
0)(212 ??? kJf ?
2
31
2
23
2
12
2
1133
2
3322
2
22112 ])()()[(6
1 sssssssssJ ?????????
在主应力状态下，第二不变量为
])()()[(61 2132322212 ?????? ??????J
式中 J2是应力偏张量的第二不变量,
由于偏张量第一不变量等于零,因此
2/2 ijij ssJ ?
01 ?? iisJ
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 33
在单向拉伸状态下,J2=σ2/3。 在纯剪状态下，
J2=τ2。一般情况下,sij=σij -σkkδij /3,所
以, ijijijijijijij sssssssJ
ijijijij
???? ????,),,(21,2
屈服面式中 χ(k),是 由单向应力状态的数据
确定的屈服参数。 在单向拉伸时为 χ2=σB2/3。 在
纯剪状态下 χ=τB。任何情况下 χ都是硬化参数塑
性功 wp的函数。
??? 2/2/2/,,2122212 ijij ssJJJf ijij ??? ??
根据屈服面表达式，可求得
因为
klijjliki j k l
GKGD ???? )
3
2(2 ???
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 34
因此
为了求 A，需先由屈服面对 wp的偏导数求 M
ij
kl
klijjliki j k l s
GsGKGfD
kl ??
????? ???? 2])32(2[,
GGJsG
s
fDf ijiji j k l
klkl
??? 22
2
2
2
,,
?????
B
ij
ijwBijw
s
ffM
ij ?
??? ?
2
,,,
pp
????
ppp,2)3
1(,Gss
wB
B
ij
ijmijwB ???? ?????
式中 Gp是 曲线的斜率。同理，对单向拉伸
情况,-M=Ep/3。p?? ?
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 35
由此可得 A=G+Gp（或 A=G+Ep/3），又因
因为
MfDffDfA kl
ijklij i j k li j k l
??? ????,,,,p
纯剪
Gp是塑性剪切
模量
单向拉伸
Ep是塑性拉伸
模量
klijk l i ji j k li j k l s
GsG
A
fDfD
A
D
klkl ????
1,,1p ??
kl
ij
klij s
s
GG
GsGsG
GG 2p
2
p
1
??? ?
?
?
?
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 36
由此可得
弹塑性矩阵为
kl
ij
i j k li j k l s
s
GG
GDD
2
p
2
p
??
??
)d)
3
2(d2(
2 kkijij
ij GKGsl ???
?
???
?
?
?
?
??
0 1
0 0)(
加载
卸载、中性变载
l
llH
加、卸载准则为
kli j k lkli j k li j k lij DDlHD ??? dd))((d
epp ???
统一的本构关系为
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 37
3.2 随动强化的米塞斯材料
这种材料的屈服面方程为
由此屈服面方程出发，求导可得
式中 α是与内变量有关的量,称为应力迁
移张量，由它可以确定屈服面在应力空间的位
置。 是一个常量，表示屈服面形状不变。
pij??
0?
0)])((21[),,( 021ppp ????? ?????? ijijijijijij ssksf
)(2 1,
0
p
ijijsf ij ???? ??
如上推导即可得到应变空间的本构关系和流动
准则。米塞斯屈服准则主要适用于金属材料。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 38
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 39
3.3 岩土工程广泛使用的 Mohr-Coulomb材料
这种材料的屈服准则为
式中 τ是破坏面上切应力,σn是破坏面的正压力。
c是材料粘性系数,υ是内摩擦角,c和 υ是两个
材料常数。在主应力空间，此屈服准则可用下
图示意
??? t a nnc ??
n?
n?
23 1
? ??
23 1
? ??
c ?
? cos c
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 40
据此，屈服面方程可写为
引入主应力的三角公式
0s i n)(c o s2 3131 ?????? ?????? cf
3/c o s2 kkii J ??? ??
角洛得 )L o d e(2 33a r c c o s31 23
2
3 ??
J
J?
??? c o s2 231 J?? kk
J ????
3
2s i n
3
2 2
31 ????
上述屈服面方程可改为
0s i ns i n
3
c o sc o ss i n
3
1 2
2 ????? ??????
JJcf
kk
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 41
与前面两种情况相同，由此即可求得,但
必须注意，在棱面交界处导数是无法确定的，
因此使有限元分析困难。
ijf ?,
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 42
3.4 等向强化 -软化的 Drucker - Prager材料
这种材料的屈服面方程为
式中 α和 χ是材料常数，为了确定它，将其和摩
尔 -库仑准则对比。摩尔 -库仑准则在主应力空
间是一六棱锥，德鲁克 -普拉克准则是一圆锥面，
令两锥顶重合，在 π平面上 D-P的截线 (圆 )和 M-
C截线（不规则六边形）外（内）顶点重合，
可得（参考 <殷 >内顶点重合时为,+”）
)s i n3(3
c o s6
)s i n3(3
s i n2
?
??
?
??
??
c??
0212 ???? ??? iiJf
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 43
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 44
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 45
从屈服面方程可得
由此可得 ijijsJf ij ??? ?? ? 2/,212
ijijklkli j k li j k l sJ
GKsJDfD
kl
2
21
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GKfDf klij i j k l ?? 29,,???
现取硬化参数 k为塑性体应变 θp的函数，则设
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则可得
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0
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软化
理想塑性
强化
ii??? ??如果
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 46
对软化速度的限制为
如果引入如下记号
A
K
AJ
G ??? 3
2
2
1 ??
并记
ijijijs ???? ?? 21
则塑性矩阵和弹塑性矩阵可写作
kliji jk lD ???p
GKii ??? 2 9,,pp ???? ??
epp)( i j k li j k li j k l DDlHD ??
上述模型，在模拟岩土和混凝土等材料的弹
塑性性质时得到广泛的应用。
2000.3 哈尔滨建筑大学 王焕定教授制作 47
4,弹塑性矩阵的建立步骤
4) 根据硬化参数的选取，计算 M。
3) 用弹性矩阵或张量和 相乘。
ijf ?,
MfDffDfA klijklij i j k li j k l ??? ????,,,,p5) 由 计算 A。
6) 由 计算 塑性矩阵。 AfDfDD klkl k l i ji j k li j k l /,,p ???
7) 计算 并由此判断 H(l)。kli j k lDfl
ij ?? d,?
8) 最后形成弹塑性矩阵 。 pep )( i j k li j k li j k l DlHDD ??
1) 根据实验研究建立材料合理的屈服条件 f。
2) 由屈服条件求屈服面方程对应力或不变量
等的导数。
关键
