第二章
边缘提取与多分辨率分析
2.1 边缘提取的经典方法
两种边缘：
阶跃性边缘（图2.1中P-P’)
一阶导数在边缘点处达
到极值，二阶导数在边缘点
处呈零交叉（zero cross）
屋脊性边缘（图2.1中Q-Q’)
一阶导数在边缘点处呈
零交叉（zero cross），二阶
导数在边缘点处达到极值
经典边缘提取算法：
梯度算子（Roberts算子）
22
),(),(),( jifjifjiG
yx
?+?=
(,) (,) ( 1,), (,) (,) (, 1)
xy
fij fij fi j fij fij fij? =???=??
其中
Roberts算子是梯度的近似
0426
(,)max{() (),() ()}R ij fA fA fA fA=? ?
Sobel算子
456
37
210
),(
AAA
AjiA
AAA
))())(2)(())())(2)((),(
456210
AfAfAfAfAfAfjiS ++?++=
)())(2)(())())(2)((
432670
AfAfAfAfAfAf ++?+++
1
(, ) (, ) ( ),
x
fij fij fA? =?
7
(, ) (, ) ( )
y
fij fij fA? =?
Laplacian算子
拉普拉斯算子是对图像求二阶导数。计算上，取关于x 轴方向和y轴方
向的二阶差分之和：
2
1357
(,)()()()()4(,)f i jfA f A f A f A f i j? =+++?
若在(i,j)点发生零交叉，则（i,j）为边缘点
),(),(),(
222
jifjifjif
yx
?+?=?
经典边缘提取算法的缺点是受噪声干扰比较大，不够准确
2.1 Marr边缘检测算子
先对图像作平滑，然后在做边缘检测，Marr用高斯函数作平滑，然后用
Laplacian算子检测边缘，简称LoG滤波器
))(
2
1
exp(
2
1
),,(
22
22
yxyxG +?=
σπσ
σ
将G(x,y)与图像函数f(x,y)做卷积，得到一个平滑的图像函数:
),,(),(),( σyxGyxfyxf
s
?=
对该函数做拉普拉斯运算，提取边缘。
可以证明：
),,(),()],,(),([
22
σσ yxGyxfyxGyxf ??=??
其中，),,(
2
σyxG?
为LoG滤波器，也称为Marr-Hildrech算子
))(
2
1
exp()1
2
(
1
),,(
22
22
22
42
2
2
2
2
yx
yx
y
G
x
G
yxG +??
+
=
?
?
+
?
?
=?
σσπσ
σ
称为尺度因子，大的值可用来检测模糊的边缘，小的值可用来检测聚焦
良好的图像细节。
σ
图2.2 的横截面
G
2
?
LoG算子的形状如图2.2所示，常称为墨西哥草帽
σ22
2
=
D
w
这个滤波器的大小由的数值或等价地由
的数值来确定为了不使函数被过分地截短，
它应在足够大的窗口内作计算，窗口宽度通
常取为：
σ
D
w
2
Dd
ww
2
6.3≥
DoG滤波器
为了减少卷积的计算量，常用两个不同尺度的高斯函数之差来近似
G
2
?
称为DoG滤波器，DoG—Difference of two Gaussion function
))(
2
1
exp(
2
1
))(
2
1
exp(
2
1
),(
22
2
2
2
2
22
2
1
2
1
21
yxyxDoG +??+?=
σπσσπσ
σσ
通常，时DoG最接近LoG
6.1/
21
=σσ
图2.3 DoG算子
2.2 Canny边缘检测算子
Canny边缘检测的基本原理
设高斯函数为：
))(
2
1
exp(
2
1
),(
22
22
yxyxG +?=
σπσ
在某一方向n 上G(x,y)的一阶方向导数为：
其中
G
n
G
G
n
?=
?
?
= n
?
?
?
?
?
?
=
θ
θ
sin
cos
n
?
?
?
?
?
?
??
??
=?
yG
xG
G
/
/
n 是方向导数，是梯度矢量
G?
我们将图象f(x,y)与G
n
作卷积，同时改变n的方向，G
n
*f(x,y)取得最大值时的
n ( 对应的方向)就是正交于检测边缘的方向。由
0
)],()(sin),()[(cos
)),((
=
?
?
?
?
?+?
?
?
??
=
?
??
θ
θθ yxf
y
G
yxf
x
G
yxfG
n
n
0/)),(( =??? nyxfG
n
得
),(
),(
yxf
x
G
yxf
y
G
tg
?
?
?
?
?
?
=θ
),(
),(
cos
yxfG
yxf
y
G
??
?
?
?
=θ
),(
),(
sin
yxfG
yxf
x
G
??
?
?
?
=θ
因此，对应于的方向
0/)),(( =??? nyxfG
n
),(
),(
yxfG
yxfG
n
??
??
=
在该方向上有最大的输出响应，边缘强度为
),( yxfG
n
?
),( yxfG??
Canny边缘检测的实现
将二维卷积分解为两个一维的滤波器：
)()()
2
exp()
2
exp(
21
2
2
2
2
yhxh
yx
kx
x
G
=??=
?
?
σσ
)()()
2
exp()
2
exp(
21
2
2
2
2
xhyh
xy
ky
y
G
=??=
?
?
σσ
k是常数
将上式分别与图象作卷积，得输出
),(* yxf
x
G
E
x
?
?
=
),(* yxf
y
G
E
y
?
?
=
令
),(),(),(
22
jiEjiEjiA
yx
+=
]
),(
),(
[),(
jiE
jiE
arctgji
y
x
=α
则代表图象上在(i,j)出的边缘强度，是法向矢量。
),( jiA
),( jiα
当一个象素满足以下三个条件时，被认为是图象的边缘点：
(1)该点的边缘强度大于沿该点梯度方向的两个相邻象素点的边缘强度；
(2)与该点梯度方向上相邻两点的方相差小于45度；
(3)与该点为中心的3x3邻域内的边缘强度极大值小于某个阈值。
2.3 多尺度边缘检测
图2.4 孤立边缘在不同的通道中产
生的过零点
为用符号描述图象的亮度变化需要用一组
不同大小的滤波器（频率通道）来检测所有空
间尺度上的亮度变化。大的滤波器检测宽的边
缘，小的滤波器检测亮度急剧变化的细节。在
同一频率通道内部，相邻的过零点通过聚集过
程连结成小的过零点段，并被赋以方向。引起
图象中亮度变化的物理因素主要包括：照明、
可见表面的反射率、表面形状以及离观察者的
距离和方位。这四个因素在图象中被编码，但
它们有一个共同的性质，即它们在空间是有确
定位置的。因此，亮度的变化就存在约束条件。
Marr称为之空间一致性假设（spatial
coincidence assumption）：如果过零点边缘段
出现在一组毗邻的独立通道中，并且这些边缘
段在每个通道中的方向和位置相同，那么这样
的过零点边缘段组表示的图象中的亮度变化就
是由单一的物理因素引起的。
2.4小波变换与边缘检测
多尺度边缘检测是一种有效的边缘检测方法，能否一次得到多尺度
的滤波结果，小波变换能完成这样的工作
一、小波变换简介
傅立叶变换是用三角函数生成整个空间，我们希望找到
一个“小的波”，来生成整个空间。它能在很快衰减到零。
)(
2
RL
空间定义为在整个实直线R上的平方可积函数的空间。即f满足
∞<
∫
∞
∞?
dxxf
2
)(
ix
e )2,0(
2
πL
)(
2
RL
∞±
为了覆盖整个直线，我们沿R对小波函数进行整数平移，为了考虑不
同频率的波，我们以2的整数次幂对频率进行划分，得小波
ψ
)2( kx
j
?ψ
),( Zkj ∈
考虑单位长度，小波定义为
)2(2:)(
2/
,
kxx
jj
kj
?= ψψ
正交小波
一个函数称为正交小波，如果是的一
个规范正交集，即
)(
2
RL∈ψ
}{
,kj
ψ
)(
2
RL
mlkjmlkj ,,,,
δδψψ ?>=< ),,,( Zmlkj ∈
并且每个可以表示成级数)()(
2
RLxf ∈
∑
∞
?∞=
=
kj
kjkj
xcxf
,
,,
)()( ψ
kj
c
,
称为小波系数，记作
>=<
kjkj
fc
,,
,ψ
连续小波
)(
1
}{
,
a
bx
a
ab
?
= ψψ
),( Zab ∈
小波变换
>=< )(,),)((
,
xfabfW
ab
ψ
ψ
和傅立叶变换不一样，小波级数和小波变换的描述是密切相关的。
小波变换的快速算法与多分辨率分解
二、小波变换域的边缘检测
设是磨光函数，满足，（2.1）)(xθ
∫
∞
∞?
=1)( dxxθ
0)(
lim
=
±∞→
x
x
θ
设二阶可导，定义，)(xθ
)()( x
dx
d
x
I
θψ = )()(
2
2
x
dx
d
x
II
θψ =
由（2.1）得到
∫
∞
∞?
= 0)( dxx
I
ψ
∫
∞
∞?
= 0)( dxx
II
ψ
所以它们是小波。可以是高斯函数或B样条函数。
)(xθ
注意f，g卷积的定义
∫
∞
∞?
?=?=? duuxgufxgfxgf )()())(()(
引入记号
)(
1
)(
s
x
s
x
s
ξξ =
)(xf
关于小波在尺度s 和位置x上的小波变换定义为
)()( xfxfW
I
s
I
s
ψ?= )()( xfxfW
II
s
II
s
ψ?=
由前诉定义得
))(())(()( xf
dx
d
sx
dx
d
sfxfW
s
s
I
s
θ
θ
?=?=
))(())(()(
2
2
2
2
2
2
xf
dx
d
sx
dx
d
sfxfW
s
s
II
s
θ
θ
?=?=
f(x)关于和的小波变换，变成了与光滑函数的卷积关于s
的一、二阶导数乘s 与s 的平方。的局部极值点对应的零交
叉点和的拐点。
)(x
I
ψ
)(x
II
ψ
s
θ
)(xfW
I
s
)(xfW
II
s
)(xf
s
θ?
当取Gauss函数时，零交叉检测相当于Marr检测算子，极值检测相当于
Canny边缘检测。
)(x
s
θ
