第三章 计算机视觉中的空间关系 3.1 成象模型与视觉坐标系 平面 S为二维成象平面 (即视平面 )， C为 小孔的位置 (光学中心 )。 S上的点是三维 空间中点在视平面上的投影 (成象 )， f 称 为该光学系统的焦距。 成象模型 ——三维空间中的物体到视平 面的投影关系 一 . 小孔成象 ——理想的投影成象模型 o O X Yx y Z C P X Y Z( , , ) p x y( , ) f S 图 3.1 小孔成象模型 二 . 透镜成象 ——实际的成象系统 vuf 111 += f uv 图 3.2 透镜成象模型 (3.1) 一般地由于 u>>f ， 于是 v ≈ f ， 于是可用 小孔模型近似代替透镜成象模型 3.2 齐次坐标与 N矢量 ? 三 . 计算上的坐标系 ? 为方便，取成正实象的投影变换坐标系， 即将视平面的位置与光心的位置对调，以 此作为常用的视觉坐标系。 ? 容易验证，在图 3.3所示的视觉坐标系中， 视平面上的点 p(x,y)与空间中对应点 P(X,Y,Z) 之间有如下的几何关系 ? (3.2) ? 视觉坐标系 OXYZ也常被称为摄象机坐标系， 视点即是摄象机的光心。 ?? ?? ? = = Z Yfy Z Xfx O X Y Z P X Y Z x yo p x y ( , , ) ( , ) A B P l l 1 2 θ 图 3.3 视觉坐标系 图 3.4无穷远点在图 3.4中 AB l l l⊥ 1 1 2, || ，当 q p→ 2 时，有 BP → ∞ ， AP l→ 1 ， P∞ 为 l1 与 l2 交点，称为无穷远点，原来直线上的无穷远点称为平 常点。 全体无穷远点构成无穷远直线。 欧氏平面加上无穷远点和无 穷远直线构成射影平面。 二 . 齐次坐标 考虑 00: 00: 222222 111111 ≠+=++ ≠+=++ bacybxal bacybxal 22 11 3 22 11 2 22 11 1 ba baD ca caD cb cbD === D3 0≠ 时， 21,ll 交于 ),( yxP ， 3 2 3 1 , D Dy D Dx == ，可写成 321 1 DD y D x == 这时约定若 D D1 2, 有一个为零，对应分子也为零 D3 0= ，则 21 || ll ， ∞P 产生，可用过原点且平行于 2l 的直线 022 =+ ybxal 指示方向 统一平常点和无穷远点，用坐标 ( , , )X Y Z 表示，这里 X Y Z, , 不同时为零 对平常点 ZYyZXxZ ==≠ ,,0 对无穷远点 Z = 0 321 D Z D Y D X == 均成立 n维空间中的一个点用齐次 n+1维空间中的一条直线来表示，称为齐次坐标系 对视平面而言，用三个实数构成的齐次坐标 ),,( 321 mmm 和 ),,( 321 nnn 来分别表记视平 面上的点与直线，并约定： 1. 当 m3 0≠ 时，齐次坐标 ( , , )m m m1 2 3 的点表示视平面上的点 ( , )f mm f mm1 3 2 3 ；当 m3 0= 时，齐次坐标 ( , , )m m m1 2 3 的点表示视平面上的一个无穷远点或不能出现的点； 2. 当 n1 0≠ 或 n2 0≠ 时，齐次坐标 ( , , )n n n1 2 3 对应视平面上的直线 n x n y n f1 2 3 0+ + = ；当 n n1 2 0= = 时，齐次坐标 ( , , )n n n1 2 3 对应视平面上的一条无穷远直线，或不能在视 平面上出现的直线。 命题 3.1 视平面上点的坐标 ( , )f mm f mm1 3 2 3 和直线方程 n x n y n f1 2 3 0+ + = 所对应的齐次坐 标 ( , , )m m m1 2 3 和 ( , , )n n n1 2 3 具有伸缩不变性。 证明：取任意实数 k ≠ 0， k m m m( , , )1 2 3 是对原齐次坐标的伸缩变换，于是， ( , ) ( , )f kmkm f kmkm f mm f mm1 3 2 3 1 3 2 3 = 同理，对 k ≠ 0，由 k n x n y n f( )1 2 3 0+ + = ，得 n x n y n f1 2 3 0+ + = 。 [证毕 ] 三 . 规格化矢量 (N矢量 ) 齐次坐标具有伸缩不变性，为减少由于有效位有限而产生的溢出对计算精度 的影响，引入归一化齐次坐标，并用矢量形式标记，称之为 N矢量。 对视平面上的点 ( , )a b ，对应齐次坐标 ( , , )a b f 的 N矢量为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ++ = f b a fba m 222 1 对视平面上的直线 Ax By C+ + = 0，的 N矢量为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ++ = fC B A fCBA n 222 )( 1 O X Y Z P X Y Zx yo ( , , ) m f 3.3 透视变换 ?? ?? ? = = Z Yfy Z Xfx (3.3) 齐次坐标的几何意义：各项同乘一系数 ,可 理解为同一视线上的点 命题 3.2 视平面上的点 P的 N矢量 m是由视点 O 指向空间中 P点的单位矢量。 显然，证略 图 3.5 点的透视变换关系 命题 3.3 视平面上的直线 l的 N矢量 n是由视点 O与直线 l所决定的平面的单位法矢量 。 O X Y Z x yo n l [ 证明 ]: 将空间投影关系带入直线方程 l n x n y n f1 2 3 0+ + = 有 0321 =++ ZnYnXn (3.4) 即 0 3 2 1 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Z Y X n n n 即 ( )n n n1 2 3 垂直与平面 （ 3.4)(由视点 O 与直线 l 所决定的平面 )上的点 [证毕 ] 图 3.6 直线 N矢量的解释 定义 3.1 一条空间直线上的无穷远线素集在视平面上所形成的收敛点称为消失点。一 个空间平面的无穷远面素集在视平面上所形成的收敛线称为消失线。 在视觉坐标系中， N矢量不仅可以用来代表射线的方向和平面的法线方向，而且也可 以用来说明消失点和消失线。 定理 3.1 方向或单位矢量为 m的空间直线在视平面上形成的投影直线的消失点的 N矢量 是 m。 证明：设 l是通过空间点 ( , , )X Y Z0 0 0 ，单位矢量为 m m m m t= ( )1 2 3 的空间直线，于是 l 可 以用参数方程表达为： 302010 ,,: smZZsmYYsmXXl +=+=+= (3.5) l在视平面的投影为 ??? ??? ? + += + += 30 20 30 10 smZ smYfy smZ smXfx (3.6) 1. 当 s → ±∞且 m3 0≠ 时有 lim lim 3 2 3 1 ??? ??? ? = = ±∞→ ±∞→ m mfy m mfx s s (3.7) 即投影收敛于点 ( , )f mm f mm1 3 2 3 ，根据定义， 消失点的 N矢量刚好是 m m m m t= ( )1 2 3 。 2. 当 m3 0= ，虽然 s → ±∞时 x与 y发散，但只要 Z0 0≠ ，则有 x y m m= 1 2 ， 从而可知 m表 示位于无穷远处的消失点的 N矢量。 [ 证毕 ] 推论 3.1 空间中相互平行的直线族在视平面有相同的消失点。 类似地对空间平面有 定理 3.2 单位法矢量为 n的空间平面在视平面上形成的投影的消失线的 N矢量是 n。 证明：设 S是单位法矢量为 tnnnn )( 321= 的空间平面，它的方程式可以写为， hZnYnXnS =++ 321: (3.8) 其中 h为视点 O到平面 S的距离。现在我们利用投影关系 (3.3)式消去 (3.8)式中的 X和 Y，有 fnynxn fhZ 321 ++ = (3.9) 由此式可知，不论视点到平面 S的距离如何， Z将沿着直线族 0321 →++ fnynxn 变为无穷 大 (当 h=0时， S过视点 )，根据定义，此直线的 N矢量为 tnnnn )( 321= 。 [证毕 ] 推论 3.2 空间中相互平行的平面族在视平面有相同的消失线。 综上所述 V如果空间直线在视平面上的消失点能够被确定的话，则其三维方向就可以确定 V如果视平面上消失线能够被确定，则所对应三维空间中的平面的法线方向就可确定 V空间中直线的方向和平面的法线方向可以由其消失点与消失线的 N矢量直接得到。这 就是点与直线 N矢量的物理意义。 m n (a)消失点的 N矢量空间方向 (b)消失线的 N矢量空间方向 图 3.7 消失点与消失线的 N矢量空间方向 O X Y Z x y o mn n' l l' P S' S 图 3.8直线 l和 l' 的交点 P的 N矢量 m 3.4平面对偶原理 引入归一化算子为 uuuN =][ 其中 , ? 是 欧几里德范数。即若 u u u un t= ( )1 2 L , 则 22221 nuuuu +++= L 。 由此定义，在视平面上求两条直线的交点 或过两个给定点的直线就可以由以下定理 计算。 定理 3.3 视平面上 N 矢量为 n 的直线 l 与 N 矢量为 n' 的直线 l' 的交点 P 的 N 矢量为 : [ ]'nnNm ×= (3.10) 证明：由定义， n所决定的空间平面 S过视点 O和直线 l， n' 所决定的空间平面 S' 过视点 O 和直线 l'，因而两平面都通过视点 O。又由已知， P 点是 l 和 l' 的交点，从而 P 点既 在 S 平面上，也在 S' 平面上，由于 O 与 P 不共点，因此 S 平面与 S' 平面的交线过点 O 和 P( 如图 3.8) 。再由线的 N 矢量的几何意义有， n OP⊥ 和 n OP'⊥ ，因而 P 的 N 矢量 m 的 方向为 n n× '。考虑归一化运算即得 (3.10) 式的关系。 O X Y Z x y o n m' lP' P m S 图 3.9 过点 P和 P' 的直线 l的 N矢量 n 定理 3.4 视平面上由 N矢量分别为 m和 m'的点 P和 P'决定的直线 l的 N矢量为 [ ]'mmNn ×= (3.11) 证明：由点的 N 矢量的几何意义知， m 表示点 P 的三维方向， m' 表示点 P' 的三维方向。 换 句话说， m 表示直线 OP 的方向， m' 表示直线 OP' 的方向，因为 OP 和 OP' 都在 S 平面上 ( 如 图 3.9) ，从而有 mn⊥ 和 'mn ⊥ ，又 OP 与 OP' 不 平行，由矢量积的关系有 [ ]'mmNn ×= 。 [ 证毕 ] 从 N矢量的角度看，点和直线的表达元素 (谓词 )是可以相互替换带入的，因而点和直线互 为对偶关系。这种性质，在射影几何学中被称为平面对偶原理。 平面对偶原理： 如果平面射影几何的一个定义存在，则其对偶定义也一定存在； 如果一个命题或定理成立，则其对偶命题或定理也一定成立。 一 .邻接关系 若 N矢量为 m的点 P与 N矢量为 n的直线 l 满足 ( , )m n = 0时，则称 P与 l相互邻接。 P与 l相互邻接也称为 P在 l上或 l过点 P。 邻接关系可从图 3.10得到直观解释。 二 .共线、共点关系 3.5 直射变换、对射变换与标准极变换 O X Y Z x y o n m l P S 图 3.10 P与 l相互邻接 k个点 P P Pk1 2, , ,L 和直线 l，若它们的 N矢量满足 ( , )m ni = 0 ( , , , )i k= 1 2 L 时，则称 P P Pk1 2, , ,L 共线 l。 点 P和 k条直线 l l lk1 2, , ,L ，若它们的 N矢量满足 ( , ) ( , , , )m n i ki = =0 1 2 L 时，则称直 线 l l lk1 2, , ,L 共点 P。 可将点和直线看作射影几何上的两个场 (Phase)，即点场和线场 三 . 直射变换 定义 3.2 满足如下三个条件的，同场上的一一映射被称为直射变换。 1.共线的点被映射为共线的点， 2.共点的线被映射为共点的线， 3.点与直线的邻接关系在映射后仍被保持。 定理 3.5 设 A是 3 3× 的变换矩阵， A所对应的映射是直射变换的充要条件为 A是满秩的。 证明： (1)设 P P P1 2 3, , 共线，对应的 N矢量分别为 m P m P m P( ), ( ), ( )1 2 3 ，于是矢量三重积 m P m P m P( ), ( ), ( )1 2 3 0= ，经直射变换 A 映射后的点为 ′ ′ ′P P P1 2 3, , ，对应的 N 矢量为 m P m P m P( ), ( ), ( )′ ′ ′1 2 3 ，故有 )det()(),(),( )()()( )()()( )()()( )()()()()()()()()( )()()()()()()()()( )()()()()()()()()( )(),(),()(),(),( 321 332313 322212 312111 333231 232221 131211 332332323131332332223121331332123111 233322322131232322222121231322122111 133312321131132312221121131312121111 321321 tAPmPmPm aaa aaa aaa PmPmPm PmPmPm PmPmPm PmaPmaPmaPmaPmaPmaPmaPmaPma PmaPmaPmaPmaPmaPmaPmaPmaPma PmaPmaPmaPmaPmaPmaPmaPmaPma PAmPAmPAmPmPmPm ?′′′=? ′′′ ′′′ ′′′ = ′+′+′′+′+′′+′+′ ′+′+′′+′+′′+′+′ ′+′+′′+′+′′+′+′ = ′′′= 当 0)det( ≠A (即为满秩阵 )时，若 0)(),(),( 321 =PmPmPm ,则 0)(),(),( 321 =′′′ PmPmPm ，反之亦 然。 (2)由对偶原理即得。 (3) 由 (1) 和 (2) 即得。 [ 证毕 ] 若满秩矩阵 A满足条件 1?= AAt ，则称 A是 正则的 。 由于可以将坐标系任意的旋转运动 (或等价的空间物体的反方向旋转 )看作是分 X,Y,Z 轴旋转的组合，不难发现这种旋转矩阵是正则的，因而更关心的直射变换是正则的。 推论 3.3 设 A是 3 3× 的变换矩阵， A所对应的映射是直射变换的充分条件为 A是正则的。 一般地，我们用矩阵运算 [ ]mANm t= ， [ ]nANn 1 ?= (3.12) 记直射变换，其中 A是实施映射的变换矩阵。 四 .对射变换 定义 3.3 满足如下三个条件的，异场上的一一映射被称为对射变换。 1. 共线的点被映射为共点的线； 2. 共点的线被映射为共线的点； 3. 点与直线的邻接关系在映射后仍被保持。 定理 3.6 3 3× 矩阵 A是对射变换矩阵的充要条件为 A是满秩的。 证明与定理 3.5类似，此处从略。 推论 3.4 设 A 是 3 3× 的变换矩阵， A 所对应的映射是对射变换的充分条件为 A 是正则的。 同样地，我们用矩阵运算 [ ] mANn t= ， [ ]nANm 1 ?= (3.13) 记对射变换，其中 A是实施映射的变换矩阵。 五 .标准配极变换 如果同一个对射变换既能将点 P映射为直线 l，也能同样将直线 l映射为点 P，则这样的对 射变换是完全对射变换，也称 配极变换 。在配极变换中，点 P对应的直线 l被称为点 P的 极线 ，直线 l对应的点 P被称为直线 l的 极点 。 在配极变换下，设直线 lll ′′′,, 分别是点 PPP ′′′,, 的极线，则由直线 lll ′′′,, 构成的三角形被 称为 '' ' PPP? 的配极三角形。 如果三角形是自身极线的三角形时，被称为自配极三角形。 如果点 P的 极线过点 P' ，点 P' 的极线过点 P，则两点 P和 P' 称为相互共轭点；如果直线 l的极点在直线 l' 上，直线 l' 的极点在直线 l上，则两直线 l和 l' 称为相互共轭直线。 P X,Y x,y O o f Z l 图 3.11 标准配极变换 定义 3.4 能够将点映射到具有相同 N 矢量的直线上 和能够将直线映射到具有相同 N 矢量的点上的配极 变换称为标准配极变换。 在标准配极变换下，有如下命题。 命题 3.4 直线 0=++ CByAx 的极点是 ),( 22 CBfCAf 。 证明：直线 0=++ CByAx 的 N 矢量 n 为 ?? ? ? ? ?? ? ? ? ++= fC B A fCBAn /)/( 1 222 (3.14) 由点的 N 矢量关系知，该矢量 n 所表达的点是 ( , )f AC f BC2 2 。 命题 3.5 点 ( , )a b 的极线是 02 =++ fbyax 。 证明：点 ( , )a b 的 N 矢量 ?? ? ? ? ?? ? ? ? ++= fb a fbam 222 1 ，由线的 N 矢量定义知所表达的直线为 02 =++ fbyax 。 [证毕 ] 标准配极变换的几何意义可由如下命题解释。 命题 3.6 设视平面上有点 P 和直线 l，过视平 面原点 o 与点 P 的直线与直线 l 的交点为 H， 则点 P 是直线 l 的极点以及直线 l 是点 P 的极 线的必要条件是： 1. 直线 PH 与 l 垂直； 2. 点 P 与点 H 分别落在原点 o 的相反侧； 3. 2foHoP =? 。 x y P o H l hθ 图 3.12 标准配极变换的几何解释 证明：如图 3.12 所示，用法线式方程表示直线 l 0,sincos : ≥=+ hhyxl qq 则 l 的极点为 )sin,cos( 22 qq hfhf ?? (3.15) 由已知，该极点为点 P 的坐标。过 o， P 两点的直线方程为 0cossin =? qq yx (3.16) 将它与 l 的直线方程比较，注意到， ( ) 0cossinsincos =? ? ?? ? ? ? q qqq (3.17) 因此， l 与 PH 垂直，条件 1 成立。 由 (3.15)式，因为 02 >f ， 0≥h ，故当 20 pq ≤≤ 时， H 在第一象限而 P 在 第三象限；当 pqp ≤≤2 时， H 在第二象限而 P 在第四象限；当 23pqp ≤≤ 时， H 在第三象限而 P 在第一象限；当 pqp 223 ≤≤ 时， H 在 第四象限而 P 在第二象限。由此，条件 2 成立。 对于条件 3，为简便起见，仅讨论 H 在第一象限的情况，其它象限同理可 推。由图 3.12， H 点的坐标值应为 )sin,cos( qq hh ，因而， 2222 2 2 2 )cos()sin()sin()cos( fhhhfhfoHoP =+?+=? qqqq 证明：设极线族的交点为 ( , )a b ，极线族为， L,2,1 ,0 ==++ aaaa CyBxA (3.18) 对应极点为， L,2,1),,( 22 =a a a a a C Bf C Af (3.19) 交点 ( , )a b 对应的极线为， 02 =++ fbyax (3.20) 将所有的极点 (3.19)式代入 (3.20)的左端， 并考虑 (3.18)等式，可知极点满足极线方 程。 [证毕 ] 在标准配极变换下，关于共点的线和共线的点有以下结论。 定理 3.7 共点的极线族的极点是共线的。通过所有这些极点的直线是该极线族交点 的极线。 定理 3.8 共线的点族的极线是共点的，所共的点是通过点族的直线的极点。 证明与定理 3.7 的证明方法类似，此处从略。 . l1 l2 l3 l4 . ... l P1P2 P3P4 P 图 3.13 标准极变换的共点与共线 下面考虑在标准配极变换的条件下，各种 N 矢量的正交性的问题。由标准配极变换 的定义容易理解， N 矢量为 m 的点 P1 和 N 矢量为 m' 的点 P2相互共轭的充要条件是 ( ) 0, =′mm (3.21) 同理， N 矢量为 n 的直线 l 和 N 矢量为 n' 的直线 l' 相互共轭的条件是， 0),( =′nn (3.22) 如果将这些结果用视平面上的坐标表达，可以得到以下结果。 命题 3.7 视平面上点 ),( ba 与点 ),( ba ′′ 相互共轭的充要条件是， aa bb f' '+ + =2 0 (3.23) 命题 3.8 视平面上直线 0=++ CByAx 与直线 0=′+′+′ CyBxA 相互共轭的充要条件 是 AA BB CCf′ + ′ + ′ =2 0 (3.24) 以上的两个命题，表示了视平面上如下的几何关系。 命题 3.9 设视平面上有两点 P 和 P'，以及过此两点的直线 l。过原点 o 做直线 l 的垂线，交于 H。则两点 P， P' 相互共轭的充要条件是 1. P 和 P' 位于 H 的两侧， 2. 22 foHPHHP +=′? O X Y Z x y o l P' H P 图 3.14两点共轭的条件 证明： 1.充分性：如图 3.14，以视点 O 为基点， 有， →→→ →→→ ′++=′ ++= PHoHkfPO HPoHkfOP r r (3.25) 其中 rk 是沿 Z 轴的单位矢量，则， PHHPoHfPHHPoHfPOOP ′??+=′?++=′ →→→→ 2222),( (3.26) 由条件 (2) 知， 0),( =′→→ POOP (3.27) 再由 N 矢量的定义及共轭的关系，知 P 与 P' 共轭。 2. 必要性 : 由 P 与 P' 共轭及 N 矢量的定义，考虑 (3.26) 有， 2 2 →→→ +=′?? oHfPHHP 由 0 2 2 >+ →oHf ，故 0<′? →→ PHHP ，故得证 (1) ，即 P 和 P' 位于 H 的两侧。再由 P ， H ， P' 共线，由 (1) 有 →→ ′??=′? PHHPPHHP ，得证 (2) 。 [ 证毕 ] 命题 3.10 设视平面上有两直线 l 和 l' ，他们交于 P 点。设视平面原点为 O 。则两 直线相互共轭的充要条件是 2)(1ctgctg f oPloPoPl +=′∠∠ (3.28) O X Y Z x y o l l'P G' G 图 3.15 两线共轭的条件 证明： 1. 必要性。以视点 O 为基点，过 o 点 作 oP 的的垂线分别交 l 和 l' 于 G 和 G' ( 如 图 3.15) 。则 l 和 l' 的 N 矢量分别为 ?????? ×′= ?????? ×= →→ →→ OPGONn OPOGNn 由于 l 和 l' 共轭，由 (3.22) 式有 0),( =×′× →→→→ OPGOOPOG 由矢量积的运算法则 ),)(,(),)(,(),( cbdadbcadcba ?=×× ，经过化简有 ),)(,() ,( 2 →→→→→→ ′ = OPGOOPOGOPOGOG (3.29) 又 →→ →→ →→ += ′+=′ += oPkfOP GokfGO oGkfOG r r r (3.30) 将 (3.30) 式带入 (3.29) ，并注意到 →→→→ ⊥′⊥ oPGooPoG , ，以及 GooGGooG ′??=′ →→ ),( ，于 是 4222 ))(( foPfGooGf =+′?? (3.31) 又因为 loPoPGo oPloPoG ′∠=′ ∠= ctg ctg 带入 (3.31) 有 0ctgctg 1)ctgctg 11( 422 =′∠∠?′∠∠? oPloPoPlloPoPlfoP 2)(1ctgctg f PoloPoPl +=′∠∠ 2. 充分性。由于 2,0, 21 pqq ≠ ，且上述过程均可逆，充分性的证明只需反推即可。 在标准配极变换下，消失点和消失线的共轭会在空间产生非常有用的结果。 定理 3.9 空间中两条直线相互正交的充要条件是在视平面上它们的消失点相互共轭。 证明 :1.必要性。设空间两直线方程分别为 ?? ??? += += += z y x smZZ smYY smXX 00 00 00 和 ?? ??? += += += z y x smZZ smYY smXX 11 11 11 其方向矢量分别为 tzyx mmmM )( 0000 = 和 tzyx mmmM )( 1111 = ，由于两直线正交， 故 ( , )M M0 1 0= 。而由定理 3.1知，对应在视平面上消失点的 N矢量分别为 00 Mm a= 和 11 Mm b= ，于是 0),(),( 1010 == MMmm ab ，即共轭。 2.充分性 设两消失点的 N 矢量分别为 m m m mx y z t0 0 0 0= ( , , ) 和 m m m mx y z t1 1 1 1= ( ) ，则由定理 3.1 知对应的直线方程分别为 ?? ??? += += += z y x smZZ smYY smXX 00 00 00 和 ?? ??? += += += z y x smZZ smYY smXX 11 11 11 方向矢量分别为 00 mM = 和 11 mM = ，由视平面点的共轭性质知 0),( 10 =mm ，于是0),( 10 =MM ，故空间直线垂直。 推论 3.5 空间中三条直线相互正交的充要条件是在视平面上它们的消失点构 成自配极三角形。 定理 3.10 空间中两个平面相互正交的充要条件是在视平面上他们的消失线相 互共轭。 证明过程与定理 3.9类似，从略。 推论 3.6 空间中三个平面相互正交的充要条件是在视平面上他们的消失线构 成自配极线三角形。 利用以上的定理以及推论，只要在视平面上找到了消失点和消失线，所 对应的空间直线和平面的正交性的判断就变得较为简单了。 3.6平移运动 物体或摄象机在空间中任何运动都可等价为旋转和平移的组合，首先讨论物 体只有平移的情况。 一 .速度与轨迹 定义 3.5 设视平面上 N 矢量为 m t( ) 的点 P x t y t( ( ), ( ))处于运动中，则称 )()( tmdtdtm =& 为该点的 N 速度。 命题 3.11 在视平面上运动点 ))(),(( tytxP 的 N 速度由下式给定 ( ) ?? ? ? ? ?? ? ? ? ++ +? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ++= fty tx ftytx tytytxtxty tx ftytxtm )( )( )()( )()()()( 0 )( )( )()( 1)( 3222222 &&&&& (3.32) 证明：由点 ))(),(( tytxP 的 N矢量 )(tm 的定义有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ++=?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = f ty tx ftytxfty tx Ntm )( )( )()( 1)( )()( 222 上式左右两端同时对 t求导即得。 [证毕 ] O X Y Z x y o P t m n t( ) m t( ) ( ) P t( ) 图 3.16 m t( )、 & ( )m t 、 n t( ) 和 & ( )P t 的关系 命题 3.12 视平面上运动点 ))(),(( tytxP 的 N 矢量 )(tm 和 N 速度 )(tm& 相互正交，即 0))(),(( =tmtm & (3.33) 证明：因为 1))(),((||)(|| 2 == tmtmtm ，上式 对 t 求导有 0))(),((2))(),(())(),(( ==+ tmtmtmtmtmtm &&& [证毕 ] 命题 3.13 设视平面上做平移运动的点 P 的 N 矢量为 )(tm ， N 速度为 )0)(( ≠tm& ， 则点 P 的运动轨迹所在直线 l 的 N 矢量 )(tn 为 [ ])()()( tmtmNtn &×= (3.34) 证明： n t( )应该垂直于视点 O 和直线 l 所确定的平面 S，由命题 3.12 知 )(tm 和 )(tm& 正交，且 )(tm 和 )(tm& 均在平面 S 上，故 [ ])()()( tmtmNtn &×= [证毕 ] P t'( )1 P t( )1 P t( )2 P t'( )2 图 3.17 点平移运动的轨迹与出现点 二 .平移运动的出现点与从平移恢复形状 空间中做平移运动的各点所形成的轨迹是相互平行的。由推论 3.1知，这些轨迹 在视平面上的投影具有相同的消失点。 做三维平移运动的点的轨迹在视平面上的消失点称为出现点。 出现点实际上表示的是三维平移运动的方向，于是显然在空间中沿单位矢量 u的 方向平移的点的轨迹，在视平面上形成的出现点的 N矢量为 u。 此外，空间中做平行平移运动的多个点，在视平面上具有相同的出现点。 定理 3.11 设空间中以相同速度做平移运动的两点在视平面上的投影分别为 P P1 2, ，在 t 时刻的 N 矢量分别为 m t1 ( ) 和 m t2 ( ) ，在 t' 时刻的 N 矢量为 m t1( ') 和 m t2 ( ') ，则出现点 的 N 矢量 u 由下式给定 [ ])))'()(())'()((( 2211 tmtmtmtmNu ×××= (3.35) 其中矢量 ) '(),(),'(),( 2211 tmtmtmtm 互不重合。 证明：设 )(1 tP 和 )'(1 tP 的运动轨迹直线为 1l ， )(2 tP 和 ) (2 tP 的运动轨迹直线为 2l 。由 定理 3.4， 1l 的 N 矢量为 [ ])'()( 11 tmtmN × ， 2l 的 N 矢量为 [ ])'()( 22 tmtmN × ，由出现点 定义知出现点是 1l 和 2l 的交点， 由定理 3.3，该交点的 N 矢量分别与直线 l1和 l2 的 N 矢量正交，从而 (3.35)式成立。 定理 3.12 设空间中以相同速度做平移运动的两点 P P1 2, ，它们在 t 时刻的 N 矢量和 N 速度分别为 m t1 ( ) ,& ( )m t1 和 m t2 ( ) ,& ( )m t2 ，则出现点的 N 矢量 u 由下式给定。 [ ])))()(())()((( 2211 tmtmtmtmNu && ×××= (3.36) 其中， P P1 2, 在视平面上的移动轨迹是不共线的。 证明 ：由命题 3.13， P1 运动轨迹直线的 N 矢量是 N m t m t( ( ) & ( ))1 1× ,P2 运动轨迹直线的 N 矢量是 N m t m t( ( ) & ( ))2 2× 。由于出现点是这两条轨迹直线的交点，由定理 3.11 的同样 证明过程可以证明命题的正确性。 [证毕 ] 以上讨论的是做平移运动的点的出现点。事实上 ,物体在空间运动时 ,不仅物体上 各点在做平移运动 ,而且物体上任意两点所确定的直线段也在做平移运动。利用这个 性质 ,可以从做平移运动物体的图象中直接恢复物体的三维形状。 命题 3.14 设空间中以相同速度做平移运动的两点 21, PP 所在的直线段在视平面上的投 影为 )(1 tP )(2 tP ，端点在 t 和 t' 时刻的 N 矢量分别为 )(1 tm , )(2 tm 和 )'(1 tm , )'(2 tm 。则该 直线三维方向的单位矢量 v 由下式给定[ ] )))'()'(())()((( 2121 tmtmtmtmNv ×××= (3.37) 其中， 4 个点 )(1 tP , )'(1 tP , )(2 tP 和 )'(2 tP 互不重合 (图 3.18)。 证明：线段 P t1( ) P t2( ) 的 N 矢量为 [ ]))()(( 21 tmtmN × ，因为两条线段 P t1( ) P t2( ) 和 P t1( ') P t2( ')在空间中相互平行，因而有相 同的消失点 (两线段延长线的交点 )，由定 理 3.3知消失点的 N矢量为 [ ])))'()'(())()((( 2121 tmtmtmtmN ××× [证毕 ] P t'( )1 P t( )1 P t( )2 P t'( )2 图 3.18 平移运动线段的消失点 命题 3.15 设空间中以相同速度做平移运动的两点 21, PP 所在的直线段在视平面上的投 影为 P t1 ( ) P t2 ( )，端点的 N 矢量分别为 )(1 tm 和 )(2 tm ,N 速度分别为 & ( )m t1 和 & ( )m t2 。则该直 线三维方向的单位矢量 v 由下式给定 [ ])(|)(),(),(|)(|)(),(),(| 21211221 tmtmtmtmtmtmtmtmNv && ?= (3.38) 其中， |,,| cba 表示矢量 cba ,, 的三重积。 证明：在命题 3.14 中令 ttt ?=? ' ,则由 Taylor 公式有 m t m t m t t O t m t m t m t t O t 1 1 1 2 2 2 2 2 ( ') ( ) & ( ) ( ) ( ' ) ( ) & ( ) ( ) = + + = + + ? ? ? ? 将上式代入 (3.37)式有 ( ) ( ) ( )[ ][ ] ( ) ( )[ ][ ] ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ])()()()()()()()()( )()()()()()()()()( )()()()()()()()( 2 21212121 2 21212121 2 22 2 1121 tOttmtmtmtmtmtmtmtmN tOttmtmtmtmtmtmtmtmN tOttmtmtOttmtmtmtmNv ?+?×××+×××= ?+?×+×+×××= ?+?+×?+?+××= && && && 注意到 )()(,, cabaacba ×××= ，于是 ( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ])()()(),(),()()(),(),( )()()(),(),()()(),(),( )()()()()()()()()( 2 21211221 2 12212112 2 21212121 tOttmtmtmtmtmtmtmtmN tOttmtmtmtmtmtmtmtmN tOttmtmtmtmtmtmtmtmNv ?+??= ?+?+= ?+?×××+×××= && && && 考虑到 0→?t 以及 N ? 的作用，即得 (3.38)式。 [证毕 ] 由上述命题可知 ,对于在空间中做平移运动的物体的三维恢复问题 ,不论给定两 个时刻的投影图象 ,还是给定一个时刻的投影图象和该时刻的速度都可以唯一确定 物体上连接任意两点的直线段的三维方向。