1
第二章 信号
2.1 信号的类型
2.1.1 确知信号和随机信号
?什么是确知信号
?什么是随机信号
2.1.2 能量信号和功率信号
?信号的功率, 设 R = 1,则 P = V2/R = I2R = V2 = I2
?信号的能量：设 S代表 V或 I，若 S随时间变化，则写为 s(t),
于是，信号的能量 E = ? s2(t)dt
?能量信号,满足
?平均功率：,故能量信号的 P = 0。
? 功率信号, P ? 0 的信号，即持续时间无穷的信号。
?能量信号的能量有限，但平均功率为 0。
?功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大。
???? ???? dt)t(sE0 2
????? 2/T 2/T 2T dt)t(sT1li mP
2
2.2 确知信号的性质
2.2.1频域性质
? 功率信号的频谱：设 s(t)为周期性功率信号,T0为周期，则有
式中,?0 = 2? / T0 = 2?f0
∵ C(jn?0)是复数,∴ C(jn?0) = |Cn|ej?n
式中,|Cn| － 频率为 nf0的分量的振幅；
?n － 频率为 nf0的分量的相位。
?信号 s(t)的傅里叶级数表示法：
?? ?? 2/ 2/00 0 0 0)(1)( TT tjn dtetsTjnC ??
?? ?? 2/T 2/T tjn
0
0
0
0
0 dte)t(sT1)jn(C ??
??
???
?
n
tjn
0 0e)jn(C)t(s
??
3
【 例 2.1】 试求周期性方波的频谱。
解：设一周期性方波的周期为 T，宽度为 ?，幅度为 V
求频谱：
???????
?
?
?
???
???
?
t)Tt(f)t(f
)2/T(t2/0
2/t2/V
)t(f
??
??
2
ns in
Tn
V2
jn
ee
T
V
e
jn
V
T
1
dtVe
T
1
)jn(C
0
00
2/jn2/jn
2/
2/
2/
2/
tjn
0
tjn
0
00
00
?
?
??
?
?
????
?
?
?
?
??
??
?
??
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
??
?
4
频谱图
5
【 例 2.2】 试求全波整流后的正弦波的频谱。
解：设此信号的表示式为
求频谱：
信号的傅里叶级数表示式：
????????
???
ttftf
tttf
)1()(
10)s in ()( ?
?? ????? ?? ? 10 222/ 2/
0
0 )14(
2)s in ()(1)( 0
0
0
ndtetdtetsTjnC
ntjT
T
tjn
???
??
1
f(t)
t
??
??? ?
??
n
ntje
ntf
?
?
2
2 14
12)(
6
? 能量信号的频谱密度
设一能量信号为 s(t)，则其频谱密度为：
S(?)的逆变换为原信号：
【 例 2.3】 试求一个矩形脉冲的频谱密度。
解：设此矩形脉冲的表示式为
则它的频谱密度就是它的傅里叶变换：
???? ?? dtetsS tj?? )()(
? ???? ?? ? deSts tj)()(
??
???
?
??
2/0
2/1)(
?
?
t
ttg
2/
)2/s in ()(1)( 2/2/2/
2/ ??
???
??
?????
?
? ???? ?
?
?? jjtj ee
jdteG
7
【 例 2.4】 试求抽样函数的波形和频谱密度。
解：抽样函数的定义是
而 Sa(t)的频谱密度为：
和上例比较可知,Sa(t)的波形和上例中的 G(?)曲线相同，
而 Sa(t)的频谱密度 Sa(?)的曲线和上例中的 g(t)波形相同。
【 例 2.5】 试求单位冲激函数及其频谱密度。
解：单位冲激函数常简称为 ?函数，其定义是：
?(t)的频谱密度：
t
ts i n)t(Sa ?
??
? ?????? ? ?
??
?
其他处0
11s in)( ??? ? dte
t
tSa tj
00)(
1)(
??
?? ?
??
tt
dtt
?
?
1)(1)()( ????? ? ???? ???? dttdtetf tj ?? ?
8
?Sa(t)及其频谱密度的曲线：
??函数的物理意义：
高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为 1的脉冲。
?用抽样函数 Sa(t)表示 ?函数,Sa(t)有如下性质
当 k ? ? 时，振幅 ? ?，
波形的零点间隔 ? 0，
故有
???? ? 1)( dtktSak?
t
t
t
)(l i m)( ktSakt k ?? ???
f
?(f)
1
0t
?(t)
0
9
??函数的性质
? 对 f(t)的抽样：
??函数是偶函数：
??函数是单位阶跃函数的导数：
?能量信号的频谱密度 S(f)和功率信号的频谱 C(jn?0)的区别,
? S(f) － 连续谱； C(jn?0) － 离散谱
? S(f)的单位,V/Hz； C(jn?0) 的单位,V
? S(f)在一频率点上的幅度＝无穷小。
u?(t) = ?(t)
???? ?? dt)tt()t(f)t(f 00 ?
???? ?? dttttftf )()()( 00 ?)t()t( ?? ??
??
?
?
??
0,1
,0,0)(
t
ttu
当
当
t
1
0
图 2.2.6 单位阶跃函数
10
【 例 2.6】 试求无限长余弦波的频谱密度。
解：设一个余弦波的表示式为 f (t) = cos?0t，则其频谱密度
F(?)按式 (2.2-10)计算，可以写为
参照式 (2.2-19)，上式可以改写为
?引入 ?(t)，就能将频谱密度概念推广到功率信号上。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
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?
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?
?
?
??
??
???
?
?? ?
2
)(
2
)(
2
lim
2/)(
]2/)s in [ (
2/)(
]2/)s in [ (
2
limc o slim)(
00
0
0
0
0
2/
2/
0
???????
???
???
???
????
??
?
?
?
?
?
?
SaSa
dtteF tj
)]()([)( 00 ???????? ????F
t ?0－ ?0 0
(b) 频谱密度(a) 波形
11
? 能量谱密度
设一个能量信号 s(t)的能量为 E，则其能量由下式决定：
若此信号的频谱密度，为 S(f)，则由巴塞伐尔定理得知：
上式中 |S(f)|2称为能量谱密度，也可以看作是单位频带内的
信号能量。上式可以改写为：
式中,G(f)＝ |S(f)|2 （ J / Hz） 为能量谱密度。
? G(f)的性质：因 s(t)是实函数，故 |S(f)|2 是偶函数,∴
????? dttsE )(2
dffSdttsE ?? ?????? ?? 22 )()(
????? dffGE )(
??? 0 )(2 dffGE
12
? 功率谱密度
令 s(t)的截短信号为 sT(t),-T/2 < t <T/2，则有
定义功率谱密度为：
得到信号功率：
dffSdttsE TT T T ?? ???? ?? 22/ 2/ 2 )()(
2)(1l i m)( fS
TfP TT ???
?? ?????? ?? dffPdffSTP T T TT )()(1lim 2/ 2/ 2
13
2.2.2 时域性质
? 自相关函数
?能量信号的自相关函数定义：
?功率信号的自相关函数定义：
?性质：
? R(?)只和 ?有关，和 t 无关
? 当 ?= 0时，能量信号的 R(?)等于信号的能量；
功率信号的 R(?)等于信号的平均功率。
? ??? ??????? ??? dttstsR )()()(
???? ??????? 2/ 2/ )()(1lim)( T TT dttstsTR ???
14
? 互相关函数
?能量信号的互相关函数定义：
?功率信号的互相关函数定义：
?性质：
? R12(?)只和 ?有关，和 t 无关；
?
证,令 x = t + ?，则
? ??? ??????? ???,)()()( 2112 dttstsR
???? ??????? 2/ 2/ 2112,)()(1lim)( T TT dttstsTR ???
)()( 1221 ?? ?? RR
?
? ?
?
??
?
??
?
??
?????
????
)()]([)(
)()()()()(
1221
121221
??
???
Rdxxsxs
dxxsxsdttstsR
15
2.3 随机信号的性质
2.3.1 随机变量的概率分布
? 随机变量的概念：若某种试验 A的随机结果用 X表示，则称此
X为一个随机变量，并设它的取值为 x。例如，在一定时间内
电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。
? 随机变量的分布函数：
?定义,FX(x) = P(X ? x)
?性质,∵ P(a < X ? b) + P(X ? a) = P(X ? b),
P(a < X ? b) = P(X ? b) – P(X ? a)，
∴ P(a < X ? b) = FX(b) – FX(a)
16
?离散随机变量的分布函数：
? 设 X的取值为,x1? x2 ? … ? xi ? xn，其取值的概率分
别为 p1,p2,…,p i,…,p n，则有
P (X < x1) = 0,P(X ? xn) = 1
? ∵ P(X ? xi) = P(X = x1) + P(X = x2) + … + P(X = xi),
∴
? 性质：
? FX(- ?) = 0
? FX(+?) = 1
? 若 x1 < x2，则有, FX(x1) ? FX(x2),
为单调增函数。
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
? ?
?
?
n
i
k
ikX
xx
xxxp
xx
xF
1
0
)(
1
11
1
17
?连续随机变量的分布函数：
当 x连续时，由定义分布函数定义
FX(x) = P(X ? x)
可知,FX(x) 为一连续单调递增函数：
18
2.3.2 随机变量的概率密度
? 连续随机变量的概率密度 pX (x)
? pX (x)的定义：
? pX (x)的意义：
? pX (x)是 FX (x)的导数，是 FX (x)曲线的斜率
? 能够从 pX (x)求出 P(a < X ? b)：
? pX (x)的性质：
?
?
?
dx
xdFxp X
X
)()( ?
???? ba X dxxpbXaP )()(
? ??? x XX dyypxF )()(
pX(x) ? 0
???? ? 1)( dxxp X
19
? 离散随机变量的概率密度
离散随机变量的分布函数可以写为：
式中,pi－ x = xi 的概率
u(x) － 单位阶跃函数
将上式两端求导，得到其概率密度：
?性质：
当 x ? xi 时,px (x) = 0，
当 x = xi 时,px (x) = ?
?
?
?? n
i
iiX xxupxF
1
)()(
?
?
??
n
i
iiX xxpxp
1
)()( ?
20
2.4 常见随机变量举例
? 正态分布随机变量
?定义：概率密度
式中,?> 0,a = 常数
?概率密度曲线：
??
?
??
? ???
2
2
2
)(e x p
2
1)(
???
axxp
X
21
? 均匀分布随机变量
?定义：概率密度
式中,a,b为常数
?概率密度曲线：
??
? ????
其他0
)/(1)( bxaabxp
X
ba x0
pA(x)
22
? 瑞利 (Rayleigh)分布 随机变量
?定义：概率密度为
式中,a > 0，为常数。
?概率密度曲线：
0)e x p (2)( 2 ??? xaxa xxp X
23
2.5 随机变量的数字特征
2.5.1 数学期望
? 定义：对于连续随机变量
? 性质：
?
?
?
?
?
若 X和 Y互相独立，且 E(X)和 E(Y)存在。
?
????? dxxxpXE X )()(
CCE ?)(
)()()( YEXEYXE ???
)()()()( 2121 nn XEXEXEXXXE ??????? ??
)()( XECXCE ???
)()()( YEXEXYE ?
C E ( X )E ( C X ) ?
24
2.5.2 方差
? 定义：
式中，
?方差的改写：
证：
?对于离散随机变量，
?对于连续随机变量，
? 性质：
? D( C ) = 0
? D(X+C)=D(X),D(CX)=C2D(X)
? D(X+Y)=D(X)+D(Y)
? D(X1 + X2 + … + Xn)=D(X1) + D(X2) + … + D(Xn)
])[()( 22 XXEXD X ??? ?
的数学期望－－标准偏差,XXX?
22)( XXXD ??
22222222 2]2[])[( XXXXXXXXXEXXE ?????????
ii i pXxXD ? ?? 2)()(
dxxpXxXD X )()()( 2? ??? ??
25
2.5.3 矩
? 定义：随机变量 X的 k阶矩为
? k阶原点矩,a = 0时的矩：
? k阶中心矩,时的矩：
? 性质：
? 一阶原点矩为数学期望：
? 二阶中心矩为方差：
? ??? ??? dxxpaxaXE Xkk )()(])[(
????? dxxpxXm Xkk )()(
Xa ?
? ??? ?? dxxpXxXM Xkk )()()(
)()(1 XEXm ?
22 )()( XXDXM ???
26
2.6 随机过程
2.6.1 随机过程的基本概念
? X(A,t) － 事件 A的全部可能, 实现, 的总体；
? X(Ai,t) － 事件 A的一个实现，为确定的时间函数；
? X(A,tk) － 在给定时刻 tk上的函数值。
?简记,X(A,t) ? X(t)
X(Ai,t) ? Xi (t)
? 例：接收机噪声
? 随机过程的数字特征：
?统计平均值：
?方差：
?自相关函数：
? ??? ?? )()()]([ iXXi tmdxxxptXE i
2) ] }([)({)]([ iii tXEtXEtXD ??
)]()([),( 2121 tXtXEttR X ?
27
2.6.2 平稳 随机过程
? 平稳随机过程的定义：
统计特性与时间起点无关的随机过程。
（又称严格平稳随机过程）
? 广义平稳随机过程的定义：
平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程。
? 广义平稳随机过程的性质：
?
?
?
? 严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程。但是，广义
平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程。
常数?? Xm E [X ( t ) ]
常数???? 22 X) ] }t(X[E)t(X{E)]t(X[D ?
21 tt)(R )t-(tR )t,(tR X21X21X ???? ??
28
2.6.3 各态历经性
?, 各态历经, 的含义：
平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态。
? 各态历经过程的特点：可用时间平均值代替统计平均值，例
?各态历经过程的统计平均值 mX：
?各态历经过程的自相关函数 RX(?):
?一个随机过程若具有各态历经性，则它必定是严格平稳随
机过程。但是，严格平稳随机过程就不一定具有各态历经
性。
????? 2/ 2/ )(1l i m T T iTX dttXTm
???? ?? 2/ 2/ )()(1lim)( T T iiTX dttXtXTR ??
29
? 稳态通信系统的各态历经性：
假设信号和噪声都是各态历经的。
?一阶原点矩 mX= E[X(t)] － 是信号的直流分量；
?一 阶原点矩的平方 mX 2 － 是信号直流分量的归一化功率；
?二阶原点矩 E [X 2( t )] － 是信号归一化平均功率；
?二阶原点矩的平方根 {E [X 2(t)]}1/2 － 是信号电流或电压的
均方根值（有效值）；
?二阶中心矩 ?X2 － 是信号交流分量的归一化平均功率 ;
?若 mX = mX 2 = 0，则 ?X2 = E [X 2( t )] ；
?标准偏差 ?X － 是信号交流分量的均方根值；
?若 mX = 0，则 ?X就是信号的均方根值 。
30
2.6.4 平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度
? 自相关函数的性质
?
?
?
?
?
? 功率频谱密度的性质
?复习：确知信号的功率谱密度：
?类似地，平稳随机过程的功率谱密度为：
? 平均功率：
XPtXER ?? )]([)0( 2
)()( ?? ?? RR
)0()( RR ??
)]([)( 2 tXER ??
2)()0( XRR ????
T
fSfP T
T
2)(
lim)( ???
T
fSEfPEfP T
TX
2)(
lim)]([)( ????
?? ??? ????? ?? dfT fSEdffPP TTXX ])([l i m)(
2
31
? 自相关函数和功率谱密度的关系
由
式中，
令 ? =t – t’,k =t + t’，则上式可以化简成
于是有
? ?
??
??
? ?
??
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2/
2/
2/
2/
)'(
2/
2/
'
2/
2/
2/
2/
'
2/
2/
2
')'(
1
')'()(
1
')'(*)(
1])([
T
T
T
T
ttj
T
T
tj
T
T
tj
T
T
tj
T
T
T
tj
T
T
dtdtettR
T
dtetsdtets
T
E
dtetsdtets
T
E
T
fSE
?
??
??
)]()([)( tstsEttR ????
?? ????????? ?? T T jT deRTT fSE ??? ??)(1])([
2
?
?
?
??
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
?
??
??
deR
deR
TT
fSE
fP
j
T
T
j
T
T
T
X
)(
)(1lim
])([
lim)(
2
32
上式表明,PX(f )和 R(?)是一对傅里叶变换：
? PX(f )的性质：
? PX(f ) ? 0,并且 PX(f )是实函数。
? PX(f ) ＝ PX(-f )，即 PX(f )是偶函数。
【 例 2.7】 设有一个二进制数字信号 x(t),如图所示，其振幅
为 +a或 -a；在时间 T 内其符号改变的次数 k服从泊松分布
式中,?是单位时间内振幅的
符号改变的平均次数。
试求其相关函数 R(?)和功率谱密度 P(f)。
???? ?? ?? ?? deRfP jX )()(
dfefPR jX ??? )()( ?????
0,!)()( ?? ? kk eTkP Tk ??
+a
-a
x(t)
?
t
t
0
t-?
33
解,由图可以看出，乘积 x(t)x(t-?)只有两种可能取值,a2,或
-a2。因此，式
可以化简为：
R(?) = a2 ? [a2出现的概率 ] + (-a2) ? [(-a2)出现的概率 ]
式中，“出现的概率”可以按上述泊松分布 P(k)计算。
若在 ? 秒内 x(t)的符号有偶数次变化，则出现 + a2;
若在 ? 秒内 x(t)的符号有奇数次变化，则出现 - a2。
因此，
用 ? 代替泊松分布式中的 T，得到
)]t(x)t(x[E)(R ?? ??
])5()3()1([
])4()2()0([)]()([)(
2
2
?
?
????
??????
PPPa
PPPatxtxER ??
??????
?? ???????
222
32
2 ]
!3
)(
!2
)(
!1
1[)(
???
?
??
?????
eaeea
eaR ?
34
由于在泊松分布中 ?是时间间隔，所以它应该是非负
数。所以，在上式中当 ?取负值时，上式应当改写成
将上两式合并，最后得到：
其功率谱密度 P( f )可以由其自相关函数 R(?)的傅里叶
变换求出：
P( f )和 R(?)的曲线：
??? 22)( eaR ?
??? 22)( ?? eaR
4
)()(
2
2
20
22
0
22
22
?
?
?
??
???
????????
??????
?
???
??
??
? ?
??
??
?
??
?
??
?
??
???
a
deeadeea
deeadeRfP
jj
jj
35
【 例 2.8】 设一随机过程的功率谱密度 P( f )如图所示。试求
其自相关函数 R(?)。
解：
∵ 功率谱密度 P( f )已知，
∴
式中，
?自相关函数曲线：
??
??
??
????? ??
0
0
2
2c o s
2
2s i n
4
2c o s22c o s)(2)()(
2
1
f
f
f
fA
dffAdfffPdfefPR
f
f
fj
?
?
??
??? ? ??
??
??
2,2 12012
ffffff ?????
36
【 例 2.9】 试求白噪声的自相关函数和功率谱密度。
解,白噪声是指具有均匀功率谱 密度 Pn( f )的噪声，即
Pn( f ) ＝ n0/2
式中, n0为单边功率谱密度 （ W/Hz）
白噪声的自相关函数可以从它的功率谱密度求得,
由上式看出, 白噪声的任何两个相邻时间 （ 即 ? ? 0时 ） 的抽
样值都是不相关的 。
白噪声的平均功率,
上式表明, 白噪声的平均功率为无穷大 。
)(22)()( 00 ??? ???? ndfendfefPR jjX ??? ?? ??????
??? )0(2)0( 0 ?nR
Pn(f)
n0/2
0 f
Rn(?)
n0/2
?0
37
? 带限白噪声的功率谱密度和自相关函数
?带限白噪声：带宽受到限制的白噪声
?带限白噪声的功率谱密度：
设白噪声的频带限制在 (-fH,fH)之间，则有
Pn(f) = n0 / 2,-fH < f < fH
= 0,其他处
其自相关函数为：
?曲线：
??
??? ??
H
H
H
f
f
j
f
ffndfenR H
H 2
2s in
22)(
00 ?? ?
?
n0/2
Pn(f)
0 f-fH fH
Rn(?)
?0
1/2fH-1/2fH
38
2.7 高斯过程（正态随机过程）
? 定义：
?一维高斯过程的概率密度：
式中,a = E[X(t)] 为均值
?2 = E[X(t) - a]2 为方差
? 为标准偏差
?∵ 高斯过程是平稳过程，故
其概率密度 pX (x,t1)与 t1无关，
即,pX (x,t1) ＝ pX (x)
? pX (x)的曲线：
? ? ?
?
?
?
?
? ???
2
2
1 2e x p2
1),(
???
axtxp
X
39
?高斯过程的严格定义：任意 n维联合概率密度满足：
式中,ak为 xk的数学期望（统计平均值）；
?k为 xk的标准偏差；
|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即
|B|jk为行列式 |B|中元素 bjk的代数余因子；
bjk为归一化协方差函数，即
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
? ? ?
? ?
n
j
n
k k
kk
j
jj
jk
n
n
nnX
axax
B
BB
tttxxxp
1 1
2/1
21
2/
2121
2
1
e x p
)2(
1
),,,;,,,(
?????? ?
??
1
1
1
21
221
112
?
???
?
?
nn
n
n
bb
bb
bb
B ?
? ?? ?
kj
kkjj
jk
axaxEb
??
???
40
? n维高斯过程的性质
? pX (x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn)仅由各个随机变量的数学期望
ai、标准偏差 ?i和归一化协方差 bjk决定，因此它是一个广义
平稳随机过程 。
?若 x1,x2,…,xn等两两之间互不相关,则有当 j ? k 时,bjk
= 0。这时，
即，此 n维联合概率密度等于各个一维概率密度的乘积。
?若两个随机变量的互相关函数等于零，则称为两者 互不相
关 ；若两个随机变量的二维联合概率密度等于其一维概率
密度之积，则称为两者 互相独立 。互不相关的两个随机变
量不一定互相独立。互相独立的两个随机变量则一定互不相关。
?高斯过程的随机变量之间既互不相关，又互相独立。
? ?
),(),(),(
2
e x p
2
1
),,,;,,,(
2211
2
2
1
2121
nnXXX
k
kk
n
k k
nnX
txptxptxp
ax
tttxxxp
?
??
??
?
?
?
?
?
? ?
?? ?
? ???
41
? 正态概率密度的性质
? p(x)对称于直线 x = a，即有：
? p(x)在区间 (-?,a)内单调上升，在区间 (a,?)内单调下降，
并且在点 a处达到其极大值
当 x? - ?或 x ? + ?时,p(x) ? 0。
?
?若 a = 0,? = 1，则称这种分布为标准化正态分布：
)()( xapxap ???
)2/(1 ??
???? ? 1)( dxxp
? ??? ? ??a a dxxpdxxp 2/1)()(
???????? 2e x p21)(
2x
xp ?
42
? 正态分布函数
?将正态概率密度函数的积分定义为正态分布函数,
式中,?(x)称为概率积分函数,
此积分不易计算，通常用查表方法计算。
?
?
?
?
?
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??
?
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az
dz
az
xF
x
x
2
2
2
2
2
)(
e x p
2
1
2
)(
e x p
2
1
)(
dzzx x?
?? ??
?
??
? ??
2e x p2
1)( 2
?
?
43
? 用误差函数表示正态分布
?误差函数定义：
?补误差函数定义：
? 正态分布表示法：
dzexe r f x z? ?? 0 22)( ?
dzedzexe r fxe r fc x zx z ?? ? ?? ????? 22 221)(1)( 0 ??
?
?
?
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ax
ax
e r f c
ax
ax
e r f
xF
,
22
1
1
,,
22
1
2
1
)(
?
?
44
频率近似为 fc
2.8 窄带随机过程
2.8.1 窄带随机过程的基本概念
? 何谓窄带？
设 随机过程的频带宽度为 ?f，中心频率为 fc。若 ?f << fc，
则称此随机过程为窄带随机过程。
? 窄带随机过程的波形和表示式
?波形和频谱：
45
?表示式
式中,aX(t) － 窄带随机过程的随机包络；
?X(t) －窄带随机过程的随机相位；
?0 － 正弦波的角频率。
上式可以改写为：
式中，
－ X (t)的同相分量
－ X (t)的正交分量
00 ??? )t(a) ],t(tc o s [)t(a)t(X XXX ??
ts i n)t(Xtco s)t(X)t(X sc 00 ?? ??
)(c o s)()( ttatX XXc ??
)(s i n)()( ttatX XXs ??
46
2.8.2 窄带随机过程的性质
? Xc(t)和 Xs(t)的统计特性：
设 X(t)是一个均值为 0的平稳窄带高斯过程，则
? Xc(t)和 Xs(t)也是高斯过程；
? Xc(t)和 Xs(t) 的方差相同，且等于 X(t)的方差 ；
? 在同一时刻上得到的 Xc和 Xs是不相关的和统计独立的。
? aX(t)和 ?X(t)的统计特性：
? 窄带平稳随机过程包络 aX(t)的概率密度等于：
? 窄带平稳随机过程相位 ?X(t)的概率密度等于：
02e x p)( 2
2
2 ???
?
??
? ??
X
X
X
X
X
X a
aaap
??
???? 202 1)( ??? XXp
47
2.9 正弦波加窄带高斯过程
? 通信系统中的正弦波加窄带高斯过程：
? 正弦波加噪声的表示式：
式中,A － 正弦波的确知振幅；
?0 － 正弦波的角频率；
? － 正弦波的随机相位；
n(t) － 窄带高斯噪声。
? r (t )的包络的概率密度,
式中,? 2 － n(t)的方差；
I0(?) － 零阶修正贝塞尔函数。
? pr(x) 称为广义瑞利分布，或称莱斯 (Rice)分布。
当 A = 0时,pr(x) 变成瑞利概率密度。
)()c o s ()( 0 tntAtr ??? ??
? ? 0,2 1e x p)( 222202 ??????? ????????? xAxAxIxxp r ???
48
? r (t )的相位的条件概率密度,
式中,?－ r( t )的相位，包括正弦波的相位 ?和噪声的相位
pr(? /? ) － 给定 ?的条件下,r( t )的相位的条件概率密度
? r (t )的相位的概率密度,
? 当 ?= 0时，
式中，
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
? ?
??
?
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?
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??
???
??
?
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2/1
2
2
2
2/1
22
2
c o s
1s in
2
e x p
22
c o s
2
2/e x p
)/(
A
e r f
AA
A
p r
? ? ? ? ????? ? dppp rrr /)( 20??
? ? ?????? 20e x p)](1[12e x p2 1)0/( 222 ??????
?
?
???
? ?? GGe r fGAp
r
?
?
2
c o sAG ? ? ?? G t dteGe r f
0
22)(
?
49
瑞利分布
r
概
率
密
度
包络 r
(a) 莱斯分布包络的概率密度
均匀相位
相 位
概
率
密
度
(b) 莱斯分布相位的概率密度
? 莱斯分布的曲线
? 当 A/?= 0时，
包络 ?瑞利分布
相位 ?均匀分布
? 当 A/?很大时，
包络 ?正态分布
相位 ?冲激函数
50
2.10 信号通过线性系统
2.10.1 线性系统的基本概念
? 线性系统的特性
?有一对输入端和一对输出端
?无源
?无记忆
?非时变
?有因果关系：先有输入、后有输出
?有线性关系：满足叠加原理
若当输入 为 xi(t)时，输出为 yi(t)，则当输入 为
时，输出为：
式中,a1和 a2均为任意常数。
)()()( 2211 txatxatx ??
)()()( 2211 tyatyaty ??
51
? 线性系统的示意图
2.10.2 确知信号通过线性系统
? 时域分析法
设 h(t) － 系统的冲激响应
x(t) － 输入信号波形
y(t) －输出信号波形
则有：
线性系统输入 输出
x(t) y(t)
X(f) Y(f)
h(t)
H(f)
图 2.10.1 线性系统示意图
t
?(t)
h(t)
t
0
0
?
?
?
??
?
??
??
??
??
???
???
dhtx
dthx
thtxty
)()(
)()(
)()()(
???? ??
??
dtth
tth
)(
0,0)(
对于物理可实现系统：
52
? 频域分析法
?设：输入为能量信号，令
x( t ) － 输入能量信号
H( f ) － h( t )的 傅里叶变换
X( f ) － x( t )的 傅里叶变换
y( t ) － 输出信号
则此系统的输出信号 y( t )的频谱密度 Y( f )为：
? 由 Y( f )的逆傅里叶变换可以求出 y( t )：
)()()( fHfXfY ??
????? dfefYty tj?)()(
53
?设：输入 x( t )为周期性功率信号，则有
式中，
输出为：
?设：输入 x( t )为非周期性功率信号，则当作随机信号处理
??
???
?
n
tjnejnCtx 0)()(
0
??
?? ?? 2/ 2/
0
0
0
0
0)(1)( T
T
tjn dtetx
TjnC
??
?0 = 2?/T0
T0 － 信号的周期
f0 = ?0 / 2?是信号的基频
??
???
?
n
tjnenHjnCty 0)()()(
00
???
54
?【 例 2.10】 若有一个 RC低通滤波器，如图 2.10.4所示。试
求出其冲激响应，以及当有按指数衰减的输入时其输出
信号表示式。
解,设 x(t) －输入能量信号
y(t) － 输出能量信号
X(f) － x(t)的频谱密度
Y(f) － y(t)的频谱密度
则 此电路的传输函数为：
此滤波器的冲激响应 h(t)：
图 2.10.4 RC滤波器
R
Cx(t) y(t)
RCjCjR
CjfH
??
?
???? 1
1
)/1(
/1)(
? ??? ??? ????? ? ?? ? RCttjtj eRCdfeRCjdfefHth /11 1)()(
55
滤波器输出和输入之间的关系：
假设 输入 x(t)等于：
则此滤波器的输出为：
????? ? dexRCdthxthtxty RCt /)()(1)()()()()( ???????? ?? ?????
?
?
?
?
?? ?
0,0
0,)(
t
tetx at
a R C
ee
aRC
e
RC
e
dee
RC
ty
RCtat
t
aRCRCtt
RCta
?
?
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???
??
??
???
?
1
/1
1
)(
/
0
)/1(/
0
/)(
?
?? ?
56
? 无失真传输条件
设：系统是无失真的线性传输系统，输入为一能量信号 x(t),
则其无失真输出信号 y(t)为：
式中,k－ 衰减常数，
td － 延迟时间。
?求系统的传输函数：
对上式作傅里叶变换：
∴
式中，
?无失真传输条件：
? 振幅特性与频率无关；
? 相位特性是通过原点的直线。
（实际中,?难测量，常用测量 td代替。）
)()( dttkxty ??
dtjefkXfY ??? )()(
dtjefkXfHfXfY ????? )()()()(
?? jtj keke)f(H d ?? ??
dft?? 2?
|H(f)|
k
0 f
?
f0
57
2.10.3 随机信号通过线性系统
? 物理可实现线性系统，若输入为确知信号，则有
若输入为平稳随机信号 X(t)，则输出 Y(t)为
? 输出 Y(t)的数学期望 E[Y(t)]
由于已假设输入是平稳随机过程，故
∵
∴ 输出的数学期望：
? ? ?? 0 )()()( ??? dtxhty
? ? ?? 0 )()()( ??? dtXhtY
?? ?? ???????? ?? 00 )]([)()()()]([ ?????? dtXEhdtXhEtYE
E[X(t-?)] = E[X(t)] = k,k = 常数。 ???
0 )()]([ ?? dhktYE
?? ???? ??? ??? 0000 dt)t(h|dte)t(h|)f(H)(H ftjf ?
? ? )0()( kHtYE ?
58
? 输出 Y(t)的自相关函数
由自相关函数定义，有
由 X(t)的平稳性知，上式中的数学期望与 t1无关，故有
∴
? 由于 Y(t)的数学期望和自相关函数都和 t1无关，故 Y(t)是广义平
稳随机过程。
? ?
? ?? ?
? ?
? ?
? ?
????
??
?
??
? ????
???
0 0
11
0 0
11
1111
)()()()(
)()()()(
)()(),(
dudvvtXutXEvhuh
dvvtXvhduutXuhE
tYtYEttR Y
?
?
??
? ? ? ?vuRvtXutXE X ?????? ?? )()( 11
? ? ? ?? ?? ? ????? 0 011 )()()(,??? YXY Rd u d vvuRvhuhttR
59
? 输出 Y(t)的功率谱密度 PY( f ),
由于功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，故有
令 ??= ? +u - v代入上式，得到
∴ 输出信号的功率谱密度等于输入信号的功率谱密度
乘以 |H( f )|2。
? ? ?
?
?
??
? ? ?
?
??
?
???
?
dvevuRvhuhdud
deRfP
j
X
j
YY
0 0
)()()(
)()(
??
??
??
??
)()()()()(*
)()()()(
2
00
fPfHfPfHfH
deRdvevhdueuhfP
XX
j
X
vjuj
Y
??
??? ??? ?
??
??? ?? ?? ????
60
【 例 2.11】 已知一个白噪声的双边功率谱密度为 n0/2。试求
它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声
功率。
解,因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成：
所以有
输出信号的功率谱密度为
输出信号的自相关函数
输出噪声功率,PY ＝ RY(0) = k2 n0 fH
??
??? ?? ?
其它处,0
,)( Htj ffkefH d?
HffkfH ??,)( 22
HXY ff
nkfPfHfP ???,
2)()()( 0
22
? ? )2/2( s i n4/)()( 0202 ?????? ???? Hf f HHjjYY fffnkdfenkdfefPR H
H?? ?
?
?? ???
61
2.11 小结
第二章 信号
2.1 信号的类型
2.1.1 确知信号和随机信号
?什么是确知信号
?什么是随机信号
2.1.2 能量信号和功率信号
?信号的功率, 设 R = 1,则 P = V2/R = I2R = V2 = I2
?信号的能量：设 S代表 V或 I，若 S随时间变化，则写为 s(t),
于是，信号的能量 E = ? s2(t)dt
?能量信号,满足
?平均功率：,故能量信号的 P = 0。
? 功率信号, P ? 0 的信号，即持续时间无穷的信号。
?能量信号的能量有限，但平均功率为 0。
?功率信号的平均功率有限，但能量为无穷大。
???? ???? dt)t(sE0 2
????? 2/T 2/T 2T dt)t(sT1li mP
2
2.2 确知信号的性质
2.2.1频域性质
? 功率信号的频谱：设 s(t)为周期性功率信号,T0为周期，则有
式中,?0 = 2? / T0 = 2?f0
∵ C(jn?0)是复数,∴ C(jn?0) = |Cn|ej?n
式中,|Cn| － 频率为 nf0的分量的振幅；
?n － 频率为 nf0的分量的相位。
?信号 s(t)的傅里叶级数表示法：
?? ?? 2/ 2/00 0 0 0)(1)( TT tjn dtetsTjnC ??
?? ?? 2/T 2/T tjn
0
0
0
0
0 dte)t(sT1)jn(C ??
??
???
?
n
tjn
0 0e)jn(C)t(s
??
3
【 例 2.1】 试求周期性方波的频谱。
解：设一周期性方波的周期为 T，宽度为 ?，幅度为 V
求频谱：
???????
?
?
?
???
???
?
t)Tt(f)t(f
)2/T(t2/0
2/t2/V
)t(f
??
??
2
ns in
Tn
V2
jn
ee
T
V
e
jn
V
T
1
dtVe
T
1
)jn(C
0
00
2/jn2/jn
2/
2/
2/
2/
tjn
0
tjn
0
00
00
?
?
??
?
?
????
?
?
?
?
??
??
?
??
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
??
?
4
频谱图
5
【 例 2.2】 试求全波整流后的正弦波的频谱。
解：设此信号的表示式为
求频谱：
信号的傅里叶级数表示式：
????????
???
ttftf
tttf
)1()(
10)s in ()( ?
?? ????? ?? ? 10 222/ 2/
0
0 )14(
2)s in ()(1)( 0
0
0
ndtetdtetsTjnC
ntjT
T
tjn
???
??
1
f(t)
t
??
??? ?
??
n
ntje
ntf
?
?
2
2 14
12)(
6
? 能量信号的频谱密度
设一能量信号为 s(t)，则其频谱密度为：
S(?)的逆变换为原信号：
【 例 2.3】 试求一个矩形脉冲的频谱密度。
解：设此矩形脉冲的表示式为
则它的频谱密度就是它的傅里叶变换：
???? ?? dtetsS tj?? )()(
? ???? ?? ? deSts tj)()(
??
???
?
??
2/0
2/1)(
?
?
t
ttg
2/
)2/s in ()(1)( 2/2/2/
2/ ??
???
??
?????
?
? ???? ?
?
?? jjtj ee
jdteG
7
【 例 2.4】 试求抽样函数的波形和频谱密度。
解：抽样函数的定义是
而 Sa(t)的频谱密度为：
和上例比较可知,Sa(t)的波形和上例中的 G(?)曲线相同，
而 Sa(t)的频谱密度 Sa(?)的曲线和上例中的 g(t)波形相同。
【 例 2.5】 试求单位冲激函数及其频谱密度。
解：单位冲激函数常简称为 ?函数，其定义是：
?(t)的频谱密度：
t
ts i n)t(Sa ?
??
? ?????? ? ?
??
?
其他处0
11s in)( ??? ? dte
t
tSa tj
00)(
1)(
??
?? ?
??
tt
dtt
?
?
1)(1)()( ????? ? ???? ???? dttdtetf tj ?? ?
8
?Sa(t)及其频谱密度的曲线：
??函数的物理意义：
高度为无穷大，宽度为无穷小，面积为 1的脉冲。
?用抽样函数 Sa(t)表示 ?函数,Sa(t)有如下性质
当 k ? ? 时，振幅 ? ?，
波形的零点间隔 ? 0，
故有
???? ? 1)( dtktSak?
t
t
t
)(l i m)( ktSakt k ?? ???
f
?(f)
1
0t
?(t)
0
9
??函数的性质
? 对 f(t)的抽样：
??函数是偶函数：
??函数是单位阶跃函数的导数：
?能量信号的频谱密度 S(f)和功率信号的频谱 C(jn?0)的区别,
? S(f) － 连续谱； C(jn?0) － 离散谱
? S(f)的单位,V/Hz； C(jn?0) 的单位,V
? S(f)在一频率点上的幅度＝无穷小。
u?(t) = ?(t)
???? ?? dt)tt()t(f)t(f 00 ?
???? ?? dttttftf )()()( 00 ?)t()t( ?? ??
??
?
?
??
0,1
,0,0)(
t
ttu
当
当
t
1
0
图 2.2.6 单位阶跃函数
10
【 例 2.6】 试求无限长余弦波的频谱密度。
解：设一个余弦波的表示式为 f (t) = cos?0t，则其频谱密度
F(?)按式 (2.2-10)计算，可以写为
参照式 (2.2-19)，上式可以改写为
?引入 ?(t)，就能将频谱密度概念推广到功率信号上。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
? ?
?
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??
??
???
?
?? ?
2
)(
2
)(
2
lim
2/)(
]2/)s in [ (
2/)(
]2/)s in [ (
2
limc o slim)(
00
0
0
0
0
2/
2/
0
???????
???
???
???
????
??
?
?
?
?
?
?
SaSa
dtteF tj
)]()([)( 00 ???????? ????F
t ?0－ ?0 0
(b) 频谱密度(a) 波形
11
? 能量谱密度
设一个能量信号 s(t)的能量为 E，则其能量由下式决定：
若此信号的频谱密度，为 S(f)，则由巴塞伐尔定理得知：
上式中 |S(f)|2称为能量谱密度，也可以看作是单位频带内的
信号能量。上式可以改写为：
式中,G(f)＝ |S(f)|2 （ J / Hz） 为能量谱密度。
? G(f)的性质：因 s(t)是实函数，故 |S(f)|2 是偶函数,∴
????? dttsE )(2
dffSdttsE ?? ?????? ?? 22 )()(
????? dffGE )(
??? 0 )(2 dffGE
12
? 功率谱密度
令 s(t)的截短信号为 sT(t),-T/2 < t <T/2，则有
定义功率谱密度为：
得到信号功率：
dffSdttsE TT T T ?? ???? ?? 22/ 2/ 2 )()(
2)(1l i m)( fS
TfP TT ???
?? ?????? ?? dffPdffSTP T T TT )()(1lim 2/ 2/ 2
13
2.2.2 时域性质
? 自相关函数
?能量信号的自相关函数定义：
?功率信号的自相关函数定义：
?性质：
? R(?)只和 ?有关，和 t 无关
? 当 ?= 0时，能量信号的 R(?)等于信号的能量；
功率信号的 R(?)等于信号的平均功率。
? ??? ??????? ??? dttstsR )()()(
???? ??????? 2/ 2/ )()(1lim)( T TT dttstsTR ???
14
? 互相关函数
?能量信号的互相关函数定义：
?功率信号的互相关函数定义：
?性质：
? R12(?)只和 ?有关，和 t 无关；
?
证,令 x = t + ?，则
? ??? ??????? ???,)()()( 2112 dttstsR
???? ??????? 2/ 2/ 2112,)()(1lim)( T TT dttstsTR ???
)()( 1221 ?? ?? RR
?
? ?
?
??
?
??
?
??
?????
????
)()]([)(
)()()()()(
1221
121221
??
???
Rdxxsxs
dxxsxsdttstsR
15
2.3 随机信号的性质
2.3.1 随机变量的概率分布
? 随机变量的概念：若某种试验 A的随机结果用 X表示，则称此
X为一个随机变量，并设它的取值为 x。例如，在一定时间内
电话交换台收到的呼叫次数是一个随机变量。
? 随机变量的分布函数：
?定义,FX(x) = P(X ? x)
?性质,∵ P(a < X ? b) + P(X ? a) = P(X ? b),
P(a < X ? b) = P(X ? b) – P(X ? a)，
∴ P(a < X ? b) = FX(b) – FX(a)
16
?离散随机变量的分布函数：
? 设 X的取值为,x1? x2 ? … ? xi ? xn，其取值的概率分
别为 p1,p2,…,p i,…,p n，则有
P (X < x1) = 0,P(X ? xn) = 1
? ∵ P(X ? xi) = P(X = x1) + P(X = x2) + … + P(X = xi),
∴
? 性质：
? FX(- ?) = 0
? FX(+?) = 1
? 若 x1 < x2，则有, FX(x1) ? FX(x2),
为单调增函数。
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
? ?
?
?
n
i
k
ikX
xx
xxxp
xx
xF
1
0
)(
1
11
1
17
?连续随机变量的分布函数：
当 x连续时，由定义分布函数定义
FX(x) = P(X ? x)
可知,FX(x) 为一连续单调递增函数：
18
2.3.2 随机变量的概率密度
? 连续随机变量的概率密度 pX (x)
? pX (x)的定义：
? pX (x)的意义：
? pX (x)是 FX (x)的导数，是 FX (x)曲线的斜率
? 能够从 pX (x)求出 P(a < X ? b)：
? pX (x)的性质：
?
?
?
dx
xdFxp X
X
)()( ?
???? ba X dxxpbXaP )()(
? ??? x XX dyypxF )()(
pX(x) ? 0
???? ? 1)( dxxp X
19
? 离散随机变量的概率密度
离散随机变量的分布函数可以写为：
式中,pi－ x = xi 的概率
u(x) － 单位阶跃函数
将上式两端求导，得到其概率密度：
?性质：
当 x ? xi 时,px (x) = 0，
当 x = xi 时,px (x) = ?
?
?
?? n
i
iiX xxupxF
1
)()(
?
?
??
n
i
iiX xxpxp
1
)()( ?
20
2.4 常见随机变量举例
? 正态分布随机变量
?定义：概率密度
式中,?> 0,a = 常数
?概率密度曲线：
??
?
??
? ???
2
2
2
)(e x p
2
1)(
???
axxp
X
21
? 均匀分布随机变量
?定义：概率密度
式中,a,b为常数
?概率密度曲线：
??
? ????
其他0
)/(1)( bxaabxp
X
ba x0
pA(x)
22
? 瑞利 (Rayleigh)分布 随机变量
?定义：概率密度为
式中,a > 0，为常数。
?概率密度曲线：
0)e x p (2)( 2 ??? xaxa xxp X
23
2.5 随机变量的数字特征
2.5.1 数学期望
? 定义：对于连续随机变量
? 性质：
?
?
?
?
?
若 X和 Y互相独立，且 E(X)和 E(Y)存在。
?
????? dxxxpXE X )()(
CCE ?)(
)()()( YEXEYXE ???
)()()()( 2121 nn XEXEXEXXXE ??????? ??
)()( XECXCE ???
)()()( YEXEXYE ?
C E ( X )E ( C X ) ?
24
2.5.2 方差
? 定义：
式中，
?方差的改写：
证：
?对于离散随机变量，
?对于连续随机变量，
? 性质：
? D( C ) = 0
? D(X+C)=D(X),D(CX)=C2D(X)
? D(X+Y)=D(X)+D(Y)
? D(X1 + X2 + … + Xn)=D(X1) + D(X2) + … + D(Xn)
])[()( 22 XXEXD X ??? ?
的数学期望－－标准偏差,XXX?
22)( XXXD ??
22222222 2]2[])[( XXXXXXXXXEXXE ?????????
ii i pXxXD ? ?? 2)()(
dxxpXxXD X )()()( 2? ??? ??
25
2.5.3 矩
? 定义：随机变量 X的 k阶矩为
? k阶原点矩,a = 0时的矩：
? k阶中心矩,时的矩：
? 性质：
? 一阶原点矩为数学期望：
? 二阶中心矩为方差：
? ??? ??? dxxpaxaXE Xkk )()(])[(
????? dxxpxXm Xkk )()(
Xa ?
? ??? ?? dxxpXxXM Xkk )()()(
)()(1 XEXm ?
22 )()( XXDXM ???
26
2.6 随机过程
2.6.1 随机过程的基本概念
? X(A,t) － 事件 A的全部可能, 实现, 的总体；
? X(Ai,t) － 事件 A的一个实现，为确定的时间函数；
? X(A,tk) － 在给定时刻 tk上的函数值。
?简记,X(A,t) ? X(t)
X(Ai,t) ? Xi (t)
? 例：接收机噪声
? 随机过程的数字特征：
?统计平均值：
?方差：
?自相关函数：
? ??? ?? )()()]([ iXXi tmdxxxptXE i
2) ] }([)({)]([ iii tXEtXEtXD ??
)]()([),( 2121 tXtXEttR X ?
27
2.6.2 平稳 随机过程
? 平稳随机过程的定义：
统计特性与时间起点无关的随机过程。
（又称严格平稳随机过程）
? 广义平稳随机过程的定义：
平均值、方差和自相关函数等与时间起点无关的随机过程。
? 广义平稳随机过程的性质：
?
?
?
? 严格平稳随机过程一定也是广义平稳随机过程。但是，广义
平稳随机过程就不一定是严格平稳随机过程。
常数?? Xm E [X ( t ) ]
常数???? 22 X) ] }t(X[E)t(X{E)]t(X[D ?
21 tt)(R )t-(tR )t,(tR X21X21X ???? ??
28
2.6.3 各态历经性
?, 各态历经, 的含义：
平稳随机过程的一个实现能够经历此过程的所有状态。
? 各态历经过程的特点：可用时间平均值代替统计平均值，例
?各态历经过程的统计平均值 mX：
?各态历经过程的自相关函数 RX(?):
?一个随机过程若具有各态历经性，则它必定是严格平稳随
机过程。但是，严格平稳随机过程就不一定具有各态历经
性。
????? 2/ 2/ )(1l i m T T iTX dttXTm
???? ?? 2/ 2/ )()(1lim)( T T iiTX dttXtXTR ??
29
? 稳态通信系统的各态历经性：
假设信号和噪声都是各态历经的。
?一阶原点矩 mX= E[X(t)] － 是信号的直流分量；
?一 阶原点矩的平方 mX 2 － 是信号直流分量的归一化功率；
?二阶原点矩 E [X 2( t )] － 是信号归一化平均功率；
?二阶原点矩的平方根 {E [X 2(t)]}1/2 － 是信号电流或电压的
均方根值（有效值）；
?二阶中心矩 ?X2 － 是信号交流分量的归一化平均功率 ;
?若 mX = mX 2 = 0，则 ?X2 = E [X 2( t )] ；
?标准偏差 ?X － 是信号交流分量的均方根值；
?若 mX = 0，则 ?X就是信号的均方根值 。
30
2.6.4 平稳随机过程的自相关函数和功率谱密度
? 自相关函数的性质
?
?
?
?
?
? 功率频谱密度的性质
?复习：确知信号的功率谱密度：
?类似地，平稳随机过程的功率谱密度为：
? 平均功率：
XPtXER ?? )]([)0( 2
)()( ?? ?? RR
)0()( RR ??
)]([)( 2 tXER ??
2)()0( XRR ????
T
fSfP T
T
2)(
lim)( ???
T
fSEfPEfP T
TX
2)(
lim)]([)( ????
?? ??? ????? ?? dfT fSEdffPP TTXX ])([l i m)(
2
31
? 自相关函数和功率谱密度的关系
由
式中，
令 ? =t – t’,k =t + t’，则上式可以化简成
于是有
? ?
??
??
? ?
??
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2/
2/
2/
2/
)'(
2/
2/
'
2/
2/
2/
2/
'
2/
2/
2
')'(
1
')'()(
1
')'(*)(
1])([
T
T
T
T
ttj
T
T
tj
T
T
tj
T
T
tj
T
T
T
tj
T
T
dtdtettR
T
dtetsdtets
T
E
dtetsdtets
T
E
T
fSE
?
??
??
)]()([)( tstsEttR ????
?? ????????? ?? T T jT deRTT fSE ??? ??)(1])([
2
?
?
?
??
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
?
??
??
deR
deR
TT
fSE
fP
j
T
T
j
T
T
T
X
)(
)(1lim
])([
lim)(
2
32
上式表明,PX(f )和 R(?)是一对傅里叶变换：
? PX(f )的性质：
? PX(f ) ? 0,并且 PX(f )是实函数。
? PX(f ) ＝ PX(-f )，即 PX(f )是偶函数。
【 例 2.7】 设有一个二进制数字信号 x(t),如图所示，其振幅
为 +a或 -a；在时间 T 内其符号改变的次数 k服从泊松分布
式中,?是单位时间内振幅的
符号改变的平均次数。
试求其相关函数 R(?)和功率谱密度 P(f)。
???? ?? ?? ?? deRfP jX )()(
dfefPR jX ??? )()( ?????
0,!)()( ?? ? kk eTkP Tk ??
+a
-a
x(t)
?
t
t
0
t-?
33
解,由图可以看出，乘积 x(t)x(t-?)只有两种可能取值,a2,或
-a2。因此，式
可以化简为：
R(?) = a2 ? [a2出现的概率 ] + (-a2) ? [(-a2)出现的概率 ]
式中，“出现的概率”可以按上述泊松分布 P(k)计算。
若在 ? 秒内 x(t)的符号有偶数次变化，则出现 + a2;
若在 ? 秒内 x(t)的符号有奇数次变化，则出现 - a2。
因此，
用 ? 代替泊松分布式中的 T，得到
)]t(x)t(x[E)(R ?? ??
])5()3()1([
])4()2()0([)]()([)(
2
2
?
?
????
??????
PPPa
PPPatxtxER ??
??????
?? ???????
222
32
2 ]
!3
)(
!2
)(
!1
1[)(
???
?
??
?????
eaeea
eaR ?
34
由于在泊松分布中 ?是时间间隔，所以它应该是非负
数。所以，在上式中当 ?取负值时，上式应当改写成
将上两式合并，最后得到：
其功率谱密度 P( f )可以由其自相关函数 R(?)的傅里叶
变换求出：
P( f )和 R(?)的曲线：
??? 22)( eaR ?
??? 22)( ?? eaR
4
)()(
2
2
20
22
0
22
22
?
?
?
??
???
????????
??????
?
???
??
??
? ?
??
??
?
??
?
??
?
??
???
a
deeadeea
deeadeRfP
jj
jj
35
【 例 2.8】 设一随机过程的功率谱密度 P( f )如图所示。试求
其自相关函数 R(?)。
解：
∵ 功率谱密度 P( f )已知，
∴
式中，
?自相关函数曲线：
??
??
??
????? ??
0
0
2
2c o s
2
2s i n
4
2c o s22c o s)(2)()(
2
1
f
f
f
fA
dffAdfffPdfefPR
f
f
fj
?
?
??
??? ? ??
??
??
2,2 12012
ffffff ?????
36
【 例 2.9】 试求白噪声的自相关函数和功率谱密度。
解,白噪声是指具有均匀功率谱 密度 Pn( f )的噪声，即
Pn( f ) ＝ n0/2
式中, n0为单边功率谱密度 （ W/Hz）
白噪声的自相关函数可以从它的功率谱密度求得,
由上式看出, 白噪声的任何两个相邻时间 （ 即 ? ? 0时 ） 的抽
样值都是不相关的 。
白噪声的平均功率,
上式表明, 白噪声的平均功率为无穷大 。
)(22)()( 00 ??? ???? ndfendfefPR jjX ??? ?? ??????
??? )0(2)0( 0 ?nR
Pn(f)
n0/2
0 f
Rn(?)
n0/2
?0
37
? 带限白噪声的功率谱密度和自相关函数
?带限白噪声：带宽受到限制的白噪声
?带限白噪声的功率谱密度：
设白噪声的频带限制在 (-fH,fH)之间，则有
Pn(f) = n0 / 2,-fH < f < fH
= 0,其他处
其自相关函数为：
?曲线：
??
??? ??
H
H
H
f
f
j
f
ffndfenR H
H 2
2s in
22)(
00 ?? ?
?
n0/2
Pn(f)
0 f-fH fH
Rn(?)
?0
1/2fH-1/2fH
38
2.7 高斯过程（正态随机过程）
? 定义：
?一维高斯过程的概率密度：
式中,a = E[X(t)] 为均值
?2 = E[X(t) - a]2 为方差
? 为标准偏差
?∵ 高斯过程是平稳过程，故
其概率密度 pX (x,t1)与 t1无关，
即,pX (x,t1) ＝ pX (x)
? pX (x)的曲线：
? ? ?
?
?
?
?
? ???
2
2
1 2e x p2
1),(
???
axtxp
X
39
?高斯过程的严格定义：任意 n维联合概率密度满足：
式中,ak为 xk的数学期望（统计平均值）；
?k为 xk的标准偏差；
|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即
|B|jk为行列式 |B|中元素 bjk的代数余因子；
bjk为归一化协方差函数，即
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
? ? ?
? ?
n
j
n
k k
kk
j
jj
jk
n
n
nnX
axax
B
BB
tttxxxp
1 1
2/1
21
2/
2121
2
1
e x p
)2(
1
),,,;,,,(
?????? ?
??
1
1
1
21
221
112
?
???
?
?
nn
n
n
bb
bb
bb
B ?
? ?? ?
kj
kkjj
jk
axaxEb
??
???
40
? n维高斯过程的性质
? pX (x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn)仅由各个随机变量的数学期望
ai、标准偏差 ?i和归一化协方差 bjk决定，因此它是一个广义
平稳随机过程 。
?若 x1,x2,…,xn等两两之间互不相关,则有当 j ? k 时,bjk
= 0。这时，
即，此 n维联合概率密度等于各个一维概率密度的乘积。
?若两个随机变量的互相关函数等于零，则称为两者 互不相
关 ；若两个随机变量的二维联合概率密度等于其一维概率
密度之积，则称为两者 互相独立 。互不相关的两个随机变
量不一定互相独立。互相独立的两个随机变量则一定互不相关。
?高斯过程的随机变量之间既互不相关，又互相独立。
? ?
),(),(),(
2
e x p
2
1
),,,;,,,(
2211
2
2
1
2121
nnXXX
k
kk
n
k k
nnX
txptxptxp
ax
tttxxxp
?
??
??
?
?
?
?
?
? ?
?? ?
? ???
41
? 正态概率密度的性质
? p(x)对称于直线 x = a，即有：
? p(x)在区间 (-?,a)内单调上升，在区间 (a,?)内单调下降，
并且在点 a处达到其极大值
当 x? - ?或 x ? + ?时,p(x) ? 0。
?
?若 a = 0,? = 1，则称这种分布为标准化正态分布：
)()( xapxap ???
)2/(1 ??
???? ? 1)( dxxp
? ??? ? ??a a dxxpdxxp 2/1)()(
???????? 2e x p21)(
2x
xp ?
42
? 正态分布函数
?将正态概率密度函数的积分定义为正态分布函数,
式中,?(x)称为概率积分函数,
此积分不易计算，通常用查表方法计算。
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
??
??
?
?
???
???
ax
dz
az
dz
az
xF
x
x
2
2
2
2
2
)(
e x p
2
1
2
)(
e x p
2
1
)(
dzzx x?
?? ??
?
??
? ??
2e x p2
1)( 2
?
?
43
? 用误差函数表示正态分布
?误差函数定义：
?补误差函数定义：
? 正态分布表示法：
dzexe r f x z? ?? 0 22)( ?
dzedzexe r fxe r fc x zx z ?? ? ?? ????? 22 221)(1)( 0 ??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ?
?
??
?
?
?
?
? ?
?
?
ax
ax
e r f c
ax
ax
e r f
xF
,
22
1
1
,,
22
1
2
1
)(
?
?
44
频率近似为 fc
2.8 窄带随机过程
2.8.1 窄带随机过程的基本概念
? 何谓窄带？
设 随机过程的频带宽度为 ?f，中心频率为 fc。若 ?f << fc，
则称此随机过程为窄带随机过程。
? 窄带随机过程的波形和表示式
?波形和频谱：
45
?表示式
式中,aX(t) － 窄带随机过程的随机包络；
?X(t) －窄带随机过程的随机相位；
?0 － 正弦波的角频率。
上式可以改写为：
式中，
－ X (t)的同相分量
－ X (t)的正交分量
00 ??? )t(a) ],t(tc o s [)t(a)t(X XXX ??
ts i n)t(Xtco s)t(X)t(X sc 00 ?? ??
)(c o s)()( ttatX XXc ??
)(s i n)()( ttatX XXs ??
46
2.8.2 窄带随机过程的性质
? Xc(t)和 Xs(t)的统计特性：
设 X(t)是一个均值为 0的平稳窄带高斯过程，则
? Xc(t)和 Xs(t)也是高斯过程；
? Xc(t)和 Xs(t) 的方差相同，且等于 X(t)的方差 ；
? 在同一时刻上得到的 Xc和 Xs是不相关的和统计独立的。
? aX(t)和 ?X(t)的统计特性：
? 窄带平稳随机过程包络 aX(t)的概率密度等于：
? 窄带平稳随机过程相位 ?X(t)的概率密度等于：
02e x p)( 2
2
2 ???
?
??
? ??
X
X
X
X
X
X a
aaap
??
???? 202 1)( ??? XXp
47
2.9 正弦波加窄带高斯过程
? 通信系统中的正弦波加窄带高斯过程：
? 正弦波加噪声的表示式：
式中,A － 正弦波的确知振幅；
?0 － 正弦波的角频率；
? － 正弦波的随机相位；
n(t) － 窄带高斯噪声。
? r (t )的包络的概率密度,
式中,? 2 － n(t)的方差；
I0(?) － 零阶修正贝塞尔函数。
? pr(x) 称为广义瑞利分布，或称莱斯 (Rice)分布。
当 A = 0时,pr(x) 变成瑞利概率密度。
)()c o s ()( 0 tntAtr ??? ??
? ? 0,2 1e x p)( 222202 ??????? ????????? xAxAxIxxp r ???
48
? r (t )的相位的条件概率密度,
式中,?－ r( t )的相位，包括正弦波的相位 ?和噪声的相位
pr(? /? ) － 给定 ?的条件下,r( t )的相位的条件概率密度
? r (t )的相位的概率密度,
? 当 ?= 0时，
式中，
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
? ?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
??
???
??
?
?
??
2/1
2
2
2
2/1
22
2
c o s
1s in
2
e x p
22
c o s
2
2/e x p
)/(
A
e r f
AA
A
p r
? ? ? ? ????? ? dppp rrr /)( 20??
? ? ?????? 20e x p)](1[12e x p2 1)0/( 222 ??????
?
?
???
? ?? GGe r fGAp
r
?
?
2
c o sAG ? ? ?? G t dteGe r f
0
22)(
?
49
瑞利分布
r
概
率
密
度
包络 r
(a) 莱斯分布包络的概率密度
均匀相位
相 位
概
率
密
度
(b) 莱斯分布相位的概率密度
? 莱斯分布的曲线
? 当 A/?= 0时，
包络 ?瑞利分布
相位 ?均匀分布
? 当 A/?很大时，
包络 ?正态分布
相位 ?冲激函数
50
2.10 信号通过线性系统
2.10.1 线性系统的基本概念
? 线性系统的特性
?有一对输入端和一对输出端
?无源
?无记忆
?非时变
?有因果关系：先有输入、后有输出
?有线性关系：满足叠加原理
若当输入 为 xi(t)时，输出为 yi(t)，则当输入 为
时，输出为：
式中,a1和 a2均为任意常数。
)()()( 2211 txatxatx ??
)()()( 2211 tyatyaty ??
51
? 线性系统的示意图
2.10.2 确知信号通过线性系统
? 时域分析法
设 h(t) － 系统的冲激响应
x(t) － 输入信号波形
y(t) －输出信号波形
则有：
线性系统输入 输出
x(t) y(t)
X(f) Y(f)
h(t)
H(f)
图 2.10.1 线性系统示意图
t
?(t)
h(t)
t
0
0
?
?
?
??
?
??
??
??
??
???
???
dhtx
dthx
thtxty
)()(
)()(
)()()(
???? ??
??
dtth
tth
)(
0,0)(
对于物理可实现系统：
52
? 频域分析法
?设：输入为能量信号，令
x( t ) － 输入能量信号
H( f ) － h( t )的 傅里叶变换
X( f ) － x( t )的 傅里叶变换
y( t ) － 输出信号
则此系统的输出信号 y( t )的频谱密度 Y( f )为：
? 由 Y( f )的逆傅里叶变换可以求出 y( t )：
)()()( fHfXfY ??
????? dfefYty tj?)()(
53
?设：输入 x( t )为周期性功率信号，则有
式中，
输出为：
?设：输入 x( t )为非周期性功率信号，则当作随机信号处理
??
???
?
n
tjnejnCtx 0)()(
0
??
?? ?? 2/ 2/
0
0
0
0
0)(1)( T
T
tjn dtetx
TjnC
??
?0 = 2?/T0
T0 － 信号的周期
f0 = ?0 / 2?是信号的基频
??
???
?
n
tjnenHjnCty 0)()()(
00
???
54
?【 例 2.10】 若有一个 RC低通滤波器，如图 2.10.4所示。试
求出其冲激响应，以及当有按指数衰减的输入时其输出
信号表示式。
解,设 x(t) －输入能量信号
y(t) － 输出能量信号
X(f) － x(t)的频谱密度
Y(f) － y(t)的频谱密度
则 此电路的传输函数为：
此滤波器的冲激响应 h(t)：
图 2.10.4 RC滤波器
R
Cx(t) y(t)
RCjCjR
CjfH
??
?
???? 1
1
)/1(
/1)(
? ??? ??? ????? ? ?? ? RCttjtj eRCdfeRCjdfefHth /11 1)()(
55
滤波器输出和输入之间的关系：
假设 输入 x(t)等于：
则此滤波器的输出为：
????? ? dexRCdthxthtxty RCt /)()(1)()()()()( ???????? ?? ?????
?
?
?
?
?? ?
0,0
0,)(
t
tetx at
a R C
ee
aRC
e
RC
e
dee
RC
ty
RCtat
t
aRCRCtt
RCta
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?
???
??
??
???
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1
/1
1
)(
/
0
)/1(/
0
/)(
?
?? ?
56
? 无失真传输条件
设：系统是无失真的线性传输系统，输入为一能量信号 x(t),
则其无失真输出信号 y(t)为：
式中,k－ 衰减常数，
td － 延迟时间。
?求系统的传输函数：
对上式作傅里叶变换：
∴
式中，
?无失真传输条件：
? 振幅特性与频率无关；
? 相位特性是通过原点的直线。
（实际中,?难测量，常用测量 td代替。）
)()( dttkxty ??
dtjefkXfY ??? )()(
dtjefkXfHfXfY ????? )()()()(
?? jtj keke)f(H d ?? ??
dft?? 2?
|H(f)|
k
0 f
?
f0
57
2.10.3 随机信号通过线性系统
? 物理可实现线性系统，若输入为确知信号，则有
若输入为平稳随机信号 X(t)，则输出 Y(t)为
? 输出 Y(t)的数学期望 E[Y(t)]
由于已假设输入是平稳随机过程，故
∵
∴ 输出的数学期望：
? ? ?? 0 )()()( ??? dtxhty
? ? ?? 0 )()()( ??? dtXhtY
?? ?? ???????? ?? 00 )]([)()()()]([ ?????? dtXEhdtXhEtYE
E[X(t-?)] = E[X(t)] = k,k = 常数。 ???
0 )()]([ ?? dhktYE
?? ???? ??? ??? 0000 dt)t(h|dte)t(h|)f(H)(H ftjf ?
? ? )0()( kHtYE ?
58
? 输出 Y(t)的自相关函数
由自相关函数定义，有
由 X(t)的平稳性知，上式中的数学期望与 t1无关，故有
∴
? 由于 Y(t)的数学期望和自相关函数都和 t1无关，故 Y(t)是广义平
稳随机过程。
? ?
? ?? ?
? ?
? ?
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????
??
?
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? ????
???
0 0
11
0 0
11
1111
)()()()(
)()()()(
)()(),(
dudvvtXutXEvhuh
dvvtXvhduutXuhE
tYtYEttR Y
?
?
??
? ? ? ?vuRvtXutXE X ?????? ?? )()( 11
? ? ? ?? ?? ? ????? 0 011 )()()(,??? YXY Rd u d vvuRvhuhttR
59
? 输出 Y(t)的功率谱密度 PY( f ),
由于功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换，故有
令 ??= ? +u - v代入上式，得到
∴ 输出信号的功率谱密度等于输入信号的功率谱密度
乘以 |H( f )|2。
? ? ?
?
?
??
? ? ?
?
??
?
???
?
dvevuRvhuhdud
deRfP
j
X
j
YY
0 0
)()()(
)()(
??
??
??
??
)()()()()(*
)()()()(
2
00
fPfHfPfHfH
deRdvevhdueuhfP
XX
j
X
vjuj
Y
??
??? ??? ?
??
??? ?? ?? ????
60
【 例 2.11】 已知一个白噪声的双边功率谱密度为 n0/2。试求
它通过一个理想低通滤波器后的功率谱密度、自相关函数和噪声
功率。
解,因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成：
所以有
输出信号的功率谱密度为
输出信号的自相关函数
输出噪声功率,PY ＝ RY(0) = k2 n0 fH
??
??? ?? ?
其它处,0
,)( Htj ffkefH d?
HffkfH ??,)( 22
HXY ff
nkfPfHfP ???,
2)()()( 0
22
? ? )2/2( s i n4/)()( 0202 ?????? ???? Hf f HHjjYY fffnkdfenkdfefPR H
H?? ?
?
?? ???
61
2.11 小结
