主
讲
曾
金
平
考研试题展示
本题 3分 （ 数学 1）
设矩阵 A 满足 A2＋ A－ 4E＝ 0，
其中 E 为单位矩阵,
则 (A－ E)－ 1＝ _________
考研试题展示
本题 3分 （ 数学 2）
设方程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
1
11
11
11
3
2
1
x
x
x
a
a
a
有无穷多个解，则 a =___
考研试题展示
本题 3分 （ 数学 3）
,
111
111
111
111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k
k
k
k
A设矩阵
且秩 (A) = 3,则 k = _______
考研试题展示
本题 3分 （ 数学 3）
设 A 是 n 阶矩阵,? 是 n 维列向量，
,)(0 AA T 秩??
?
??
?
?
?
?
则线性方程组 00 ???
??
?
??
?
??
?
?
y
xA
T?
?
是否有非零解?
若秩
考研试题展示
2001 本题 3分 （ 数学 4）
设行列式,
2235
0070
2222
0403
?
?D 则第四行
各元素余子式之和的值为 _____
考研试题展示
2001
本题满分 6分 （ 数学 1）
设 ?1,?2,…,?s 为线性代数方程组 Ax = 0 的一
个基础解系, ?1 = t1?1 + t2?2,?2 = t1?2 + t2?3,…,
?s = t1?s + t2?s, 其中 t1,t2 为实常数, 试问 t1,t2 满
足什么关系时, ?1,?2 …,?s 也为 Ax = 0 的一个基
础解系？
考研试题展示
2001
本题满分 8分 （ 数学 1）
已知 3 阶矩阵 A 与三维列向量 x,使得向量组
x,Ax,A2x 线性无关, 且满足 A3x = 3Ax － 2A2x。
(1)记 P = ( x,Ax,A2x ),求 3 阶矩阵 B,使得
A=PBP－ 1；
(2) 计算行列式 | A + E |。
考研试题展示
2001
本题满分 6分 （ 数学 2）
已知矩阵
且矩阵 X 满足 AXA + BXB = AXB + BXA + E,其中
E 是 3 阶单位阵，求 X。
,
111
011
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A,
011
101
110
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?B
考研试题展示
2001
本题满分 6分 （ 数学 2）
设 ?1,?2,?3,?4 为线性方程组 Ax = 0 的
一个基础解系, ?1 = ?1 + t?2,?2 = ?2 + t?3,?3
= ?3 + t?4, ?4 = ?4 + t?1。 讨论实数 t 满足什
么关系时, ?1,?2,?3,?4 也是 Ax = 0 的一个
基础解系 。
本题满分 9分 （ 数学 3）
设矩阵
,
11
11
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a
a
a
A,
2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
已知线性方程组
AX = ? 有解但不惟一，试求
(1) a 的值； (2) 正交矩阵 Q，使 QTAQ为对角矩阵。
考研试题展示
2001
本题满分 8分 （ 数学 3）
设 A 为 n 阶实对称矩阵, 秩 (A) = n,Aij 是 A =
(aij)n× n 中元素 aij的代数余子式 ( i,j = 1,…,n),二次型
? ?
? ?
?
n
i
n
j
jin xxA
A
xxxf ij
1 1
21,||),.,,,,(
(1) 记 x = ( x1,x2,…,xn)T,f ( x1,x2,…,xn) 写成
矩阵形式, 并证明二次型 f (X) 的矩阵为 A－ 1；
(2) 二次型 g(X) = XTAX 与 f (X) 的规范形是否相
同？ 说明理由 。
考研试题展示
2001
本题满分 8分 （ 数学 4）
设 ?i = (ai1,ai2,..,ain)T ( i = 1,2,…,r, r < n ) 是
n 维向量，且 ?1,?2,…,?r 线性无关，已知 ? = (b1,
b2,..,bn)T 是线性方程组
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0
ar1x1 + ar2x2 + … + arnxn = 0
… … … … …
的非零解向量, 试判断向量组 ?1,?2,…,?r,? 的线性
相关性 。
考研试题展示 2001
意大利学者 卡瓦列里
B.Cavalieri(1598-1647)
不可分素法 奠基人
平面 由一系列平行 直线组成，
这些直线 （ 不可分素） 为数无穷
且 没有一点宽度
C
O R
Q
B
A
D
三角形 ABC 上的线
是平行四边形上线的一半
2?
?
?
QR
OR
考察边长为 a 的矩形
C
O R
Q
BA
D
Q
aOR ?
xQR ?
?
??
x
a
?
??
xh
ah
?
?
?
a
a
xx
xa
0
0
d
d
?
?
QR
OR?2
物理及数学家 牛顿
I.Newton (1642-1727)
逗留原理
当一个数量是所有可能的
量中的最大或最小的时候，它
不向前也不向后流动。流动 了
微积分学
前史
函数, 流动量
流速, 函数导数 ?? xy
物理及数学家 牛顿
I.Newton (1642-1727)
已知函数, 流速
求流动量, 函数积分
,流数术,
中提出的
反问题
变动坐标对横坐标的
导数就是纵坐标，如此，
面积即是纵坐标的原函数。
莱布尼兹
G.Leibniz(1646-1716)
最先行的微分学著作
讲
曾
金
平
考研试题展示
本题 3分 （ 数学 1）
设矩阵 A 满足 A2＋ A－ 4E＝ 0，
其中 E 为单位矩阵,
则 (A－ E)－ 1＝ _________
考研试题展示
本题 3分 （ 数学 2）
设方程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1
1
11
11
11
3
2
1
x
x
x
a
a
a
有无穷多个解，则 a =___
考研试题展示
本题 3分 （ 数学 3）
,
111
111
111
111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k
k
k
k
A设矩阵
且秩 (A) = 3,则 k = _______
考研试题展示
本题 3分 （ 数学 3）
设 A 是 n 阶矩阵,? 是 n 维列向量，
,)(0 AA T 秩??
?
??
?
?
?
?
则线性方程组 00 ???
??
?
??
?
??
?
?
y
xA
T?
?
是否有非零解?
若秩
考研试题展示
2001 本题 3分 （ 数学 4）
设行列式,
2235
0070
2222
0403
?
?D 则第四行
各元素余子式之和的值为 _____
考研试题展示
2001
本题满分 6分 （ 数学 1）
设 ?1,?2,…,?s 为线性代数方程组 Ax = 0 的一
个基础解系, ?1 = t1?1 + t2?2,?2 = t1?2 + t2?3,…,
?s = t1?s + t2?s, 其中 t1,t2 为实常数, 试问 t1,t2 满
足什么关系时, ?1,?2 …,?s 也为 Ax = 0 的一个基
础解系？
考研试题展示
2001
本题满分 8分 （ 数学 1）
已知 3 阶矩阵 A 与三维列向量 x,使得向量组
x,Ax,A2x 线性无关, 且满足 A3x = 3Ax － 2A2x。
(1)记 P = ( x,Ax,A2x ),求 3 阶矩阵 B,使得
A=PBP－ 1；
(2) 计算行列式 | A + E |。
考研试题展示
2001
本题满分 6分 （ 数学 2）
已知矩阵
且矩阵 X 满足 AXA + BXB = AXB + BXA + E,其中
E 是 3 阶单位阵，求 X。
,
111
011
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A,
011
101
110
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?B
考研试题展示
2001
本题满分 6分 （ 数学 2）
设 ?1,?2,?3,?4 为线性方程组 Ax = 0 的
一个基础解系, ?1 = ?1 + t?2,?2 = ?2 + t?3,?3
= ?3 + t?4, ?4 = ?4 + t?1。 讨论实数 t 满足什
么关系时, ?1,?2,?3,?4 也是 Ax = 0 的一个
基础解系 。
本题满分 9分 （ 数学 3）
设矩阵
,
11
11
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a
a
a
A,
2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
已知线性方程组
AX = ? 有解但不惟一，试求
(1) a 的值； (2) 正交矩阵 Q，使 QTAQ为对角矩阵。
考研试题展示
2001
本题满分 8分 （ 数学 3）
设 A 为 n 阶实对称矩阵, 秩 (A) = n,Aij 是 A =
(aij)n× n 中元素 aij的代数余子式 ( i,j = 1,…,n),二次型
? ?
? ?
?
n
i
n
j
jin xxA
A
xxxf ij
1 1
21,||),.,,,,(
(1) 记 x = ( x1,x2,…,xn)T,f ( x1,x2,…,xn) 写成
矩阵形式, 并证明二次型 f (X) 的矩阵为 A－ 1；
(2) 二次型 g(X) = XTAX 与 f (X) 的规范形是否相
同？ 说明理由 。
考研试题展示
2001
本题满分 8分 （ 数学 4）
设 ?i = (ai1,ai2,..,ain)T ( i = 1,2,…,r, r < n ) 是
n 维向量，且 ?1,?2,…,?r 线性无关，已知 ? = (b1,
b2,..,bn)T 是线性方程组
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0
ar1x1 + ar2x2 + … + arnxn = 0
… … … … …
的非零解向量, 试判断向量组 ?1,?2,…,?r,? 的线性
相关性 。
考研试题展示 2001
意大利学者 卡瓦列里
B.Cavalieri(1598-1647)
不可分素法 奠基人
平面 由一系列平行 直线组成，
这些直线 （ 不可分素） 为数无穷
且 没有一点宽度
C
O R
Q
B
A
D
三角形 ABC 上的线
是平行四边形上线的一半
2?
?
?
QR
OR
考察边长为 a 的矩形
C
O R
Q
BA
D
Q
aOR ?
xQR ?
?
??
x
a
?
??
xh
ah
?
?
?
a
a
xx
xa
0
0
d
d
?
?
QR
OR?2
物理及数学家 牛顿
I.Newton (1642-1727)
逗留原理
当一个数量是所有可能的
量中的最大或最小的时候，它
不向前也不向后流动。流动 了
微积分学
前史
函数, 流动量
流速, 函数导数 ?? xy
物理及数学家 牛顿
I.Newton (1642-1727)
已知函数, 流速
求流动量, 函数积分
,流数术,
中提出的
反问题
变动坐标对横坐标的
导数就是纵坐标，如此，
面积即是纵坐标的原函数。
莱布尼兹
G.Leibniz(1646-1716)
最先行的微分学著作
