主
讲
曾
金
平
线性方程组
第四章
§ 1 线性方程组的 Gauss消元法
本节讨论线性方程
a11x1 + a12x2 + …+ a1nxn =b1,
a21x1 + a22x2 + …+ a2nxn =b2,
as1x1 + as2x2 + …+ asnxn =bs
的消元法,
(1.1)
………………
先看例子
例 1.1解方程组：
2x1?x2+3x3=1,
4x1+2x2+5x3=4,
2x1 +2x3=6.
解,第二个方程减去第一个方程的 2倍，第三
个方程减去第一个方程，得
2x1? x2 + 3x3=1,
4x2 ? x3=2，
x2 ? x3=5;
同解方程组
交换第二、三个方程
2x1?x2+3x3=1,
x2 ?x3=5,
4x2 ?x3=2;
第三个方程减去第二个方程的 4倍
2x1?x2+3x3= 1,
x2 ?x3= 5,
= ?18;3x3
第三个方程乘以
3
1
2x1?x2+3x3= 1,
x2 ?x3= 5,
x3= ?6;
第二个方程加第三个方程
2x1?x2+3x3= 1,
x2 = ? 1,
x3= ?6;
第一个方程加第二个方程再减第三个方程的 3倍
2x1 = 18,
x2 = ? 1,
x3= ?6;
第一个方程乘以
2
1
x1 = 9,
x2 = ? 1,
x3 = ?6.
2x1?x2+3x3= 1,
x2 = ? 1,
x3= ?6;
在上述求解过程中，不难看出，我们实际上
反复对方程组进行如下三个基本变换：
1,用一非零数乘某一方程，
2,把一个方程的倍数加到另一个方程，
3,互换两个方程的位置,
定义 1.1上述三种变换称为线性方程组的初等变换,
定理 1.1方程组经初等变换变成同解方程组,
下面考虑一般线性方程组 (1.1):
先检查 x1 的系数,如果全为零,则 (1.1) 对 x1 没有
限制, x1 可任意取值, 即 (1.1) 可看作 x2,x3,…,xn
的 n?1 元线性方程组, 否则,x1的系数不全为零，
则可用初等变换 3,使 (1.1) 变成第一个方程中 x1 系
数不为零的同解方程组, 故可不妨令 a11?0.
利用变换 2,将第 i 个方程加上第一个方程的
,)(
11
1 倍
a
a i? 于是 (1.1)变为
a11x1+a12x2+…+ a1nxn=b1,
a122 x2+…+ a12nxn=b12,
?
a1s2x2+…+ a1snxn=b1s.
(1.2)
其中 a1ij=aij +a1j
)(
11
1
a
a i?
= aij?ai1 a1j /a11,
b1i=bi +b1
)(
11
1
a
a i?
= bi?ai1 b1/a11.
因此解方程组 (1.1) 就归结于解 n?1元方程组
a'22x2+…+ a'2nxn=b'2
?
a's2x2+…+ a'snxn=b's
(1.3)
也即 (1.1) 有解
再对 (1.3) 作类似变换，易知，最后方程组变成
同解的阶梯形方程组，为方便起见，不妨设所
得方程组为
?? ??(1.2) 有解 (1.3) 有解,
c11x1+c12x2+…+ c1rxr+…+ c1nxn=d1
c22x2+…+ c2rxr+…+ c2nxn=d2
? c
rrxr+…+ crnxn=dr
0=dr+1
0=0
?0=0
(1.4)
其中 cii?0,i=1,2,…,r.
显然,(1.4)有解 ??(1.1)有解,
dr+1 = 0
若 dr+1 = 0,分两种情形
1) r=n,此时，阶梯方程组为
c11x1+…+ c1nxn=d1,
? c
nnxn=dn,
此时，上述方程组，称为上三角方程组，且
其解可由最后一个方程依次回代，逐步求得 xn,
xn?1,…, x1.
2) r < n,此时方程组可改写成为
c11x1+c12x2+…+ c1rxr =d1?c1r+1xr+1?… ?c1nxn
c22x2+…+ c2rxr =d2?c2r+1xr+1?… ?c2nxn
? c
rrxr =dr?crr+1xr+1?… ?crnxn
由此可见，任给 xr+1,…,xn 一组值，都可唯一确
定出 x1,x2,…,xr,也即方程组有无穷解, 此时，
x1,x2,…, xr 可用 xr+1,…,xn 表示出来, xr+1,…,xn
称为自由变量,
例 1.2 解方程组：
2x1?x2+3x3=1,
4x1?2x2+5x3=4,
2x1?x2+4x3=0.
解,经初等变换，得
2x1?x2+3x3=1,
?x3
x3
= 2,
= ?1.
2x1?x2+3x3=1,
?x3=2,
0
2x1 +3x3?x2=1,
?x3 =2,
0=1.
? r=2 < 3=n.
dr+1=1?0,故无解,
=1.
例 1.3 再解例 1.1,方程组对应的同解阶梯方程组为
2x1?x2+3x3=1,
x2 ?x3=5,
3x3= ?18.
r=3=n,有唯一解,
经回代，知 x3= ?6,x2= ?1,x1=9.
2x1?x2+3x3=1,
4x1?2x2+5x3=4,
2x1?x2+4x3=?1.
例 1.4 解方程组：
解,经初等变换，得
2x1?x2+3x3=1,
?x3
x3
=2,
= ?2.
2x1?x2+3x3=1,
?x3=2,
0
2x1 +3x3?x2=1,
?x3 =2,
0=0.
? r=2 < 3=n,dr+1=0,有 无穷解,
x3= ?2,
x1=(7+x2)/2,其中 x2为自由变量,
(1.5)
=0.
还可以看出,(1.5)也可变为
?x2 +3x3 +2x1=1,
?x3 =2,
0=0.
x3= ?2,
x2= ?7+2x1,其中 x1 为自由变量,
即自由变量不唯一,
2x1?x2+3x3=1,
?x3=2,
0
(1.5)
=0.
定理 1.1 线性方程组 (1.1),可经初等变换化
为阶梯形方程组 (变量次序可能不同）,
c11x1+c12x2+…+ c1rxr+…+ c1nxn=d1,
c22x2+…+ c2rxr+…+ c2nxn=d2,
? crrxr+…+ crnxn=dr,
0=dr+1,
?
0=0.
(1.4)
其中 cii?0,i=1,2,…,r,
且 (I) (1.1)有解 ?? dr+1 = 0
(II) (1.1)有唯一解 ?? dr+1 = 0,r=n.
(III) (1.1)有无穷解 ??dr+1 = 0,r<n.
在齐次线性方程组中,方程组经初等
变换后仍然是齐次方程组, 故 dr+1 = 0 总
成立, 也即齐次方程组总是有解的,
定理 1.2 在齐次线性方程组：
a11x1+a12x2+…+ a1nxn=0,
a21x1+a22x2+…+ a2nxn=0,
?
as1x1+as2x2+…+ asnxn=0
中，若 s<n,则必有非零解,
§ 2,线性方程组解的结构
一,线性方程组解存在性定理
考虑线性方程组
a11x1+…+ a1nxn=b1,
a21x1+…+ a2nxn=b2,
as1x1+…+ asnxn=bs,?
(2.1)
的矩阵形式：
Ax=b (2.2)
A 称为方程组 (2.1) 的系数矩阵，
b 称为方程组 (2.1) 的右端向量,
在前面讨论中我们已知，方程组可经一系列
方程组初等变换化为阶梯方程组,
C11?+………………= d1
C22?+…………= d2
Crr?+…= dr
?
0= dr+1
0=0
0=0
?
其中 C11,C22,…,Crr不等于零,
由此，我们将 (2.1) 的解分成三种情况：
1,dr+1? 0,
2,dr+1= 0且 r < n,
3,dr+1= 0且 r = n,
方程组 (2.1) 无解；
方程组 (2.1) 有无穷解；
方程组 (2.1) 有唯一解,
由 (2.1) 的等价形式 (2.2) 知,
方程组 Ax=b 一一对应于增广矩阵：
,
1
1111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ssns
n
baa
baa
A
?
?
? (2.3)
在前面介绍消元法时我们知道, 消元法实
质上是利用方程组的一系列方程组的初等变换
将 (2.1)变成同解的阶梯形方程组,
下面将出指出, 对方程组实行初等变换相
应于对其增广矩阵实行矩阵的初等行变换, 因此
消元法也可看作是对其增广矩阵实行一系列初
等行变换化为阶梯矩阵的过程,
命题 2.1 方程组的三类初等变换对应于对增广
矩 阵实行相应初等行变换,
证,只证变换 2.
方程组 (2.1) 第 i个方程 ?k加到第 j个方程 方程组 (2.4)
a11x1+…+ a1nxn=b1,
ai1x1+…+ ainxn=bi,
(aj1+kai1)x1+…+( ajn+kain)xn=bj+kbi,?
?
as1x1+…+ asnxn=bs.?
(2.4)
增广矩阵 A i ?k+ j
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
ssns
ijinjnij
iini
in
baa
kbbkaakaa
baa
baa
?
?
?
?
?
?
?
1
11
1
111
.
例 2.1 解线性方程组
x1?2x2+x3+3x4=5,
2x1 + x2 ?x3+x4=2,
3x1 + 4x2 ?3 x3 ?x4= ?1,
x1 + 3x2 ?2x4= ?1.
解,对增广矩阵实行初等行变换：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
12031
11343
21112
53121
]:[ bA
1行 ?(?2)+2行
1行 ?(?3)+3行
1行 ?(?1)+4行
1 ?2 1 3 5
0
0
0
5 ?3 ?5 ?8
10 ?6 ?10 ?16
5 ?1 ?5 ?6
2行 ?(?2)+3行
2行 ?(?1)+4行
1 ?2 1 3 5
0
0
0 5 ?3 ?5 ?8
0 0 0 0
0 2 0 2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
12031
11343
21112
53121
3行 4行交换
1 ?2 1 3 5
0 5 ?3 ?5 ?8
0 0 0 0 0
0 0 2 0 2
最后的阶梯阵对应于方程组
x1?2x2+ x3 + 3x4 =5，
5x2?3x3?5x4 = ?8，
2x3 = 2.
将 x4 移至方程右端并令其为自由变量，得
x1=2 ?x4,
x2= ? 1+ x4,
x3= 1,
x4 为自由变量,
x1?2x2+ x3 + 3x4 =5，
5x2?3x3?5x4 = ?8，
2x3 = 2.
例 2.2 解线代数方程组
x1+x2+x3=1
x1+2x2 ?5x3=2
2x1+3x2 ?4x3=5
解,对增广矩阵实行初等行变换：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
5432
2521
1111
]:[ bA
1 1 1 1
0 1 ?6 1
0 1 ?6 3
1 1 1 1
0 1 ?6 1
0 0 0 2
r =2 且 d3 = 2 ? 0,方程组无解,
由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩故
有下面定理,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5432
2521
1111
定理 2.1 线性方程组 (1.1)有解 ??
r( A )= r( A ).
且当 r(A) = r( A ) = r 时，方程组 (2.1)有
n?r 个自由变量 (自由未知数 ),故有
(I) r=n时,
(II) r<n 时,方程组有无穷个解,
自由变量个数为零，方程组有唯一解,
例 2.3 ?,? 取何值时，方程组
x1+2x3= ?1
?x1+x2 ?3x3=2
2x1?x2+ ? x3= ?
无解？有唯一解？有无穷解？
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??12
2311
1201
A
1 0 2 ?1
0 1 ?1 1
0 ?1 ??4 ?+2
1 0 2 ?1
0 1 ?1 1
0 0 ??5 ?+3
(I) ?=5,???3 时，无解,
(II) ?=5,? = ?3 时,有无穷解,
(III) ??5 时,有唯一解,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??12
2311
1201
推论 2.1 对于齐次方程组 Ax=0,设 r(A) = r,则
(I) r = n,有唯一解 (即零解 )；
(II) r < n,有无穷解，即有非零解,
二、线性方程组解的结构
1,齐次线性方程组解的结构,
设 S ={x?Rn | Ax=0},则
证,设 x(1),x(2) ? S,?1,?2 ? R,则
A(?1 x(1)+ ?2 x(2))
= ?1 A x(1)+ ?2 A x(2)
= ?1 ?0+ ?2 ?0
= 0
??1 x(1)+ ?2 x(2) ? S.
定理 2.2 S 是 Rn 中的 线性 子空间,
证毕
由向量空间性质知，只要 S ? {0},即 Ax=0 有
非零解,S 都存在基, 此基有性质,
(I) 基中向量线性无关
(II) S 中任一元素都可由基线性表出
定义 2.1 设 ?1,…,? t 为 Ax=0 的解，且
(I) ?1,…,? t 线性无关
(II) Ax=0 的任何解都可用 ?1,…,? t 线性表出,
则称 ?1,…,? t 为齐次方程组 Ax=0 的基础解系,
定理 2.3 设 r(A) = r < n,则基础解系中解的个数为
t = n?r.
例 2.4 求齐次阶梯方程组
c11x1+?+c1rxr+…+ c1nxn=0，
? c
rrxr+…+ crnxn=0
(2.5)
的一个基础解系,其中 c11,…,crr?0.
解,令 xr+1,…,xn为自由变量，分别令其为：
,
0
0
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
n
r
x
x
,
0
1
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 依次代入 (2.5)
,
1
0
0
,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
求解得 n?r 个解
,
0
0
1
*
*
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?,
0
1
0
*
*
2
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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…,
,
1
0
0
*
*
?
?
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?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
rn
?
易证 ?1,?2,…,?n?r 线性无关,
即 ?1,?2,…,?n?r 为 Ax=0 的基础解,
例 2.5 求解齐次线性方程组
x1 ? x2+2x4+x5=0,
3x1?3x2+7x4=0,
x1 ? x2+2x3 +3x4 +2x5=0,
2x1 ?2 x2+2x3 +7x4 ?5x5=0.
解,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
57222
23211
07033
12011
A
1 ?1 0 2 1
0 0 0 1 ?3
0 0 2 1 1
0 0 2 3 ?7
1 ?1 0 2 1
0 0 2 1 1
0 0 0 1 ?3
0 0 0 2 ?6
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
57222
23211
07033
12011
1 ?1 0 2 1
0 0 2 1 1
0 0 0 1 ?3
0 0 0 0 0
令 x2,x5 为自由变量
令
???
?
???
??
???
?
???
?
0
1
5
2
x
x
得 x1=1,
x3=0,
x4=0;
1 ?1 0 2 1
0 0 2 1 1
0 0 0 1 ?3
0 0 0 2 ?6
令
???
?
???
??
???
?
???
?
1
0
5
2
x
x
得 x1= ?7,
x3= ?2,
x4=3.
则得基础解系为
,
0
0
0
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??,
1
3
2
0
7
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
方程组通解为 k1?1+k2?2.
1 ?1 0 2 1
0 0 2 1 1
0 0 0 1 ?3
0 0 0 0 0
定理 2.4 Ax = b 的通解等于齐次方程组 Ax = 0 的
通解与 Ax = b 的一个特解之和, 即设 ?1,?2,…,?n?r
为 Ax = 0 之基础解系, ?0 为 Ax = b 之特解, 则 Ax = b
的通解可表为
k1?1+…+ kn?r? n?r+?0,
2,非齐次线性方程组解的结构,
例 2.5 求解
x1+3 x2?x3+2x4 ?x5= ?4，
?3x1+x2 +2x3 ?5x4 ?4x5 = ?1，
2x1?3x2?x3 ?x4 +x5=4，
?4x1+16 x2+x3 +3x4 ?9x5= ?21.
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
????
???
?
21931164
411132
145213
412131
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
???
???
13711100
1235190
144010
412131
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
33341100
000000
144010
412131
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
????
???
21931164
411132
145213
412131
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
000000
33341100
144010
412131
齐次方程组中令 x4,x5 为自由变量,
取
,01
5
4
???
?
???
??
???
?
???
?
x
x
x1=27,
x2=4,
x3=41;
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
33341100
000000
144010
412131
取
???
?
???
??
???
?
???
?
1
0
5
4
x
x
x1 = 22,
x2 = 4,
x3 = 33.
得基础解系
,
0
1
41
4
27
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??,
1
0
33
4
22
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
000000
33341100
144010
412131
对于非齐次阶梯方程组中令 x4 = x5 = 0,得一特解,
故原方程组通解为
x=k1?1+ k2?2+?0,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
3
1
2
0?
.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
000000
33341100
144010
412131
注,为便于求解一般是将增广矩阵化为每一行
第一个非零元为单位且其上方元素全为零的阶梯
矩阵, 例如上例中继续对 A 实行初等行变换,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
?
000000
33341100
144010
412131
A
1 ?393 0 ?34 ?1
0 ?41 0 ?4 ?1
0 ?410 1 ?33 3
0 00 0 0 0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
?
000000
33341100
144010
412131
A
1 ?393 0 ?34 ?1
0 ?41 0 ?4 ?1
0 ?410 1 ?33 3
0 00 0 0 0
1 ?270 0 ?22 2
0 ?41 0 ?4 ?1
0 ?410 1 ?33 3
0 00 0 0 0
此时，解非常容易求,
§ 3 解线性方程组的一个应用
本节讨论矩阵的特征值与特征向量
定义 3.1
使得：，维非零向量及如果存在数设,?? nRA nn ??
)1.3(.??? ?A
的一个特征向量。于特征值
相应称为矩阵而的一个特征值为矩阵则称
A,
?
?? A
由于
??? ?A ?,) ( 0?? ?? EA
件是齐次方程组的一个特征值的充要条为矩阵 A ?
)2.3() ( 0?? xEA ?
.有非零解
.)2.3( 的特征方程组称为相应于特征值 ?
.)2.3( 子空间的解空间称为特征向量齐次方程组
有非零解矩阵理论，由前面学过的方程组及 ( 3, 2 )
? nEA ?? ）秩 ? (
?,0 d e t ( ?? ）EA ?
件是的一个特征值的充要条为矩阵 A ?
)3.3(.0 d e t ( ?? ）EA ?
,)3.3(
.A ( 3, 3 )
阶多项式的为关于显然特征多项式
阶行列式）的特征多项式（是一个称为
n
n
?
,( 3, 3 ) ）个解（重根按重数计算存在由多项式理论,n
.,,,
A
21 n
n
??? ?
：个特征值（可能相等）在复数域上有故
都成立对于每个 ),,,2,1( nii ???
.0 d e t ( ?? ）EA i?
.
A,
(
量
的特征向相应与特征值即为则记为
有非零解，）齐次方程组因此，
iii
i xEA
???
? 0??
定理 3.1
,
A,
实的特征向量且对每个特征值都存在实数，
的特征值全是为实对称阵，则设 nnRA ??
根计算行列式并求（ )3.3,A 的特征值?
的一个基础解系求特征方程组对每个特征值 )2.3( ?
.A 的特征向量子空间的相应于 ??
例 3.1 求 A 的特征值和特征向量：
.
003
007
210
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A
解：
?
?
?
?
??
?
??
??
003
007
210
)d e t ( EA
3??? ?6? ?7?
)13( 2 ?? ??
,01 ??,13
3,2 i???
.01 求相应特征向量为例，下面以特征值 ??
.
003
007
210
)( 1 0?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? xxEA ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
003
007
210
.
000
007
210
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
,1 3 ?x令,2 2 ?x得,0 1 ?x
故得特征向量,)1,2,0( T??
例 3.2 求 A 的特征值和特征向量：
.
21
12
??
?
??
?
?
?
?A
解：
?
?
?
??
??
??
21
12
)d e t ( EA 2)2( ??? 1?
).1)(3( ?? ???
,31 ??,12 ??
，对于 31 ??,
321
132
)( 1 0??
?
?
??
?
??
??
?? xxEA ?
??
?
??
?
??
??
11
11
.
00
11
??
?
??
? ???
,1 2 ?x令,1 1 ??x得 故得特征向量,)1,1(1 T???
同理,.
121
112
)( 2 0??
?
?
??
?
??
??
?? xxEA ?
??
?
??
?
?
?
11
11
.
00
11
??
?
??
? ??
,1 2 ?x令,1 1 ?x得 故得特征向量,)1,1(2 T??
,
1
1
1 ??
?
?
???
? ???,
1
1
2 ??
?
?
???
???
.021 ??? T
定理 3.2
.
A,
交相应的特征向量相互正
的不同特征值为实对称阵，则设 nnRA ??
讲
曾
金
平
线性方程组
第四章
§ 1 线性方程组的 Gauss消元法
本节讨论线性方程
a11x1 + a12x2 + …+ a1nxn =b1,
a21x1 + a22x2 + …+ a2nxn =b2,
as1x1 + as2x2 + …+ asnxn =bs
的消元法,
(1.1)
………………
先看例子
例 1.1解方程组：
2x1?x2+3x3=1,
4x1+2x2+5x3=4,
2x1 +2x3=6.
解,第二个方程减去第一个方程的 2倍，第三
个方程减去第一个方程，得
2x1? x2 + 3x3=1,
4x2 ? x3=2，
x2 ? x3=5;
同解方程组
交换第二、三个方程
2x1?x2+3x3=1,
x2 ?x3=5,
4x2 ?x3=2;
第三个方程减去第二个方程的 4倍
2x1?x2+3x3= 1,
x2 ?x3= 5,
= ?18;3x3
第三个方程乘以
3
1
2x1?x2+3x3= 1,
x2 ?x3= 5,
x3= ?6;
第二个方程加第三个方程
2x1?x2+3x3= 1,
x2 = ? 1,
x3= ?6;
第一个方程加第二个方程再减第三个方程的 3倍
2x1 = 18,
x2 = ? 1,
x3= ?6;
第一个方程乘以
2
1
x1 = 9,
x2 = ? 1,
x3 = ?6.
2x1?x2+3x3= 1,
x2 = ? 1,
x3= ?6;
在上述求解过程中，不难看出，我们实际上
反复对方程组进行如下三个基本变换：
1,用一非零数乘某一方程，
2,把一个方程的倍数加到另一个方程，
3,互换两个方程的位置,
定义 1.1上述三种变换称为线性方程组的初等变换,
定理 1.1方程组经初等变换变成同解方程组,
下面考虑一般线性方程组 (1.1):
先检查 x1 的系数,如果全为零,则 (1.1) 对 x1 没有
限制, x1 可任意取值, 即 (1.1) 可看作 x2,x3,…,xn
的 n?1 元线性方程组, 否则,x1的系数不全为零，
则可用初等变换 3,使 (1.1) 变成第一个方程中 x1 系
数不为零的同解方程组, 故可不妨令 a11?0.
利用变换 2,将第 i 个方程加上第一个方程的
,)(
11
1 倍
a
a i? 于是 (1.1)变为
a11x1+a12x2+…+ a1nxn=b1,
a122 x2+…+ a12nxn=b12,
?
a1s2x2+…+ a1snxn=b1s.
(1.2)
其中 a1ij=aij +a1j
)(
11
1
a
a i?
= aij?ai1 a1j /a11,
b1i=bi +b1
)(
11
1
a
a i?
= bi?ai1 b1/a11.
因此解方程组 (1.1) 就归结于解 n?1元方程组
a'22x2+…+ a'2nxn=b'2
?
a's2x2+…+ a'snxn=b's
(1.3)
也即 (1.1) 有解
再对 (1.3) 作类似变换，易知，最后方程组变成
同解的阶梯形方程组，为方便起见，不妨设所
得方程组为
?? ??(1.2) 有解 (1.3) 有解,
c11x1+c12x2+…+ c1rxr+…+ c1nxn=d1
c22x2+…+ c2rxr+…+ c2nxn=d2
? c
rrxr+…+ crnxn=dr
0=dr+1
0=0
?0=0
(1.4)
其中 cii?0,i=1,2,…,r.
显然,(1.4)有解 ??(1.1)有解,
dr+1 = 0
若 dr+1 = 0,分两种情形
1) r=n,此时，阶梯方程组为
c11x1+…+ c1nxn=d1,
? c
nnxn=dn,
此时，上述方程组，称为上三角方程组，且
其解可由最后一个方程依次回代，逐步求得 xn,
xn?1,…, x1.
2) r < n,此时方程组可改写成为
c11x1+c12x2+…+ c1rxr =d1?c1r+1xr+1?… ?c1nxn
c22x2+…+ c2rxr =d2?c2r+1xr+1?… ?c2nxn
? c
rrxr =dr?crr+1xr+1?… ?crnxn
由此可见，任给 xr+1,…,xn 一组值，都可唯一确
定出 x1,x2,…,xr,也即方程组有无穷解, 此时，
x1,x2,…, xr 可用 xr+1,…,xn 表示出来, xr+1,…,xn
称为自由变量,
例 1.2 解方程组：
2x1?x2+3x3=1,
4x1?2x2+5x3=4,
2x1?x2+4x3=0.
解,经初等变换，得
2x1?x2+3x3=1,
?x3
x3
= 2,
= ?1.
2x1?x2+3x3=1,
?x3=2,
0
2x1 +3x3?x2=1,
?x3 =2,
0=1.
? r=2 < 3=n.
dr+1=1?0,故无解,
=1.
例 1.3 再解例 1.1,方程组对应的同解阶梯方程组为
2x1?x2+3x3=1,
x2 ?x3=5,
3x3= ?18.
r=3=n,有唯一解,
经回代，知 x3= ?6,x2= ?1,x1=9.
2x1?x2+3x3=1,
4x1?2x2+5x3=4,
2x1?x2+4x3=?1.
例 1.4 解方程组：
解,经初等变换，得
2x1?x2+3x3=1,
?x3
x3
=2,
= ?2.
2x1?x2+3x3=1,
?x3=2,
0
2x1 +3x3?x2=1,
?x3 =2,
0=0.
? r=2 < 3=n,dr+1=0,有 无穷解,
x3= ?2,
x1=(7+x2)/2,其中 x2为自由变量,
(1.5)
=0.
还可以看出,(1.5)也可变为
?x2 +3x3 +2x1=1,
?x3 =2,
0=0.
x3= ?2,
x2= ?7+2x1,其中 x1 为自由变量,
即自由变量不唯一,
2x1?x2+3x3=1,
?x3=2,
0
(1.5)
=0.
定理 1.1 线性方程组 (1.1),可经初等变换化
为阶梯形方程组 (变量次序可能不同）,
c11x1+c12x2+…+ c1rxr+…+ c1nxn=d1,
c22x2+…+ c2rxr+…+ c2nxn=d2,
? crrxr+…+ crnxn=dr,
0=dr+1,
?
0=0.
(1.4)
其中 cii?0,i=1,2,…,r,
且 (I) (1.1)有解 ?? dr+1 = 0
(II) (1.1)有唯一解 ?? dr+1 = 0,r=n.
(III) (1.1)有无穷解 ??dr+1 = 0,r<n.
在齐次线性方程组中,方程组经初等
变换后仍然是齐次方程组, 故 dr+1 = 0 总
成立, 也即齐次方程组总是有解的,
定理 1.2 在齐次线性方程组：
a11x1+a12x2+…+ a1nxn=0,
a21x1+a22x2+…+ a2nxn=0,
?
as1x1+as2x2+…+ asnxn=0
中，若 s<n,则必有非零解,
§ 2,线性方程组解的结构
一,线性方程组解存在性定理
考虑线性方程组
a11x1+…+ a1nxn=b1,
a21x1+…+ a2nxn=b2,
as1x1+…+ asnxn=bs,?
(2.1)
的矩阵形式：
Ax=b (2.2)
A 称为方程组 (2.1) 的系数矩阵，
b 称为方程组 (2.1) 的右端向量,
在前面讨论中我们已知，方程组可经一系列
方程组初等变换化为阶梯方程组,
C11?+………………= d1
C22?+…………= d2
Crr?+…= dr
?
0= dr+1
0=0
0=0
?
其中 C11,C22,…,Crr不等于零,
由此，我们将 (2.1) 的解分成三种情况：
1,dr+1? 0,
2,dr+1= 0且 r < n,
3,dr+1= 0且 r = n,
方程组 (2.1) 无解；
方程组 (2.1) 有无穷解；
方程组 (2.1) 有唯一解,
由 (2.1) 的等价形式 (2.2) 知,
方程组 Ax=b 一一对应于增广矩阵：
,
1
1111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
ssns
n
baa
baa
A
?
?
? (2.3)
在前面介绍消元法时我们知道, 消元法实
质上是利用方程组的一系列方程组的初等变换
将 (2.1)变成同解的阶梯形方程组,
下面将出指出, 对方程组实行初等变换相
应于对其增广矩阵实行矩阵的初等行变换, 因此
消元法也可看作是对其增广矩阵实行一系列初
等行变换化为阶梯矩阵的过程,
命题 2.1 方程组的三类初等变换对应于对增广
矩 阵实行相应初等行变换,
证,只证变换 2.
方程组 (2.1) 第 i个方程 ?k加到第 j个方程 方程组 (2.4)
a11x1+…+ a1nxn=b1,
ai1x1+…+ ainxn=bi,
(aj1+kai1)x1+…+( ajn+kain)xn=bj+kbi,?
?
as1x1+…+ asnxn=bs.?
(2.4)
增广矩阵 A i ?k+ j
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
ssns
ijinjnij
iini
in
baa
kbbkaakaa
baa
baa
?
?
?
?
?
?
?
1
11
1
111
.
例 2.1 解线性方程组
x1?2x2+x3+3x4=5,
2x1 + x2 ?x3+x4=2,
3x1 + 4x2 ?3 x3 ?x4= ?1,
x1 + 3x2 ?2x4= ?1.
解,对增广矩阵实行初等行变换：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
12031
11343
21112
53121
]:[ bA
1行 ?(?2)+2行
1行 ?(?3)+3行
1行 ?(?1)+4行
1 ?2 1 3 5
0
0
0
5 ?3 ?5 ?8
10 ?6 ?10 ?16
5 ?1 ?5 ?6
2行 ?(?2)+3行
2行 ?(?1)+4行
1 ?2 1 3 5
0
0
0 5 ?3 ?5 ?8
0 0 0 0
0 2 0 2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
12031
11343
21112
53121
3行 4行交换
1 ?2 1 3 5
0 5 ?3 ?5 ?8
0 0 0 0 0
0 0 2 0 2
最后的阶梯阵对应于方程组
x1?2x2+ x3 + 3x4 =5，
5x2?3x3?5x4 = ?8，
2x3 = 2.
将 x4 移至方程右端并令其为自由变量，得
x1=2 ?x4,
x2= ? 1+ x4,
x3= 1,
x4 为自由变量,
x1?2x2+ x3 + 3x4 =5，
5x2?3x3?5x4 = ?8，
2x3 = 2.
例 2.2 解线代数方程组
x1+x2+x3=1
x1+2x2 ?5x3=2
2x1+3x2 ?4x3=5
解,对增广矩阵实行初等行变换：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
5432
2521
1111
]:[ bA
1 1 1 1
0 1 ?6 1
0 1 ?6 3
1 1 1 1
0 1 ?6 1
0 0 0 2
r =2 且 d3 = 2 ? 0,方程组无解,
由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩故
有下面定理,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
5432
2521
1111
定理 2.1 线性方程组 (1.1)有解 ??
r( A )= r( A ).
且当 r(A) = r( A ) = r 时，方程组 (2.1)有
n?r 个自由变量 (自由未知数 ),故有
(I) r=n时,
(II) r<n 时,方程组有无穷个解,
自由变量个数为零，方程组有唯一解,
例 2.3 ?,? 取何值时，方程组
x1+2x3= ?1
?x1+x2 ?3x3=2
2x1?x2+ ? x3= ?
无解？有唯一解？有无穷解？
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??12
2311
1201
A
1 0 2 ?1
0 1 ?1 1
0 ?1 ??4 ?+2
1 0 2 ?1
0 1 ?1 1
0 0 ??5 ?+3
(I) ?=5,???3 时，无解,
(II) ?=5,? = ?3 时,有无穷解,
(III) ??5 时,有唯一解,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??12
2311
1201
推论 2.1 对于齐次方程组 Ax=0,设 r(A) = r,则
(I) r = n,有唯一解 (即零解 )；
(II) r < n,有无穷解，即有非零解,
二、线性方程组解的结构
1,齐次线性方程组解的结构,
设 S ={x?Rn | Ax=0},则
证,设 x(1),x(2) ? S,?1,?2 ? R,则
A(?1 x(1)+ ?2 x(2))
= ?1 A x(1)+ ?2 A x(2)
= ?1 ?0+ ?2 ?0
= 0
??1 x(1)+ ?2 x(2) ? S.
定理 2.2 S 是 Rn 中的 线性 子空间,
证毕
由向量空间性质知，只要 S ? {0},即 Ax=0 有
非零解,S 都存在基, 此基有性质,
(I) 基中向量线性无关
(II) S 中任一元素都可由基线性表出
定义 2.1 设 ?1,…,? t 为 Ax=0 的解，且
(I) ?1,…,? t 线性无关
(II) Ax=0 的任何解都可用 ?1,…,? t 线性表出,
则称 ?1,…,? t 为齐次方程组 Ax=0 的基础解系,
定理 2.3 设 r(A) = r < n,则基础解系中解的个数为
t = n?r.
例 2.4 求齐次阶梯方程组
c11x1+?+c1rxr+…+ c1nxn=0，
? c
rrxr+…+ crnxn=0
(2.5)
的一个基础解系,其中 c11,…,crr?0.
解,令 xr+1,…,xn为自由变量，分别令其为：
,
0
0
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
n
r
x
x
,
0
1
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 依次代入 (2.5)
,
1
0
0
,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
求解得 n?r 个解
,
0
0
1
*
*
1
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
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0
1
0
*
*
2
?
?
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?
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?
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?
?
?
?
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?
?
?
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?
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…,
,
1
0
0
*
*
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
rn
?
易证 ?1,?2,…,?n?r 线性无关,
即 ?1,?2,…,?n?r 为 Ax=0 的基础解,
例 2.5 求解齐次线性方程组
x1 ? x2+2x4+x5=0,
3x1?3x2+7x4=0,
x1 ? x2+2x3 +3x4 +2x5=0,
2x1 ?2 x2+2x3 +7x4 ?5x5=0.
解,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
57222
23211
07033
12011
A
1 ?1 0 2 1
0 0 0 1 ?3
0 0 2 1 1
0 0 2 3 ?7
1 ?1 0 2 1
0 0 2 1 1
0 0 0 1 ?3
0 0 0 2 ?6
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
57222
23211
07033
12011
1 ?1 0 2 1
0 0 2 1 1
0 0 0 1 ?3
0 0 0 0 0
令 x2,x5 为自由变量
令
???
?
???
??
???
?
???
?
0
1
5
2
x
x
得 x1=1,
x3=0,
x4=0;
1 ?1 0 2 1
0 0 2 1 1
0 0 0 1 ?3
0 0 0 2 ?6
令
???
?
???
??
???
?
???
?
1
0
5
2
x
x
得 x1= ?7,
x3= ?2,
x4=3.
则得基础解系为
,
0
0
0
1
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??,
1
3
2
0
7
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
方程组通解为 k1?1+k2?2.
1 ?1 0 2 1
0 0 2 1 1
0 0 0 1 ?3
0 0 0 0 0
定理 2.4 Ax = b 的通解等于齐次方程组 Ax = 0 的
通解与 Ax = b 的一个特解之和, 即设 ?1,?2,…,?n?r
为 Ax = 0 之基础解系, ?0 为 Ax = b 之特解, 则 Ax = b
的通解可表为
k1?1+…+ kn?r? n?r+?0,
2,非齐次线性方程组解的结构,
例 2.5 求解
x1+3 x2?x3+2x4 ?x5= ?4，
?3x1+x2 +2x3 ?5x4 ?4x5 = ?1，
2x1?3x2?x3 ?x4 +x5=4，
?4x1+16 x2+x3 +3x4 ?9x5= ?21.
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
????
???
?
21931164
411132
145213
412131
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
???
???
13711100
1235190
144010
412131
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
33341100
000000
144010
412131
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
????
???
21931164
411132
145213
412131
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
000000
33341100
144010
412131
齐次方程组中令 x4,x5 为自由变量,
取
,01
5
4
???
?
???
??
???
?
???
?
x
x
x1=27,
x2=4,
x3=41;
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
33341100
000000
144010
412131
取
???
?
???
??
???
?
???
?
1
0
5
4
x
x
x1 = 22,
x2 = 4,
x3 = 33.
得基础解系
,
0
1
41
4
27
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??,
1
0
33
4
22
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
000000
33341100
144010
412131
对于非齐次阶梯方程组中令 x4 = x5 = 0,得一特解,
故原方程组通解为
x=k1?1+ k2?2+?0,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
3
1
2
0?
.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
000000
33341100
144010
412131
注,为便于求解一般是将增广矩阵化为每一行
第一个非零元为单位且其上方元素全为零的阶梯
矩阵, 例如上例中继续对 A 实行初等行变换,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
?
000000
33341100
144010
412131
A
1 ?393 0 ?34 ?1
0 ?41 0 ?4 ?1
0 ?410 1 ?33 3
0 00 0 0 0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
???
?
000000
33341100
144010
412131
A
1 ?393 0 ?34 ?1
0 ?41 0 ?4 ?1
0 ?410 1 ?33 3
0 00 0 0 0
1 ?270 0 ?22 2
0 ?41 0 ?4 ?1
0 ?410 1 ?33 3
0 00 0 0 0
此时，解非常容易求,
§ 3 解线性方程组的一个应用
本节讨论矩阵的特征值与特征向量
定义 3.1
使得：，维非零向量及如果存在数设,?? nRA nn ??
)1.3(.??? ?A
的一个特征向量。于特征值
相应称为矩阵而的一个特征值为矩阵则称
A,
?
?? A
由于
??? ?A ?,) ( 0?? ?? EA
件是齐次方程组的一个特征值的充要条为矩阵 A ?
)2.3() ( 0?? xEA ?
.有非零解
.)2.3( 的特征方程组称为相应于特征值 ?
.)2.3( 子空间的解空间称为特征向量齐次方程组
有非零解矩阵理论，由前面学过的方程组及 ( 3, 2 )
? nEA ?? ）秩 ? (
?,0 d e t ( ?? ）EA ?
件是的一个特征值的充要条为矩阵 A ?
)3.3(.0 d e t ( ?? ）EA ?
,)3.3(
.A ( 3, 3 )
阶多项式的为关于显然特征多项式
阶行列式）的特征多项式（是一个称为
n
n
?
,( 3, 3 ) ）个解（重根按重数计算存在由多项式理论,n
.,,,
A
21 n
n
??? ?
：个特征值（可能相等）在复数域上有故
都成立对于每个 ),,,2,1( nii ???
.0 d e t ( ?? ）EA i?
.
A,
(
量
的特征向相应与特征值即为则记为
有非零解，）齐次方程组因此，
iii
i xEA
???
? 0??
定理 3.1
,
A,
实的特征向量且对每个特征值都存在实数，
的特征值全是为实对称阵，则设 nnRA ??
根计算行列式并求（ )3.3,A 的特征值?
的一个基础解系求特征方程组对每个特征值 )2.3( ?
.A 的特征向量子空间的相应于 ??
例 3.1 求 A 的特征值和特征向量：
.
003
007
210
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A
解：
?
?
?
?
??
?
??
??
003
007
210
)d e t ( EA
3??? ?6? ?7?
)13( 2 ?? ??
,01 ??,13
3,2 i???
.01 求相应特征向量为例，下面以特征值 ??
.
003
007
210
)( 1 0?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? xxEA ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
003
007
210
.
000
007
210
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
,1 3 ?x令,2 2 ?x得,0 1 ?x
故得特征向量,)1,2,0( T??
例 3.2 求 A 的特征值和特征向量：
.
21
12
??
?
??
?
?
?
?A
解：
?
?
?
??
??
??
21
12
)d e t ( EA 2)2( ??? 1?
).1)(3( ?? ???
,31 ??,12 ??
，对于 31 ??,
321
132
)( 1 0??
?
?
??
?
??
??
?? xxEA ?
??
?
??
?
??
??
11
11
.
00
11
??
?
??
? ???
,1 2 ?x令,1 1 ??x得 故得特征向量,)1,1(1 T???
同理,.
121
112
)( 2 0??
?
?
??
?
??
??
?? xxEA ?
??
?
??
?
?
?
11
11
.
00
11
??
?
??
? ??
,1 2 ?x令,1 1 ?x得 故得特征向量,)1,1(2 T??
,
1
1
1 ??
?
?
???
? ???,
1
1
2 ??
?
?
???
???
.021 ??? T
定理 3.2
.
A,
交相应的特征向量相互正
的不同特征值为实对称阵，则设 nnRA ??
