主
讲
曾
金
平
第五章
欧氏空间
本章目的;,1 维欧氏空间概念建立中引进内积运算，在 nR n
的概念及求法；讨论欧氏空间的正交基.2;
,3 3
程等内容
直线及平面方中向量积，三维欧氏空间讨论 R
念。建立一般内积空间的概.4
§ 1 内积, 欧氏空间 Rn
一, R3中向量的内积
三维向量空间中向量的内积来源于物理和
几何背景 。 考虑物理问题：
例 1.1
解,
所做功 W = f1 ·s
S
F
s
F1
?
= |F| ·|S|cos (F,S) = F ? S.
定义 1.1
称数，
的夹角为与记中两个向量，为，设
??
?
ba
baba
,
3R
?? ? baba,c o s
即，
记为（数量积或点积），的内积，为向量
ba
ba
?
)1.1(.,c o s ???? ? bababa
或记为 (a,b)
下面推导 内积 的 具体计算公式,
如果 ?,? 都不为 0 向量,且 ?,? 不平行 (即 ?,
? 线性无关 ),则在空间直角坐标系中,由原点 O 和 ?,
? 的终点 A 和 B 可确定 ?,? 所在平面上的一个三
角形 OAB.
?
?
?
A
B
O
?
由余弦定理,知
= 2|? | ·|? |cos?
= |? |2+|? |2 ?| ? |2
? ?212212212
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
)()()(
)()(
zzyyxx
zyxzyx
??????
??????
=2 (x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2)
2 ? · ?.
因此,? · ?=(x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2),(1.2)
?
?
?
A
B
O
?
(1.2) 称为向量内积的坐标表示。
特例 1,向量的长度
? ? = (x1,y1,z1) ?R3,
|? | ·|? | =（ ?,?） = x1 x1 ? y1 y1 ? z1 z1,
.),(|| 212121 zyx ????? ???
特例 2,向量的垂直关系,
两向量垂直的充要条件是它们的内积等于零。
?? = (x1,y1,z1),? = (x2,y2,z2) ?R3，
?垂直于 ? 的充要条件为
cos?=0.
也即 ? ?? =x1 x2? y1 y2 ? z1 z2=0.
特例 3,向量的平行关系,
两非零向量平行的充要条件是它们的夹
角余弦等于 1 或 － 1。
若 ? //?,则有 ?? 0,使 ? = ??,
? ?? =(?,? )
(?,?)= ? 2 (?,? )
||||
,),co s (
???
?????
??
? ）（
= ? (?,? )
= ? 2| ? | 2.
=
1 ?>0,
?1 ?<0.
= ? |? |2.
二,Rn中向量的内积，欧式空间 Rn
维欧氏空间概念建立中引进内积运算，在 nR n
维向量的长度n?
维向量间的夹角n?
维向量间的关系n?
定义 1.2
设 n 维向量 ? = (a1,…,an),? = (b1,…,bn).
定义数：
x1 y1+x2y2+… + xnyn
为向量 ? 与 ? 的内积,记为 （ ?,? ）,
即
（ ?,? ） =x1 y1+x2y2+… +xnyn.
性质
(i) （ ?,? )= (?,? );
(ii) （ ??,? )= ? (?,? );
(iii) （ ???,? ) = (?,? )? (?,? ） ;
(iv) （ ?,?） ? 0,且（ ?,?） =0 iff ? =0.
交换律
分配律
非负性
定义 1.3
设 n 维向量 ? = (a1,…,an),定义
.),(|| 22221 n?????? ????? ?
为向量 ?的模 (或范数,长度 ).
重要性质
范数的性质, ??,?,? ? Rn,?? R,则
1) |? |?0,|? |=0,iff ? = 0;
2) |?? |=|?|·|? |;
3) |??? |? | ? | ? | ? |,三角不等式
非负性
正齐次性
特别,
若 |? |=1,则称 ? 为单位向量,
易知,Rn 中的单位向量有
等,e1,e2,en…,
定理 1.1(Chauchy-Schwarz不等式）
向量的内积满足
)8.1(|,||||),(| ???? ?
其中等号成立当且仅当向量 ?和 ? 线性相关,
???
?
???
? ?? ?
?
????
?
???
22 ||
),(,
||
),(
4
2
2 ||
),(),(
||
),(),(2),(
?
????
?
?????? ???
2
2
2
||
),(||
?
??? ??,0?
。所以 |||||),(| ???? ?
重要不等式
.||
1
2
1
2
1
???
???
?
n
i
i
n
i
ii
n
i
i baba
定义 1.4
的夹角为与定义中两个向量，为，设 ???? nR
.
||
),(a r c c o s,
??
???? ??? ?
记为垂直（正交）与称时，，（特别当, 0) ???? ?
? ??,
定义 1.5
,),S p a c eE u c l i d
n
n
R
nRn
仍记为（欧氏空间
维称为维实向量空间定义了内积的
定理 1.2(三角不等式）
则中两个向量，为欧氏空间，设 nR??
|??? |? | ? | ? | ? |.
证,
|??? |2 =（ ???,?? ? )
=（ ?,? )?2(?,?)+(?,? )
? |? |2?2|?|| ?|+|? |2
=( |? |?|? |)2,证毕
定理 1.3(余弦定理）
则中两个向量，为欧氏空间，设 nR??
.,c o s||||2|||||| 222 ?????? ? ????????
?
?
?－ ?
证,
|?－ ? |2=（ ?－ ?,?－ ? )
=（ ?,? ) － 2(?,?)+(?,? )
证毕
.,c o s||||2|||| 22 ?????? ? ??????
定理 1.3(勾股定理）
则（即的向量，
中两两正交为欧氏空间，，设
.,0),
,21
ji
R
ji
n
k
????
??? ?
.||||| || | 22221221 kk ?????? ??????? ??
证,
221 | | k??? ??? ?
),( 2121 kk ?????? ??????? ??
),(
11
??
??
?
k
j
j
k
i
i ??
? ?
? ?
?
k
i
k
j
ji
1 1
),( ??
),(
1
?
?
?
k
j
jj ??
.||||| | 22221 k??? ???? ?证毕
§ 2 标准正交基
在三维欧氏空间 R3 中，它的一组基 i =(1,0,0),
j=(0,1,0),k=(0,0,1) 满足如下条件：
（ I） 基中的向量是单位的，即
| i| = |j| = |k| = 1;
（ II） 基中的向量两两正交，即
( i,j ) = (j,k) = (k,i) = 0.
定义 2.1
n 维欧氏空间中任意一组两两正交
的向量组称为正交向量组,
定理 2.1 若 n 维 欧氏空间中 向量
?1,?2,…,?r 是一组两两正交的非零向量,
则 ?1,?2,…,?r 线性无关,
证, 若有 ?1,…,?r,使
?1?1?… ??r?r= 0
1
??
?
r
j
jj??
||?
?
(0,?i )= (?,?i )
),(
1
i
r
j
jj ????
?
? ),(
1
ij
r
j
j ????
?
?
= ? i (?i,?i),
由于 ?1,?2,…,?r 非零,知 ?i =0.
故 ?1,?2,…,?r 线性无关,
定义 2.2
设 n 维向量 ?1,?2,…,?r 是向量空间 V? Rn 的一个基,
若 ? 1,…,? r 两两正交,
且 | ? i| = 1,i=1,…,r,
则称 ? 1,…,? r 为 V 的正交规范基,
定理 2.2
若 n 维向量 ?1,?2,…,?n 是一组标准正交基,
则 n 维向量 ? =(x1,x2,…,xn) 在基 ?1,?2,…,?n 下的
第 j 个分量为,
.,21),,( njx jj ?，，?? ??
证, ),(
j?? ),(
1
j
n
i
iix ???
?
? ),(
1
j
n
i
iix ???
?
?
),( jjjx ???,jx?
证毕
?? = (a1,…,an) ? Rn,
例 2.1 e1,e2,…,en 是 Rn的一个正交规范基,
? = a1 e1?… ? an en
在 ? 的表达式中,ej 前的系数即为 ? 的第 j 个坐标,
例 2.2
)
2
1
,
2
1
,0,0(
),
2
1
,
2
1
,0,0(),0,0,
2
1
,
2
1
(),0,0,
2
1
,
2
1
(
4
321
??
????
?
???
为 R4 的正交规范基,
证,
?),( ii ??易算出 即 | ?i | = 1，
且 ?),(
21 ??
,0),(),( 4131 ?? ????,0),(),( 4232 ?? ????
?),( 43 ??
由定理 1,?1,?2,?3,?4 线性无关,即为正交规范基,
)21()21( ???,0?
)21()21( ???,0?
2)
2
1(?,1?2)
2
1(
2
1
2
1 ?
2
1
2
1 ?
定理 2.3 任何一个非零向量空间 V 都存在正交规范基,且若
?1,…,?r 为 V 的一个基,则可通过 ?1,…,?r 构造出
一个正交规范基,
构造性证明 (Schmidt正交化）,
令 ?1 = ?1 ;
求 ?2 = ?2??1?1 使
(?2,?1) = (?2,?1) ??1 (?1,?1),
得 ? 1= ?(?2,?1) / (?1,?1),
= (?2??1?1,?1);),( ),( 1
11
12
22 ???
???? ??故
0 =
求 ?3= ?3??1?1??2?2 使
(?3,?1)
= (?3,?1) ??1 (?1,?1),
0 =
= (?3,?2) ??2 (?2,?2),
= (?3??1?1??2?2,?1)0 =
(?3,?2) = (?3??1?1??2?2,?2);,,,),2
22
23
1
11
13
33 ???
???
??
????
）（
）（
）（
（ ???
……
1
11
1
2
22
2
1
11
1
),(
),(
),(
),(
),(
),(
?
??
??????
r
rr
rrrr
r ???
???
??
???
??
???? ?
.),( ),(
1
1
??
?
??
r
j
j
jj
jr ?
??
???
?Schmidt 正交化过程
,|| 1 1
1
1 ??? ?再令
则 ?1,?2,…,?r 是一个正交规范基,
,|| 1 2
2
2 ??? ?
…,
,|| 1 r
r
r ??? ?
例 2.3 设 ?1= (1,2,?1),?2= (?1,3,1),?3= (4,?1,0),试将
其正交规范化,
解, ?1=?1= (1,2,?1);
1
11
21
22 ),(
),( ?
??
???? ??
= (?1,3,1) 4
? 6
(1,2,?1)
= (?1,3,1)
)32,34,32( ???
,35(??,35 );1,1,1(35 ??)35
2
22
32
1
11
31
33 ),(
),(
),(
),( ?
??
???
??
???? ???
= (4,?1,0) 2
? 6 (1,2,?1)? )1,1,1(5 ?
3
25?
= (4
3
1?
3
5?,?1
3
2?
3
5?,0
3
1?
3
5? )
= (2,0,2).
单位化得正交规范基：
|| 111 ??? ?
|| 222 ??? ?
|| 333 ??? ?
),1,2,1(61 ??
),1,1,1(31 ??
).1,0,1(21?
例 2.4 设 ?1= (1,2,?1),?2= (?1,3,1),?3= (0,5,0),试将其正
交规范化,
解, ?1=?1;
);1,1,1(352 ???
2
22
32
1
11
31
33 ),(
),(
),(
),( ?
??
???
??
???? ???
= (0,5,0) 10
? 6
(1,2,?1) ?
)1,1,1(5 ?
3
25
= (0
3
5?
3
5?,5
3
10?
3
5?,0
3
5?
3
5? )
= 0.
?1,?2,?3 两两正交,但不能规范化,
原因?
?3 = ?1??2
即 ?1,?2,?3 线性相关,
例 2.5 求空间任意点 ? = (x,y,z)与三个坐标轴之间的夹角,
解, 在坐标轴上分别取三个单位向量
i = (1,0,0),j = (0,1,0),k = (0,0,1)
则
||||),c o s ( i
ii
?
??
?
??
?
||||),co s ( j
jj
?
??
?
??
?
||||),co s ( k
kk
?
??
?
??
?;
222 zyx
x
??
?;
222 zyx
y
??
?
.
222 zyx
z
??
?
如果 ? 是单位的,即 |? |=1,则
?cos(?,i) = x,cos(?,j) = y,? cos(?,k) = z,?
如果 ? 不是单位的,可进行单位化,
||?
??? =
??
?
?
?
??
?
?
?
??????
?
222222222
,,
zyx
z
zyx
y
zyx
x
= (cos(?,i),cos(?,j ),cos(?,k) ).? ? ?
易知 cos2(?,i) ? cos2(?,j) ? cos2(?,k) = 1,? ? ?
?的 方向余弦 及 方向角,
?与坐标轴夹角的余弦
例 2.6 设两点 M1(2,2,),M2(1,3,0),求向量 M1M2 的方向
余弦及与 M1M2 反方向的单位向量,
2
解, ? = M1M2
)2,2,2()0,3,1( ?? ),2,1,1( ???
.2)2(1)1(|| 22221 ??????MM
,21),c o s ( ??i?
?
,21),c o s ( ?j?
?
,2 2),co s ( ??k?
? ?
?
,32),( ?? ?i
?
?
,3),( ?? ?j
?
.43),( ?? ?k
?
与 M1M2 反方向的向量为
).2,1,1(12 ???? ?MM
将其单位化,得单位化向量
).2 2,21,21(2 )2,1,1(||)( 0 ???????? ???
向量在轴上的投影
M
P
u
点 P 为点 M 在轴上的投影,
M1
M2
u1 u2 u
?
u2? u1为 M1M2在轴上的投影,
记为 Proju? = u2? u1,
?
M1 ?
o u1
?
u2 u
?? ? c os||Pr ?uoj
??? c o sPr ?uoj
.1||,00 ?uuu 轴同向与其中
,0u?? ?
o u1u2
u
M2 M2
M1
?
?
?? co s|||| 0u??
例 2.7 设 M(2,1,0),? =(1,1,0),求 OM 在 ? 上的投影
解,?
M
y
xz o
?
222 011
)0,1,1()0,1,2(
??
??
.2 23
2
3 ??
?
?
?
OMOMoj ??Pr
性质：
2) 设 ? =(x,y,z),则
Proji? =? ·i=x，
Projj? =? ·j=y,
Projk? =? ·k=z;
3) Proju(?+? )=Proju?+ Proju?,
1) Proju? =? ·u 0
其中 u0 为与 u 轴同向的单位向量 ;
§ 3 R3 中向量的向量积与混合积
一、向量积
在前面介绍的向量加法与减法时我们知道, 两向
量之和或差仍然是一个向量, 但在介绍向量的数量积
时却发现, ? ?? 不再是一个向量而是一个数了, 因
此, 我们仍希望引入向量的某种, 积, 运算, 使之结
果仍为一个向量, 构造的准则 之一, 有实际应用,
?
M B
l
? | ? |=?,? 称为角速度向量,
= | r |sin? ??
=|?| ? | r| sin?
考察一个刚体绕一轴 l 作旋转，刚体上任意一点
就产生线速度 v,它的大小等于点 M 到旋转轴的距
离乘旋转角速度 ?, 方向垂直于过 l 及 M 的平面,
v
r
v 的方向与 ?,r 都垂直,
=|?| ? | r |sin(?,r ).
?
? // l 轴，满足
A
?
| v |= | MB| ?则
定义 3.1,设 ?,? ? R3，定义 ? = ? × ? ?R3 满足
ii) ? 的指向按右手法则从 ? 转到 ? 确定且与 ?,
? 所在平面垂直,
由此知上例中
称 ? 为向量 ? 和 ? 的向量积,
v = ? × r,
i) | ? | = |? | ? | ? | sin(?,? )，?
性质 i) i× j=k,j × k=i,k × i=j,
ii) ? × ? =0,特别有 i× i=j × j=k × k=0,
iii) ?,? ?R3 为非零向量，则 ? //? ?? × ? =0.
运算规律,设 ?,?,? ? R3,则
i) ? × ? = –? × ? = (–? ) × ? ;
ii) ( ?+ ? )× ? = ? × ? + ? × ? ;
iii) (?? ) × ? =? × (?? ) = ? (?× ? ).
向量积的坐标表示：
设 ? =(x1,y1,z1),? =(x2,y2,z2)
?× ? =(x1i+y1j+z1k)× (x2i + y2 j +z2 k)
= x1y2 i× j + x1z2 i× k+y1x2 j× i
+ y1z2 j× k+ z1x2 k× i+ z1y2 k× j
= x1y2 k + x1z2 (–j)+y1x2 (–k)+ y1z2 i+
z1x2 j+ z1y2 (–i)
=( y1z2 – z1y2 )i+(z1x2 –x1z2) j+ (x1y2 – y1x2)k
kyyxxjzzxxizzyy
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 ???
.
z
z
k
2
1
2
1
2
1
y
y
j
x
x
i
?
例 3.1 求以 ? = (2,1,–1),? =(1,–1,2)为两边的平等四
边形的面积,
解：
S
?
?
=| ? × ? |.
S=| ? |·| ? |· sin(?,? )?
而
S=| ? × ? |
2
1
1
1
1
2 ?
?
??
k
ji
??
kji 11 122 1 122 1 11 ???????
= i–5j –3k = (1,–5,–3),
.35)3()5(1 222 ??????
加法
???
数乘
??
封闭性 向量空间
内积
[?,? ]
基本定义
运算法则
齐次性
对称性
线性
本身内积非负性
向量模 |? |
向量内积空间 (欧氏空间）
正交性 正交规范基
任意一个基
Schmidt 正交化
向量
三维向量 空间直角坐标系 空间中点
? ? (x,y,z) xi ? yj ? zk
一种内积
向量间夹角
方向余弦与方向角
向量在轴上的投影
||||||||),c o s ( ??
????
?
??
? 垂直关系
222||||),c os ( zyx
xii
??
??? ???
?
数
量
积
?·?
性质 分配律
交换律 ?
平行关系
平面三角形面积计算
平行四边形面积计算
??? = 0
||21|| ?? ?
||??? ||
向
量
积
???
基表示
Proju ? u
0// u轴
|| u0 || = 1
?·u 0
由第三章向量的线性相关性讨论知, 两
非零向量 ? 与 ? 线性相关 (共线 )的充要条件
是存在不全为零的实数 ?, 使
? = ??, (3.5)
设 ? = (ax,ay,az),? = (ax,ay,az),则 ? 与 ? 共
线的充要条件是
.
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a ?? (3.6)
有了向量积概念后, 我们又得：
两非零向量共线的充要条件是
? ?? ＝ 0, (3.7)
例 3.2 已知向量 ?＝ (2,3,1),? ＝ (3,－ 9,
6,),求 ???,?? 2?。
???
?? 2?
解
693
132
?
kji
＝,27927 kji ???
? ??? ?? 2,541854 kji ????? ??? ??? 2
例 3.3 求同时垂直于向量 ?＝ (2,－ 3,1); ? = (1,
－ 2,3,)且模等于 的向量 ?。
3
解
???
设 ?＝ (cx,cy,cz),
321
132
?
??
kji
.57 kji ????
,375 2 ?t
为所求。故 ?
?
??
?
???
5
1,1,
5
7?
由向量积的定义知所求向量 ? 与 ??? 共
线, 因此有
7?
xc
又因 ?
5??
yc
1??
zc ).,0( Rttt ???
222 2549 ttt ???,3?
得
.51??t即
222 zyx ccc ??＝
二、混合积
定义 3.2 设有三个向量 ?,?,?,称 ? 与 ? 的向
量积 ??? 再与向量 ? 的数量积 (内积 )为向量
?,?,? 的混合积, 记作 (?,?,? ),
(?,?,?)＝ (???) ?? (3.8)即
设向量 ?＝ (ax,ay,az),
???
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
?
ibb
aa
zy
zy?
则有
? = (cx,cy,cz),
?＝ (bx,by,bz),
j
bb
aa
zx
zx?,k
bb
aa
yx
yx?
??? ?? )(
由行列式的性质有
x
zy
zy c
bb
aa
＝
??? ?? )(,
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
?
(3.9)
式 (3.9) 称为混合积 (?,?,? ) 的坐标表示。
y
zx
zx c
bb
aa
?,z
yx
yx c
bb
aa
?
给定三个向量 ?,?,?, 它们的混合积
有不同的组合形式, 如 ? ?(? ? ? ),? ?(? ? ? ),
? ?(? ? ? ),(? ? ? )? ? 等等, 除了它们都是实
数这一特点外, 还有其它联系吗？ 下面我们
从几何上寻找它们的另一共性 。
不妨设 ?,?,? 不在同一平面上, 令 ?＝ ? ?
?,由矢量积的几何意义 | ? ? ? | 表示以 ?,?
为相邻两条边的平行四边形的面积, 由数 量
积定义有
??? ?? )( ????,,c o s ????＝
^
其中 ???,c o s ^ 是 ?在 ?上的投影,
以空间一点 O为始点, 作三个向量 ?、
?,? 始于 O点, 以这三个向量为棱作一平
行六面体, 如图 3－ 3所示 。
o
?
??
? =???
图 3-3
^当
,20 ??? ??, 即 ?,?,? 成右手系时,???,c o s
^
就是 ?,?所在底面上的高 。
即为平行六面体的体积。
??? ?? )(
因此
V,)( ??? ???
若 ?,?,? 共面, 则由 ? ? ? 垂直 ? ? ? 所在
的平面, 得 ? ? ? 垂直于 ?,故 (? ? ? )·? = 0;
反之, 若 (? ? ? ) ·? = 0; 则 ? ? ? 垂直于 ?,而
??? 垂直于 ?和 ?,故 ?,?,? 共面, 因此有
定理 3.1 三向量 ?,?,? 共面的充要条件是
(???)·?= 0。
运算性质：
? ? ??? ?? ? ? ??? ??? ? ? ??? ???
? ? ??? ???? ? ? ??? ???? ? ?,??? ????
例 3.3 求由不在一个平面上的空间四点 A(x1,
y1,z1),B( x2,y2,z2),C( x3,y3,z3),D ( x4,y4,z4),
为顶点的四面体的体积 。
V,)(
6
1 ADACAB,，?
由立体几何知, 四面体 ABCD的体积等于
以 AB,AC,AD 为棱的平行六面体体积的
1/6，
解
即
故
V,
6
1
141414
131313
121212
yzyyxx
yzyyxx
yzyyxx
???
???
???
＝
? ?,,,121212 zzyyxx ????AB
? ?,,,131313 zzyyxx ????AC
? ?.,,141414 zzyyxx ????AD
讲
曾
金
平
第五章
欧氏空间
本章目的;,1 维欧氏空间概念建立中引进内积运算，在 nR n
的概念及求法；讨论欧氏空间的正交基.2;
,3 3
程等内容
直线及平面方中向量积，三维欧氏空间讨论 R
念。建立一般内积空间的概.4
§ 1 内积, 欧氏空间 Rn
一, R3中向量的内积
三维向量空间中向量的内积来源于物理和
几何背景 。 考虑物理问题：
例 1.1
解,
所做功 W = f1 ·s
S
F
s
F1
?
= |F| ·|S|cos (F,S) = F ? S.
定义 1.1
称数，
的夹角为与记中两个向量，为，设
??
?
ba
baba
,
3R
?? ? baba,c o s
即，
记为（数量积或点积），的内积，为向量
ba
ba
?
)1.1(.,c o s ???? ? bababa
或记为 (a,b)
下面推导 内积 的 具体计算公式,
如果 ?,? 都不为 0 向量,且 ?,? 不平行 (即 ?,
? 线性无关 ),则在空间直角坐标系中,由原点 O 和 ?,
? 的终点 A 和 B 可确定 ?,? 所在平面上的一个三
角形 OAB.
?
?
?
A
B
O
?
由余弦定理,知
= 2|? | ·|? |cos?
= |? |2+|? |2 ?| ? |2
? ?212212212
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
)()()(
)()(
zzyyxx
zyxzyx
??????
??????
=2 (x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2)
2 ? · ?.
因此,? · ?=(x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2),(1.2)
?
?
?
A
B
O
?
(1.2) 称为向量内积的坐标表示。
特例 1,向量的长度
? ? = (x1,y1,z1) ?R3,
|? | ·|? | =（ ?,?） = x1 x1 ? y1 y1 ? z1 z1,
.),(|| 212121 zyx ????? ???
特例 2,向量的垂直关系,
两向量垂直的充要条件是它们的内积等于零。
?? = (x1,y1,z1),? = (x2,y2,z2) ?R3，
?垂直于 ? 的充要条件为
cos?=0.
也即 ? ?? =x1 x2? y1 y2 ? z1 z2=0.
特例 3,向量的平行关系,
两非零向量平行的充要条件是它们的夹
角余弦等于 1 或 － 1。
若 ? //?,则有 ?? 0,使 ? = ??,
? ?? =(?,? )
(?,?)= ? 2 (?,? )
||||
,),co s (
???
?????
??
? ）（
= ? (?,? )
= ? 2| ? | 2.
=
1 ?>0,
?1 ?<0.
= ? |? |2.
二,Rn中向量的内积，欧式空间 Rn
维欧氏空间概念建立中引进内积运算，在 nR n
维向量的长度n?
维向量间的夹角n?
维向量间的关系n?
定义 1.2
设 n 维向量 ? = (a1,…,an),? = (b1,…,bn).
定义数：
x1 y1+x2y2+… + xnyn
为向量 ? 与 ? 的内积,记为 （ ?,? ）,
即
（ ?,? ） =x1 y1+x2y2+… +xnyn.
性质
(i) （ ?,? )= (?,? );
(ii) （ ??,? )= ? (?,? );
(iii) （ ???,? ) = (?,? )? (?,? ） ;
(iv) （ ?,?） ? 0,且（ ?,?） =0 iff ? =0.
交换律
分配律
非负性
定义 1.3
设 n 维向量 ? = (a1,…,an),定义
.),(|| 22221 n?????? ????? ?
为向量 ?的模 (或范数,长度 ).
重要性质
范数的性质, ??,?,? ? Rn,?? R,则
1) |? |?0,|? |=0,iff ? = 0;
2) |?? |=|?|·|? |;
3) |??? |? | ? | ? | ? |,三角不等式
非负性
正齐次性
特别,
若 |? |=1,则称 ? 为单位向量,
易知,Rn 中的单位向量有
等,e1,e2,en…,
定理 1.1(Chauchy-Schwarz不等式）
向量的内积满足
)8.1(|,||||),(| ???? ?
其中等号成立当且仅当向量 ?和 ? 线性相关,
???
?
???
? ?? ?
?
????
?
???
22 ||
),(,
||
),(
4
2
2 ||
),(),(
||
),(),(2),(
?
????
?
?????? ???
2
2
2
||
),(||
?
??? ??,0?
。所以 |||||),(| ???? ?
重要不等式
.||
1
2
1
2
1
???
???
?
n
i
i
n
i
ii
n
i
i baba
定义 1.4
的夹角为与定义中两个向量，为，设 ???? nR
.
||
),(a r c c o s,
??
???? ??? ?
记为垂直（正交）与称时，，（特别当, 0) ???? ?
? ??,
定义 1.5
,),S p a c eE u c l i d
n
n
R
nRn
仍记为（欧氏空间
维称为维实向量空间定义了内积的
定理 1.2(三角不等式）
则中两个向量，为欧氏空间，设 nR??
|??? |? | ? | ? | ? |.
证,
|??? |2 =（ ???,?? ? )
=（ ?,? )?2(?,?)+(?,? )
? |? |2?2|?|| ?|+|? |2
=( |? |?|? |)2,证毕
定理 1.3(余弦定理）
则中两个向量，为欧氏空间，设 nR??
.,c o s||||2|||||| 222 ?????? ? ????????
?
?
?－ ?
证,
|?－ ? |2=（ ?－ ?,?－ ? )
=（ ?,? ) － 2(?,?)+(?,? )
证毕
.,c o s||||2|||| 22 ?????? ? ??????
定理 1.3(勾股定理）
则（即的向量，
中两两正交为欧氏空间，，设
.,0),
,21
ji
R
ji
n
k
????
??? ?
.||||| || | 22221221 kk ?????? ??????? ??
证,
221 | | k??? ??? ?
),( 2121 kk ?????? ??????? ??
),(
11
??
??
?
k
j
j
k
i
i ??
? ?
? ?
?
k
i
k
j
ji
1 1
),( ??
),(
1
?
?
?
k
j
jj ??
.||||| | 22221 k??? ???? ?证毕
§ 2 标准正交基
在三维欧氏空间 R3 中，它的一组基 i =(1,0,0),
j=(0,1,0),k=(0,0,1) 满足如下条件：
（ I） 基中的向量是单位的，即
| i| = |j| = |k| = 1;
（ II） 基中的向量两两正交，即
( i,j ) = (j,k) = (k,i) = 0.
定义 2.1
n 维欧氏空间中任意一组两两正交
的向量组称为正交向量组,
定理 2.1 若 n 维 欧氏空间中 向量
?1,?2,…,?r 是一组两两正交的非零向量,
则 ?1,?2,…,?r 线性无关,
证, 若有 ?1,…,?r,使
?1?1?… ??r?r= 0
1
??
?
r
j
jj??
||?
?
(0,?i )= (?,?i )
),(
1
i
r
j
jj ????
?
? ),(
1
ij
r
j
j ????
?
?
= ? i (?i,?i),
由于 ?1,?2,…,?r 非零,知 ?i =0.
故 ?1,?2,…,?r 线性无关,
定义 2.2
设 n 维向量 ?1,?2,…,?r 是向量空间 V? Rn 的一个基,
若 ? 1,…,? r 两两正交,
且 | ? i| = 1,i=1,…,r,
则称 ? 1,…,? r 为 V 的正交规范基,
定理 2.2
若 n 维向量 ?1,?2,…,?n 是一组标准正交基,
则 n 维向量 ? =(x1,x2,…,xn) 在基 ?1,?2,…,?n 下的
第 j 个分量为,
.,21),,( njx jj ?，，?? ??
证, ),(
j?? ),(
1
j
n
i
iix ???
?
? ),(
1
j
n
i
iix ???
?
?
),( jjjx ???,jx?
证毕
?? = (a1,…,an) ? Rn,
例 2.1 e1,e2,…,en 是 Rn的一个正交规范基,
? = a1 e1?… ? an en
在 ? 的表达式中,ej 前的系数即为 ? 的第 j 个坐标,
例 2.2
)
2
1
,
2
1
,0,0(
),
2
1
,
2
1
,0,0(),0,0,
2
1
,
2
1
(),0,0,
2
1
,
2
1
(
4
321
??
????
?
???
为 R4 的正交规范基,
证,
?),( ii ??易算出 即 | ?i | = 1，
且 ?),(
21 ??
,0),(),( 4131 ?? ????,0),(),( 4232 ?? ????
?),( 43 ??
由定理 1,?1,?2,?3,?4 线性无关,即为正交规范基,
)21()21( ???,0?
)21()21( ???,0?
2)
2
1(?,1?2)
2
1(
2
1
2
1 ?
2
1
2
1 ?
定理 2.3 任何一个非零向量空间 V 都存在正交规范基,且若
?1,…,?r 为 V 的一个基,则可通过 ?1,…,?r 构造出
一个正交规范基,
构造性证明 (Schmidt正交化）,
令 ?1 = ?1 ;
求 ?2 = ?2??1?1 使
(?2,?1) = (?2,?1) ??1 (?1,?1),
得 ? 1= ?(?2,?1) / (?1,?1),
= (?2??1?1,?1);),( ),( 1
11
12
22 ???
???? ??故
0 =
求 ?3= ?3??1?1??2?2 使
(?3,?1)
= (?3,?1) ??1 (?1,?1),
0 =
= (?3,?2) ??2 (?2,?2),
= (?3??1?1??2?2,?1)0 =
(?3,?2) = (?3??1?1??2?2,?2);,,,),2
22
23
1
11
13
33 ???
???
??
????
）（
）（
）（
（ ???
……
1
11
1
2
22
2
1
11
1
),(
),(
),(
),(
),(
),(
?
??
??????
r
rr
rrrr
r ???
???
??
???
??
???? ?
.),( ),(
1
1
??
?
??
r
j
j
jj
jr ?
??
???
?Schmidt 正交化过程
,|| 1 1
1
1 ??? ?再令
则 ?1,?2,…,?r 是一个正交规范基,
,|| 1 2
2
2 ??? ?
…,
,|| 1 r
r
r ??? ?
例 2.3 设 ?1= (1,2,?1),?2= (?1,3,1),?3= (4,?1,0),试将
其正交规范化,
解, ?1=?1= (1,2,?1);
1
11
21
22 ),(
),( ?
??
???? ??
= (?1,3,1) 4
? 6
(1,2,?1)
= (?1,3,1)
)32,34,32( ???
,35(??,35 );1,1,1(35 ??)35
2
22
32
1
11
31
33 ),(
),(
),(
),( ?
??
???
??
???? ???
= (4,?1,0) 2
? 6 (1,2,?1)? )1,1,1(5 ?
3
25?
= (4
3
1?
3
5?,?1
3
2?
3
5?,0
3
1?
3
5? )
= (2,0,2).
单位化得正交规范基：
|| 111 ??? ?
|| 222 ??? ?
|| 333 ??? ?
),1,2,1(61 ??
),1,1,1(31 ??
).1,0,1(21?
例 2.4 设 ?1= (1,2,?1),?2= (?1,3,1),?3= (0,5,0),试将其正
交规范化,
解, ?1=?1;
);1,1,1(352 ???
2
22
32
1
11
31
33 ),(
),(
),(
),( ?
??
???
??
???? ???
= (0,5,0) 10
? 6
(1,2,?1) ?
)1,1,1(5 ?
3
25
= (0
3
5?
3
5?,5
3
10?
3
5?,0
3
5?
3
5? )
= 0.
?1,?2,?3 两两正交,但不能规范化,
原因?
?3 = ?1??2
即 ?1,?2,?3 线性相关,
例 2.5 求空间任意点 ? = (x,y,z)与三个坐标轴之间的夹角,
解, 在坐标轴上分别取三个单位向量
i = (1,0,0),j = (0,1,0),k = (0,0,1)
则
||||),c o s ( i
ii
?
??
?
??
?
||||),co s ( j
jj
?
??
?
??
?
||||),co s ( k
kk
?
??
?
??
?;
222 zyx
x
??
?;
222 zyx
y
??
?
.
222 zyx
z
??
?
如果 ? 是单位的,即 |? |=1,则
?cos(?,i) = x,cos(?,j) = y,? cos(?,k) = z,?
如果 ? 不是单位的,可进行单位化,
||?
??? =
??
?
?
?
??
?
?
?
??????
?
222222222
,,
zyx
z
zyx
y
zyx
x
= (cos(?,i),cos(?,j ),cos(?,k) ).? ? ?
易知 cos2(?,i) ? cos2(?,j) ? cos2(?,k) = 1,? ? ?
?的 方向余弦 及 方向角,
?与坐标轴夹角的余弦
例 2.6 设两点 M1(2,2,),M2(1,3,0),求向量 M1M2 的方向
余弦及与 M1M2 反方向的单位向量,
2
解, ? = M1M2
)2,2,2()0,3,1( ?? ),2,1,1( ???
.2)2(1)1(|| 22221 ??????MM
,21),c o s ( ??i?
?
,21),c o s ( ?j?
?
,2 2),co s ( ??k?
? ?
?
,32),( ?? ?i
?
?
,3),( ?? ?j
?
.43),( ?? ?k
?
与 M1M2 反方向的向量为
).2,1,1(12 ???? ?MM
将其单位化,得单位化向量
).2 2,21,21(2 )2,1,1(||)( 0 ???????? ???
向量在轴上的投影
M
P
u
点 P 为点 M 在轴上的投影,
M1
M2
u1 u2 u
?
u2? u1为 M1M2在轴上的投影,
记为 Proju? = u2? u1,
?
M1 ?
o u1
?
u2 u
?? ? c os||Pr ?uoj
??? c o sPr ?uoj
.1||,00 ?uuu 轴同向与其中
,0u?? ?
o u1u2
u
M2 M2
M1
?
?
?? co s|||| 0u??
例 2.7 设 M(2,1,0),? =(1,1,0),求 OM 在 ? 上的投影
解,?
M
y
xz o
?
222 011
)0,1,1()0,1,2(
??
??
.2 23
2
3 ??
?
?
?
OMOMoj ??Pr
性质：
2) 设 ? =(x,y,z),则
Proji? =? ·i=x，
Projj? =? ·j=y,
Projk? =? ·k=z;
3) Proju(?+? )=Proju?+ Proju?,
1) Proju? =? ·u 0
其中 u0 为与 u 轴同向的单位向量 ;
§ 3 R3 中向量的向量积与混合积
一、向量积
在前面介绍的向量加法与减法时我们知道, 两向
量之和或差仍然是一个向量, 但在介绍向量的数量积
时却发现, ? ?? 不再是一个向量而是一个数了, 因
此, 我们仍希望引入向量的某种, 积, 运算, 使之结
果仍为一个向量, 构造的准则 之一, 有实际应用,
?
M B
l
? | ? |=?,? 称为角速度向量,
= | r |sin? ??
=|?| ? | r| sin?
考察一个刚体绕一轴 l 作旋转，刚体上任意一点
就产生线速度 v,它的大小等于点 M 到旋转轴的距
离乘旋转角速度 ?, 方向垂直于过 l 及 M 的平面,
v
r
v 的方向与 ?,r 都垂直,
=|?| ? | r |sin(?,r ).
?
? // l 轴，满足
A
?
| v |= | MB| ?则
定义 3.1,设 ?,? ? R3，定义 ? = ? × ? ?R3 满足
ii) ? 的指向按右手法则从 ? 转到 ? 确定且与 ?,
? 所在平面垂直,
由此知上例中
称 ? 为向量 ? 和 ? 的向量积,
v = ? × r,
i) | ? | = |? | ? | ? | sin(?,? )，?
性质 i) i× j=k,j × k=i,k × i=j,
ii) ? × ? =0,特别有 i× i=j × j=k × k=0,
iii) ?,? ?R3 为非零向量，则 ? //? ?? × ? =0.
运算规律,设 ?,?,? ? R3,则
i) ? × ? = –? × ? = (–? ) × ? ;
ii) ( ?+ ? )× ? = ? × ? + ? × ? ;
iii) (?? ) × ? =? × (?? ) = ? (?× ? ).
向量积的坐标表示：
设 ? =(x1,y1,z1),? =(x2,y2,z2)
?× ? =(x1i+y1j+z1k)× (x2i + y2 j +z2 k)
= x1y2 i× j + x1z2 i× k+y1x2 j× i
+ y1z2 j× k+ z1x2 k× i+ z1y2 k× j
= x1y2 k + x1z2 (–j)+y1x2 (–k)+ y1z2 i+
z1x2 j+ z1y2 (–i)
=( y1z2 – z1y2 )i+(z1x2 –x1z2) j+ (x1y2 – y1x2)k
kyyxxjzzxxizzyy
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1 ???
.
z
z
k
2
1
2
1
2
1
y
y
j
x
x
i
?
例 3.1 求以 ? = (2,1,–1),? =(1,–1,2)为两边的平等四
边形的面积,
解：
S
?
?
=| ? × ? |.
S=| ? |·| ? |· sin(?,? )?
而
S=| ? × ? |
2
1
1
1
1
2 ?
?
??
k
ji
??
kji 11 122 1 122 1 11 ???????
= i–5j –3k = (1,–5,–3),
.35)3()5(1 222 ??????
加法
???
数乘
??
封闭性 向量空间
内积
[?,? ]
基本定义
运算法则
齐次性
对称性
线性
本身内积非负性
向量模 |? |
向量内积空间 (欧氏空间）
正交性 正交规范基
任意一个基
Schmidt 正交化
向量
三维向量 空间直角坐标系 空间中点
? ? (x,y,z) xi ? yj ? zk
一种内积
向量间夹角
方向余弦与方向角
向量在轴上的投影
||||||||),c o s ( ??
????
?
??
? 垂直关系
222||||),c os ( zyx
xii
??
??? ???
?
数
量
积
?·?
性质 分配律
交换律 ?
平行关系
平面三角形面积计算
平行四边形面积计算
??? = 0
||21|| ?? ?
||??? ||
向
量
积
???
基表示
Proju ? u
0// u轴
|| u0 || = 1
?·u 0
由第三章向量的线性相关性讨论知, 两
非零向量 ? 与 ? 线性相关 (共线 )的充要条件
是存在不全为零的实数 ?, 使
? = ??, (3.5)
设 ? = (ax,ay,az),? = (ax,ay,az),则 ? 与 ? 共
线的充要条件是
.
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a ?? (3.6)
有了向量积概念后, 我们又得：
两非零向量共线的充要条件是
? ?? ＝ 0, (3.7)
例 3.2 已知向量 ?＝ (2,3,1),? ＝ (3,－ 9,
6,),求 ???,?? 2?。
???
?? 2?
解
693
132
?
kji
＝,27927 kji ???
? ??? ?? 2,541854 kji ????? ??? ??? 2
例 3.3 求同时垂直于向量 ?＝ (2,－ 3,1); ? = (1,
－ 2,3,)且模等于 的向量 ?。
3
解
???
设 ?＝ (cx,cy,cz),
321
132
?
??
kji
.57 kji ????
,375 2 ?t
为所求。故 ?
?
??
?
???
5
1,1,
5
7?
由向量积的定义知所求向量 ? 与 ??? 共
线, 因此有
7?
xc
又因 ?
5??
yc
1??
zc ).,0( Rttt ???
222 2549 ttt ???,3?
得
.51??t即
222 zyx ccc ??＝
二、混合积
定义 3.2 设有三个向量 ?,?,?,称 ? 与 ? 的向
量积 ??? 再与向量 ? 的数量积 (内积 )为向量
?,?,? 的混合积, 记作 (?,?,? ),
(?,?,?)＝ (???) ?? (3.8)即
设向量 ?＝ (ax,ay,az),
???
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
?
ibb
aa
zy
zy?
则有
? = (cx,cy,cz),
?＝ (bx,by,bz),
j
bb
aa
zx
zx?,k
bb
aa
yx
yx?
??? ?? )(
由行列式的性质有
x
zy
zy c
bb
aa
＝
??? ?? )(,
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
?
(3.9)
式 (3.9) 称为混合积 (?,?,? ) 的坐标表示。
y
zx
zx c
bb
aa
?,z
yx
yx c
bb
aa
?
给定三个向量 ?,?,?, 它们的混合积
有不同的组合形式, 如 ? ?(? ? ? ),? ?(? ? ? ),
? ?(? ? ? ),(? ? ? )? ? 等等, 除了它们都是实
数这一特点外, 还有其它联系吗？ 下面我们
从几何上寻找它们的另一共性 。
不妨设 ?,?,? 不在同一平面上, 令 ?＝ ? ?
?,由矢量积的几何意义 | ? ? ? | 表示以 ?,?
为相邻两条边的平行四边形的面积, 由数 量
积定义有
??? ?? )( ????,,c o s ????＝
^
其中 ???,c o s ^ 是 ?在 ?上的投影,
以空间一点 O为始点, 作三个向量 ?、
?,? 始于 O点, 以这三个向量为棱作一平
行六面体, 如图 3－ 3所示 。
o
?
??
? =???
图 3-3
^当
,20 ??? ??, 即 ?,?,? 成右手系时,???,c o s
^
就是 ?,?所在底面上的高 。
即为平行六面体的体积。
??? ?? )(
因此
V,)( ??? ???
若 ?,?,? 共面, 则由 ? ? ? 垂直 ? ? ? 所在
的平面, 得 ? ? ? 垂直于 ?,故 (? ? ? )·? = 0;
反之, 若 (? ? ? ) ·? = 0; 则 ? ? ? 垂直于 ?,而
??? 垂直于 ?和 ?,故 ?,?,? 共面, 因此有
定理 3.1 三向量 ?,?,? 共面的充要条件是
(???)·?= 0。
运算性质：
? ? ??? ?? ? ? ??? ??? ? ? ??? ???
? ? ??? ???? ? ? ??? ???? ? ?,??? ????
例 3.3 求由不在一个平面上的空间四点 A(x1,
y1,z1),B( x2,y2,z2),C( x3,y3,z3),D ( x4,y4,z4),
为顶点的四面体的体积 。
V,)(
6
1 ADACAB,，?
由立体几何知, 四面体 ABCD的体积等于
以 AB,AC,AD 为棱的平行六面体体积的
1/6，
解
即
故
V,
6
1
141414
131313
121212
yzyyxx
yzyyxx
yzyyxx
???
???
???
＝
? ?,,,121212 zzyyxx ????AB
? ?,,,131313 zzyyxx ????AC
? ?.,,141414 zzyyxx ????AD
