§ 5 可 逆 矩 阵
一、逆矩阵的概念与性质
1,定义 5.1
AB = BA = E
则称 B 为 A 的 逆矩阵,并称 A 可逆 。
设 A是一个 n阶方阵，若存在 n阶方阵 B
使
例如：
,
52
21
???
?
???
??A
???
?
???
?
?
?
?
12
25
B
有
???
?
???
?
?
?
???
?
???
?
12
25
52
21
???
?
???
??
???
?
???
?
???
?
???
?
?
??
10
01
52
21
12
25
所以 B 是 A 的逆阵，同时 A 也是 B 的逆阵。
例 5.1 设 a11 a22 … ann ? 0,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
a
a
a
?
22
11 0
0 n
nn
E
a
a
a
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
22
1
11
?
0
0
由于：
1
22
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
a
a
a
?
0
0 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
22
1
11
nn
a
a
a
?
0
0
所以
例 5.2 若方阵 A1 A2 … Am 均可逆,可证
1
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
A
A
A
?
0
0 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
2
1
1
m
A
A
A
?
0
0
定理 5.1 (唯一性 )
若方阵 A 的逆矩阵存在，则唯一，用 A－ 1 表示
证：设 B,C均是 A的逆矩阵，则
B
所以 A的逆矩阵唯一。
= BE = B(AC) = (BA)C = EC = C
2,逆矩阵的求法之一：
矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
?
????
?
?
21
22212
12111
*
称为 A 的 伴随矩阵
定义 5.2,设 A = (aij)n× n,Aij是 |A | 中元素 aij的
代数余子式 ( i,j = 1,2,…,n );
可得：
A A* = A* A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
||00
0||0
00||
A
A
A
?
????
?
?
= |A | E
定理 5.2
*1
||
1 A
AA ?
?
且
方阵 A 是满秩矩阵 A 存在逆矩阵
例 5.3 求矩阵
???
?
???
??
52
21A
的逆矩阵
解：
01
52
21|| ???A
故 A 可逆，又 A11＝ 5,A12＝－ 2,A21＝－ 2,A22＝ 1
则
???
?
???
?
?
??
12
25*A
所以
*1
||
1 A
AA ?
?
???
?
???
?
?
??
12
25
例 5.4 设 A 是可逆阵，证明：
(1) 若 A X = A Y ? X = Y
(2) 若 A B = 0 ? B = 0
证：
A－ 1 ( A X ) = A－ 1 ( A Y )
( A－ 1 A ) X = ( A－ 1 A ) Y
EX = EY X = Y
(1) A X = A Y由
所以
(2) 由 AB =0,有 A－ 1 (AB) = A－ 1 0
所以 B =0( A－ 1 A ) B = 0
3,逆矩阵的性质
(1) 若 A,B均为 n阶方阵, 且 A B = E (或 B A =E )，
则 B＝ A－ 1
证：
? |A| |B| = |E| = 1 ? |A| ? 0
A－ 1存在，且 A－ 1 = A－ 1E = A－ 1(AB)
= (A－ 1A) B = EB = B
设 A B = E
同理可证 B A =E 的情形
(2) ( A－ 1 )－ 1 = A
(3) 若 A可逆, ? ? 0 为常数, 则
11 1)( ?? ? AA
?
?
(4) 若 A,B 均为 n阶可逆矩阵, 则 (AB)－ 1 = B－ 1A－ 1。
特别,当 |A| ? 0,有 (A m )－ 1 = (A－ 1 ) m (m为正整数 )
若 A1,A2,…, Am均为 n阶可逆矩阵, 则
( A1 A2 … Am)－ 1 = Am－ 1 … A2－ 1 A1－ 1
推广：
证明,因为 (AB)(B－ 1A－ 1)
= A E A－ 1 = E
所以 (AB)－ 1 = B－ 1A－ 1
= A ( B B－ 1 ) A－ 1
(5)
||
1|||| 11
A
AA ?? ??
这是因为 | A－ 1 | | A | = | E | = 1
二、初等行变换求逆矩阵 (方法二 )
1,初等矩阵都是可逆矩阵，且其矩阵仍然是初等矩阵
),()],([ 1 jiPjiP ??
))1(() ) ](,([ 1 ?? iPiP ??
))(,())](,([ 1 ?? ??? jiPjiP
定理 5.3 若方阵 A可逆, 则存在有限个初等矩阵
P1,P2,… Pm,使 A = P1 P2 … Pm
证：因为 A可逆, 则 r(A) = n,标准形为 En，
A = P1 P2 … Pm
P1 P2 … PsEPs+1… Pm = A
即
存在有限次初等变换使 A化为 En，
有限次初等变换使 En化成 A，
反之，也存在
P1,P2,…, Pm,使
故存在有限个初等矩阵
???? 11121 PPP m ?
表示为：
A = P1 P2 … Pm
EA
E ???? 1
1121 PPP m ?
A－ 1
( A E ) ( E A－ 1 )初等行变换
例 5.4 设
,
343
122
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A
求 A－ 1.
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100343
010122
001321
)( EA
r2－ 2r1
r3－ 3r1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
103620
012520
001321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
??
111100
012520
011201
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
111100
563020
231001r1 － 2r3
r2 － 5r3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
111100
2/532/3010
231001
)21(2 ??r
)1(3 ??r
r1 + r2
r3 － r2
故
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
111
2/532/3
231
1
A
对 A 也可通过初等列变换求 A－ 1
???
?
???
?
E
A
初等列变换
???
?
???
?
?1A
E
A = P1 P2 … Pm
注：
表示为：
???? 11121 PPP m ? EA
E A－ 1?
??? 11121 PPP m ?
对于 n元线性方程组
AX = B
则 X＝ A－ 1B
|A| ? 0,A－ 1存在若
三、逆矩阵的应用
1,解线性方程组
例 5.5 解方程组
x1 + 2 x2 + 3 x3 = 1
2 x1 + 2 x2 + x3 = ?1
3 x1 + 4 x2 + 3 x3 = 3
解,方程组简记为
,
343
122
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A,
3
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??B,
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x
x
x
X
X = A?1 B
由于 | A | = 2 ? 0,A可逆，故
A X = B
其中
而
,
111
25323
231
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
3
2
1
x
x
x
X
BA 1??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
111
25323
231
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
9
8
即 x1= ? 8,x2= 9,x3= ? 3.
2 解矩阵方程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
31
52
41
213
124
021
X例 5.6 解矩阵方程
解,矩阵方程简记为 A X = B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
???
?
?
31
52
41
213
124
021
1
1 BAX
17
213
124
021
?
?
??
?
?A?
? 0 ? A－ 1存在
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
31
52
41
652
1211
245
17
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
356
3716
615
17
1
例 5.7 解矩阵方程 AX + E = A2 + X
其中：
,
101
020
101
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A
E 为三阶单位矩阵
解,由 AX + E = A2 + X
即 ( A?E ) X = ( A ? E )( A + E )
得 AX ? X = A2 ? E
,
001
010
100
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? EA而 所以 A?E 可逆,
故 X = A + E
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001
101
020
101
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
201
030
102
( A?E ) X = ( A ? E )( A + E )
所以 (A－ E)－ 1( A?E ) X = (A－ E)－ 1( A ? E )( A + E )
§ 1 空间向量及其线性运算
一、向量概念
1,向量, 既有大小,又有方向的量,称为 向量,(或 矢量 )
2,向量的几何表示法,
用一条有方向的线段来表示向量,
以线段的长度表示向量的大小,
有向线段的方向表示向量的方向, A
B
a?
特别, 模为 1的向量称为 单位向量,
模为 0的向量称为 零向量,它的方向可以看作是任意的,
以 A为起点,B为终点的向量,记为 AB,,a,a?
向量 AB的大小叫做向量的模, 记为 ||AB|| 或,||||a?
3,自由向量
a? b?
自由向量, 只有大小, 方向,而无特定起点的向
量, 具有在空间中可以任意平移的性质,
,ba ?? 与当向量 大小相等且方向相同,
记作相等与称,ba ?? ba ?? ?
二、向量的加减法
1,定义 1.1,向量加法,
(1) 平行四边形法则
设有 (若起点不重合,
可平移至重合 ),作以 为
邻边的平行四边形,对角线
向量,称为 的和,记作
ba ??、
ba ??与,ba ???
ba ??、
ba ???a?
b?
(2) 三角形法则
ba ???a?
b?
将 之一平行移动,使
的起点与 的终点重合,则由
的起点到 的终点所引的向量
为
ba ??、
a?
b?a?
.ba ???
b?
2,向量加法的运算规律,
(1) 交换律,
abba ???? ???
ba ???
a? b?
c?
cb ???
cba ??? ??(2) 结合律,
)()( cbacba ?????? ?????
例如,
4321 aaaas ????? ????
s?
1a?
2a?
3a?
4a?
a?
b?
a?
b?
abba ???? ???
3,向量减法,
(1) 负向量, 与 模相同而方向相反的向量,
称为 的 负向量,记作
a?
a?,a??
a??
a?
(2) 向量减法,
规定, )( baba ???? ????
?平行四边形法则,
将 之一平移,使起
点重合,作以 为邻边
的平行四边形,对角线向量,
为
ba ??、
ba ?? ?和
.ba ???
?三角形 法则,
将 之一平移,使
起点重合,由 的终点向
的终点作一向量,即为
ba ??、
.ba ???
a?b?
ba ???
a?
b?
ba ??? a?
b?? b?
ba ???
当 ? > 0时,;同向与 aa ???
三、数与向量的乘法
1,定义 1.2,实数 ?与向量 的 为一个向量,a? a??乘积
其中, |||||||||| aa ?? ?? ??
当 ? < 0时,;反向与 aa ???
当 ? = 0时,.,它的方向可以是任意的oa ?? ??
2,数与向量的乘积的运算规律,
(1) 结合律, auauau ??? )()()( ??? ??
(2) 分配律, auaau ??? ??? ?? )(
baba ???? ??? ??? )(
a? (? <0)
a??a?? (? >0)
结论, 设 表示与非零向量 同向的单位向量,a???a
则 ???? aaa ||||?
或
||||||||
1
a
aa
aa ?
??
?? ? ??
定理 1.1,两个非零向量 平行ba ??与
.ba ?? ??存在唯一实数 ?，使得
例 1.1,在平行四边形 ABCD中,设 AB=,AD =a? b?
试用 表示向量 MA,MB,MC,和 MD.ba ??和
其中,M是平行四边形对角线的交点,
解, ba ???由 = AC = 2MC
有 MC = )(
2
1 ba ?? ?
又 = BD = 2MDab ???
)(21 ab ?? ?有 MD =
MB = ?MD
)(21)(21 baab ???? ?????
)(21 ba ?? ???
MA = ?MC
a?
b?
D
A B
C
M
四, 向量在轴上的投影
1,点在轴上投影
设有空间一点 A及轴 u,
过 A作 u轴的垂直平面 ?,平
面 ?与 u轴的交点 A'叫做点
A在轴 u上的投影,
A'
A
u
?
2,向量在轴上的投影,
设有向线段 AB的起点 A和终点 B在轴 u
上的投影分别为点 A? 和 B?,
定义 1.3:
B'
B
A'
A
u
向量 AB在轴 u上的 投影向量 或 射影向量,
称有向线段 A? B? 为
如果向量 e为与轴 u
的正方向的单位向量,
xeBA ???
则称 x 为向量 AB 在轴 u上的 投影,记作 ABj
uPr
即 xABj
u ?Pr
则向量 AB 的投影向量
A'B' 有：
B'
B
A'
A
u
e
3,两向量的夹角
设有非零向量 ba??,(起点同 ).
b?
? ),( ba??
a?规定：
正向间位于 0到 ?之间的那个夹角为 的夹角,
记为 或? ),( ba ?? ?
),( ab ??
ba ??,ba ??,
(1) 若 同向，则ba ??,0),( ??ba ??
(2) 若 反向，则ba ??,??? ),( ba ??
(3) 若 不平行，则ba ??,),0(),( ??? ba ??
4,向量的投影性质,
定理 1.2,(投影定理 ) 设向量 AB与轴 u的夹角为 ?
则 PrjuAB = || AB ||·cos ?
B?
B
A?
A
u?
B1
? ?
定理 1.3 两个向量的和在轴 u上的投影等于两上向量
在该轴上的投影的和 。
推论,
nuuunu ajajajaaaj ???????? PrPrPr)(Pr 2121 ???????
B?
B
A?
A
u
C
C?
1a? 2a?
21 aa ?? ?
2121 PrPr)(Pr ajajaaj uuu ???? ???
即
ajaj uu ?? Pr)(Pr ?? ?即
定理 1.4,实数 ?与向量 的乘积在轴 u上的投影,
等于 ?乘以向量 在该轴上的投影 。
a?
a?
一、空间直角坐标系的建立
1,空间直角坐标系
o
z
x
y
z
x
y
x轴 (横轴 ),y轴 (纵轴 ),z轴 (竖轴 )组成了一个
空间直角坐标系,又称 笛卡尔 (Descarstes)坐标系,
点 O叫做 坐标原点,
o
§ 2 空间直角坐标系与空间向量的
坐标表示
2,坐标面,
由三条坐标轴的任意两条确定的平面,称为
坐标面,分别叫 x y面, y z面,z x面,它们将空间分
成八个卦限, z
IV
VI
V
VII
0
x
y
VIII
IIIII
I
1,点在空间直角坐标系中的坐标表示,
R
Q
P
< M > (x,y,z)
记, 点 M为 M (x,y,z)O
x
y
z
M
x
y
z
二、空间向量的表示
(1) 若点 M在 yz面 上,则 x = 0;
在 zx面 上,则 y = 0;
在 xy面 上,则 z = 0.
(2) 若点 M在 x 轴 上,则 y = z = 0
在 y 轴 上,则 x = z = 0
在 z 轴 上,则 x = y = 0
特别,
2,空间向量的坐标表示
(1),起点在原点的向量 OM
设点 M (x,y,z)
以 i,j,k 分别表示沿 x,y,z
轴正向的单位向量,称为 基本单
位向量,
OM = OA + AN +NM
= OA + OB + OC = xi + yj + zk
x,y,z,分别是 OM 在三坐标轴上的投影,称为 OM
的坐标,
z
i j
k Mo
x
y
C
A
B
z
y
x
N
简记为 OM =(x,y,z)称为向量 OM的 坐标表示式,
z
i j
k Mo
x
y
C
A
B
z
y
x
N
由于：
22 |||||| NMONOM ??
222 zyx ???
从而：
222 |||||| OCOBOA ???
222 zyxOM ???
(2.1)
(2),起点不在原点 O的任一向量 a = M1M2
设点 M1 (x1,y1,z1),M2 (x2,y2,z2)
a = M1M2 = OM2 ? OM1
= (x2 i+ y2 j + z2 k)
? (x1 i + y1 j + z1 k)
= (x2 ? x1) i + (y2 ? y1) j + (z2 ? z1) k
即 a = (x2 ? x1,y2 ? y1,z2 ? z1) 为向量 a的坐标表示式
记 ax = x2 ? x1,ay = y2 ? y1,az = z2 ? z1
分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影,称为 a的坐标,
z
x
y
M1
M2a
o
a = M1M2 = (x2 ? x1,y2 ? y1,z2 ? z1)
2
12
2
12
2
12 )()()( zzyyxx ??????
(2.2)
222
21 zyx aaaMM ???
两点间距离公式：
2
12
2
12
2
1221 )()()( zzyyxxMM ??????
(2.3)
由此得
(3),运算性质
设 a =(ax,ay,az),b =(bx,by,bz),且 ?为常数
?a ? b = (ax ? bx,ay ? by,az ? bz )
?? a = (?ax,?ay,?az)
证明, ?a + b = (ax i + ay j+ az k) +(bxi + by j+ bz k)
= (ax i + bxi ) +(ay j+ by j) + (az k + bz k)
= (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k
? a + b = (ax + bx,ay + by,az + bz )
(4) 两向量平行的充要条件,
设非零向量 a =(ax,ay,az),b =(bx,by,bz),
即 ax =?bx,ay =?by,az =?bz,
于是
注, 在 (*) 式中,规定若某个分母为零相应
的分子也为零,
a // b ?
z
z
y
y
x
x
b
a
b
a
b
a
??
(*)
a // b ? a = ?b则 (?为常数 )
例如,(4,0,6) // (2,0,3)
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式,
1,方向角, 非零向量 a 与 x,y,z 轴正
向夹角 ?,?,?,称为 a 的方向角,
2,方向 余弦, 方向角的余弦
cos?,cos?,cos?,称为 方向余弦,
3,向量的模与方向余弦的坐标表达式
故有
ax =|| a || ? cos?
ay =|| a || ? cos?
az =|| a || ? cos?
a
?
y
z
x
0
?
?
设 a =(ax,ay,az,)
又：
222||||
zyx aaa ???a
222
222
222
c os
,c os
,c os
zyx
z
zyx
y
zyx
x
aaa
a
aaa
a
aaa
a
??
?
??
?
??
?
?
?
?
(2.4)
(2.5)
由 (2.5)式可得
cos2? +cos2? +cos2? = 1 (2.6)
设 ao是与 a同向的单位向量
ao
|||| a
a?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?
222222222
,,
zyx
z
zyx
y
zyx
x
aaa
a
aaa
a
aaa
a
= (cos?,cos?,cos? ) (2.7)
例 2.1,已知两点 M1(2,2,)和 M2(1,3,0),
计算向量 M1 M2的模,方向余弦和方向角,
2
解, M1 M2 = (?1,1,? )2
||M1 M2 || =;24)2(1)1( 222 ??????;2 2co s,21co s,2 1co s ????? ???
4
3,
3,3
2 ?????? ???
例 2.2,在 z轴上求与两点 A(?4,1,7) 和 B(3,5,?2)
等距离的点,
解, 设该点为 M(0,0,z)
由题设 |MA| = |MB|.
即,
222
222
)2()05()03(
)7()01()04(
z
z
???????
??????
解得,
9
14?z
所求点为 M (0,0,)
9
14
例 2.3,证明以 M1(4,3,1),M2(7,1,2),M3(5,2,3)三
点为顶点的三角形是一个等腰三角形,
解,
14)12()31()47(|| 22221 ???????MM
6)23()12()75(|| 22232 ???????MM
6)13()32()45(|| 22213 ???????MM
由 |M2 M3 | = |M3 M1 |,所以 ?M1 M2 M3 是等腰三角形,
§ 3 向量空间
一,n维向量
定义 3.1 由 n个数组成的有序数组 (a1,a2,… an)称为
一个 n维向量 。
? = ( a1,a2,… an )
其中第 i 个数 ai ( i = 1,2,…,n ) 称为 n 维向量
?的 第 i 个分量 或 坐标 。
零向量 0 = ( 0,0,…,0 )
负向量 对 ? = ( a1,a2,… an ) 称 ( － a1,－ a2,…,－ an )
为 ?的 负向量 。 记为 － ? 。
－ ? = (－ a1,－ a2,…,－ an )
行向量 ? = ( a1,a2,…,an )
列向量
T
n
n
aaa
a
a
a
),,,(
21
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
规定,两个向量 ? = ( a1,a2,… an ),? = (b 1,b 2,… b n )
相等，记 ? = ? ai = bi ( i = 1,2,…,n)
二,n 维向量的线性运算
定义 3.2 设 ? = ( a1,a2,…,an ),? = (b 1,b 2,…,b n )
?是数
规定：
(1) 加法,? + ? = ( a1 + b1,a2 + b2,…,an + bn)
(2) 数与向量的乘法,?? = ( ? a1,? a2,…,? an )
向量的加法及数与向量的乘法两种运算统称为向量
的 线性运算 。
2,向量的线性运算满足八条运算律
(1) ? + ? ＝ ? + ?
(2) (? + ? ) + ? ＝ ? + ( ? + ? )
(3) ? + 0 ＝ ?
(4) ? + (－ ? ) ＝ 0
设 ?, ?, ? 是 n 维向量, 0 是 n 维零向量,
k,l 是任意实数 。
(5) k (? + ? ) ＝ k? + k?
(6) ( k + l ) ? = k? + l?
(7) ( k l ) ? = k ( l? )
(8) 1·? = ?
三、向量空间与子空间
定义 3.3 设 V 是 n 维向量的集合, 如果 V 对向量的
两种运算 封闭, 即 V 满足,
(1) ??,?? V,有 ? + ?? V
(2) ??? V, k ? R,有 k?? V
则称 V 是一个 向量空间 。
例如
(3) V1 = { ( 0,a2,…,an ) | ai ? R,i = 2,3,… n }
是一个向量空间, 且 V1? Rn,称为 Rn 的一
个子空间 。
(2) V = {0},由于 0 + 0 = 0,k·0 = 0，
V = {0} 构成一个向量空间, 称为 零空间 。
(1) 全体 n 维向量构成一个向量空间, 称
为 n维向量空间,记作 Rn ;
定义 3.4 设 V是一个向量空间, V1 ? V,若 V1也是
一个向量空间 (即对向量的两种运算封闭 )，
则称 V1 是 V 的一个 子空间 。
注,一个向量空间 V 至少有两个子空间：
V 及零子空间 {0},称为 平凡子空间 。
例 5.1,设 n
m R????,,,21 ?
},,2,1|{ 2211 miRkkkkL imm ?? ?????? ???
证明,L 构成一个向量空间。
证,??,?? L,??? R
mmkkk ???? ???? ?2211
mmkkk ???? ??????? ?2211
)()( 22112211 mmmm kkkkkk ???????? ???????????? ??
mmm kkkkkk ??? )()()( 222111 ?????????? ?
)( 2211 mmkkk ?????? ???? ?
mmkkk ?????? )()()( 2211 ???? ?
? L 是一个向量空间
L?
L?
注意：
},,2,1|{ 2211 miRkkkkL imm ?? ?????? ???
称为由 ?1,?2,…,?m 生成的向量空间,
记为 L (?1,?2,…,?m )
对于向量 n
m R????,,,21 ?
则1.
2,对于 m× n矩阵 A的列向量组 ?1,?2,…,?n ? Rm。
称 L (?1,?2,…,?n )为 A的 列空间, 记为 N (A)。
A的行向量组 ?1,? 2,…,? m ? Rn,称
L (?1,? 2,…,? m )为 A 的 行空间, 记 为 N (AT)。
§ 4 向量组的线性相关性
一、线性相关与线性无关的概念
比较两组向量：
(1) ?1= ( 1,0,－ 1),?2= (0,3,4)
考察 k1?1 + k2?2 = ( k1,3k2,－ k1 + 4k2)
当 k1 ＝ k2 = 0 时 k1?1 + k2?2 = 0
(2) ? 1= ( 1,0,－ 1),? 2= (2,0,－ 2)
当 k1 ＝ k2 = 0 时 k1?1 + k2 ? 2 = 0
当 k1 = － 2,k2 = 1时 k1?1 + k2 ? 2 = 0
定义 4.1 设 ?1, ?2, …, ?m 是 m个 n维向量, 若存
在 m 个 不全为 0的数 ?1,?2,…, ?m,使得
?1?1 + ?2?2 + …+ ?m?m = 0 (4.1)
则称向量组 ?1, ?2, …, ?m 线性相关,
否则, 称它们 线性无关 。
注,?1, ?2, …, ?m 线性无关
?1?1 + ?2?2 + …+ ?m?m = 0 ?1 = ?2 = … = ?m= 0
例 4.1,考察 n 维向量组
解,设有一组数 ?1,?2,…, ?n。 使得
?1e1 + ?2e2 + …+ ?nen = 0
即,( ?1,0,…,0 ) + ( 0,?2,…,0 ) + … + ( 0,0,…,?n )
= (?1,?2,…, ?n ) = 0
??1= ?2 = … = ?n = 0
所以 e1,e2,…, en 线性无关
称 e1,e2,…, en 为 n 维单位向量组
e1 = ( 1,0,…,0),e2 = ( 0,1,…,0),…,en = ( 0,0,…,1)
的线性相关性 。
例 4.2 设 ?1 = (1,1,1),?2 = (1,2,3),?3 = (1,3,6)
讨论其线性相关性 。
解：
?1?1 + ?2?2 + ?3?3 = 0
设有一组数 ?1,?2,?3 使
即：
( ?1+ ?2 + ?3,?1+ 2?2 + 3?3,?1+ 3?2 + 6?3 ) = (0,0,0)
有,
?1+ ?2 + ?3 = 0
?1+ 2?2 + 3?3 = 0
?1+ 3?2 + 6?3 = 0
因为系数行列式
01
631
321
111
|| ???A
所以方程组只有唯一的一组零解,?1= ?2 = ?3 = 0，
故 ?1,?2,?3 线性无关。
例 4.3 讨论向量组 ?1= ( 1,－ 1,1),?2= ( 2,0,－ 2),
?3= ( 2,－ 1,0)的线性相关性 。
解：设有一组数 ?1,?2,?3,使
?1?1 + ?2?2 + ?3?3 = 0
即 ( ?1+ 2?2 + 2?3,－ ?1－ ?3,?1－ 2?2 ) = (0,0,0)
有
?1+ 2?2 + 2?3 = 0
－ ?1 － ?3 = 0
?1 － 2?2 = 0
解得,?3 = － ?1
12 2
1 ?? ?
取 ?1= 2,得非零解 ?1= 2,?2 = 1,?3 = － 2
所以，向量组 ?1,?2,?3 线性相关。
定义 4.2 对于 m+1 个 n 维向量 ?1, ?2, …, ?m和
?,若存在 m个数 ?1,?2,…, ?m, 使得：
? = ?1?1 + ?2?2 + …+ ?m?m
或称 ?是 ?1, ?2, …, ?m 的 线性组合,
?1,?2,…, ?m 称为 组合系数 。
则称向量 ?能用向量组 ?1, ?2, …, ?m
线性表示,
例如,Rn 中的任一个向量 ? = ( x1,x2,…,xn ) 都
是单位向量组的一个线性组合 。
? = x1e1 + x2e2 + …+ xnen
定理 4.1 向量组 ?1, ?2, …, ?m ( m ? 2 ) 线性相关
该向量组中至少有一个向量是其余
m－ 1个向量的线性组合 。
证：必要性
设 ?1, ?2, …, ?m 线性相关，则存在一组不
全为零的数 ?1,?2,…, ?m, 使得
?1?1 + ?2?2 + …+ ?m?m = 0
不妨设 ?m ? 0,则
即,?m是 ?1, ?2, …, ?m－ 1的线性组合。
充分性,设 ?m 是其余向量的线性组合，即存在
数 ?1,?2,…, ?m－ 1, 使得
?m = ?1?1 + ?2?2 + …+ ?m－ 1?m－ 1
有 ?1?1 + ?2?2 + …+ ?m?m－ 1 + (－ 1) ?m ＝ 0
?1, ?2, …, ?m线性相关故
121 ?? mm ???? ?
m?
?1?
m?
?2?
m
m
?
? 1???
推论,两个非零向量 ?1, ?2 线性相关
定理 4.2,若 m个向量 ?1, ?2, …, ?m 中有一部分
向量线性相关, 则这 m个向量也线性相关 。
即 ?1, ?2 对应坐标成比例
?1 = k?2,(其中 k ? 0)
(部分相关 整体相关 )
证,不妨设前 r 个向量 ?1, ?2, …, ?r 线性相关,
即存在不全为 0的数 ?1,?2,…, ?r, 使得
?1?1 + ?2?2 + …+ ?r?r = 0
也有
?1?1 + ?2?2 + …+ ?r?r + 0·?r+1 + … + 0·?m = 0
?1,?2,…, ?r,0,…,0 不全为 0
故 ?1, ?2, …, ?m 线性相关
推论 1,包含零向量的向量组一定线性相关
推论 2,若 m个向量 ?1, ?2, …, ?m 线性无关,
则其中任一部分也线性无关 。
(整体无关 部分无关 )
二、向量组线性相关性的矩阵判定法
则称：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211
为由 向量组 ?1, ?2, …, ?m 构成的矩阵
定义 4.3
?2 = ( a21 a22 … a2n ),…,?m = ( am1 am2 … amn )
设有 m 个 n 维向量 ?1 = ( a11 a12 … a1n ),
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
m
?
?
?
?
2
1
A
定理 4.3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
设有 m个 n维向量 ?1 = ( a11 a12 … a1n ),
?2 = ( a21 a22 … a2n ),…,?m = ( am1 am2 … amn )
则 ?1, ?2, …, ?m 线性相关 r(A) < m
推论 1：
推论 2,若 m > n, 则 m个 n维向量必 线性相关 。
( 因为 r (A) ? min (m,n) = n < m )
推论 3,n个 n维向量 ?1, ?2, …, ?n 线性相关
n个 n维向量 ?1, ?2, …, ?n 线性无关
m个 n维向量 ?1, ?2, …, ?m线性无关
r(A) = m
| A | = 0,即 A降秩
| A | ? 0,即 A满秩
例 4.4 判定下列向量组是否线性相关
(1) ?1 = ( 1,－ 2,1 ),?2 = (2,1,－ 1),?3 = (7,－ 4,0)
解,由于
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
047
112
121
A
而 | A | = － 5 ? 0
所以 ?1,?2,?3 线性无关
(2) ?1 = ( 1,－ 3,7 ),?2 = (2,0,6),?3 = (3,－ 1,－ 1)，
?4 = (2,4,5)
解,由于向量组的个数大于向量的维数,
所以 ?1,?2,?3,?4 线性相关 。
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
8363
21141
3712
A
r1 ? r2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
8363
3712
21141
(3) ?1 = ( 2,－ 1,7,3 ),?2 = (1,4,11,－ 2),
?3 = (3,－ 6,3,8)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
1430180
71590
21141r2 － 2r1
r3 － 3r1
r3 － r2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0000
71590
21141
r ( A ) = 2 < 3
所以 ?1,?2,?3 线性相关
三、向量组的最大无关组
定义 4.4
设 ?1, ?2, …, ?r是某向量组 T 中的 r个向量，若
(1) ?1, ?2, …, ?r 线性无关；
(2) 任取 ??T,总有 ?1,?2,…,?r,? 线性相关
则称 ?1,?2,…,?r 为向量组 T 的一个 最大线性无关组 。
简称 最大无关组 。
例如,对于向量组 T,
?1 = ( 1,2,－ 1),?2 = (2,－ 3,1),?3 = (4,1,－ 1)
?1,?2 为 T 的一个最大无关组 ;
?2,?3 ;
?1,?2,?3线性相关，因为 2?1+?2－ ?3 = 0
?1,?3 也是 T 的最大无关组。
定理 4.4 一个向量组的所有最大无关组含有的向
量个数都相等 。
定义 4.5 向量组 T 的最大无关组所含向量的个数 r称
为向量组 T 的 秩 。
设 ?1,?2,…,?r 为向量组 T一个最大无关组,
则任取 ? ?T,? 能用 ?1,?2,…,?r 线性表示 。
证：任取 ? ? T,由 ?1,?2,…,?r 是 T的最大无关组,
则 ?1, ?2, …, ?r,? 线性相关 。
存在不全为 0的一组数 ?1,?2,…, ?r, ?
使得,?1?1 + ?2?2 + …+ ?r?r + ?? = 0
则 ?? 0
定理 4.5
事实上：
若 ? = 0 有不全为 0的 ?1,?2,…, ?r 使
?1?1 + ?2?2 + …+ ?r?r = 0 成立
?1, ?2, …, ?r 线性相关，矛盾
所以
r
r ?
?
??
?
??
?
?? ????? ?
2
2
1
1
即 ?能用 ?1, ?2, …, ?r 线性表示。
定义 4.6
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
21
22221
11211
将每一行看成一个向量 ?i = ( ai1 ai2 … ain )
( i = 1,2,…,m) 称为 A 的 行向量, 行向量组
的秩称为 A的行秩 。
对于矩阵
将 A的每一列也可看成一个向量
,
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mj
j
j
j
a
a
a
?
? ( j = 1,2,…,n)
称为 A 的 列向量, 列向量组的秩称为 A的列秩
定理 4.6 设 A 是 m× n 矩阵
r (A) = r A的行秩 (或列秩 )为 r
§ 5 向量空间的基与向量的坐标
一、向量空间的基与维数
定义 5.1
且满足：
(1) ?1,?2,…,?r 线性无关；
(2) V 中任一向量都可以由 ?1,?2,…,?r 线性表示；
则称 ?1,?2,…,?r 为 V的一组 基底,简称 基,
r 为 V的 维数,并称 V 为 r 维向量空间 。
设 V为向量空间，若存在 ?1,?2,…,?r ? V.
注 1,若将向量空间 V看成向量组, 其基底就是
其最大无关组, 其维数就是其秩 。
注 2,零空间 {0}没有基, 规定其维数为 0。
例如,对于 Rn
(1) 基本单位向量组 e1,e2,…,en 是一组基, 称为
标准基 。
(2) ?1 = (1,0,0,…,0),?2 = (1,1,0,…,0),…,
?n = (1,1,…,1) 也是基 。
二、向量在给定基下的坐标
定义 5.2 设 ?1,?2,…,?n 是向量空间 V 的一组基,
任取 ?? V,都有
? = x1?1 + x2?2 + … + xn?n
且组合系数 x1,x2,…,xn 唯一, 称为向量 ? 在
基 ?1,?2,…,?n 下的 坐标, 记为 (x1,x2,…,xn)
例如,在 R3 中，
? = (2,－ 3,1)
= 2e1－ 3e2 + 1e3
= 2 i － 3 j + 1k
三、基变换与坐标变换
1,设 n维向量空间 V 有两组不同的基，分别为：
?1,?2,…,?n,
?1,?2,…,?n,
则
?1 = c11?1 + c21?2 + … + cn1?n
?2 = c12?1 + c22?2 + … + cn2?n
… …… ……… …… …
?n = c1n?1 + c2n?2 + … + cnn?n
(5.1)
利用矩阵形式可表为：
(?1,?2,…,?n)
记,
21
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
C
?
????
?
?
称为由基 ?1,?2,…,?n到基 ?1,?2,…,?n的 过渡矩阵,
称 (5.1)式或 (5.2)式为 基变换公式 。
= (?1,?2,…,?n)
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
ccc
ccc
ccc
?
????
?
?
21
22221
11211
(5.2)
2,设 ??V,在基 ?1,?2,…,?n下的坐标为 (x1,x2,…,xn)
在基 ?1,?2,…,?n下的坐标为 (y1,y2,…,yn)
? = x1?1 + x2?2 + … + xn?n
? ?n???,,,21 ?? (5.3)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
x
x
x
?
2
1
? = y1?1 + y2?2 + … + yn?n
(5.4)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
n
y
y
y
?
2
1
? ?n???,,,21 ??
? ?n???,,,21 ??
?
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?
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?
?
?
?
?
n
y
y
y
?
2
1
C
由于 ?在基 ?1,?2,…,?n下的坐标唯一：
公式 (5.5)或 (5.6)称为 坐标变换公式
所以 (5.5)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
x
x
x
?
2
1
?
?
?
?
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?
?
?
?
n
y
y
y
?
2
1
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或 (5.6)
?
?
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n
y
y
y
?
2
1
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?
n
x
x
x
?
2
1
1?? C
例 5.1 求 Rn中向量 ? = ( x1,x2,…,xn)在基
?1 = (1,0,0,…,0),?2 = (1,1,0,…,0),…,
?n = (1,1,1,…,1)下的坐标 。
设 ?在 ?1,?2,…,?n 下的坐标为 y1,y2,…,yn
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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n
n
y
y
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n
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x
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n
n
n
x
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x
x
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y
y
C
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1
2
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?
?
?
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?
?
?
?
?
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?
?
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?
?
1
1
11
111
),,,(
21
?
?
?
?
n
eee 0
过渡矩阵
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
1
11
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而
?
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?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
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?
?
?
?
1
1
11
11
1
?
??C
0
0
则 ?在基 ?1,?2,…,?n下的坐标为
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
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n
n
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1
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1
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?
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?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
x
C
1
2
1
1
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
nn
x
xx
xx
xx
1
32
21
?
例 5.2 在平面直角坐标系 xoy里, i和 j为互相垂直的单位
向量, 它们构成 R2的一个基；现将 x轴和 y轴绕
原点 O 逆时针旋转角 ?, 令相应的单位向量为
?1,?2,则 ?1,?2也是 R2的一组基, 换基公式,
?1= cos ? i + sin ? j
?2= － sin ? i + cos ? j
?? ? R2,若 ?在基 i,j 下的坐标为 ( x,y )，
求 ?在基 ?1,?2下的坐标 ( x',y' )
y' x'
y
j
?1?
2
o i
? x
解：
???
?
???
? ??
??
????
c oss i n
s i nc os),(),(
21 ji
过渡矩阵
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? ??
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c oss i n
s i nc osC
?1= cos ? i + sin ? j
?2= － sin ? i + cos ? j
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c oss i n
s i nc os1C求出
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y
x
C
y
x 1
???
?
???
?
???
?
???
?
?? y
x
??
??
c oss i n
s i nc os
即
x' = x cos ? + y sin ?
y' = － x sin ? + y cos ?
旋转坐标轴的坐标变换公式
