复 习
二次型的标准形式
22222211121 ),,( nnnn yayayaxxxf ??????? ??
二次型的规范型
22221 ryyyf ????? ?
二次型的惯性定理
设二次型
?
?
?
n
ji
jiijn xxaxxf
1,
1 ),,( ?
)( jiij aa ?
的秩,nr ? 则经初等变换或正交变换可将它化为
2222211 rr yyyf ??? ???? ?
其中
l?
中正数的个数（正惯性指数）不因变换
的不同而改变。
二次型的正定、负定
正定：正惯性指数为 n （顺序主子式判
别法、特征值判别法、标准型判别法）
负定：负惯性指数为 n （特征值判别法、
通过它的负矩阵的正定性判别）
矩阵的特征值和特征向量（概念与求法）
一个二次型经初等变换后得到一
个新二次型，这两个二次型对应的矩
阵满足合同关系。
一个二次型经正交变换后得到一
个新二次型，这两个二次型对应的矩
阵满足合同关系，也满足相似关系。
线性变换
设 V 是 R 上任一向量空间, ? 是 V 的一个
线性变换, 即满足
),()()()1( ???? σσσ ???
),()()2( ?? σσ kk ?,,,RkV ??? ??
线性变换和方阵有一一对应关系
零变换对应零矩阵
恒等变换对应单位阵
可逆变换对应可逆矩阵
一个可逆变换对应的矩阵为 A
则其逆变换对应的矩阵为 A 的逆矩阵
线性变换在不同基下对应的矩阵之间满足
相似关系
线性方程组有解判定定理
线性代数方程组有解的
充要条件
是
其系数矩阵的秩和其增广矩阵的秩相等
齐次线性方程组解的结构
齐次线性代数方程组 Ax=0 的解可由
其基础解系 线性表出
设 r(A) = r < n,则基础解系中解的个
数为
t = n ? r
非次线性方程组解的结构
Ax = b 的通解等于齐次方程组 Ax = 0 的通解与
Ax = b 的一个特解之和,
即设 ?1,?2,…,?n?r为 Ax = 0 之基础解系,
?0 为 Ax = b 之 特解,
则 Ax = b 的通解可表为
k1?1+…+ kn?r? n?r+?0
加法???
数乘
??
封闭性 向量空间
内积
（ ?,?）
向量内积空间 (欧氏空间）
正交性 正交规范基
任意一个基
Schmidt 正交化
向量
三
维
向
量
向量间夹角
||||),c o s ( ??
????
?
??
?
垂
直
关
系
数
量
积
? ·?
性质
分配律
交换律 ?
平行关系
平面三角形面积计算
平行四边形面积计算
??? = 0
|21| ?? ?
|??? |
向
量
积
???
空
间
平
面
空
间
直
线
一般式
法点式
截距式
(三元一次方程 ) Ax+By+Cz+D=0
1??? rzqypx
00 ?? MMn
交面式
对称式,
参数形式,
两点式,
(一般形式 ) 三元一次方程组
00 ??? MMs?
p
zz
n
yy
m
xx 000 ??????
x=x0+mty=y
0+nt z=z
0+pt
0?? MMMM 010
01
0
01
0
01
0
zz
zz
yy
yy
xx
xx
?
??
?
??
?
??
关
系
直线 间 夹角,
平面 间 夹角,
直线 与 平面 间 夹角,
点 到 直线 的
距离
点 到 平面 的
距离
||
|| 0
s
sMMd
?
??
?
Ax+By+Cz+D=0
?c o s|| 10 MMd ?
222
000 ||
CBA
DCzByAx
??
????
s1,s2间夹角
n,n 间夹角
与 s1,n 间夹角互余
? dM l
sM0
M0?
M1 n ??
n=(A,B,C)