§ 1 二元一次方程组的求解
一、二元一次方程组的求解公式
得
(a11a22－ a12a21) x1 = b1 a22－ b2 a12
(a11a22－ a12a21) x2 = b2 a11－ b1 a21
考虑
a11 x1+ a12 x2 = b1
a21 x1+ a22 x2 = b2
(1.1)
当 a11 a22－ a12 a21 ? 0时，
,
21122211
122221
1 aaaa
ababx
?
??
21122211
211112
2 aaaa
ababx
?
?? (1.2)
得唯一解
二、二阶行列式的概念
设有数表 a11
称 数 a11 a22－ a12 a21为对应于数表 (1.3)的二阶行列式,
记为：
(1.3)
2221
1211
aa
aa ?
副对角线主对角线
定义 1.1 a12
a21 a22
21122211 aaaa ?
(＋ )(－ )
记
1D
?
2D
?
D
方程组 (1.1)的解可以表示为：
,11 DDx ?
D
Dx 2
2 ? —— 克莱姆 (Gramer)法则
(1.4)
,
21122211
122221
1 aaaa
ababx
?
??
21122211
211112
2 aaaa
ababx
?
??
?,
122221 abab ?
?,
122111 abab ?
?
2221
1211
aa
aa 时0?
22
12
a
a
2
1
b
b
21
11
a
a
2
1
b
b
一、三阶行列式
设有数表
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
(2.1)
§ 2 n阶行列式
定义 2.1
引进记号：
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
(+)
(+)
(+)(－ )
(－ )
(－ )
? 312312 aaa?
322113 aaa? 312213 aaa?
332112 aaa? 322311 aaa?
称为对应于数表 (2.1)的三阶行列式
D ? 332211 aaa
例 如：
315
214
132
?
?
?
511 ???
75?
312 ?? 5)2()3( ????? 141 ???
34)3( ???? 1)2(2 ???－
易证,对于线性方程组
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
???
???
???
(2.2)
当
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ? 时0?
方程组有唯一解，记
则方程组 (2.2)的解为：
,11 DDx ?,22 DDx ?
D
Dx 3
3 ? 自证
,
3332
2322
1312
1
aa
aa
aa
D ?
3
2
1
b
b
b
,
3331
2321
1311
2
aa
aa
aa
D ?
3
2
1
b
b
b
3231
2221
1211
3
aa
aa
aa
D ?
3
2
1
b
b
b
二、排列与逆序数
<1> 由自然数 1,2,…,n 组成的一个有序
数组 i1,i2,…,in称为一个 n级排列 。
例如, 由 1,2,3可组成的三级排列共有 3!＝ 6个,
它们是
n级排列的总数为 n!个。
定义 2.2
3 2 1;1 2 3; 1 3 2; 2 1 3; 2 3 1; 3 1 2;
<2> 一个排列中, 若较大的数 is 排在较小的数 it
的前面 ( is > it ) 时, 称这一对数 is it 构成一个 逆序 。
一个排列中逆序的总数, 称为它的 逆序数 。
记为 ?(i1,i2,… in),简记为 ? 。
1 3 2
?(1 2 3)=0,
?(3 1 2)=2,
?(4 5 2 1 3)=7,
例如：
2 1 3
3 1 2
(3) 逆序数为偶数的排列称为 偶排列
逆序数为奇数的排列称为 奇排列
(4) 将一个排列中两个位置上的数互换，而其余不
动，则称对该排列作了一次 对换 。
6 5 3 1 2 4 6 2 3 1 5 4
(? =11) (? = 8)
1 2 3 4 1 4 3 2
例如：
(? =0) (? = 3)
定理 2.1 每一个对换改变排列的奇偶性
结论：在 n ( ? 2) 级排列中，奇偶排列各有 个。
2
!n
三,n阶行列式的定义
分析：
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ?
312312322113332211 aaaaaaaaa ???
332112322311312213 aaaaaaaaa ???
?=0 ?=2 ?=2
?=3 ?=1 ?=1
? )(
321)1( jjj?? 321 321 jjj aaa?
类似地：
2221
1211
aa
aa
D ? 21122211 aaaa ??
21
21 21)()1( jjjj aa? ?? ?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22221
11211
?
n
n njjjjjj aaa ??? ??
21
21 21)()1( ?
n阶行列式定义 2.3
例 1 计算下列 n阶行列式
nn
a
a
a
D
?
22
11
1
?
0
0 nnaaa ?2211?
nnnn
aaa
aa
a
D
?
???
21
2221
11
2
?
0
nnaaa ?2211?
nnnnn
nn
n
aaa
aa
a
D
11
212
1
3
?
?
?
?
???0
)1(?? )1 21 ( ??nn? 1121 nnn aaa ??
12)2()1( ?????? ?nn
)1(2 )11( ????? nn
nnnnn
nn
n
aaa
aa
a
D
11
212
1
3
?
?
?
?
???0
)1(?? )1 21 ( ??nn? 1121 nnn aaa ??
1121
2
)1(
)1( nnn
nn
aaa ??
?
??
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332211 aaa? 322113 aaa? 312312 aaa?
312213 aaa? 322311 aaa? 332112 aaa?
行排列
列排列
2 1 3
(?=1)
1 3 2
(?=1)
322113 aaa
(?= 0)
1 2 3
(?= 2)
3 1 2
考察,2113 aa 1321 aa 3232 aa ?
定理 2.2 n阶行列式的定义也可写成
?D ? )( 21)1( niii ???
niii naaa ?21 21
nn jijiji aaa ?2211
)1(?
)( 21 niii ?? )( 21 njjj ???
推论：
??D
例 2,选择 i 和 k, 使
53254321 aaaaa ki
成为 5阶行列式中一个带负号的项
解,
其列标所构成的排列为,i 5 2 k 3
若取 i = 1,k ＝ 4，
故 i = 4,k = 1 时该项带负号。
可将给定的项改为行标按自然顺序，即
53432251 aaaaa ki
则 ? (1 5 2 4 3) = 4,是 偶排列,
该项则带正号,对换 1,4的位置,则 4 5 2 1 3是
奇排列 。
一、行列式的性质
性质 1,将行列式的行、列互换，行列式的值不变
即：,?D
D = DT
行列式 DT 称为行列式 D 的 转置行列式 。
§ 3 行列式的性质与行列式的展开
则
naaa 11211 ?
naaa 22221 ?
????
nnnn aaa ?21 n
a
a
a
1
12
11
?
?TD
n
a
a
a
2
22
21
?
?
?
?
?
nn
n
n
a
a
a
?
2
1
证：
显然有 bij = aji (i,j=1,2,…; n)
则
n
n njjjjjjT bbbD ??
21
21 21)()1(? ?? ?
njjjjjj nn aaa ?? 21)( 2121)1(? ?? ?
D?
设行列式 DT 中位于第 i 行，第 j 列的元素为 bij
性质 2 互换行列式的两行 (列 )，行列式仅改变符号
,
21
11211
nnnn
n
aaa
aaa
M
?
????
????
????
?
?
qnqq aaa ?21
pnpp aaa ?21
则 D=－ M
,
21
11211
nnnn
n
aaa
aaa
D
?
????
????
????
?
?
qnqq aaa ?21
pnpp aaa ?21
推论 1,若行列式中有两行 (列 )对应元素相同, 则
行列式为零 。
证明, 交换行列式这两行，有 D = － D,故 D = 0
性质 3 若行列式某一行 (列 )的所有元素都乘以数 k，
等于该行列式乘以数 k,即：
kD?
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
????
?
21
21
11211
?
k
nnnn
n
aaa
aaa
?
????
????
?
21
11211
?
inii kakaka ?211D
证明：
推论 2,若行列式中的某行 (列 )全为零, 则行列式
为零 。
推论 3,若行列式中有两行 (列 )的对应元素成比例,
则该行列式为零 。
ni
n njijjjjj akaaD ??? )()1(
1
21 1)(1 ? ?? ?k
ni
n njijjjjj aaak ???
1
21 1)()1(? ?? ?
k
kD? k
性质 4 若行列式中某一行 (列 )的各元素都是两个数的
和, 则该行列式等于两个行列式的和 。
21 DD ??
即,
nnnn
n
aaa
aaa
?
????
????
?
21
11211
?
nnnn
n
aaa
aaa
?
????
????
?
21
11211
?
inii aaa ?21 inii aaa ??? ?21
nnnn
n
aaa
aaa
?
????
????
?
21
11211
?
ininiiii aaaaaa ?????? ?2211D
证明：
21 DD ??
n
n njjjjj aaD ???
1
21 1)()1(? ?? ?)( ii jiji aa ??
n
n njjjjj aa ???
1
21 1)()1(? ?? ?
n
n njjjjj aa ???
1
21 1)()1(? ?? ?ijia
+ ijia?
性质 5 把行列式的某一行 (列 )的各元素乘以数 k后加到
另一行 (列 )的对应元素上去, 行列式的值不变 。
即：
nnnn
n
aaa
aaa
?
????
????
????
?
21
11211
inii aaa ?21
jnjj aaa ?21
nnnn
n
aaa
aaa
?
????
????
????
?
21
11211
?
inii aaa ?21
inii kakaka ??? ?211ja 2ja jna
用 ri 表示 D 的第 i 行
cj 表示 D 的第 j 列
ri ? rj表示交换 i,j 两行
ri × k 表示第 i 行乘以 k
ri + k rj 表示第 j 行乘以 k 加到第 i 行
ri ? k 表示第 i 行提出公因子 k
记号：
例 3.1 计算行列式
2 0 322
2 9 734
3 0 231
??D
解：
320022
330034
230031
?
??
?
?D
322
334
231
2 0 022
3 0 034
3 0 031
????? 50?? 5?
例 3.2 计算行列式
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
?D
解：
D
c1?c2
3315
1120
4351
2131
??
?
??
?
?
3315
1120
6480
2131
??
?
??
?
?
r2－ r1
72160
1120
6480
2131
?
?
??
?
?
r4＋ 5r1 r2 ? r3
72160
6480
1120
2131
?
??
?
?
r3 + 4 r2
151000
10800
1120
2131
?
?
?
?
r4 － 8 r2
2
5
000
10800
1120
2131
?
?
?
34 4
5 rr ?
4025821 ?????
二、行列式按行 (列 )的展开
在 n阶行列式
余下的元素按原来顺序构成
的一个 n－ 1阶行列式,
称为元素 aij 的 余子式, 记作 Mij,
定义 3.1
中，划去元素 aij 所在的行和列，
nnnjn
ini
nj
aaa
aa
aaa
D
??
?????
??
?????
??
1
1
1111
?
ija
ijjiij MA ??? )1((－ 1)
i+j 称为 aij 的 代数余子式,记作
余子式带上符号
例如,在四阶行列式
2014
3651
0310
7223
?
??
?
?D 中, a23 的余子式 M23和
代数余子式 A23，
,
214
351
723
23
?
?M 233223 )1( MA ???
214
351
723
?
??
分别为：
定理 3.1 (Laplace展开定理 ) 行列式等于它的任一行
(列 )的各元素与其对应的代数余子式之和,
),,2,1(
1
niAa
n
k
kiki ??? ?
?
或
),,2,1(
1
njAa
n
k
jkjk ??? ?
?
即：
ininiiii AaAaAaD ???? ?2211
njnjjjjj AaAaAaD ???? ?2211
证明步骤：
<1> 证
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
11211
22221
11211
???
?
????
?
?
nnnn
nn
Aa
a
?
?00
<2> 证
nnnjnjnjn
njjj
aaaaa
aaaaa
??
???????
???????
??
111
11111111
??
??
ijijij
Aaa ?0000 ??
<3>
ininiiii AaAaAa ???? ?2211 ?
?
?
n
k
ikik Aa
1
nnnn
n
aaa
aaa
D
?
????
????
?
21
11211
?
inii aaa ?????????? 0000000 21 ????
nnnn
n
nnnn
n
nnnn
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
?
????
????
?
?
?
????
???
?
?
????
????
?
21
11211
21
11211
21
11211
????
00 2 ?ia ina?00001 ?ia
例 3.3 用 Laplace展开定理求例 3.2
解：
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
r2－ r1
r4 + 5 r1
72016
1102
6408
2113
?
?
??
?
按 c2 展开
7216
112
648
)1(1 21
?
?
??
?? ?r1 + 4 r2
r3－ 8 r2 15100
112
1080
?
?
?
?
按 c1 展开
1510
108)1()2( 12
?
???? ?
)1 0 01 2 0(2 ???
40?
15100
112
1080
?
?
?
?
例 3.4 证明四阶范德蒙行列式
3
4
3
3
3
2
3
1
2
4
2
3
2
2
2
1
4321
4
1111
xxxx
xxxx
xxxx
D ?
))()()()()(( 342414231312 xxxxxxxxxxxx ???????
)(41 jiij xx ??? ???
证：
D4
r4－ x1r3
r3－ x1r2
r2－ x1r1
1
2
4
3
41
2
3
3
31
2
2
3
2
14
2
413
2
312
2
2
141312
0
0
0
1111
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
??????
???
???
按 c1展开
)()()(
)()()(
14
2
413
2
312
2
2
144133122
141312
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
???
???
???
2
4
2
3
2
2
432141312
111
))()((
xxx
xxxxxxxxx ???
r3－ x2r2
r2－ x2r1
24
2
423
2
3
2423141312
0
0
111
))()((
xxxxxx
xxxxxxxxxx
??
?????
按 c1展开
)()(
))()((
244233
2423
141312 xxxxxx
xxxx
xxxxxx
??
??
???
43
2423141312
11
))()()()((
xx
xxxxxxxxxx ??????
)())()()()(( 342414231312 xxxxxxxxxxxx ????????
)(41 jiij xx ??? ???
推论,n阶范德蒙 (Vandermonde)行列式
11
2
1
1
22
2
2
1
21
111
???
?
n
n
nn
n
n
n
xxx
xxx
xxx
D
?
????
?
?
?
)(1 jinij xx ??? ???
定理 3.2 行列式的任一行 (列 )的各元素与另一行 (列 )
的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 。
?
?
??
n
k
kjki jiAa
1
)( 0
或 ?
?
??
n
k
jkik jiAa
1
)( 0
即：
综合定理 3.1和定理 3.2，得：
ji?
,0
?
?
?
n
k
kjki Aa
1
?
?
?
n
k
jkik Aa
1
或
,D
ji?
ji?
,0
,D
ji?
定理 4.1 (克莱姆法则 )
11212111 bxaxaxa nn ???? ?
22222121 bxaxaxa nn ???? ?
nnnnnn bxaxaxa ???? ?2211
??????????
(4.1)
的系数行列式
0
21
22221
11211
??
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
§ 4 克莱姆法则
设线性方程组
其中 Di(i=1,2,…,n)是用常数项 b1,b2… ;bn代替 D
中第 i列各元素而得到的 n阶行列式, 即：
,11 DDx ?,22 DDx ?,? DDx nn ? (4.2)
则方程组 (4.1)有 唯一解,且解可表示为：
,
111
2121221
1111111
nnninin
nii
nii
aaaa
aaaa
aaaa
??
??????
??
??
??
??
??
?
(i =1,2,…,n)
iD
n
b
b
b
?
2
1
例 4.1 解线性方程组
82 32 421 ??? xxx
225 4321 ???? xxxx
73 4321 ???? xxxx
12224 4321 ???? xxxx
解：
2214
1113
1251
2032
??
?
?D 06 ???
方程组的系数行列式
所以方程组有唯一解，而：
,18
22112
1117
1252
2038
1
??
??
?
?D,0
22124
1173
1221
2082
2
?
?
?D
82 32 421 ??? xxx
225 4321 ???? xxxx
73 4321 ???? xxxx
12224 4321 ???? xxxx
,6
21214
1713
1251
2832
3
?
??
?
?D 6
12214
7113
2251
8082
4
??
?
?D
所以：
,311 ?? DDx,022 ?? DDx
,133 ??? DDx 144 ?? DDx
D=－ 6,D1＝－ 18,D2= 0,D3= 6,D4=－ 6
注,在方程组 (4.1)中, 若所有的常数项 b1= b2 = …
= bn = 0,则方程组称为 n元齐次线性方程组 。
01212111 ???? nn xaxaxa ?
02222121 ???? nn xaxaxa ?
???????????
02211 ???? nnnnn xaxaxa ?
(4.3)
显然有 零解 x1 = x2 = … = xn = 0
结论 1,若齐次线性方程组 (4.3)的系数行列式 D ? 0，
则方程组只有零解 。
结论 2,若齐次线性方程组 (4.3)有非零解, 则系数行
列式 D = 0。