主
讲
曾
金
平
第七章
二次型与二次曲面
定理 3.1任何一个对称矩阵 A,均能够找到
一个满秩或正交矩阵 Q,使得 QTAQ 为
对角矩阵，且非零对角元的个数 (称为惯
性指数 )等于秩 r(A)保持不变。
该定理告诉我们，经过初等变换或正交
变换可以将二次型化为标准形式。并且所得
标准形式不唯一，与变换过程有关。
Q 不唯一
§ 3 用配方法化二次型为标准型
证明：设
,A
321
3333231
2232221
1131211
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nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
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?????
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?
.jiij aa ?
,Q 使结论成立满秩阵用数学归纳法证明存在我们对 n
,
,A 1
仍成立阶实对称矩阵定理结论证明对称矩阵定理结论成立，
的实对现假定对阶数小于显然已经是对角阵时，当
n
nn ?
.我们分两种情形证明;0,A )1( 11 ?a不妨设含有非零对角元
.0,.A )2( 12 ?aA 不妨设为非零阵但不含有非零对角元
.
1
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? 1;0 )1( 11 ?a 令
.
1
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an
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则
,A
321
3333213
2232212
1131211
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n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
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?????
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类似
.11 ?
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??APP T 11
1
a T0
0 B
.
1
实对称阵
阶是一个其中 ?nB
.PP,P 222 为对角阵使存在可逆矩阵由归纳假设,BT
.3 ?
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??
??P令
1 T0
0 2P
则
3113 PAPPP TT
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? T
T
P 2
1
0
0
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B
a
T
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11
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2
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P
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TT
T
BPP
a
22
11
1
0
0
,为对角阵 则令,PP
31 P?,3113 为对角阵PAPPPAPP
TTT ?
.0 0,)2( 12nn2211 ???? aaaa ?
.
1
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,
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nnn
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
且
.11 ?
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?APP T
122a *
* *
( 1 ), 化成了情形
例 3.1 将 f 化成标准型,
.262 133221 xxxxxxf ???
解 二次型对应矩阵的对角元全为零，
故属定理证明中情形 (2),
,
1
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?P
1 1? 0
1
0
1 0
0 1
令
则对应于线性变换,?
?
?
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,211 yyx ??
,212 yyx ??
.33 yx ?
则
133221 262 xxxxxxf ???
)(2)(6))((2 2133212121 yyyyyyyyyy ???????
2221 22 yy ??
2313 22 yyyy ??3231 66 yyyy ??
.8422 32312221 yyyyyy ????
,
2
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?P
2
1 0 1
0
0
1 0
0 1
令
则对应于线性变换,?
?
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,21 311 zzy ??
,22 zy ?
.33 zy ?
3231
2
2
2
1 8422 yyyyyyf ????
32331
2
2
2
31 8)2
1(42)
2
1(2 zzzzzzzz ??????
32
2
331
2
2
2
331
2
1 8)42(2)224
2( zzzzzzzzzz ???????
2
12
1 z? 232z?222z?,8
32 zz?
,
3
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1 0 0
0
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0 1
令
则对应于线性变换,?
?
?
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,11 uz ?
,221 322 uuz ???
.33 uz ?
32
2
3
2
2
2
1 8222
1 zzzzzf ????
332
2
3
2
32
2
1 )22
1(82)2
2
1(2
2
1 uuuuuuu ????????
332
2
3
2
332
2
2
2
1 )164(2)842
1(
2
1 uuuuuuuuu ????????
.62121 232221 uuu ???
二次型的标准型不唯一
上述方法也叫配方法
第一步相当于配平方项,
.262 133221 xxxxxxf ???
?
?
?
?
?
,211 yyx ??
,212 yyx ??
.33 yx ?
.8422 32312221 yyyyyy ????
?
?
?
?
?
,21 311 zzy ??
,22 zy ?
.33 zy ?
第 二步相当于配方,
32
2
3
2
2
2
331
2
1 822)42224(2
1 yyyyyyyyf ????????
32
2
3
2
2
2
31 822)22(2
1 yyyyyy ?????
32
2
3
2
2
2
1 8222
1 zzzzz ????
?
?
?
?
?
,11 uz ?
,221 322 uuz ???
第 三步相当于配方,
32
2
3
2
2
2
1 8222
1 zzzzzf ????
.33 uz ?
2
3
2
332
2
2
2
1 6)422(22
1 zzzzzz ???????
2
3
2
32
2
1 6)42(2
1
2
1 zzzz ????
.62121 232221 uuu ???
推论 3.1任何一个非奇异对称矩阵 A,均能够找
到一个满秩的矩阵 Q,使得 QTAQ 为对角元为 1或
－ 1的对角阵,且 1的个数 (正惯性指数 )和－ 1的个
数 (负惯性指数 )不因 Q不同而变化。
实际上,注意到任何标准型：
实际上对满秩阵 Q 我们有更强的结果,
?),,( 21 nxxxf ? ?? 2111 xa ?? 2222 xa ?? 2nnn xa?
都可经线型变换：
,|| 1111 xay ??,|| 2222 xay ??
,?
nnnn xay || ??
化为
.22221 nyyyf ????? ?
§ 4化二次型化为标准形式的其它方法
一,初等变换法
运用初等变换将二次型 ?),,(
21 nxxxf ? XX AT
化为标准形式的做法如下：
??
?
??
?
E
A
先对 A 进行“行”的初等变
换
后对整个矩阵作同样的“列”初等变
换
?
?
?
?
?
?
Q
B
B 对角矩阵
变换矩阵 Q 满秩
BQAQ T ?
?f XX AT YY QAQ TT? YY BT? )Q( YX ?
单位矩阵 E
二次型的矩阵 A
对Ａ运用初等行变换即 左乘满秩阵 Q的转
置,再对整个矩阵运用同样的初等列变换即
左乘满秩阵 Q的转置：
Q
T
?
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E
AQ
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Q
Q T
E
AQ
.?
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Q
B
例 4.1 化二次型 2
2312121 342 xxxxxxf ????
为标准形式。
解
??
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E
A
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1
2?
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1
1
1
0 0
00
0 0
互换 1,2行
互换 1,2列
?
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00
0 0
3
1 1
1
0 2?
1
1
0
0
乘第一行加到第二行
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乘第一列加到第二列
31?
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0
??
?
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??
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E
A
乘第二行加到第三行3
乘第二列加到第三列
??
?
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??
?
E
A
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0
3
1?
1
3
1?
0 0
0
1
1
0
对角矩阵 B
变换矩阵 Q
令
,Q YX ?
即
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2
1
x
x
x
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2
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3
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y
y
y
即 二次型 3
2312121 342 xxxxxxf ????
化为
标准形式,
?? YYf BT 236 y?213y 2
23
2 y?
则
?f XX AT YY QAQ TT? YY BT?
二、正交变换法化
运用正交变换将二次型 ?),,(
21 nxxxf ? XX AT
化为标准形式的做法如下：
?),,( 21 nxxxf ? XX AT
求特征方程 0|EA| ?? ? 的所有特征值 (根 )：
,1?,2?,?,n?
写出标准形式,22
22
2
11 nn yyyf ??? ???? ?
重根一一写出
0为 重根rn?
)A( rr ?
例 4.2 将下列二次型化为标准形式：
?? 212 xxf ?312 xx ?412 xx ?322 xx ?422 xx 432 xx
解
?
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?A
0 1 1 1?
0 1? 1
0 1
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1 1?
1? 11
?? |EA| ?
?? 1 1 1?
?? 1? 1
?? 1
??
1
1 1?
1? 11
3)1)(3( ??? ??
特征根：
31 ???
1432 ??? ???
标准形式为：
242322213 yyyyf ?????
问题 1 标准形式对应的对角阵是什么？
?
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??
3? 0 0 0
1 0 0
1 0
1
0
0 0
0 00
由于：,3 2
4232221 yyyyf ?????
问题 2 。使得求 ??? AQQ 1 Q,
线性无关，对应的特征向量若求得 4321,,,,?????? ii
),4,3,2,1(,?? iA iii ???则
,),,,),,,43214321 ?? ???????? （（也即 A
),,,,4321 ????（令 ?Q,A ?? QQ则,AQ 1 ??? Q即
向量。的四个线性无关的特征下面求 A
.0) ?? xAE?（程组也即解齐次线性代数方
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?? EA
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?得令 x
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),,,4321 ????（?? Q
.
1001
0101
0011
1111
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?
问题 3 。使得求正交矩阵 ??? AQQQ 1,
依据,不同的特征值对应的特征向量正交。
求解过程：
1,在求得 n 个线性无关的特征向量后，
对属于相同特征值的特征向量构成的
线性无关向量组正交化；
2：将求得的正交向量组单位化。
在上例中，通过正交化得正交的特征向量：
?
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3/1
3/1
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Q
.
2/3002/1
12/13/202/1
12/16/12/12/1
12/16/12/12/1
?
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??
?
在上例中，通过正交化得正交的特征向量：
?
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1
3/1
3/1
3/1
4
?
? ?||/||/||/||/ 44332211 ?????????Q
注意
如果矩阵的特征值互不相同, 由于它
们的特征向量互相正交, 故直接对特征
向量单位化即可得到正交矩阵 Q。
§ 5 正定二次型
定理 5.1设二次型 ?
?
?
n
ji
jiijn xxaxxf
1,
1 ),,( ?
)( jiij aa ?
的秩,nr ? 若经过初等变换或正交变换将它化为
及
2222211 rr yyyf ??? ???? ?
2222211 rr ykykykf ???? ?
则
l?
中正数的个数与
lk
中正数的个数相等,其中
。rl,,2,1 ?? 所含负数个数当然也相等
该定理称为惯性定理
其中 ?l ? 0,kl ? 0 ( l = 1,2,…,r).
定义 5.1 设有二次型
?),,( 21 nxxxf ? XX AT )(
1,
jiij
n
ji
jiij aaxxa ?? ?
?
若对于任意一组不全为零的实数,,,
21 nxxx ?
如果 f 的值恒为正，则称 f 为正定二次型；
如果 f 的值恒为负，则称 f 为负定二次型；
非负,半正定二次型；
非正,半负定二次型。
如果 f 的值变号，则称 f 为不定二次型；
相应地称二次型的矩阵 A为正定、负定和不定阵。
半正定 和半负定阵。
一,二次型
有定性的判别法
特征值法
主子式法
1,二次型有定性的特征值判别法
定理 5.2
二次型 ?),,(
21 nxxxf ? XX AT
为正 (负 )定
的充要条件是 ),,(
21 nxxxf ?
所对应矩阵 A 的
所有特征值均大于 (小于 )零。
n 个特征值
2,二次型有定性的主子式判别法
定理 5.3二次型 ?),,(
21 nxxxf ? XX AT
为正定
的 充要条件是其矩阵 A 的行列式 |A| 及其左上角
各阶子式 (称为 A 的顺序主子式 )恒为正，即
,011 ?a,0
2221
1211 ?
aa
aa,?
。0
21
22221
11211
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
例 5.1 判别二次型的有定性：
2332223121321 8463),,( xxxxxxxxxxf ?????
解
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?A
3 0 3
0
3
1 2?
2? 8
,03 ?
3 0 3
0
3
1 2?
2? 8
故 此二次型是正定的。
两种方法均可用，我们
在这里运用主子式法。
,3?
3 0
0 1
,3?
本节的重要概念和定理：
二次型的标准形式；
二次型的正定、负定；
二次型的惯性定理；
矩阵的特征值；
合同关系
正交矩阵，正交变换
二、二次型有定性的应用
利用二次型的有定性及泰勒公
式，可以得到一个关于多元函
数极值的判别法 (充分条件 )。
三,泰勒公式与二次型
多元函数的泰勒公式的一般形式为：
?)( Xf ?)( 0Xf )(
!
1
0
11
???
?
?
???
?
?
?
???
??
Xfx
xk
n
i
i
i
m
k
,)(
!)1(
1
0
1
XXfx
xm
n
i
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i
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k
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下面写出带拉格朗日余项的二阶泰勒公式
?)( Xf ?)( 0Xf )(
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1
0
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2
1
???
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nn
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21f? 22f? nf2??
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1nf? 2nf ?? nnf?
?
其中,???
jif 。ijf ??
0X
对称矩阵 称为 f (X) 在 X0 处的 Hessian矩阵
,),,,( T21 nxxxX ????? ?
)( 0XJf
)( g r ad 0Xf
带皮亚诺余项的
二阶泰勒公式可表示为
?)( Xf ?)( 0Xf XXf ??? )( 0
???? XXX )H(
2
1
0
T )(2 XR
此项像什么？
讲
曾
金
平
第七章
二次型与二次曲面
定理 3.1任何一个对称矩阵 A,均能够找到
一个满秩或正交矩阵 Q,使得 QTAQ 为
对角矩阵，且非零对角元的个数 (称为惯
性指数 )等于秩 r(A)保持不变。
该定理告诉我们，经过初等变换或正交
变换可以将二次型化为标准形式。并且所得
标准形式不唯一，与变换过程有关。
Q 不唯一
§ 3 用配方法化二次型为标准型
证明：设
,A
321
3333231
2232221
1131211
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nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
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?????
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.jiij aa ?
,Q 使结论成立满秩阵用数学归纳法证明存在我们对 n
,
,A 1
仍成立阶实对称矩阵定理结论证明对称矩阵定理结论成立，
的实对现假定对阶数小于显然已经是对角阵时，当
n
nn ?
.我们分两种情形证明;0,A )1( 11 ?a不妨设含有非零对角元
.0,.A )2( 12 ?aA 不妨设为非零阵但不含有非零对角元
.
1
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.
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则
,A
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3333213
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n
n
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aaaa
aaaa
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类似
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??APP T 11
1
a T0
0 B
.
1
实对称阵
阶是一个其中 ?nB
.PP,P 222 为对角阵使存在可逆矩阵由归纳假设,BT
.3 ?
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??
??P令
1 T0
0 2P
则
3113 PAPPP TT
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P 2
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TT
T
BPP
a
22
11
1
0
0
,为对角阵 则令,PP
31 P?,3113 为对角阵PAPPPAPP
TTT ?
.0 0,)2( 12nn2211 ???? aaaa ?
.
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n
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
且
.11 ?
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?APP T
122a *
* *
( 1 ), 化成了情形
例 3.1 将 f 化成标准型,
.262 133221 xxxxxxf ???
解 二次型对应矩阵的对角元全为零，
故属定理证明中情形 (2),
,
1
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1 1? 0
1
0
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令
则对应于线性变换,?
?
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,211 yyx ??
,212 yyx ??
.33 yx ?
则
133221 262 xxxxxxf ???
)(2)(6))((2 2133212121 yyyyyyyyyy ???????
2221 22 yy ??
2313 22 yyyy ??3231 66 yyyy ??
.8422 32312221 yyyyyy ????
,
2
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0
0
1 0
0 1
令
则对应于线性变换,?
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,22 zy ?
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2
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2
1 8422 yyyyyyf ????
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2
2
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1(42)
2
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32
2
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2
2
2
331
2
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2( zzzzzzzzzz ???????
2
12
1 z? 232z?222z?,8
32 zz?
,
3
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令
则对应于线性变换,?
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,11 uz ?
,221 322 uuz ???
.33 uz ?
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1 zzzzzf ????
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1 )22
1(82)2
2
1(2
2
1 uuuuuuu ????????
332
2
3
2
332
2
2
2
1 )164(2)842
1(
2
1 uuuuuuuuu ????????
.62121 232221 uuu ???
二次型的标准型不唯一
上述方法也叫配方法
第一步相当于配平方项,
.262 133221 xxxxxxf ???
?
?
?
?
?
,211 yyx ??
,212 yyx ??
.33 yx ?
.8422 32312221 yyyyyy ????
?
?
?
?
?
,21 311 zzy ??
,22 zy ?
.33 zy ?
第 二步相当于配方,
32
2
3
2
2
2
331
2
1 822)42224(2
1 yyyyyyyyf ????????
32
2
3
2
2
2
31 822)22(2
1 yyyyyy ?????
32
2
3
2
2
2
1 8222
1 zzzzz ????
?
?
?
?
?
,11 uz ?
,221 322 uuz ???
第 三步相当于配方,
32
2
3
2
2
2
1 8222
1 zzzzzf ????
.33 uz ?
2
3
2
332
2
2
2
1 6)422(22
1 zzzzzz ???????
2
3
2
32
2
1 6)42(2
1
2
1 zzzz ????
.62121 232221 uuu ???
推论 3.1任何一个非奇异对称矩阵 A,均能够找
到一个满秩的矩阵 Q,使得 QTAQ 为对角元为 1或
－ 1的对角阵,且 1的个数 (正惯性指数 )和－ 1的个
数 (负惯性指数 )不因 Q不同而变化。
实际上,注意到任何标准型：
实际上对满秩阵 Q 我们有更强的结果,
?),,( 21 nxxxf ? ?? 2111 xa ?? 2222 xa ?? 2nnn xa?
都可经线型变换：
,|| 1111 xay ??,|| 2222 xay ??
,?
nnnn xay || ??
化为
.22221 nyyyf ????? ?
§ 4化二次型化为标准形式的其它方法
一,初等变换法
运用初等变换将二次型 ?),,(
21 nxxxf ? XX AT
化为标准形式的做法如下：
??
?
??
?
E
A
先对 A 进行“行”的初等变
换
后对整个矩阵作同样的“列”初等变
换
?
?
?
?
?
?
Q
B
B 对角矩阵
变换矩阵 Q 满秩
BQAQ T ?
?f XX AT YY QAQ TT? YY BT? )Q( YX ?
单位矩阵 E
二次型的矩阵 A
对Ａ运用初等行变换即 左乘满秩阵 Q的转
置,再对整个矩阵运用同样的初等列变换即
左乘满秩阵 Q的转置：
Q
T
?
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E
AQ
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Q
Q T
E
AQ
.?
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Q
B
例 4.1 化二次型 2
2312121 342 xxxxxxf ????
为标准形式。
解
??
?
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??
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E
A
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00
0 0
互换 1,2行
互换 1,2列
?
?
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00
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1
0 2?
1
1
0
0
乘第一行加到第二行
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?
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0
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乘第一列加到第二列
31?
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0
??
?
?
??
?
E
A
乘第二行加到第三行3
乘第二列加到第三列
??
?
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??
?
E
A
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0
3
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0 0
0
1
1
0
对角矩阵 B
变换矩阵 Q
令
,Q YX ?
即
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x
x
x
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3
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y
y
y
即 二次型 3
2312121 342 xxxxxxf ????
化为
标准形式,
?? YYf BT 236 y?213y 2
23
2 y?
则
?f XX AT YY QAQ TT? YY BT?
二、正交变换法化
运用正交变换将二次型 ?),,(
21 nxxxf ? XX AT
化为标准形式的做法如下：
?),,( 21 nxxxf ? XX AT
求特征方程 0|EA| ?? ? 的所有特征值 (根 )：
,1?,2?,?,n?
写出标准形式,22
22
2
11 nn yyyf ??? ???? ?
重根一一写出
0为 重根rn?
)A( rr ?
例 4.2 将下列二次型化为标准形式：
?? 212 xxf ?312 xx ?412 xx ?322 xx ?422 xx 432 xx
解
?
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?A
0 1 1 1?
0 1? 1
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?? |EA| ?
?? 1 1 1?
?? 1? 1
?? 1
??
1
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1? 11
3)1)(3( ??? ??
特征根：
31 ???
1432 ??? ???
标准形式为：
242322213 yyyyf ?????
问题 1 标准形式对应的对角阵是什么？
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??
3? 0 0 0
1 0 0
1 0
1
0
0 0
0 00
由于：,3 2
4232221 yyyyf ?????
问题 2 。使得求 ??? AQQ 1 Q,
线性无关，对应的特征向量若求得 4321,,,,?????? ii
),4,3,2,1(,?? iA iii ???则
,),,,),,,43214321 ?? ???????? （（也即 A
),,,,4321 ????（令 ?Q,A ?? QQ则,AQ 1 ??? Q即
向量。的四个线性无关的特征下面求 A
.0) ?? xAE?（程组也即解齐次线性代数方
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?? EA
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),,,4321 ????（?? Q
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1001
0101
0011
1111
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问题 3 。使得求正交矩阵 ??? AQQQ 1,
依据,不同的特征值对应的特征向量正交。
求解过程：
1,在求得 n 个线性无关的特征向量后，
对属于相同特征值的特征向量构成的
线性无关向量组正交化；
2：将求得的正交向量组单位化。
在上例中，通过正交化得正交的特征向量：
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Q
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2/3002/1
12/13/202/1
12/16/12/12/1
12/16/12/12/1
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?
在上例中，通过正交化得正交的特征向量：
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1
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3/1
3/1
4
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? ?||/||/||/||/ 44332211 ?????????Q
注意
如果矩阵的特征值互不相同, 由于它
们的特征向量互相正交, 故直接对特征
向量单位化即可得到正交矩阵 Q。
§ 5 正定二次型
定理 5.1设二次型 ?
?
?
n
ji
jiijn xxaxxf
1,
1 ),,( ?
)( jiij aa ?
的秩,nr ? 若经过初等变换或正交变换将它化为
及
2222211 rr yyyf ??? ???? ?
2222211 rr ykykykf ???? ?
则
l?
中正数的个数与
lk
中正数的个数相等,其中
。rl,,2,1 ?? 所含负数个数当然也相等
该定理称为惯性定理
其中 ?l ? 0,kl ? 0 ( l = 1,2,…,r).
定义 5.1 设有二次型
?),,( 21 nxxxf ? XX AT )(
1,
jiij
n
ji
jiij aaxxa ?? ?
?
若对于任意一组不全为零的实数,,,
21 nxxx ?
如果 f 的值恒为正，则称 f 为正定二次型；
如果 f 的值恒为负，则称 f 为负定二次型；
非负,半正定二次型；
非正,半负定二次型。
如果 f 的值变号，则称 f 为不定二次型；
相应地称二次型的矩阵 A为正定、负定和不定阵。
半正定 和半负定阵。
一,二次型
有定性的判别法
特征值法
主子式法
1,二次型有定性的特征值判别法
定理 5.2
二次型 ?),,(
21 nxxxf ? XX AT
为正 (负 )定
的充要条件是 ),,(
21 nxxxf ?
所对应矩阵 A 的
所有特征值均大于 (小于 )零。
n 个特征值
2,二次型有定性的主子式判别法
定理 5.3二次型 ?),,(
21 nxxxf ? XX AT
为正定
的 充要条件是其矩阵 A 的行列式 |A| 及其左上角
各阶子式 (称为 A 的顺序主子式 )恒为正，即
,011 ?a,0
2221
1211 ?
aa
aa,?
。0
21
22221
11211
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
例 5.1 判别二次型的有定性：
2332223121321 8463),,( xxxxxxxxxxf ?????
解
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A
3 0 3
0
3
1 2?
2? 8
,03 ?
3 0 3
0
3
1 2?
2? 8
故 此二次型是正定的。
两种方法均可用，我们
在这里运用主子式法。
,3?
3 0
0 1
,3?
本节的重要概念和定理：
二次型的标准形式；
二次型的正定、负定；
二次型的惯性定理；
矩阵的特征值；
合同关系
正交矩阵，正交变换
二、二次型有定性的应用
利用二次型的有定性及泰勒公
式，可以得到一个关于多元函
数极值的判别法 (充分条件 )。
三,泰勒公式与二次型
多元函数的泰勒公式的一般形式为：
?)( Xf ?)( 0Xf )(
!
1
0
11
???
?
?
???
?
?
?
???
??
Xfx
xk
n
i
i
i
m
k
,)(
!)1(
1
0
1
XXfx
xm
n
i
i
i
????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
)10( ?? ?
k
1?m
下面写出带拉格朗日余项的二阶泰勒公式
?)( Xf ?)( 0Xf )(
!
1
0
1
2
1
???
?
?
???
?
?
?
???
??
Xfx
xk
n
i
i
ik
k
)(2 XR
?? )( 0Xf ?
?
?
?
?n
i
i
i
x
x
Xf
1
0 )( )(
!2
1
0
1
???
?
?
???
?
?
?
?? ?
?
Xfx
x
n
i
i
i
)(2 XR
2
?? )( 0Xf n
n
x
x
Xfx
x
Xfx
x
Xf ?
?
????
?
???
?
? )()()( 0
2
2
0
1
1
0 ?
?
?
?
?
??
??
???
?
????
?
??
21
21
0
2
2
2
0
2
2
12
1
0
2 )(
2)()(
2
1 xx
xx
Xfx
x
Xfx
x
Xf
n
n
?
?
?
?
?
??
??
???
?
?
nn
nn
xx
xx
Xf
1
1
0
2 )(
2? )(2 XR
令
,),,,( T21 nxxxX ??
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
???
nx
Xf
x
Xf
x
XfXf )(,,)(,)()( 0
2
0
1
0
0 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?)H(
0
X
11f? 12f?
?
nf1?
21f? 22f? nf2??
?
? ? ? ?
1nf? 2nf ?? nnf?
?
其中,???
jif 。ijf ??
0X
对称矩阵 称为 f (X) 在 X0 处的 Hessian矩阵
,),,,( T21 nxxxX ????? ?
)( 0XJf
)( g r ad 0Xf
带皮亚诺余项的
二阶泰勒公式可表示为
?)( Xf ?)( 0Xf XXf ??? )( 0
???? XXX )H(
2
1
0
T )(2 XR
此项像什么？
