§ 1 二元一次方程组的求解
一、二元一次方程组的求解公式
得
(a11a22－ a12a21) x1 = b1 a22－ b2 a12
(a11a22－ a12a21) x2 = b2 a11－ b1 a21
考虑
a11 x1+ a12 x2 = b1
a21 x1+ a22 x2 = b2
(1.1)
当 a11 a22－ a12 a21 ? 0时，
,
21122211
122221
1 aaaa
ababx
?
??
21122211
211112
2 aaaa
ababx
?
?? (1.2)
得唯一解
二、二阶行列式的概念
设有数表 a11
称 数 a11 a22－ a12 a21为对应于数表 (1.3)的二阶行列式,
记为：
(1.3)
2221
1211
aa
aa ?
副对角线主对角线
定义 1.1 a12
a21 a22
21122211 aaaa ?
(＋ )(－ )
记
1D
?
2D
?
D
方程组 (1.1)的解可以表示为：
,11
D
Dx ?
D
Dx 2
2 ? —— 克莱姆 (Gramer)法则
(1.4)
,
21122211
1222211 aaaa ababx ???
21122211
2111122 aaaa ababx ???
?,
122221 abab ?
?,
122111 abab ?
?
2221
1211
aa
aa
时0?
22
12
a
a
2
1
b
b
21
11
a
a
2
1
b
b
一、三阶行列式
设有数表
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
(2.1)
§ 2 n阶行列式
定义 2.1
引进记号：
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
(+)
(+)
(+)(－ )
(－ )
(－ )
? 312312 aaa?
322113 aaa? 312213 aaa?
332112 aaa? 322311 aaa?
称为对应于数表 (2.1)的三阶行列式
D ? 332211 aaa
例 如：
315
214
132
?
?
?
511 ???
75?
312 ?? 5)2()3( ????? 141 ???
34)3( ???? 1)2(2 ???－
易证,对于线性方程组
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
???
???
???
(2.2)
当
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ?
时0?
方程组有唯一解，记
则方程组 (2.2)的解为：
,11 DDx ?,22 DDx ? DDx 33 ? 自证
,
3332
2322
1312
1
aa
aa
aa
D ?
3
2
1
b
b
b
,
3331
2321
1311
2
aa
aa
aa
D ?
3
2
1
b
b
b
3231
2221
1211
3
aa
aa
aa
D ?
3
2
1
b
b
b
二、排列与逆序数
<1> 由自然数 1,2,…,n 组成的一个有序
数组 i1,i2,…,in称为一个 n级排列 。
例如, 由 1,2,3可组成的三级排列共有 3!＝ 6个,
它们是
n级排列的总数为 n!个。
定义 2.2
3 2 1;1 2 3; 1 3 2; 2 1 3; 2 3 1; 3 1 2;
<2> 一个排列中, 若较大的数 is 排在较小的数 it
的前面 ( is > it ) 时, 称这一对数 is it 构成一个 逆序 。
一个排列中逆序的总数, 称为它的 逆序数 。
记为 ?(i1,i2,… in),简记为 ? 。
1 3 2
?(1 2 3)=0,
?(3 1 2)=2,
?(4 5 2 1 3)=7,
例如：
2 1 3
3 1 2
(3) 逆序数为偶数的排列称为 偶排列
逆序数为奇数的排列称为 奇排列
(4) 将一个排列中两个位置上的数互换，而其余不
动，则称对该排列作了一次 对换 。
6 5 3 1 2 4 6 2 3 1 5 4
(? =11) (? = 8)
1 2 3 4 1 4 3 2
例如：
(? =0) (? = 3)
定理 2.1 每一个对换改变排列的奇偶性
结论：在 n ( ? 2) 级排列中，奇偶排列各有 个。2!n
三,n阶行列式的定义
分析：
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ?
312312322113332211 aaaaaaaaa ???
332112322311312213 aaaaaaaaa ???
?=0 ?=2 ?=2
?=3 ?=1 ?=1
? )( 321)1( jjj?? 321 321 jjj aaa?
类似地：
2221
1211
aa
aa
D ? 21122211 aaaa ??
21
21 21)()1( jjjj aa? ?? ?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22221
11211
?
n
n njjjjjj aaa ??? ??
21
21 21)()1( ?
n阶行列式定义 2.3
例 1 计算下列 n阶行列式
nn
a
a
a
D
?
22
11
1
?
0
0 nnaaa ?2211?
nnnn
aaa
aa
a
D
?
???
21
2221
11
2
?
0
nnaaa ?2211?
nnnnn
nn
n
aaa
aa
a
D
11
212
1
3
?
?
?
?
???0
)1(?? )1 21 ( ??nn? 1121 nnn aaa ??
12)2()1( ?????? ?nn
)1(2 )11( ????? nn
nnnnn
nn
n
aaa
aa
a
D
11
212
1
3
?
?
?
?
???0
)1(?? )1 21 ( ??nn? 1121 nnn aaa ??
11212
)1(
)1( nnn
nn
aaa ??
?
??
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332211 aaa? 322113 aaa? 312312 aaa?
312213 aaa? 322311 aaa? 332112 aaa?
行排列
列排列
2 1 3
(?=1)
1 3 2
(?=1)
322113 aaa
(?= 0)
1 2 3
(?= 2)
3 1 2
考察,2113 aa 1321 aa 3232 aa ?
定理 2.2 n阶行列式的定义也可写成
?D ? )( 21)1( niii ??? niii naaa ?21 21
nn jijiji aaa ?2211)1(?
)( 21 niii ?? )( 21 njjj ???
推论：
??D
例 2,选择 i 和 k, 使
53254321 aaaaa ki
成为 5阶行列式中一个带负号的项
解,
其列标所构成的排列为,i 5 2 k 3
若取 i = 1,k ＝ 4，
故 i = 4,k = 1 时该项带负号。
可将给定的项改为行标按自然顺序，即
53432251 aaaaa ki
则 ? (1 5 2 4 3) = 4,是 偶排列,
该项则带正号,对换 1,4的位置,则 4 5 2 1 3是
奇排列 。
一、行列式的性质
性质 1,将行列式的行、列互换，行列式的值不变
即：,?D
D = DT
行列式 DT 称为行列式 D 的 转置行列式 。
§ 3 行列式的性质与行列式的展开
则
naaa 11211 ?
naaa 22221 ?
????
nnnn aaa ?21 n
a
a
a
1
12
11
?
?TD
n
a
a
a
2
22
21
?
?
?
?
?
nn
n
n
a
a
a
?
2
1
证：
显然有 bij = aji (i,j=1,2,…; n)
则
n
n njjjjjjT bbbD ??
21
21 21)()1(? ?? ?
njjjjjj nn aaa ?? 21)( 2121)1(? ?? ?
D?
设行列式 DT 中位于第 i 行，第 j 列的元素为 bij
性质 2 互换行列式的两行 (列 )，行列式仅改变符号
,
21
11211
nnnn
n
aaa
aaa
M
?
????
????
????
?
?
qnqq aaa ?21
pnpp aaa ?21
则 D=－ M
,
21
11211
nnnn
n
aaa
aaa
D
?
????
????
????
?
?
qnqq aaa ?21
pnpp aaa ?21
推论 1,若行列式中有两行 (列 )对应元素相同, 则
行列式为零 。
证明, 交换行列式这两行，有 D = － D,故 D = 0
性质 3 若行列式某一行 (列 )的所有元素都乘以数 k，
等于该行列式乘以数 k,即：
kD?
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
????
?
21
21
11211
?
k
nnnn
n
aaa
aaa
?
???
???
?
21
11211
?
inii kakaka ?211D
证明：
推论 2,若行列式中的某行 (列 )全为零, 则行列式
为零 。
推论 3,若行列式中有两行 (列 )的对应元素成比例,
则该行列式为零 。
ni
n njijjjjj akaaD ??? )()1(
1
21 1)(1 ? ?? ?k
ni
n njijjjjj aaak ???
1
21 1)()1(? ?? ?k
kD? k
性质 4 若行列式中某一行 (列 )的各元素都是两个数的
和, 则该行列式等于两个行列式的和 。
21 DD ??
即,
nnnn
n
aaa
aaa
?
????
????
?
21
11211
?
nnnn
n
aaa
aaa
?
????
????
?
21
11211
?
inii aaa ?21 inii aaa ??? ?21
nnnn
n
aaa
aaa
?
????
????
?
21
11211
?
ininiiii aaaaaa ?????? ?2211D
证明：
21 DD ??
n
n njjjjj aaD ???
1
21 1)()1(? ?? ?)( ii jiji aa ??
n
n njjjjj aa ???
1
21 1)()1(? ?? ?
n
n njjjjj aa ???
1
21 1)()1(? ?? ?ijia
+ ijia?
性质 5 把行列式的某一行 (列 )的各元素乘以数 k后加到
另一行 (列 )的对应元素上去, 行列式的值不变 。
即：
nnnn
n
aaa
aaa
?
????
????
????
?
21
11211
inii aaa ?21
jnjj aaa ?21
nnnn
n
aaa
aaa
?
????
????
????
?
21
11211
?
inii aaa ?21
inii kakaka ??? ?211ja 2ja jna
用 ri 表示 D 的第 i 行
cj 表示 D 的第 j 列
ri ? rj表示交换 i,j 两行
ri × k 表示第 i 行乘以 k
ri + k rj 表示第 j 行乘以 k 加到第 i 行
ri ? k 表示第 i 行提出公因子 k
记号：
例 3.1 计算行列式
2 0 322
2 9 734
3 0 231
??D
解：
320022
330034
230031
?
??
?
?D
322
334
231
2 0 022
3 0 034
3 0 031
?????
50?? 5?
例 3.2 计算行列式
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
?D
解：
D
c1?c2
3315
1120
4351
2131
??
?
??
?
?
3315
1120
6480
2131
??
?
?
?
?
r2－ r1
72160
1120
6480
2131
?
?
??
?
?
r4＋ 5r1 r2 ? r3
72160
6480
1120
2131
?
??
?
?
r3 + 4 r2
151000
10800
1120
2131
?
?
?
?
r4 － 8 r2
2
5
000
10800
1120
2131
?
?
?
34 4
5 rr ?
4025821 ?????
二、行列式按行 (列 )的展开
在 n阶行列式
余下的元素按原来顺序构成
的一个 n－ 1阶行列式,
称为元素 aij 的 余子式, 记作 Mij,
定义 3.1
中，划去元素 aij 所在的行和列，
nnnjn
ini
nj
aaa
aa
aaa
D
??
?????
??
?????
??
1
1
1111
?
ija
ijjiij MA ??? )1((－ 1)
i+j 称为 aij 的 代数余子式,记作
余子式带上符号
例如,在四阶行列式
2014
3651
0310
7223
?
??
?
?D
中, a23 的余子式 M23和
代数余子式 A23，
,
214
351
723
23
?
?M
233223 )1( MA ???
214
351
723
?
??
分别为：
定理 3.1 (Laplace展开定理 ) 行列式等于它的任一行
(列 )的各元素与其对应的代数余子式之和,
),,2,1(
1
niAa
n
k
kiki ??? ?
?
或
),,2,1(
1
njAa
n
k
jkjk ??? ?
?
即,ininiiii AaAaAaD ???? ?2211
njnjjjjj AaAaAaD ???? ?2211
证明步骤：
<1> 证
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
11211
22221
11211
???
?
????
?
?
nnnn
nn
Aa
a
?
?00
<2> 证
nnnjnjnjn
njjj
aaaaa
aaaaa
??
???????
???????
??
111
11111111
??
??
ijijij
Aaa ?0000 ??
<3>
ininiiii AaAaAa ???? ?2211 ?
?
?
n
k
ikik Aa
1
nnnn
n
aaa
aaa
D
?
????
????
?
21
11211
?
inii aaa ?????????? 0000000 21 ????
nnnn
n
nnnn
n
nnnn
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
?
????
????
?
?
?
????
???
?
?
????
????
?
21
11211
21
11211
21
11211
????
00 2 ?ia ina?00001 ?ia
例 3.3 用 Laplace展开定理求例 3.2
解：
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
r2－ r1
r4 + 5 r1
72016
1102
6408
2113
?
?
??
?
按 c2 展开
7216
112
648
)1(1 21
?
?
??
?? ?r1 + 4 r2
r3－ 8 r2 15100
112
1080
?
?
?
?
按 c1 展开
1510
108)1()2( 12
?
???? ?
)1 0 01 2 0(2 ???
40?
15100
112
1080
?
?
?
?
例 3.4 证明四阶范德蒙行列式
3
4
3
3
3
2
3
1
2
4
2
3
2
2
2
1
4321
4
1111
xxxx
xxxx
xxxx
D ?
))()()()()(( 342414231312 xxxxxxxxxxxx ???????
)(41 jiij xx ??? ???
证：
D4
r4－ x1r3
r3－ x1r2
r2－ x1r1 1
2
4
3
41
2
3
3
31
2
2
3
2
14
2
413
2
312
2
2
141312
0
0
0
1111
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
??????
???
???
按 c1展开
)()()(
)()()(
14
2
413
2
312
2
2
144133122
141312
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
???
???
???
2
4
2
3
2
2
432141312
111
))()((
xxx
xxxxxxxxx ???
r3－ x2r2
r2－ x2r1
24
2
423
2
3
2423141312
0
0
111
))()((
xxxxxx
xxxxxxxxxx
??
?????
按 c1展开
)()())()(( 244233
2423
141312 xxxxxx
xxxxxxxxxx
??
?????
43
2423141312
11))()()()((
xxxxxxxxxxxx ??????
)())()()()(( 342414231312 xxxxxxxxxxxx ????????
)(41 jiij xx ??? ???
推论,n阶范德蒙 (Vandermonde)行列式
11
2
1
1
22
2
2
1
21
111
???
?
n
n
nn
n
n
n
xxx
xxx
xxx
D
?
????
?
?
?
)(1 jinij xx ??? ???
定理 3.2 行列式的任一行 (列 )的各元素与另一行 (列 )
的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 。
?
?
??
n
k
kjki jiAa
1
)( 0
或 ?
?
??
n
k
jkik jiAa
1
)( 0
即：
综合定理 3.1和定理 3.2，得：
ji?
,0
?
?
?
n
k
kjki Aa
1
?
?
?
n
k
jkik Aa
1
或
,D
ji?
ji?
,0
,D
ji?
定理 4.1 (克莱姆法则 )
11212111 bxaxaxa nn ???? ?
22222121 bxaxaxa nn ???? ?
nnnnnn bxaxaxa ???? ?2211
??????????
(4.1)
的系数行列式 0
21
22221
11211
??
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
§ 4 克莱姆法则
设线性方程组
其中 Di(i=1,2,…,n)是用常数项 b1,b2… ;bn代替 D
中第 i列各元素而得到的 n阶行列式, 即：
,11 DDx ?,22 DDx ?,? DDx nn ? (4.2)
则方程组 (4.1)有 唯一解,且解可表示为：
,
111
2121221
1111111
nnninin
nii
nii
aaaa
aaaa
aaaa
??
??????
??
??
??
??
??
?
(i=1,2,…,n)
iD
n
b
b
b
?
2
1
例 4.1 解线性方程组
82 32 421 ??? xxx
225 4321 ???? xxxx
73 4321 ???? xxxx
12224 4321 ???? xxxx
解：
2214
1113
1251
2032
??
?
?D
06 ???
方程组的系数行列式
所以方程组有唯一解，而：
,18
22112
1117
1252
2038
1
??
??
?
?D,0
22124
1173
1221
2082
2
?
?
?D
82 32 421 ??? xxx
225 4321 ???? xxxx
73 4321 ???? xxxx
12224 4321 ???? xxxx
,6
21214
1713
1251
2832
3
?
??
?
?D 6
12214
7113
2251
8082
4
??
?
?D
所以：,311 ??
D
Dx,02
2 ?? D
Dx
,133 ??? DDx 144 ?? DDx
D=－ 6,D1＝－ 18,D2= 0,D3= 6,D4=－ 6
注,在方程组 (4.1)中, 若所有的常数项 b1= b2 = …
= bn = 0,则方程组称为 n元齐次线性方程组 。
01212111 ???? nn xaxaxa ?
02222121 ???? nn xaxaxa ?
???????????
02211 ???? nnnnn xaxaxa ?
(4.3)
显然有 零解 x1 = x2 = … = xn = 0
结论 1,若齐次线性方程组 (4.3)的系数行列式 D ? 0，
则方程组只有零解 。
结论 2,若齐次线性方程组 (4.3)有非零解, 则系数行
列式 D = 0。