主
讲
曾
金
平
第七章
二次型与二次曲面
§ 1 二次型 的矩阵表示
考虑一个简单的几何问题：方程
)1.1(1721372107213 22 ??? yxyx
在平面上代表什么曲线？
将坐标系（ O,x,y) 逆时针旋转 45度,即令
??
?
?
? ??,
2
2
2
2
vux
则得曲线在坐标系 (O,u,v)中的方程：
)2.1(
,2 22 2 vuy ???
)3.1(.149
22
?? vu
从而曲线为一椭圆。 x
y
u
v
上述例子中，我们通过坐标变换 (1,2),
将曲线方程 (1.1)化为形如 (1.3)的标准形
式。坐标变换 (1.2)可以解释为满秩的线性
变换。应用此变换到 (1.1)的左边，便说满
秩变换 (1.2)将方程 (1.1)的左边化为方程
(1.3)的左边。从代数的观点看，即一个二
次多项式通过变量的满秩线性变换化为标
准型。下面我们讨论更一般情形。
定义 1.1
将 n 元二次齐次式
?),,( 21 nxxxf ? ?2111 xa ?2222 xa ?? ?2nnn xa
?21122 xxa ?31132 xxa nnnn xxa 112 ????
称为 n 元二次型。
二次型依其系数是实数或复数而分别称为
实二次型或复二次型。我们仅讨论实二次型。
设有二次型
?),,( 21 nxxxf ? ?2111 xa ?2222 xa ?? ?2nnn xa
?21122 xxa ?31132 xxa ?? nnnn xxa 112 ??
则称矩阵 A 为二次型的矩阵：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
?
?????
?
?
?
321
3333231
2232221
1131211
A
)( jiij aa ?
对称矩阵
矩阵 A 的秩就是二次型的秩，
记为 r = r(A)。
令
,),,,( T21 nxxxX ?? 则二次型的矩阵形式为
?),,( 21 nxxxf ? XX AT
),,,( 21 nxxx ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
?
?????
?
?
?
321
3333231
2232221
1131211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
x
x
x
?
2
1
)(
1,
jiij
n
ji
jiij aaxxa ?? ?
?
例 1.1 写出二次型的矩阵及其矩阵表示式：
212422214321 232),,,( xxxxxxxxxf ????
4332 46 xxxx ??解
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A
1 1 0 0
1
0
0
2 3 0
3
0
0 2?
2? 3?
令
,),,,( T4321 xxxxX ? 则 XXxxxxf A),,,( T4321 ?
例 1.2 写出二次型的矩阵和矩阵表示式：
2422214321 32),,,( xxxxxxxf ???
解
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A
1
2
0
3?
0
0
矩阵是对角矩阵
令
,),,,( T4321 xxxxX ? 则 XXxxxxf A),,,( T4321 ?
类似我们所考虑过的几何问题，我
们讨论在矩阵为 Q的线性变换，即
??
?
?
?
,12121111 nn yqyqyqx ???? ?
,22221212 nn yqyqyqx ???? ?
????
nnnnnn yqyqyqx ???? ?2211
会变成什么样子。的作用下，二次型 AXXf T?
)7.1(
用矩阵形式表示为：)7.1(
)8.1(,QYX ?
.),Y,),X,2,1,2,1 TnTn yyyxxx ?? （（其中 ??
由 (1.8),.TTT QYX ?
AXXf T? 则,A Q YQY TT?
,AQQB T?令, BYYf T?则
定理 1.1
.
Y
Q Y,X Q
,
AQQ
AXXAn
T
T
阵为
且这个二次型的矩的二次型，一个新变量
变成的线性变换通过一个矩阵为
的二次型个变量的矩阵为
?
定义 1.2
使矩阵
如果存在满秩和阶实对称阵对于
P
BAn,
,APPB T?
B.A,?记作合同于则称 BA
性质
反身性A;A )( ?i
对称性A;BBA )( ???ii
传递性C;ACBB,A )( ????iii
定义 1.3
只含有平方项的二次型
?),,( 21 nxxxf ? ?? 2111 xa ?? 2222 xa ??
2
nnn xa?
称为 n 元二次型的标准形式。
显然，标准二次型对应的矩阵为对角阵。
将以上的论述与例题结合起来，你能看
出二次型化为标准形式的实质吗？
对称矩阵 对角矩阵
在保秩的条件下，化为
矩阵 A 的秩就是二次型的秩,记为 r=r(A)。
在我们的例子中，通过变量的满秩线
性变换，我们将一个二次多项式化为标准
型。且容易看出，平面上任何两点在变换
前后的距离保持不变。下面我们将这种变
换单独进行讨论。
§ 2 正交变换
距离如下：
向量间的我们定义向量的长度和
维向量空间，是设
).,,,(
),,,,(
21
21
n
n
n
yyyY
xxxXnR
?
?
?
?
)1.2(,)()( 2/1
1
22/1 ?
?
??
n
i
i
T xXXX
)2.2(.])([)]()[( 2/12
1
2/1
i
n
i
i
T yxYXYXYX ?????? ?
?
定义 2.1
有若对任何
称为正交变换，上的线性变换向量空间
,,
n
n
RYX
R
?
?
矩阵。
所对应的矩阵为正交上的保距变换。为即 ??
?????
n
R
YXYX
)3.2(,)()(
定理 2.1
正交矩阵的充要条件为为A
)4.2(.IAA T ?
证明：
)()]([2 YXAYXAAYAX T ????
)()( YXAAYX TT ???
)()( YXYX T ???
.2YX ?? 充分性得证。
则成立，若先证充分性,)4.2(
.再证必要性 则有中令在,( 2, 3 ) 0?Y
,111 ?b
).(,0 jibbX jiij ???可得不同的值，如此依次取
).()( jiijTT bbAABAA ???设为对称矩阵。
)5.2(.)( XXXAAX TTT ?
可得中分别令在,)1,,0,0(,,)0,,1,0(,)0,,0,1()5.2( TTTX ?????
,122 ?b,?,1?nnb
可得，
，，中分别令再在
,)1,0,0,1(,
,)0,,1,01(,)0,0,1,1()5.2(
T
TTX
??
???
,012 ?b,013 ?b,?,01 ?nb
由对称性
,021 ?b,031 ?b,?,01 ?nb
证毕
正交矩阵的性质
?
?
?
??
?
ijj
T
i
n
A
???
??? ),,,,(
)i(
21
则比如令
向量构成单位正交基，正交矩阵的行向量或列
?
1;|A| )ii( ??
.A )iii( 非奇异
,,1 ji ?;,0 ji ?
由比如,
? ? ),(,,,
21
2
1
j
T
in
T
n
T
T
T
AAI ?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
?
(i),即得
二次型化标准形式
二次型化为标准形式的方法
正交变换法
配方法
初等变换法
讲
曾
金
平
第七章
二次型与二次曲面
§ 1 二次型 的矩阵表示
考虑一个简单的几何问题：方程
)1.1(1721372107213 22 ??? yxyx
在平面上代表什么曲线？
将坐标系（ O,x,y) 逆时针旋转 45度,即令
??
?
?
? ??,
2
2
2
2
vux
则得曲线在坐标系 (O,u,v)中的方程：
)2.1(
,2 22 2 vuy ???
)3.1(.149
22
?? vu
从而曲线为一椭圆。 x
y
u
v
上述例子中，我们通过坐标变换 (1,2),
将曲线方程 (1.1)化为形如 (1.3)的标准形
式。坐标变换 (1.2)可以解释为满秩的线性
变换。应用此变换到 (1.1)的左边，便说满
秩变换 (1.2)将方程 (1.1)的左边化为方程
(1.3)的左边。从代数的观点看，即一个二
次多项式通过变量的满秩线性变换化为标
准型。下面我们讨论更一般情形。
定义 1.1
将 n 元二次齐次式
?),,( 21 nxxxf ? ?2111 xa ?2222 xa ?? ?2nnn xa
?21122 xxa ?31132 xxa nnnn xxa 112 ????
称为 n 元二次型。
二次型依其系数是实数或复数而分别称为
实二次型或复二次型。我们仅讨论实二次型。
设有二次型
?),,( 21 nxxxf ? ?2111 xa ?2222 xa ?? ?2nnn xa
?21122 xxa ?31132 xxa ?? nnnn xxa 112 ??
则称矩阵 A 为二次型的矩阵：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
?
?????
?
?
?
321
3333231
2232221
1131211
A
)( jiij aa ?
对称矩阵
矩阵 A 的秩就是二次型的秩，
记为 r = r(A)。
令
,),,,( T21 nxxxX ?? 则二次型的矩阵形式为
?),,( 21 nxxxf ? XX AT
),,,( 21 nxxx ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
?
?????
?
?
?
321
3333231
2232221
1131211
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
x
x
x
?
2
1
)(
1,
jiij
n
ji
jiij aaxxa ?? ?
?
例 1.1 写出二次型的矩阵及其矩阵表示式：
212422214321 232),,,( xxxxxxxxxf ????
4332 46 xxxx ??解
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A
1 1 0 0
1
0
0
2 3 0
3
0
0 2?
2? 3?
令
,),,,( T4321 xxxxX ? 则 XXxxxxf A),,,( T4321 ?
例 1.2 写出二次型的矩阵和矩阵表示式：
2422214321 32),,,( xxxxxxxf ???
解
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A
1
2
0
3?
0
0
矩阵是对角矩阵
令
,),,,( T4321 xxxxX ? 则 XXxxxxf A),,,( T4321 ?
类似我们所考虑过的几何问题，我
们讨论在矩阵为 Q的线性变换，即
??
?
?
?
,12121111 nn yqyqyqx ???? ?
,22221212 nn yqyqyqx ???? ?
????
nnnnnn yqyqyqx ???? ?2211
会变成什么样子。的作用下，二次型 AXXf T?
)7.1(
用矩阵形式表示为：)7.1(
)8.1(,QYX ?
.),Y,),X,2,1,2,1 TnTn yyyxxx ?? （（其中 ??
由 (1.8),.TTT QYX ?
AXXf T? 则,A Q YQY TT?
,AQQB T?令, BYYf T?则
定理 1.1
.
Y
Q Y,X Q
,
AQQ
AXXAn
T
T
阵为
且这个二次型的矩的二次型，一个新变量
变成的线性变换通过一个矩阵为
的二次型个变量的矩阵为
?
定义 1.2
使矩阵
如果存在满秩和阶实对称阵对于
P
BAn,
,APPB T?
B.A,?记作合同于则称 BA
性质
反身性A;A )( ?i
对称性A;BBA )( ???ii
传递性C;ACBB,A )( ????iii
定义 1.3
只含有平方项的二次型
?),,( 21 nxxxf ? ?? 2111 xa ?? 2222 xa ??
2
nnn xa?
称为 n 元二次型的标准形式。
显然，标准二次型对应的矩阵为对角阵。
将以上的论述与例题结合起来，你能看
出二次型化为标准形式的实质吗？
对称矩阵 对角矩阵
在保秩的条件下，化为
矩阵 A 的秩就是二次型的秩,记为 r=r(A)。
在我们的例子中，通过变量的满秩线
性变换，我们将一个二次多项式化为标准
型。且容易看出，平面上任何两点在变换
前后的距离保持不变。下面我们将这种变
换单独进行讨论。
§ 2 正交变换
距离如下：
向量间的我们定义向量的长度和
维向量空间，是设
).,,,(
),,,,(
21
21
n
n
n
yyyY
xxxXnR
?
?
?
?
)1.2(,)()( 2/1
1
22/1 ?
?
??
n
i
i
T xXXX
)2.2(.])([)]()[( 2/12
1
2/1
i
n
i
i
T yxYXYXYX ?????? ?
?
定义 2.1
有若对任何
称为正交变换，上的线性变换向量空间
,,
n
n
RYX
R
?
?
矩阵。
所对应的矩阵为正交上的保距变换。为即 ??
?????
n
R
YXYX
)3.2(,)()(
定理 2.1
正交矩阵的充要条件为为A
)4.2(.IAA T ?
证明：
)()]([2 YXAYXAAYAX T ????
)()( YXAAYX TT ???
)()( YXYX T ???
.2YX ?? 充分性得证。
则成立，若先证充分性,)4.2(
.再证必要性 则有中令在,( 2, 3 ) 0?Y
,111 ?b
).(,0 jibbX jiij ???可得不同的值，如此依次取
).()( jiijTT bbAABAA ???设为对称矩阵。
)5.2(.)( XXXAAX TTT ?
可得中分别令在,)1,,0,0(,,)0,,1,0(,)0,,0,1()5.2( TTTX ?????
,122 ?b,?,1?nnb
可得，
，，中分别令再在
,)1,0,0,1(,
,)0,,1,01(,)0,0,1,1()5.2(
T
TTX
??
???
,012 ?b,013 ?b,?,01 ?nb
由对称性
,021 ?b,031 ?b,?,01 ?nb
证毕
正交矩阵的性质
?
?
?
??
?
ijj
T
i
n
A
???
??? ),,,,(
)i(
21
则比如令
向量构成单位正交基，正交矩阵的行向量或列
?
1;|A| )ii( ??
.A )iii( 非奇异
,,1 ji ?;,0 ji ?
由比如,
? ? ),(,,,
21
2
1
j
T
in
T
n
T
T
T
AAI ?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
?
(i),即得
二次型化标准形式
二次型化为标准形式的方法
正交变换法
配方法
初等变换法
