主
讲
曾
金
平
第六章 线性变换
§ 1 线性变换的定义
例 1.1 设 R 是实数域 。 考虑最简单而又最基
本的线性函数：
,)( axxfy ??
其定义域和值域都是实数域 R,即对 R 中每一
个实数 x,线性函数 f 使其对应一个函数值 ax，
并且具有 如下 性质：
),()()()1( 2121 xfxfxxf ???
).()()2( xkfkxf ?
例 1.2 考虑二维向量空间 R2,R2 的变换：
，)s i nc o s,s i nc o s( ???? yxyx ??
其中 ?? R 是任意一个角度 。
),()()()1( ???? σσσ ???
? 也具有线性函数的两个性质 (1),(2)：
).()()2( ?? σσ kk ?
? 称为旋转变换 。
：σ ),( yx?? ?|
例 1.3 考虑 Rn× n,即 R 上 n× n 维 矩阵
构成的 n2 维向量 空间 。 它的转置
变换：
nnRAAA ????,,'|τ
),()()()1( BABA τττ ???
同样具有线性函数的两个性质 (1) 和 (2)：
).()()2( AkkA ττ ?
定义 1.1 设 V 是 R 上任一向量空间,
?是 V 的一个变换, 如果满足
则称 ?是 V 的一个线性变换 。
注：我们通常用希了母 ?,?,ρ,…
表示线性变换 。
),()()()1( ???? σσσ ???
),()()2( ?? σσ kk ?,,,RkV ??? ??
例 1.4 设 V 是任一向量空间, 考虑 V 的如
下变换：
,| 0??
.| ?? ?
可以看出 ?,?是 V 的线性变换,
?,
?,
零变换 简记为 ?
恒等变换 简记为 l
)()()( 22112211 ???? σσσ kkkk ???
命题 1.1 设 ?是向量空间 V 的一个变换,
?为线性变换, 当且仅当
成立。，对任何 RkkV ?? 2121,,??
证,必要性的证明很显然, 这里仅证充分性,
根据定义, 只需证 (1),(2) 式成立 。
(1) 取 k1 = k2 = 1,则
);()()( 2121 ???? σσσ ???
(2) 取 k1 =0,k2 = k 任意，有
)( 2?kσ
因此 ?是线性变换。
)()(0 21 ?? σσ k?? ).( 2?σk?
)0( 21 ?? k?? σ
在向量空间, 我们试图将每个线性变换用一
组数具体地表示出来, 这样, 就使得 n 维 向 量空
间上的线性变换与 n 阶矩阵联系起来, 进而使得
线性方程组的理论成为讨论有限维向量空间的线
性变换问题的有力代数方法, 同时, 线性变换和
矩阵一样具有相应的代数运算 。
§ 2 线性变换的表示与运算
x
y
o
例 2.1 在二维空间中，绕原点的旋转变换：
其中
.??
?
?
???
?
?A
，,)s inc o s,s inc o s(|),( ???? yxyxyx ????
，'),()),(( Ayxyx ?σ
α ),( yx??
)(?σ
?sin
?s in??cos
?cos
θ
),s i n,c o s( ??? rr? 记
?)(?σ ) ),s i n(),c os (( ???? ?? rr
于是, 我们就可将二维向
量空间中的旋转变换 ?与矩阵
A 联系起来了 。
设 V 是 R 上 n 维向量空间, ? 是 V
的 线 性 变 换, 取定 V 的 一 个 基 底
.,21 n??? ?，，
，nnxxx ???? ????? 2211
则
).()()()( 2211 nnxxx ???? σσσσ ???? ?
？表示，，如何用 )(,21 ???? σn?
若
nnaaa ???? 12211111 )( ???? ?σ;),,,(
1
21
11
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
a
a
a
?
? ???
考虑每一个 ? (?i),i =1,2,…,n。 因为 ? (?i)
? V,所以 ? ( ? i) 可用基 ?1,?2,…,?n 线性表示
出来 。 因此,存在 a11,…,an1 ? R,使
nnaaa ???? 22221122 )( ???? ?σ;),,,(
2
22
12
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
a
a
a
?
? ???
同样,存在 a12,…,an2 ? R,使
????
.)( 2211 nnnnnn aaa ???? ???? ?σ
存在 a1n,…,ann ? R,使
.),,,(
2
1
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
n
n
n
a
a
a
?
? ???
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
………
于是令
))(σ,),(σ),(σ(),,,(σ 2121 nn ?????? ????
则
.),,,( 21 An??? ??
由于
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
?
?
2
1
21
))(,,)(),(()( ???? σσσσ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
?
?
2
1
21
),,,( ???σ
.),,,(
2
1
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
A??? ?
.
2
1
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
x
x
x
A
y
y
y
??
由向量表示的惟一性，得：
(2.1)
定义 2.1 称 (2.1) 式为线性变换 ? 在基底
n???,,,21 ?
下的坐标表示。式中的 n 阶方阵 A 称做基底
(2.2) 的表示矩阵。
)2.2(
引理 2.1
设 V 是数域 R 上向量空间,n???,21 ?，，
是 V 的一组基，那么对于 V 中任意 n 个向量
,,21 n??? ?，，
使得
恰有 V 的一个线性变换 ?，
?(?i ) = ?i,i = 1,2,…,n。
定理 2.1
设 V 是 n 维向量空间, 对任意一组给
定的基, V 的任一线性变换 ? 都有惟一的
表示矩阵；反之, 给定一个 n 阶方阵, 有
惟一的线性变换 ?,使得在给定基底下的
表示矩阵为 A。
例 2.2 设 V 是 R 上一个 n 维向量空间,
?,? |? k ? 称 为 V 的一个位似变换 。
那么 ?关于 V 的任一基的矩阵是
.
00
00
00
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k
k
k
位似变换是将 ? 拉长
k 倍, 如图所示 。 ?
k?
x
y
特别地,V 的恒等变换 l 关于每一基的
表示矩阵是 单位矩阵；
零变换 ? 关于每一基的表示是 零矩阵。
下面我们定义线性变换的运算 。
定义 2.2 设 ?,? 是向量空间 V 的线性变换，
令
，,)()(| ??? τστσυ ?????
).(),(|,Rkkk ???? ?? σσψ
容易验证 ?, ? 是 V 的线性变换, 称 ?
为 ?与 ? 的和, ?为 ? 的 k 倍数乘 。
性质 2.1
σσ ??? ? 称为 ?的负变换。
(1) ? + ? = ? + ? ;
(2) ( ? + ? ) + ? = ? + (? + ? )；
(3) 存在惟一的零变换 ?，使
? +? = ?；
(4) 存在惟一的 ??，使
? + ?? = ?。
定理 2.2 V上所有线性变换对于加法和
纯量乘法构成 R 上一个 向量空间 。
定义 2.3 设 ?,?是 V 的两个线性变换, 令
则 ? 也是线性变换，并称之为 ?与 ?的乘积。
).() ),((| V????? ??? τστσυ,
如果存在线性变换 ?，使得
定义 2.4
其中 l 为恒等变换。
??? = ??? = l，
而且,称 ? 为 ? 的逆变换，
则称 ?可逆，
记为 ?－ 1。
(1) ?? (???) = ( ??? ) ??
(2) 存在惟一恒等变换使 ?? l = l ?? = ? ;
(3) 设 ?可逆，则 存在惟一 ? 使
??? = ??? = l。
性质 2.2
记号,恒等变换 l
?的逆变换 ? － 1
定理 2.3
,|,| BA ?? τσ;| BA ??? τσ ;| RaaAa ??,σ
.| AB??τσ
则
?1,?2,…,?n 是 V 的一组基。
如果 ?,?? L(V)，
对于 V 的每一线性变换 ?，
令 ? 关于基 ?1,?2,…, ?n 的矩阵与它对应。
这样就得到 V 的全体线性变换所成的集 L(V) 到
全体 n 阶矩阵所成的集合 Mn(R) 的一个双射。
设 V 是 R 上 n 维向量空间，
若
例 2.4 在 R3中, ? (x,y,z) = ( x,y,0),? (x,y,z) =
(－ x,y,z),? (x,y,z) = (x+y,y+z,z+x)是线
性变换, 关于标准基的表示矩阵分别为
,
000
010
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A,
100
010
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?B,
101
110
011
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?C
,
101
110
011
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?BC
.,
101
010
011
CBBCCB ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
推论 2.1 设 R 上 n 维向量空间 V 的一
个线性变换 ? 关于 V 的一个给定基的矩
阵是 A,则 ? 可逆当且仅当 A 可逆, 并
且 ? － 1 关于这个基的矩阵就是 A－ 1。
证：设 ? 可逆, 令 ?－ 1关于所取定的基的矩阵是
B,由定理 2.3 知 l = ??－ 1 |? AB,所以 AB = I，
同理,BA = I,故 B = A－ 1。
反之, 设 ? |?A,而 A 可逆, 由定理 2.3有
同理 ?·? = l。 所以 ?可逆, 而且 ? = ?－ 1 。
?? L(A) 使 ? |?A－ 1 。 于是,?·? |? A A－ 1=l，
故 ? ·? = l。
对于向量空间的线性变换, 表示矩阵很重要,
并且线性变换的表示矩阵是对于事先给定的基底而
言的, 而对任给的一个线性变换, 在空间的每一个
基底上都有一个表示矩阵, 于是很自然提出这样一
个问题, 同一个线性变换 ? 在空间 V 的不同的基底
下表示矩阵有何联系, 这一节, 我们便加以讨论 。
§ 3 线性变换在不同基下的表示
例 3.1 在 R2 上, ?1＝ (1,0),?2＝ (0,1) 是标准基,
),s i n,( c o s1 ??? ?? )c o s,s i n(2 ??? ???
也是一组基。线性变换
σ, (x,y)| ? ( x,0 )
在两组基下的矩阵各为什么?
矩阵为线性变换在此组基下的?
? (?1);
0
1
???
?
???
?
? (?2)
.00??
?
?
???
?
解,因为 ?1＝ (1,0),?2＝ (0,1)
= (1,0) = ? 1 = (?1,?2)
= ( 0,0) = (?1,?2)
.
00
01
??
?
?
??
?
?
?A
σ, (x,y)| ? ( x,0 )。
容易验算
同样, 因为
212 c o ss inc o s ????? ????;
c o ss in
c o s),( 2
21 ??
?
?
???
?
?
???
??
???
),s i n,( c o s1 ??? ??
),c os,s i n(2 ??? ???
)( 1??σ )0,( c os ??
)( 2??σ )0,s in( ???
.s in c oss in),( 221 ??
?
?
???
????
?
????
σ, (x,y)| ? ( x,0 )，
得
在 ? '1,? '2下，对应矩阵为
.
s i ns i nc o s
s i nc o sc o s
2
2
??
?
?
??
?
?
? ???
???
＝B;
c o ss i n
c o s),( 2
21 ??
?
?
???
?
?
???
??
???
.s i n c oss i n),( 221 ??
?
?
???
????
?
????
)( 1??σ
)( 2??σ
即
设矩阵,
co ss i n
s i nco s
?
?
??
?
? ?
??
??
＝T
容易验算
TAT－ 1=B。
一般情形, 设 ?是 n 维向量空间 V 的一个线
性变换, ?1,?2,…,?n 是 V 的一组基, ? 在其
下的表示矩阵为 A,?1,?2,…, ?n 是 V 的另一组
基, ? 在其下的表示矩阵是 B,令 ?1,?2,…,?n
到 ?1,?2,… ?n 的 过渡矩阵为 P,即
? ? ? ?,,.,,,,,.,,,,2121 Ann ?????? ?σ (3.1)
(3.2)
(3.3)
? ? ? ?,...,...,2121 Bnn ??????,，，,?σ
? ? ? ?,,...,,...,2121 Pnn ?????? ?，，
? ?n???,,,21 ?σ
(3.4)
(3.5)
故
PBP－ 1=A.
? ?n???,,,21 ?σ
则：
? ? Bn???,,,21 ??
? ?,,,,21 PBn??? ??
? ? Pn???,,,21 ?σ?
? ?,,,,21 APn??? ??
? ? PBn???,,,21 ? ? ?,,,,21 APn??? ??
所以
PB AP
定理 3.1 设 ? 是 n 维线性空间 V 的线
性变换 ?1,?2,…,?n 与 ?1,?2,…, ?n
是 V 的两组基, 过渡矩阵为 P,如果 ? 在
基底 ?1,?2,…,?n 下表示矩阵为 A,在
?1,?2,…, ?n 下表示矩阵为 B,那么
B＝ P－ 1AP。
B＝ P－ 1AP
该定理表明, 同一线性变换 ? 在空间 V
的各个基底下的所有表示矩阵是彼此相似的,
而演化矩阵就是基底的过渡矩阵 。
相似关系
定理 3.2 若线性变换 ? 在 ?1，
?2,…,?n 上的表示矩阵为 A,而矩阵
B 是相似于 A 的任一矩阵, 即存在 P，
使得 B＝ P－ 1AP,那么以 P 为过渡矩阵
得到基底 ?1,?2,…, ?n, 使 ? 在此基
底下表示矩阵为 B。
例 3.2 在 R3 中,?1,?2,?3 为标准基，线性
变换
?,(x,y,z) |? (x,y,0)。
而 ?1 = (1,0,0),?2 = (1,1,0),?3 = (1,1,1) 是另一
组基。验证 ?在两组基下的矩阵的相似关系。
则有 (?1,?2,?3 ) = (?1,?2,?3) P 得：
解,设 ?1,?2,?3 到 ?1,?2,?3 的过渡矩阵为 P。
.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
＝P
0
0
1
0
1
1
1
1
1
APPB 1－＝
.
100
110
011
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
－
－
＝
－
P
，＝
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
000
010
001
A
所以
又 ?,(x,y,z) |? (x,y,0)，
所以
因此
.
000
110
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
＝
定义 4.1 V 是向量空间, ?是 V 的一
个线性变换 。 对 V 的一个子空间 W,如果
有 ? (W) ? W,即对任何 ?? W,有
§ 4 不变子空间，像空间和核空间
σ (?) ? W,
就说 W 在线性变换 ?之下不变，或者说
W 是 ? 的不变子空间。
)
σ (?)
例 4.1 证明向量空间 V 和 零子空间 O 是
任何线性变换的不变子空间 。
? (?) ? V，
证,显然对任何 ? ? V,及 ??L(V),有
故 V 是 ?的不变子空间。
而对 0? O（零空间的惟一元素） 显然有
? (0)
故 O 也 是 ?的不变子空间。
= ? (0·0)= 0· ? (0) = 0 ? O，
例 4.2 W 是 V 的任何一个子空间,
σ = k l 是位似变换, W是否为 ? 的不
变子空间？
? (?) = k ? ? W，
所以,W 是 ? 的不变子空间。
因为 ?? ? W,有解：
例 4.3 设 ? 是 R3 中, 以某一过原点的直
线 L 为轴, 旋转一个角度 ?, 那么旋转轴 L 是
? 的一个一维不变子空间, 而过原点与 L 垂直
的平面 H 是 ? 的一个二维不变子空间 。 则, L
和 H 都是 ?的不变子空间 。
H
y
L
z
x
O
例 4.4 设 ? 是上例所给出的 R3 中的线性变
换, 显然 R3 是一维子空间与二维子空间 H 的直
和, 而 L 和 H 都在 ? 之下不变 。 取 L 的一个非
零向量 a1,H 的两个相互正交向量的 a2,a3,则
a1,a2,a3构成 V 的一组基, 而 ? 在这个基下的
矩阵是
.
c o ss i n0
s i nc o s0
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
定理 4.1
.
0
0
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k
A
A
A
?
,21 kWWWV ???? ? 设
Wi 为 ? 的不变子空间。
则它们合起来形成 V 的一组基。
在每一子空间中取一个基
).,2,1(,,,1 kiiiki ?? ???
且 ? 关于这个基的矩阵就有形式：
由此可见, 给定 n 维向量空间 V 的一个
线性变换 ?,只要能够将 V 分解成一些在 ?
之下不变的子空间的直和, 那么就可以适当
地选取 V 的基, 使得 ? 关于这个基的矩阵比
较简单 。 特别, 如果能将 V 分解 n 个在 ? 之
下不变的一维子空间的直和, 那么, ? 的表
示矩阵就有对角形式 。
定理 4.2 令 ?是 V 的一个线性变换, 那
么 ? 的核 ker ?和像 Im ? 都在 ?之下不变 。
,ke r σ?? ?
,Im σ ?? ?又
故 ker ? 和 Im ?，都是 ? 的不变子空间。
证：
? ? 0??σ有 ;ke r σ?
? ??σ有,Im σ?
定理 4.3 V 是向量空间, ? 是线性变
换, ?的表示矩阵为 A,则
dim Im ? = rank A
证,
? (a1,a2,…,an ) = (a1,a2,…,an )A,
故
dim Im ? = rank A.
令 a1,a2,…,an 是 V 的基，
即
定理 4.4 dim ker ? = n－ rank A,
证：
? ?,}0{k e r ??? ?? σσ V
σke r?? ?
这表示 ker? 中的向量 ? 是线性方程
组 A ?＝ 0 的解 。
dim Im ? = n－ rank A。
由定义
.0?? ?A
反之亦然。
所以
? ? ???? ),( 1 n??σ
推论 4.1 V 是向量空间,?是其线性变换，则
(1) ?是满射充分必要条件是 ? 是单射。
(2) ?是单射充分必要条件是 ?可逆。
例 5.1 设 R 是实数域，线性变换
?,x|? ax。
则 R 是 ? 的一维不变子空间。
§ 5 特征根和特征向量
且
? (x) = ax。
例 5.2 在向量空间 R3 中，线性变换
? ? ? ?,,c o ss i n,s i nc o s,,zyxyxzyx ????? ???＝：σ
L = {(0,0,z) | z ? R}是 ?的一维不变子空间。
且对任何 ? ? L,
?(?) = ?。
定理 5.1 设 ? 是向量空间 V 的线性变换,
则 V 有关于 ? 的一维不变子空间的充要条件
是存在 ?? R,以及非零向量 ?? V,使得
.)( ??? ?σ (5.1)
证,
使得，且，,0 ??? ??? VR
则
? ? }{ RkkR ?? ??
反之, 设 L 是 ? 的一维不变子空间,
是 ? 的一个一维不变子空间
若存在
，＝ ??? )(σ
证毕
,)( V??σ 因为
。使得则存在 }{,RkkLV ??? ??
使得存在,R??
。??? ?)(σ
.)( ??? ?σ (5.1)
定义 5.1 称式 (5.1) 中的 ?? R 为线性变
换 ? 的特征根，称 ξ ? 0 为 ?的属于特征
根 ? 的特征向量。
定义 5.2 设 A 为 n 阶方阵。如果 ?? R 满
足 |A－ ?I|＝ 0,则称 ? 为 矩阵 A 的特征根。
定理 5.2 设 n 阶矩阵 A 是 n 维向量空间
V 上的线性变换 ?的表示矩阵, 则 ?? R 是 ?
的特征根的充要条件是 ? 为 A 的特征根 。
证
如果 ?＝ x1a1+x2a2+… +xnan 是 ? 属于 ? 的
一个特征向量, 因此, ? ( ? ) = ??,于是
取 V 的一组基 a1,a2,…,an。
)(?σ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
aaa
?
?
2
1
21
),,,(σ＝ ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
Aaaa
?
?
2
1
21
,,,
而
)(?σ ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
aaa
?
?
2
1
21
),,,(?＝
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
aaa
?
?
2
1
21
),,,( ?＝
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
Aaaa
?
?
2
1
21
,,,
x
x
所以,xAx ??
即
.0)( ?xIA ?－
因为 x ? 0,所以 | A－ ?I |＝ 0。
反之，
),( 0?? xxAx ?若
)(?σ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
aa ??
1
1 ),,(σ＝ ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
Aaa ??
1
1,,
,???
的特征根。为即 σ ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
aa ??
1
1,,? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
aa ??
1
1,,?
定义 5.3 V? 称为 ?属于特征根 ? 的特
征子空间 。
设 ?? R。 记
V?＝ {a | ?(a) = ? a,?? V,}。
由于 V?为 V 的子空间，可给出如下定义：
推论 5.2 ? 的属于特征根 ? 的特征
子空间 V?是 ? 的不变子空间 。
证
故 ? (?) ? V?。
? (? (?)) = ? (??) = ?? (?),
则 ? (?) = ??,因而???V?，
讲
曾
金
平
第六章 线性变换
§ 1 线性变换的定义
例 1.1 设 R 是实数域 。 考虑最简单而又最基
本的线性函数：
,)( axxfy ??
其定义域和值域都是实数域 R,即对 R 中每一
个实数 x,线性函数 f 使其对应一个函数值 ax，
并且具有 如下 性质：
),()()()1( 2121 xfxfxxf ???
).()()2( xkfkxf ?
例 1.2 考虑二维向量空间 R2,R2 的变换：
，)s i nc o s,s i nc o s( ???? yxyx ??
其中 ?? R 是任意一个角度 。
),()()()1( ???? σσσ ???
? 也具有线性函数的两个性质 (1),(2)：
).()()2( ?? σσ kk ?
? 称为旋转变换 。
：σ ),( yx?? ?|
例 1.3 考虑 Rn× n,即 R 上 n× n 维 矩阵
构成的 n2 维向量 空间 。 它的转置
变换：
nnRAAA ????,,'|τ
),()()()1( BABA τττ ???
同样具有线性函数的两个性质 (1) 和 (2)：
).()()2( AkkA ττ ?
定义 1.1 设 V 是 R 上任一向量空间,
?是 V 的一个变换, 如果满足
则称 ?是 V 的一个线性变换 。
注：我们通常用希了母 ?,?,ρ,…
表示线性变换 。
),()()()1( ???? σσσ ???
),()()2( ?? σσ kk ?,,,RkV ??? ??
例 1.4 设 V 是任一向量空间, 考虑 V 的如
下变换：
,| 0??
.| ?? ?
可以看出 ?,?是 V 的线性变换,
?,
?,
零变换 简记为 ?
恒等变换 简记为 l
)()()( 22112211 ???? σσσ kkkk ???
命题 1.1 设 ?是向量空间 V 的一个变换,
?为线性变换, 当且仅当
成立。，对任何 RkkV ?? 2121,,??
证,必要性的证明很显然, 这里仅证充分性,
根据定义, 只需证 (1),(2) 式成立 。
(1) 取 k1 = k2 = 1,则
);()()( 2121 ???? σσσ ???
(2) 取 k1 =0,k2 = k 任意，有
)( 2?kσ
因此 ?是线性变换。
)()(0 21 ?? σσ k?? ).( 2?σk?
)0( 21 ?? k?? σ
在向量空间, 我们试图将每个线性变换用一
组数具体地表示出来, 这样, 就使得 n 维 向 量空
间上的线性变换与 n 阶矩阵联系起来, 进而使得
线性方程组的理论成为讨论有限维向量空间的线
性变换问题的有力代数方法, 同时, 线性变换和
矩阵一样具有相应的代数运算 。
§ 2 线性变换的表示与运算
x
y
o
例 2.1 在二维空间中，绕原点的旋转变换：
其中
.??
?
?
???
?
?A
，,)s inc o s,s inc o s(|),( ???? yxyxyx ????
，'),()),(( Ayxyx ?σ
α ),( yx??
)(?σ
?sin
?s in??cos
?cos
θ
),s i n,c o s( ??? rr? 记
?)(?σ ) ),s i n(),c os (( ???? ?? rr
于是, 我们就可将二维向
量空间中的旋转变换 ?与矩阵
A 联系起来了 。
设 V 是 R 上 n 维向量空间, ? 是 V
的 线 性 变 换, 取定 V 的 一 个 基 底
.,21 n??? ?，，
，nnxxx ???? ????? 2211
则
).()()()( 2211 nnxxx ???? σσσσ ???? ?
？表示，，如何用 )(,21 ???? σn?
若
nnaaa ???? 12211111 )( ???? ?σ;),,,(
1
21
11
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
a
a
a
?
? ???
考虑每一个 ? (?i),i =1,2,…,n。 因为 ? (?i)
? V,所以 ? ( ? i) 可用基 ?1,?2,…,?n 线性表示
出来 。 因此,存在 a11,…,an1 ? R,使
nnaaa ???? 22221122 )( ???? ?σ;),,,(
2
22
12
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
a
a
a
?
? ???
同样,存在 a12,…,an2 ? R,使
????
.)( 2211 nnnnnn aaa ???? ???? ?σ
存在 a1n,…,ann ? R,使
.),,,(
2
1
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
n
n
n
a
a
a
?
? ???
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
………
于是令
))(σ,),(σ),(σ(),,,(σ 2121 nn ?????? ????
则
.),,,( 21 An??? ??
由于
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
?
?
2
1
21
))(,,)(),(()( ???? σσσσ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
?
?
2
1
21
),,,( ???σ
.),,,(
2
1
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
A??? ?
.
2
1
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
x
x
x
A
y
y
y
??
由向量表示的惟一性，得：
(2.1)
定义 2.1 称 (2.1) 式为线性变换 ? 在基底
n???,,,21 ?
下的坐标表示。式中的 n 阶方阵 A 称做基底
(2.2) 的表示矩阵。
)2.2(
引理 2.1
设 V 是数域 R 上向量空间,n???,21 ?，，
是 V 的一组基，那么对于 V 中任意 n 个向量
,,21 n??? ?，，
使得
恰有 V 的一个线性变换 ?，
?(?i ) = ?i,i = 1,2,…,n。
定理 2.1
设 V 是 n 维向量空间, 对任意一组给
定的基, V 的任一线性变换 ? 都有惟一的
表示矩阵；反之, 给定一个 n 阶方阵, 有
惟一的线性变换 ?,使得在给定基底下的
表示矩阵为 A。
例 2.2 设 V 是 R 上一个 n 维向量空间,
?,? |? k ? 称 为 V 的一个位似变换 。
那么 ?关于 V 的任一基的矩阵是
.
00
00
00
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k
k
k
位似变换是将 ? 拉长
k 倍, 如图所示 。 ?
k?
x
y
特别地,V 的恒等变换 l 关于每一基的
表示矩阵是 单位矩阵；
零变换 ? 关于每一基的表示是 零矩阵。
下面我们定义线性变换的运算 。
定义 2.2 设 ?,? 是向量空间 V 的线性变换，
令
，,)()(| ??? τστσυ ?????
).(),(|,Rkkk ???? ?? σσψ
容易验证 ?, ? 是 V 的线性变换, 称 ?
为 ?与 ? 的和, ?为 ? 的 k 倍数乘 。
性质 2.1
σσ ??? ? 称为 ?的负变换。
(1) ? + ? = ? + ? ;
(2) ( ? + ? ) + ? = ? + (? + ? )；
(3) 存在惟一的零变换 ?，使
? +? = ?；
(4) 存在惟一的 ??，使
? + ?? = ?。
定理 2.2 V上所有线性变换对于加法和
纯量乘法构成 R 上一个 向量空间 。
定义 2.3 设 ?,?是 V 的两个线性变换, 令
则 ? 也是线性变换，并称之为 ?与 ?的乘积。
).() ),((| V????? ??? τστσυ,
如果存在线性变换 ?，使得
定义 2.4
其中 l 为恒等变换。
??? = ??? = l，
而且,称 ? 为 ? 的逆变换，
则称 ?可逆，
记为 ?－ 1。
(1) ?? (???) = ( ??? ) ??
(2) 存在惟一恒等变换使 ?? l = l ?? = ? ;
(3) 设 ?可逆，则 存在惟一 ? 使
??? = ??? = l。
性质 2.2
记号,恒等变换 l
?的逆变换 ? － 1
定理 2.3
,|,| BA ?? τσ;| BA ??? τσ ;| RaaAa ??,σ
.| AB??τσ
则
?1,?2,…,?n 是 V 的一组基。
如果 ?,?? L(V)，
对于 V 的每一线性变换 ?，
令 ? 关于基 ?1,?2,…, ?n 的矩阵与它对应。
这样就得到 V 的全体线性变换所成的集 L(V) 到
全体 n 阶矩阵所成的集合 Mn(R) 的一个双射。
设 V 是 R 上 n 维向量空间，
若
例 2.4 在 R3中, ? (x,y,z) = ( x,y,0),? (x,y,z) =
(－ x,y,z),? (x,y,z) = (x+y,y+z,z+x)是线
性变换, 关于标准基的表示矩阵分别为
,
000
010
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A,
100
010
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?B,
101
110
011
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?C
,
101
110
011
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?BC
.,
101
010
011
CBBCCB ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
推论 2.1 设 R 上 n 维向量空间 V 的一
个线性变换 ? 关于 V 的一个给定基的矩
阵是 A,则 ? 可逆当且仅当 A 可逆, 并
且 ? － 1 关于这个基的矩阵就是 A－ 1。
证：设 ? 可逆, 令 ?－ 1关于所取定的基的矩阵是
B,由定理 2.3 知 l = ??－ 1 |? AB,所以 AB = I，
同理,BA = I,故 B = A－ 1。
反之, 设 ? |?A,而 A 可逆, 由定理 2.3有
同理 ?·? = l。 所以 ?可逆, 而且 ? = ?－ 1 。
?? L(A) 使 ? |?A－ 1 。 于是,?·? |? A A－ 1=l，
故 ? ·? = l。
对于向量空间的线性变换, 表示矩阵很重要,
并且线性变换的表示矩阵是对于事先给定的基底而
言的, 而对任给的一个线性变换, 在空间的每一个
基底上都有一个表示矩阵, 于是很自然提出这样一
个问题, 同一个线性变换 ? 在空间 V 的不同的基底
下表示矩阵有何联系, 这一节, 我们便加以讨论 。
§ 3 线性变换在不同基下的表示
例 3.1 在 R2 上, ?1＝ (1,0),?2＝ (0,1) 是标准基,
),s i n,( c o s1 ??? ?? )c o s,s i n(2 ??? ???
也是一组基。线性变换
σ, (x,y)| ? ( x,0 )
在两组基下的矩阵各为什么?
矩阵为线性变换在此组基下的?
? (?1);
0
1
???
?
???
?
? (?2)
.00??
?
?
???
?
解,因为 ?1＝ (1,0),?2＝ (0,1)
= (1,0) = ? 1 = (?1,?2)
= ( 0,0) = (?1,?2)
.
00
01
??
?
?
??
?
?
?A
σ, (x,y)| ? ( x,0 )。
容易验算
同样, 因为
212 c o ss inc o s ????? ????;
c o ss in
c o s),( 2
21 ??
?
?
???
?
?
???
??
???
),s i n,( c o s1 ??? ??
),c os,s i n(2 ??? ???
)( 1??σ )0,( c os ??
)( 2??σ )0,s in( ???
.s in c oss in),( 221 ??
?
?
???
????
?
????
σ, (x,y)| ? ( x,0 )，
得
在 ? '1,? '2下，对应矩阵为
.
s i ns i nc o s
s i nc o sc o s
2
2
??
?
?
??
?
?
? ???
???
＝B;
c o ss i n
c o s),( 2
21 ??
?
?
???
?
?
???
??
???
.s i n c oss i n),( 221 ??
?
?
???
????
?
????
)( 1??σ
)( 2??σ
即
设矩阵,
co ss i n
s i nco s
?
?
??
?
? ?
??
??
＝T
容易验算
TAT－ 1=B。
一般情形, 设 ?是 n 维向量空间 V 的一个线
性变换, ?1,?2,…,?n 是 V 的一组基, ? 在其
下的表示矩阵为 A,?1,?2,…, ?n 是 V 的另一组
基, ? 在其下的表示矩阵是 B,令 ?1,?2,…,?n
到 ?1,?2,… ?n 的 过渡矩阵为 P,即
? ? ? ?,,.,,,,,.,,,,2121 Ann ?????? ?σ (3.1)
(3.2)
(3.3)
? ? ? ?,...,...,2121 Bnn ??????,，，,?σ
? ? ? ?,,...,,...,2121 Pnn ?????? ?，，
? ?n???,,,21 ?σ
(3.4)
(3.5)
故
PBP－ 1=A.
? ?n???,,,21 ?σ
则：
? ? Bn???,,,21 ??
? ?,,,,21 PBn??? ??
? ? Pn???,,,21 ?σ?
? ?,,,,21 APn??? ??
? ? PBn???,,,21 ? ? ?,,,,21 APn??? ??
所以
PB AP
定理 3.1 设 ? 是 n 维线性空间 V 的线
性变换 ?1,?2,…,?n 与 ?1,?2,…, ?n
是 V 的两组基, 过渡矩阵为 P,如果 ? 在
基底 ?1,?2,…,?n 下表示矩阵为 A,在
?1,?2,…, ?n 下表示矩阵为 B,那么
B＝ P－ 1AP。
B＝ P－ 1AP
该定理表明, 同一线性变换 ? 在空间 V
的各个基底下的所有表示矩阵是彼此相似的,
而演化矩阵就是基底的过渡矩阵 。
相似关系
定理 3.2 若线性变换 ? 在 ?1，
?2,…,?n 上的表示矩阵为 A,而矩阵
B 是相似于 A 的任一矩阵, 即存在 P，
使得 B＝ P－ 1AP,那么以 P 为过渡矩阵
得到基底 ?1,?2,…, ?n, 使 ? 在此基
底下表示矩阵为 B。
例 3.2 在 R3 中,?1,?2,?3 为标准基，线性
变换
?,(x,y,z) |? (x,y,0)。
而 ?1 = (1,0,0),?2 = (1,1,0),?3 = (1,1,1) 是另一
组基。验证 ?在两组基下的矩阵的相似关系。
则有 (?1,?2,?3 ) = (?1,?2,?3) P 得：
解,设 ?1,?2,?3 到 ?1,?2,?3 的过渡矩阵为 P。
.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
＝P
0
0
1
0
1
1
1
1
1
APPB 1－＝
.
100
110
011
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
－
－
＝
－
P
，＝
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
000
010
001
A
所以
又 ?,(x,y,z) |? (x,y,0)，
所以
因此
.
000
110
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
＝
定义 4.1 V 是向量空间, ?是 V 的一
个线性变换 。 对 V 的一个子空间 W,如果
有 ? (W) ? W,即对任何 ?? W,有
§ 4 不变子空间，像空间和核空间
σ (?) ? W,
就说 W 在线性变换 ?之下不变，或者说
W 是 ? 的不变子空间。
)
σ (?)
例 4.1 证明向量空间 V 和 零子空间 O 是
任何线性变换的不变子空间 。
? (?) ? V，
证,显然对任何 ? ? V,及 ??L(V),有
故 V 是 ?的不变子空间。
而对 0? O（零空间的惟一元素） 显然有
? (0)
故 O 也 是 ?的不变子空间。
= ? (0·0)= 0· ? (0) = 0 ? O，
例 4.2 W 是 V 的任何一个子空间,
σ = k l 是位似变换, W是否为 ? 的不
变子空间？
? (?) = k ? ? W，
所以,W 是 ? 的不变子空间。
因为 ?? ? W,有解：
例 4.3 设 ? 是 R3 中, 以某一过原点的直
线 L 为轴, 旋转一个角度 ?, 那么旋转轴 L 是
? 的一个一维不变子空间, 而过原点与 L 垂直
的平面 H 是 ? 的一个二维不变子空间 。 则, L
和 H 都是 ?的不变子空间 。
H
y
L
z
x
O
例 4.4 设 ? 是上例所给出的 R3 中的线性变
换, 显然 R3 是一维子空间与二维子空间 H 的直
和, 而 L 和 H 都在 ? 之下不变 。 取 L 的一个非
零向量 a1,H 的两个相互正交向量的 a2,a3,则
a1,a2,a3构成 V 的一组基, 而 ? 在这个基下的
矩阵是
.
c o ss i n0
s i nc o s0
001
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
定理 4.1
.
0
0
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
k
A
A
A
?
,21 kWWWV ???? ? 设
Wi 为 ? 的不变子空间。
则它们合起来形成 V 的一组基。
在每一子空间中取一个基
).,2,1(,,,1 kiiiki ?? ???
且 ? 关于这个基的矩阵就有形式：
由此可见, 给定 n 维向量空间 V 的一个
线性变换 ?,只要能够将 V 分解成一些在 ?
之下不变的子空间的直和, 那么就可以适当
地选取 V 的基, 使得 ? 关于这个基的矩阵比
较简单 。 特别, 如果能将 V 分解 n 个在 ? 之
下不变的一维子空间的直和, 那么, ? 的表
示矩阵就有对角形式 。
定理 4.2 令 ?是 V 的一个线性变换, 那
么 ? 的核 ker ?和像 Im ? 都在 ?之下不变 。
,ke r σ?? ?
,Im σ ?? ?又
故 ker ? 和 Im ?，都是 ? 的不变子空间。
证：
? ? 0??σ有 ;ke r σ?
? ??σ有,Im σ?
定理 4.3 V 是向量空间, ? 是线性变
换, ?的表示矩阵为 A,则
dim Im ? = rank A
证,
? (a1,a2,…,an ) = (a1,a2,…,an )A,
故
dim Im ? = rank A.
令 a1,a2,…,an 是 V 的基，
即
定理 4.4 dim ker ? = n－ rank A,
证：
? ?,}0{k e r ??? ?? σσ V
σke r?? ?
这表示 ker? 中的向量 ? 是线性方程
组 A ?＝ 0 的解 。
dim Im ? = n－ rank A。
由定义
.0?? ?A
反之亦然。
所以
? ? ???? ),( 1 n??σ
推论 4.1 V 是向量空间,?是其线性变换，则
(1) ?是满射充分必要条件是 ? 是单射。
(2) ?是单射充分必要条件是 ?可逆。
例 5.1 设 R 是实数域，线性变换
?,x|? ax。
则 R 是 ? 的一维不变子空间。
§ 5 特征根和特征向量
且
? (x) = ax。
例 5.2 在向量空间 R3 中，线性变换
? ? ? ?,,c o ss i n,s i nc o s,,zyxyxzyx ????? ???＝：σ
L = {(0,0,z) | z ? R}是 ?的一维不变子空间。
且对任何 ? ? L,
?(?) = ?。
定理 5.1 设 ? 是向量空间 V 的线性变换,
则 V 有关于 ? 的一维不变子空间的充要条件
是存在 ?? R,以及非零向量 ?? V,使得
.)( ??? ?σ (5.1)
证,
使得，且，,0 ??? ??? VR
则
? ? }{ RkkR ?? ??
反之, 设 L 是 ? 的一维不变子空间,
是 ? 的一个一维不变子空间
若存在
，＝ ??? )(σ
证毕
,)( V??σ 因为
。使得则存在 }{,RkkLV ??? ??
使得存在,R??
。??? ?)(σ
.)( ??? ?σ (5.1)
定义 5.1 称式 (5.1) 中的 ?? R 为线性变
换 ? 的特征根，称 ξ ? 0 为 ?的属于特征
根 ? 的特征向量。
定义 5.2 设 A 为 n 阶方阵。如果 ?? R 满
足 |A－ ?I|＝ 0,则称 ? 为 矩阵 A 的特征根。
定理 5.2 设 n 阶矩阵 A 是 n 维向量空间
V 上的线性变换 ?的表示矩阵, 则 ?? R 是 ?
的特征根的充要条件是 ? 为 A 的特征根 。
证
如果 ?＝ x1a1+x2a2+… +xnan 是 ? 属于 ? 的
一个特征向量, 因此, ? ( ? ) = ??,于是
取 V 的一组基 a1,a2,…,an。
)(?σ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
aaa
?
?
2
1
21
),,,(σ＝ ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
Aaaa
?
?
2
1
21
,,,
而
)(?σ ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
aaa
?
?
2
1
21
),,,(?＝
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
aaa
?
?
2
1
21
),,,( ?＝
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
x
Aaaa
?
?
2
1
21
,,,
x
x
所以,xAx ??
即
.0)( ?xIA ?－
因为 x ? 0,所以 | A－ ?I |＝ 0。
反之，
),( 0?? xxAx ?若
)(?σ
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
aa ??
1
1 ),,(σ＝ ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
Aaa ??
1
1,,
,???
的特征根。为即 σ ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
aa ??
1
1,,? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
x
x
aa ??
1
1,,?
定义 5.3 V? 称为 ?属于特征根 ? 的特
征子空间 。
设 ?? R。 记
V?＝ {a | ?(a) = ? a,?? V,}。
由于 V?为 V 的子空间，可给出如下定义：
推论 5.2 ? 的属于特征根 ? 的特征
子空间 V?是 ? 的不变子空间 。
证
故 ? (?) ? V?。
? (? (?)) = ? (??) = ?? (?),
则 ? (?) = ??,因而???V?，
