§3 积分不等式
主要知识点：Neton-Leibunitz公式，变上限积分性质，积分中值定理，分部积分公式。
范例：
设f（x）在[a，b]连续可微且f（a）= 0 ，求证：
。
证： ，所以
。两边对x积分即证。
设g（x）在[0，a]连续可微且g（0）=0，求证：
。
证：，于是有 。
设 。
证：设t[a，b]，在点t处将f（x）展开成泰勒公式：
，对t积分得
设f（x）在[a，b]连续且单调增加，求证：
。
证：证法一:设 并且
。
证法二:，并利用积分第一中值定理。
证法三:对 直接应用积分第二中值定理。
设f（x）C１[a，b]，f（a）= f（b）= 0 ，则：
。
证：（证法一）将f（x）分别在点a ，b 处展成泰勒公式可得：
，所以
。
（证法二）由得到，以下与证法一相同。
设f（x）C１[0，1]，则： 。
证：当 时 ，必存在x 0 [0，1]使f（x 0）= 0 ，于是 ，再对x积分即证。
设f（x）C１[0，1]，。求证： 。
证：（反证）假定对任意x[0，1]，。则由最值定理。又由题设条件得到
，矛盾。
设，t为任意实数，求证：
。
证：注意到，运用柯西不等式即证。
设 f（x）在递增，求证：
证：先设。，故 。依次取上下极限并由的任意性即证。
再设。则对任意M > 0 ,存在A > 0 ,当x > A 时f（x）> M ,于是 , 由M的任意性即证。
注：①上述命题可以推广为：若对任意A > 0 ，f（x）在[0，A]可积，且存在，则： 。
②若将条件存在改成存在，则命题不真（如f(x) = sinx）。
设f（x）在[0，1]可微，x（0，1）时0 < f/（x）< 1，f（0）= 0 ，试证：
。
证法一：令 。
证法二：令两次应用柯西中值定理即证。
11、设f（x），p（x）在[a，b]连续，p（x）0，，试证： 。
证：令
，两边同乘以后，再在[a，b]对x积分，并注意到
即得证明。
